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Full text of "Revue de mathématiques spéciales"

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REVUE • j^^ 



MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 

19e Année. — N» 1. Octobre 1908. 



PREMIERE PARTIE 



SUR UNE CLASSE DE QUÂRTIQUES GAUCHES UNICURSALES 

par M. Ch. Michel, professeur au lyci'e Saint-Louis . 



:by^ 




1. Dans une communication faite à l'Académie des Sciences (décembre 1876), M. Appell a le pre- 
mier mis en évidence l'existence des quartiques gauches unicursales dont les tangentes font partie d'un 
complexe linéaire et il a démontré à leur sujet le théorème général suivant : 

Pour que les tangentes ù une quarliquc gauche unicuvsale fassent partie d'un complexe linéaire, il faut 
et il suffit qu'il soit possible de trouver une représentation paramétrique propre de lé courbe telle que les 
termes du second degré disparaissent simultanément dans les polynômes du quatrième degré, pur rapport au 
paramètre, qui expriment les coordonnées homogènes d'un point quelconque de la courbe. 

Je veux montrer comment il est possible d'établir d'une manière très simple que les conditions 
sont nécessaires. 

Si les tangentes à laqiiartique unicursale (G) font partie d'un complexe linéaire, le plan osculateur 
au point M de la courbe n'est autre, comme l'a montré M. Appell lui-même, que le plan polaire du 
point M par rapport à ce complexe. Or, ce plan, qui rencontre la courbe (G) en trois points confondus 
en M, rencontre à nouveau la courbe (G) en un point M' et, d'après une propriété connue des com- 
plexes linéaires, le plan polaire de M' par rapport au complexe linéaire considéré, c'est-à-dire le plan 
osculateur en M' à la courbe, passe par M. A un point M quelconque de la courbe il correspond un 
second point M' de la courbe qui est le point d'intersection, autre que M, de cette courbe et du plan qui 
lui est osculateur en M. Inversement, au point M' il correspond un point M et un seul, lequel, d'après la 
remarque qui précède, est le point d'intersection, autre que M', de la courbe et du plan qui lui est oscu- 
lateur en M'. Il y a entre M et M' une correspondance homographique, laquelle est d'ailleurs récipro- 
que ; autrement dit, les points M et M' se correspondent dans une involution. Gette involution admet 
deux points doubles A et B qui sont caractérisés par cette propriété que le plan osculateur en chacun 
d'eux rencontre la courbe en quatre points confondus. Les deux points variables M et M' sont, sur la 
courbe (G);, conjugués harmoniques par rapport aux points A et B. Nous dirons, avec M. Appell, qu'ils 
sont cjnjugués l'un de l'autre sur la courbe. 

Gela posé, comme il existe une inlinité de représentations paramétriques propres d'une courbe uni- 
cursale, qui se déduisent de l'une quelconque d'entre elles par une transformation homographique 
quelconque du paramètre, laquelle dépend de trois constantes arbitraires, il est possible de disposer de 
deux de ces constantes de façon que les deux points A et B aient pour paramètres l'un et l'autre x . 
La représentation paramétrique étant ainsi choisie, les paramètres de deux points conjugués M et M' 
sont égaux et de signes contraires. 



SUR UNE CLASSE DE QUARTIQUES GAUCHES UNICURSALES 



Soient dès lors les expressions des coordonnées létraédriques d'un point ([uelconque de la courbe par 

des polynômes du quatrième degré par rapport à la variable >. : 

X = OjX' -t- a,A' -+- a,),2 -L- (13/. -+■ flj. 

y = 6„À' 4- 6,).' -h b.^^ -+- Ô3X -+- b„ 

z = CoX* + CiX' -+- C2>'- + CjX +C4, 

t = dX -+- d,l^ -+- d:}.- -h rfjX -4- f/j. 

Pour que >,,, a„ '/.^, }.._ soient les paramètres de quatre points de la courbe situés dans un même plan, 

il faut et il suflit qu'ils soient liés par une relation, laquelle est entière, symétrique et du premier 

ordre. Si s,, sj, ci, t* désignent les fonctions symétriques élémentaires des quantités X|, X,, X3, X;, cette 

relation est de la forme 

Ao, -H B<73 -h C(7, H- Do, + E = 0. 

Écrivons qu'elle est vériûée par les paramètres des points d'intersection de la courbe avec le plan 
osculateur en l'un quelconque M de ses points. Trois des quantités ),, >o, X3, X4 sont alors égale? au 
paramètre X du point .M, la quatrième, paramètre du conjugué M', est égale à —X, et Ion a 
ç, = - XS ^3 = — 2X% z, = 0, c. = 2X. 

11 s'ensuit que, quel que soit X, on doit avoir la relation 

— AX' — 2BX^-l-:2DX^ E = 0. 
Par suite, A = 0, B = 0, D = 0, E = 0. 

La relation qui existe entre les paramètres de quatre points de la courbe situés dans un même plan 
se réduit donc ii c-, — 0. 

Appliquons alors ce résultat aux points d'intersection de la courbe C avec le plan x = 0. Leurs 
paramétres sont racines de l'équation 

a„'/.' -+- a ,1' -V- a.}.- -+- a,'/, -t- a, = 0. 
Comme ^.> doit (''tre nul, on a a. = 0. De même, A., c, et d^ sont nuls. Les termes en '/.- dispa- 
raissent simultanément dans les expressions de x, y, :, I. 

Rappelons maintenant la méthode connue par laquelle on démontre que les conditions énoncées 
sont suftisantes. Supposons que les expressions des coordonnées létraédriques x, y, z, l d'un point 
d'une courbe unicursale soient, en fonction d'un paramètre X, de la forme 

X = aX* 4- aO,' + a'X + a'", 
y = 6X» + bV -+- b"X -h b-", 
z = cÀ* -h c").' -I- c"X -f- c", 

t = cfA*-f-rf'),' + (/"X + rf"'. 

Si la courbe est gauche, le déterminant 



</ 



est dillV-rent de 0, car, si ce déterminant était nul. il existerait entre les éléments de ses diverses 
colonnes une même relation linéaire et homogène, laquelle existerait aussi entre les coordonnées 
X, y, :, / d'un point quelconque de la courbe, qui, par suite, serait plane. Si donc on regarde les égalités 
précédentes comme des équations linéaires par rapport aux quatre quantités X', X', X et I, on pourra en 
tirer, par les formules de Cramer, des expressions linéaires et homogènes en x, i/, :, I pour X*, X', X 
et 1. 

Ainsi, on aura 

.\ = X», Y = X', / = X, T = 1, 

X, V, Z, T étant (piatre formes linéaires en x, y, z, I qui sont d'ailleurs indépendantes et peuvent 



SUR UNE CLASSE DE QUARTIQUES GAUCHES UNIGURSALES 



être prises pour de nouvelles coordonnées lélraédriques d'un point variable do la courbe. Il est facile 
alors de vérifier que les tangentes à la courbe font partie d'un complexe linéaire. Dans le nouveau sys- 
tème de coordonnées tétraédriques, les six coordonnées pliickériennes de la tangente au point de para- 
mètre À sont 

p = 4à', 7=3),-, /• = !, p'^—'i):', v' = 3À', r' - —\\ 

Entre ces six coordonnées, il existe la relation linéaire et homogène 

p -h "2})' — 0, 
ce qui démontre le théorème. 

2. Reprenons les couples de points conjugués M et M'. On a les résultats suivants : 

1" Toute droite MM' fait partie du complexe linéaire qui contient les tanrjentes à la courbe (C). En 
effet, la droite MM' passe par M et est dans le plan polaire du point M par rapport au complexe. 

2° Toute droite .MM' rencontre la droite AB. Autrement dit, les quatre points M, M', A et B sont dans 
un même plan. En effet, comme nous l'avons vu, les paramètres de A et B étant supposés égaux àO et 
à », pour que quatre points de (C) soient dans un même plan, il faut et il suffit que leurs paramètres 
vérifient la condition a., = 0. Or, on reconnaît immédiatement que cette condition est vérifiée par les 
paramètres 0, oo , X et — À des points A, B, M et M'. 

3° Par tout point de la droite .\B, (7 passe deux droites MM'. En effet, si I est un point de AB, une 
droite MM' passant par I est nécessairement située dans le plan polaire (P) du point 1 par rapport au 
complexe linéaire qui contient les droites MM'. Ce plan rencontre la courbe (C) en quatre points a, p, y, o. 
Or, le plan osculateur à (G) en a passe par le point »', conjugué de a sur la courbe ; ce plan, étant le 
plan polaire de a par rapport au complexe linéaire considéré, passe par 1 ; il contient donc les droites 
al et aa'. Mais, d'après une proposition établie, ai' rencontre AB. Si donc nx ne coïncidait pas avec al, 
le plan osculateur en a à la courbe (C) contiendrait la droite AB, ce qui est évidemment impossible. 
Donc, les trois points I, a, a' sont en ligne droite ; le point a' est un des trois points S, y, 3. Par 
conséquent, les quatre points d'intersection du plan polaire de I par rapport au complexe linéaire consi- 
déré avecla courbe G se répartissent suivant deux droites MM' passant par le point I. 

4° Toute droite MM' rencontre la droite A d'intersection des plans osculateurs en A et B ('( la courbe (C). 

En effet, si I est le point de rencontre de MM' avec AB, comme I, A, B sont trois points en ligne 
droite, leurs plans polaires par rapport au complexe linéaire sont trois plans passant par une même 
droite, qui est justement la droite A. Le plan polaire de I passant par a, la droite MM' qui est située 
dans ce plan rencontre A. 

5" Da7is tout plan passant par AB, ('/ existe une et une seule droite MM'. En effet, un tel plan rencontre 
la courbe (G) en deux points M et M' qui sont conjugués harmoniques par rapport aux points A et B. 

6° Par tout point Je A, il passe une et une seule droite MM'. En efl'et, si J est un point de A, une 
droite MM' passant par J ne peut être située que dans le plan JAB et par suite ne peut être que la 
droite (jui joint les points de rencontre autres que A et B du plan JAB avecla courbe (G). Etïective- 
ment, cette droite est une droite MM' et comme telle, elle rencontre A justement au point J. 

7" Dans tout plan passant par à, il existe deux droites MM'. En effet, les droites MM' situées dans 
un plan passant par A sont les droites qui passent par le point 1 d'intersection de ce plan avec la 
droite AB. 

8' Il existe trois droites ^IW f/ui rencontrent une droite L quelconque de l'espace. En elfet, projetons 
d'un point pris sur (C) la courbe (C) suivant une courbe (c) sur un plan n. La courbe (c) est une 
cubique unicursale. Les projections wi et m' des points M et M' de la courbe (C) se correspondent en 
involution sur la cubique (c). Par suite, comme je l'ai indiqué dans mon article 6'uf tes cubiques unicur- 



SUR UNE CLASSE DE QUARTIQUES GAUCHES UMCURSALES 



sales (Revw, juin 1906), la droite mm' enveloppe une conique (8). Il en résulte que le plan OMM' est 
tangent à un cône du second ordre (r). Ce cône est tangent au plan qui passe par et contient la 
droite A. li existe en effet dans ce plan, en dehors de la droite qui joint le point à son conjugué . 
une droite MM' qui ne passe pas par 0. Cela posé, si la droite MM' rencontre la droite L, elle fait partie 
d'un système de génératrices rectilignes, sur l'Iiyperboloïde déterminé par les droites AB, A et L. Le 
plan OMM' doit être également langent au cône [\\) de sommet circonscrit à cet liyperboloïde. 
Comme A est une génératrice de riiyperboloïde, le plan qui contient et A est langent au cône (F,) 
comme au cône (r). Les cônes (T) et (l,) ont, en dehors de ce plan, trois plans tangents communs. 
Chacun de ces trois plans rencontre l'hyperboloïde suivant deux droites dont l'une rencontre AB et A 
et est ainsi une droite MM'. II existe donc bien trois droites .MM' rencontrant la droite L. 

9" La surface (s), lieu des droites MM' est une surface réglée du troisième ordre qui admet la droite AB 
comvie directrice double et la droite A comme directrice simple . Cet énoncé ne fait que résumer les résultats 
précédents. 

10" La courbe (C) est une ligne asymptotique de ta surface SU En effet, le plan tangent à la surface 
en un point quelconque M de la courbe (G) contient la tangente en M à la courbe (C) et la droite qui 
joint M à son conjugué M'. C'est donc le planosculateur à la courbe (C), qui est bien par suite une ligne 
asymptotique de la surface (S). 

3. On a, relativement à la courbe (C), le théorème suivant : 

La projection sur un plan II de la courbe (C), d'un point I de ta droite .\B, est une quarlique à ti'ois 
points doubles d'inflexion . 

En effet, le plan polaire du point I par rapport au complexe linéaire précédemment considéré 
rencontre (C) en quatre points M, M', N, N' conjugués deux à deux et deux à deux en ligne droite avec 
le point I. Les plans osculateurs à la courbe ^C) en ces quatre points passent par le point I. Il sensuit 
que les projections»» et n des points M, M' et N, N' sont sur la courbe (r), projection conique de la 
courbe (C), deux points doubles à tangentes d'inllexion. Quant aux points A et B de la courbe (C), en 
ligne droite avec le point I, ils se projettent en un point double w de la courbe (c). Il reste à montrer 
que les tangentes en ce point sont intlexionnelles. Or, tout plan passant par la tangente en A ù (C) ren- 
contre (C) en trois points confondus avec le point A. On reconnaît en.effet immédiatement que la condi- 
tion c» = est vériliée par les quatre nombres Xi, X», X^, }.^ quand trois d'entre eux sont nuls, le qua- 
trième étant arbitraire. Le plan projetant la tangente en A rencontre donc (C) en trois points confondus 
avec A. La projection de la tangente en A est par suite une tangente d'inflexion de la courbe {c). Il 
en est de môme de la projection de la tangente en B à la courbe (C). Le théorème est démontré. 

Laguerre a démontré {.\ouvelles Annales de Mathématiques, 1878) sur les quarliques planes à trois 
points doubles d'inflexion l'intéressant théorème suivant : D'un point quelconque de la courbe, on peut 
mener, en dehors de la tangente en ce point, quatre tangentes à la courbe et les quatre points de contact sont 
sur une même droite. Quand le point rarie sur la courbe, cette droite enreloppc la coni-fue qui est tangente 
aux six tangentes à la courbe en ses trois points doubles. On a d'après cela le théorème suivant, relatif ù la 
courbe (C) : 

/'«)■ une droite jiassanl par un point I de la droite AB et s'appugant .^ur la courbe, on peut mener, en 
dehors du plan tangent au point d'appui sur la courbe, quatre plans tangents () la courbe et les points de con- 
tactdc ces quatre plans tangents sont dans un mênze plan quipasse par lepoinl I. Ouand la droite donnée se 
déplace sur le cône qui a pour sommet le point I et pour base la courbe, ce plan enveloppe tin cône du second 
dejré qui est langent aux deux plans passant par AB et respcrticemeni par les tangentes en A et B, et aux 
quatre plans osculateurs menés de I à la courbe. 

Les résultats précédents admettent des résultats corrélatifs. Une courbe (C) osl eu même temps du 



NOUVELLE MÉTHODE DE DISCUSSION DE L'ÉQUATION EN S 



quatrième degré et de la quatrième classe, car, comme l'on sait, d'un pomt P quelconque de l'espace on 
peut mener à la courbe quatre plans osculateurs dont les points de contact sont les points d'intersection 
de (C) avec le plan polaire de P par rapport au complexe linéaire qui contient les tangentes à (C). Il s'en- 
suit que l'ensemble des tangentes à une courbe unicursale du quatrième degré dont les tangentes font 
partie d'un complexe linéaire se correspond à lui-même par dualité. Des résultats que nous venons d'obte- 
nir, nous déduisons donc par dualité les résultats suivants: 

Toute section plane de la développable qui a pour arête de rcbroussement la courbe (C) est une courbe 
de la quatrième classe {et du sixième degré) à trois tangentes doubles de rcbroussement. Une tangente quel- 
conque T à cette développable, qui s'appuie sur A, rencontre, en dehors de son point de contact, la dévelop- 
pable en quatre points, et les plans tangents à la développable en ces quatre points concourent en un même 
point situé dans le plan qui contient T et A. Quand T se déplace dans un plan fixe passant par A, ce 
point décrit une conique. Celte conique passe par les quatre points d'intersection du plan avec la courbe (C) 
et par les points de rencontre de A avec les tangentes ctt A et U à la courbe. 



NOUVELLE MÉTHODE DE DISCUSSION DE L'ÉQUATION EN S 

par M. J. Haag. professeur de Mattiématiques spéciales au lycée de Douai. 



Voici une méthode de discussion de l'équation en S qui me semble nouvelle et simple. Nous allons 
tout simplement appliquer le théorème de RoUe. On a 

A'(S) = — (a-+-a'-t-a"), 
en appelant a. a', a', ^,^',V les mineurs de A(S) relatifs à A— S, .V — S, A" — S, B, B', B". 
L'équation dérivée s'écrit alors 

(A — S)(A'— S)-h(A' — S)(A"— S)-^(A" — SM,A-S) — B^- B'= - B'- = 0. 
Supposons pour fixer les idées A5>A'>A". En substituant .\', ou obtient comme résultat de 
substitution 

(A" - .V)(A — A') — B- — B'- - B"-, 
([ui est négatif et ne peut devenir nul i\\ie si B = B' = B" = et A' = A par exemple. Comme la 
substitution de ± x donne le signe -t-, on en conclut que l'équation dérivée a ses racines réelles et 
séparées par le nombre A'. Elle ne peut par suite avoir une racine double que si A' est celte racine, ce 
qui exige, comme on vient de le voir : 

B = B' = B" = et A' = A. 

i^our que la deuxième racine soit aussi égale à A, il est facile de voir que l'on doit avoir égale- 
ment A" = A'. Donc : 

Théorème. — L'équation dérivée n'n déracine double que dans le cas de la sphère. 

Revenons maintenant à l'équation en S elle-même. Appelons S, et S^ les deux racines réelles de 
la dérivée, et supposons, par exemple, iS, < 83. 
On a, pour l'une ou l'autre de ces racines, 

a -t- »'-+-"" = ; 
d'où, en élevant au carré, a^-l-a'- + a"--f- 2(a'a"-f-a"i -i-aa') = q 

ou, en tenant compte des identités bien connues, 

aV — S-=(A — S)A(S), ..., 

a^ + ï'2 + ,"» ^ 2(2^ H- P -+- p"2) r= 2A(S);3S — (A -f- A' -4- A")] = 2A(S; TsS — ^^'"'^^'M ' 
d'où 3A(S,)(S. — Sj) = »î-f-a,= -(-a?-t-2(âî^-?,^ + K') 



ALGEBRE 



et 3A(S2XS, - S,) = 4 -h a,- -,- ai- -^ 2( ^^ -H i? H- p:=). 

D'ailleurs â(— 3o)>0 et A(-+-x)<0. 

y«' cas. — Les mineurs a, a, . . ., ne so?i< pns /oi/s >»«/«, pour aucune des valeurs Si et Si. — On a alors 
A(Si) < 0, -\(S2) > ; d'où l'on déduit que l'équation en S a ses trois racines réelles et distinctes. 

£'■ cas. — Les mineurs sont tous nuls pour S = Sj par exemple, mais pas tous les éléments. — On a 
Si — 85:7^0, car nous avons vu que l'on n'avait Si = S2 que pour la sphère auquel cas tous les 
éléments sont nuls. On a donc A(Si) = et Si est racine double de l'équation en S. Elle ne peut être 
racine triple, puisque Si n'est pas racine double de A'(S) = 0. 

30 cas. — Cas où Si = S,- — On a alors une sphère ; l'équation en S se réduit à (A — S)' = 
et a une racine triple. La discussion est ainsi faite d'une façon complète et elle nous donne le théorème 
classique suivant : 

Théorème. — Pour qu'un nomlire S soit racine double, il faut et il suffit que ce nombre annule tous 
les mineurs. 

On peut également énoncer celui-ci : 

Théorème. — Pour que l'équation en S ait une racine triple, il faut et il suffit que la dérivée ait une 
racine double. 

Remarque. — Je me suis appuyé dans ce qui précède sur une propriété connue du déterminant 
adjoint, dont voici une démonstration simple qui me semble également nouvelle pour le déterminant 
A A' A" 

et son adjoint \ = h b' h" 



D = 



Nous désignons les mineurs de A par de grandes lettres affectées d'indices. Un sait que 
A = D= = D.D, ce qui s'écrit : 

aA,H-n'A'i-i-rt"A';=D(Aa-|-A'a'+A"a") ou {a{\^ -AD)-^//'(A, -A'D)+rt"(A;— A'D)=0. 

D'autre part, />.\,+//A,-f-//'A';=0=D(Aé+A'ô'-(-.\"6") ou (1) <6(A,— AD)+/-\Ai— A'D;-h6"(A';-A"D)=0. 

De même, cAi-t-c'A'i-i-c°AÏ=0=D(Ac-+-A'c'-HA'c") ou ' c(A,— ÀD)+c'(A; — A'D)+c"{A'; — A"D)=0. 

F^e déterminant des équations (1) linéaires et homogènes en Ai — AD, A', — A'D, A'; — A"D 
est A, que nous supposons différent de 0. Donc le système (I) n'admet que la solution 0, 0, 0, ce qui 
donne les identités à démontrer. 

Cette démonstration s'applique évidemment aux autres lignes et se généralise aisément pour un 
déterminant (|uelconque. 



ALGEBRE 



1662. — On considère l'équatinn du quatrième degré 

rt.i* -h ibx^ H- 6tx- -{-idx-hf = 0, 
dont tes racines sont -x, ^, •(, 2. 



a?-HYO 



et montrer que si on 



I" /''limier l'équation qui admet pour racines les valeurs de 1/ — ~ ^ 

, ' (« + fi)(T + «) 

connaît une valeur de ij, on peut calculer 1, p, f, 0. 

û" Trouver la condition puuv qur les qiintri' racines soient huniioiiiqucs. /{ésoudre l'éijuation du 

quatrième degré dans ce cas. 

'A° \'iilr ce qui arrive quand l'èquiilion donnée a une rarinc double, une triple ou une quadruple. 



ALGEBRE 



1. Posons i + ^=î(, Y-t-S = M', a? = y, T^ = v' ; 

les relations enlre les coeflicients et les racines deviennent alors 

'il^ , , 6c , , U , f 

(1) M-l- M = » MM -t- y-l-- U = î ((« -hUU = 5 UW = 

a a a a 

De la première de ces équations, on lire 

\^) « = — — h '., Il ~ A, 

a a 

X étant une inconnue auxiliaire. 

v-\-v' ,, v-+-v'-i-uu' 6c 

On a d'ailleurs >i = — - u ou j/+l = ; = -■ 

uu uu auu 

Par suite, 

^t>~ ,, 6c 

f2y uu' — /- = -■ 

De la deuxième des relations (1), on tire 

6c , 6ci/ 

(3) v-h-v'= uu' = — — ^-— . 

De la troisième, on déduit, en tenant compte de (2), 

4rf 26 , „ I2bcy Ad 

/(W — y = 1 y -+- u'j = 2.^ 

a a a\]i -\- 1) '/ 

ou 

De (3) et (i), on tire 

_ 3cy 2_r 36cy _ "I , _ '.'icij 2 F 36cy "1 

Portant ces valeurs dans la quatrième des relations il), on a 

/' _ 9c-j/ _ 4 r 36c;/ T' 

« ~ a%y + 1 )- a-l- L «(?/ + i) J ' 

d'où, en réduisant au même dénominateur, remplaçant /- par sa valeur tirée de (2)' et simplifiant, on a 

2(arf-^ H- 6V)(y + 1)' — [ibcdyiy -t- 1)* — -.iacfiy +if-h 'ilchj- = 0, 
ou, en ordonnant, 

Itfiad' + h'f —iMjcd) -^ 'iy-i^ad- ^Vt- f — nef ^'ic'' —Ucd) 

+6y(arf- -4- b'f—o.cf— Ibcd) -i- ^ad'-^b'f) - dacf = 0. 
Telle est l'équation cherchée ; elle est du troisième degré ; il fallait s'y attendre puisque y ne peut 
prendre que trois valeurs, qui sont 

aâ -1- v5 ï-C -(- ÛS ao -f- p-y 

Connaissant une valeur de y, l'équation (2)' donne pour X deux valeurs égales et de signes contraires, 



/ ib^ 6c . 



il sullit de prendre l'une de ces valeurs X,, car à chacune d'elles ne correspond qu'un seul système de 

, - ,. -26 , , -26 . 
valeurs pour m et w, donne par les équations (z), u = h'i, " = ''i ^ 

les é'iuations [o) donnent aussi 

,=.^^ U^Ha^ A ,'^ ''"■' ^±\^Èfy d]. 

a(y-hl) a\ln{y-^i) J «(?/ + !) «>•. L ''tiZ+l) J 

a, p, Yj sont donc racines respectives des deux équations du second degré 
M- — Mm + u = 0, N- — Nu' + v' — ; 



ALGEBRE 



l'équation du quatrième degré esl donc résolue et l'on voit que sa résolution a été ramenée à celle d'une 
équation du troisième degré, problème dont la solution est connue. 



2. La condition pour que les quatre racines soient harmoniques est 



2{aP-\-yo) = (a-)-P)(Y-f-8), 



d'où 



(»+P)(y + 8) 



L'équation en y doit donc admettre une racine égale à — ; en l'exprimant on trouve immédiate- 
ment la relation 

ad- -+- b'f— 2bcd -i- c" — acf = ; 

c'est la condition cherchée, elle s'écrit encore, comme on le vérifie aisément, 

b 
J = 



= 0. 



En remplaçant y par — dans les valeurs de ),, u, «', u, u' précédemment trouvées, on a 



)., = -v/6^ 



ac. 



1 



a 
hc — ad 



1 



v/62 



V = 1- • 



X 



[b-i-</b- — ac], 
bc — ad 



a yjb'^ — ac 
") r'i "Cî ^ sont donc respectivement racines des deux équations du second degré 



M» H \b— ■Jb^ — acl iM -h - 



a\lb- — ac 
On en tire immédiatement a, ^, y, 8. 



bc — ad 2 , ly-^ ., c bc — ad 

0, N=-i- — ,6 + v^6' — acJNM 1 =0 



ayib'^--ac 



3. Soit 



ï. Les trois racines de l'équation en ly sont alors 



î/:^ = 



<r 



2«;y+5) •'- (a H- Y)(a -+- 8) 

Donc dans ce cas l'équation en i/ a une racine double t/o = j/j. 
En outre, il existe une relation entre celte racine double et la racine simple 
En effet, on a 

1 1= -t- Y» -1- a(Y + o) 



ï + y)(« + «) 



1/2 a(Y-+-8; a[Y+«) 

la relation esl donc 

(6) 2y,y,-l-y.3-l =0. 

Dans le cas d'une racine triple, soit y = ? = ^i 

a(» -t- 0) 1 



' ' "^^+1 =2y.+ l. 



alors 



Donc, dans ce cas, l'équation en i/ a une racine triple, égale ù — > c'est ce que montre la relation (6). 

Enfin, dans le cas d'une racine quadruple, l'éfiualion en y a encore une racine triple égale à — • 

A. DAKMON, à Paris. 

lionnes solution!^ «le .MM. I,. Simon, section normale de Cli.ilons; E.-.\'. IUkisikn ; \V. MÉniiiOT, ii Paris ; G. Koocnr, à Roanne; 
Ch. (JiiN<.ii. 

Assez bonnes solutions de .MM. Bhos ; A. >ULi>L«r ; X. . . 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 




1653. — On considère une courbe quelconque (S), une de ses développantes (P) el sa développée (c). 
Soit M un point quelconque de S et P et C les points correspondants de (p) et de 
{cj. On construit le rectangle MPQC de diagonales MRQ et PRC et l'on considère la 
courbe (/■) lieu de R et la courbe (q) lieu de Q : 

i" Montrer que la tangente en R à {r) est perpendiculaire à MP. 
En déduire les trajectoires orthogonales des courbes (r) correspondant aux 
différentes développantes de S ; 

•i" Déterminer (S) pour que la tangente en Q à (q) soit QC. Trouver dans 
ces conditions toutes les courbes (/i : 
3" Revenant au cas général, calculer le rayon de courbure zt de (r) au point R. Rapprocher le résultat 
de ceux de la première partie . 

Déterminer (%) pour que l'on ait, en posant c, = MC, 

pi = mp-hn, m et n étant des constantes. 

Cas de m — U ; 

4° Déterminer S pour que PC ait une longueur couftante =<. .Montrer que dans ce cas PC a une 
direction fixe et réciproquement. .Montrer également que dans ces conditions la relation entre (S) et [r) est 
réciproque — Vérifier géométriquement ces résultats après avoir trouvé (S). 

1. Donnons-nous l'équation tangentielle polaire de la développante (P) : 
(Ij (P) a?cos'f — y sin r — ;j = fl. 

p étant une fonction de 9, déterminée à une constante près. 

Nous aurons les équations des courbes (S), (ci et de la développée (■;) de la courbe (c) en dérivant 
successivement l'équation (1) : 

(2) (S) — X sin + i/ cos i ~p' — 0, 

(3) (c) X cosa-hy sin o-h p" = 0, 

(4) (y^ — xs'iti'i ~y cosa h p"' — 0. 

Le point R est donné par l'intersection de deux droites équidistantes : l'une, de (1) et (3) ; l'autre 

de (2; et (4) : 

n — p" n' p"' 

X cos ? -t- y sin 9 =0. — ar sin o -t- y cos o — — î— = . 

En dériianl la première équation et en tenant compte de la seconde, nous avons 

x' cos o -+- y' sin 9 = 0. 

La première droite est donc tangente au lieu de R. 

La tangente à la courbe (r) est perpendiculaire à MP : la second.' droite qui est la parallèle à 
MP menée par le point R sera normale à la courbe (r). Si nous supposons que le point P se déplace 
sur la droite MP, ce qui revient à envisager les diverses développantes, le point R décrit la parallèle 
à MP menée par R. Cette droite sera normale aux courbes (r) en tous ces points R : elle sera une 
trajectoire orthogonale. Les trajectoires orthogonales aux courbes (»•) sont donc les droites parallèles 
aux tangentes correspondantes de (S). 

2. Pour que la tangente au point Q à la c^Mirbe [qi soit la droite CO, il faut que la courbe lu) soit 
confondue avec la courbe {■(), ou, ce qui revient au mémo, que la normale à cette courbe, qui a pour 
équation 

(5) X cos -^ -h y sin 9 — p''- = 

soit confondue avec la droite (1). Un a donc 

d'p 

d^ = ^- 



10 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



L'équalion caractérisliquo est )■' — 1 = 0. La solution générale de l'équation diflérentielie est 

donc 

p = A cil 'f -I- B sh ç -t- A' sin =• + B' ces 'f . 

Le point M e?t à l'intersection des droites (2) et (3) : 

X = — p' sin ç — p" CCS 9, i/ = p' ces 9 — p' sin a. 

On a donc les équations paramétriques de la courbe S : 

X = — A(sh o sin o -1- eh ç cos 9) — B(ch 9 sin 9 + sh 9 cos 9) -+- B', 
y = A(sho cos o — eh o sin 9) -+- B(ch çcosç — sh çsino)-i-A'. 

Le point R a pour coordonnées 

p'—p'" }> — p" ■ .. 

V = — ^^- cos o -T- ^— — — sin 9 = A . 

J et . c» * 



Le point R est donc dans ce cas un point flxe. 
3. L'équation tangenlielle polaire de {r) est 

p — p" r. 

X cos ç, + j/ sin 9 — = U. 

Nous aurons la normale à la développée en dérivant deux fois : 

p" — u'" 
j cos o -+- 1/ sin 9 -f- — — :-^ — = 0. 

Nous aurons donc le rayon de courbure à (>•) en R : 

P-P'^ 



Nous vérifions sur cotte formule le parallélisme des courbes (r) obtenues en considérant les 
diverses développantes de S, c'est-à-dire en ajoutant à p une constante. Le rayon de courbure est en 
eflet augmenté de la moitié de celte constante, ie centre de courbure restant lixe. 

La distance MG = c est la distance des deux droites 2) et (4) : 

? = P'^P"- 
Nous aurons donc l'éciuation dilTérenlielle 

p — p"' = 2»i(p' -+ p'") -+- 2h. 

Si m = 0, cette équation se réduit à 

p — piv — 2)1, 

équation déjà intégrée sans second membre. On retrouve toutes les courbes trouvées dans la deuxième 
partie. 

4. On a PC' = PM' + MC' = «5. 

Nous aurons donc à résoudre l'équation différentielle 

ip-hp'r+(p'-i-p"r = a^- 

du 
En posant 7)+ j>" = «, cette équation devient w- -t- u'- = a-, 1/9 = > 

. M ■ • ■ r \ 

donc on a c — 9„ = arc sin —, ou bien « = a sin (9 — 9„). 

a 

On est donc ramené i\ intégrer l'équation 

p + p" = a sin(9 — 9o)- 
• In tire de cette équation 

p = A cos 9 -t- B sin 9 — " -^ cos (9 — 9o). 
Les courbes (S) sont ainsi déterminées. 



GËOMRTRIE analytique II 



Si nous désignons par a l'angle que fait PC avec Ox el par ••> l'angle que fait cette droite avec PM, 
nous aurons 



La droite PC aura donc uno direction fixe si w + ç. est constant. 

Or on a 

MC p'-hp'" h' 

tg <" = TTfT = ^ = = COt 9 — Ç„). 

MP p-h p u \ .1' 

On déduit de cette égalité 

'•) = -^ + 'Jo — tp, d'oii to -I- ç = C'^ 

Réciproquement, supposons que PC ait une direction fixe; lo -t- o est constant et posons 



Or, on a trouvé tg m = 



d'où 

p' -H p' 



— (p. 



p -t- p u 

du 
on a donc la relation tg(fi — • o)ao = 

En intégrant cette équation dilïérentielle, nous aurons 

LX cos (â — ep) = Lm, ou u = X cos (fi — o), puis u' = X sin (S — o) . 
On a donc w- -f- u'- = X= = PC". On voit que PC est constant. 

PC étant constant en grandeur et direction, la courbe (c) se déduit de la courbe (;j) par la transla- 
tion PC et la courbe (*) s'en déduit par une translation moitié. La courbe (S) est 
donc à la fois la développante et la développée de la courbe (>•). 11 y a donc réci- 
procité entre ces deux courbes. 

On peut vérifier géométriquement que si PC est constant en grandeur, il l'est 
aussi en direction. Considérons un point P' infiniment voisin de P, auquel corres- 
pond un point C voisin de C. On a P'C = PC et de plus PP' et CC sont paral- 
lèles; donc la figure PCC'P' est un parallélogramme. Par suite PC a une direction fixe. 
Réciproquement, si PC est constant en direction, il l'est aussi en grandeur. P'C est parallèle à PC, 
PP' est parallèle à CC ; donc PC =: P'C. 

R. BEDOIN, élève au lycée Louis-le-Grand. 
Bonne solution de M. Consta^haki. 




1663. — On considère la courbe gauche donnée par les équations 

X = XS 1/ = X3 + 3X2, : = X- + 4X. 

1° Former la relation qui existe entre les X des points d'intersection avec un plan, en déduire l'équation 
qui donne les X des points où le plan osculateur coupe la courbe en quatre points confondus et démontrer 
que ces points sont dans un même plan. 

2° Former les relations qui lient les X des points qui appartiennent â une sécante triple. 

3" Montrer que les points de contact des plans osculateurs menés à la courbe par un point M de cette 
courbe et qui n'ont pus leur point de contact en M sont sur une même droite D. 

A° Trouver l'équation du plan MO et l'enveloppe de ce plan lorsque M décrit la courbe. 

1. Un plan quelconque, Ax-h Ry -H C: -)- D = 0, coupe la courbe considérée en quatre |)oints 
dont les X sont racines de l'équation 

AX* H- B(X' +3X2) + G(X-^ -+- 4X) -H D = 0, 
ou AX* -h BX' -I- (3B -I- C)\- + 4GX H- D = 0. 



GEOMÉTKIE ANALYTIQUE 



Soient )i, X^, /j, h les racines de cette équation : les relations entre les coefficients et les racines 

nous donnent 

B ^. . 3B -H C „ , . 4C , , , , D 

V.., = _ -, !>.,, = ^— , I..U, = - —, X.V3'. = ^ • 

Dp T\ 

Si nous éliminons les trois quantités — , — et — entre ces trois équations, nous obtiendrons une 

A A A 

relation entre X,, /->, "'3, À,, indépendante du plan choisi. Pour faire cette élimination, il suffît de rem- 

B Cl 

placer dans la seconde relation — par — SX, et — par — — SXiÀp.j: on obtient ainsi facilement 
A A 4 

( 1 ) sx.À^x, -+- 4sx,x, -+- 1 iï:x, = 0. 

Donc, si quatre points de la courbe sont dans un même plan, leurs X véritient la relation (1). 
Kéciproqueraent, si les X de quatre points vérifient la relation il), je dis que ces quatre points sont 
dans un même plan. 

Pour le démontrer, ordonnons la relation (1) par rapport à X. et posons, pour simplifier l'écriture, 

S, = X, -+- X. -4- X3, S2 = X2X3 + X3/, -^ X,M, S3 = X,XjX3 ; 

nous obtenons 

iiy X;(S5-h4S, -1-12) — S3-+-4S2 + 12S, = 0. 

Nous supposons que cette relation est vérifiée par les X de quatre points de la courbe. Considérons 
le plan passant par les trois points X,, Xj, \\ ce plan rencontre la courbe en un quatrième point X,, et 
l'on a d'après ce qui précède 

(-2) /J,(St H- 4S, -H 12) -+- S3 -1- 4S2 -+- 12s, = 0. 

Ketranchons les relations (1)' et (i), nous obtenons 

(>-*-x;)(S.-r4S, -t-12) = 0. 

1" Si S» -+- 4S, -H 12 =r: 0, on a X^ = >,j et nous voyons ainsi que les quatre points X,, /.,, X3 et X^ 
sont dans un même plan. 

2° Si S., -t- 4S, -H 12 = 0, la relation (2) nous donne S3 -+- 4S2 -f- i2S, = 0, et par suite, cette 
relation est vérifiée quel que soit X^. On en conclut que le quatrième point de rencontre de la courbe 
et du plan passant par les points X,, X,, \ est indéterminé. Ceci ne peut avoir lieu (jue si le plan est 
lui-même indéterminé, ou si les trois points X,, X,, X3 sont en ligne droite. 

IJans ce cas encore les points X,, Xo, X3, X» sont dans un même plan. 

L'équation qui donne les X des points où le plan osculateur est stationnaire se déduit immédiate- 
ment de l'équation (I) en remplaçant X,, X^, X^ et X^ par X. On obtient ainsi 

X(X* -1-6X^-1 2) = 0. 

il existe donc quatre points stationnaires : l'origine, deux points imaginaires ,'onjugués et le point 
qui correspond à X — oc. 

Un aura l'équation du plan de ces quatre points en écrivant que le polynôme 
AX^ -H BX» -i- (3B ■+■ C)Xs -(- 4CX H- D 
s'abaisse au troisième degré et est divisible par X' -t- liX» -t- I2X; on trouve ainsi A = 0, l> = 0, 
B — 3C. Par suite l'équation du plan est 7 -+- Hz = 0. 

2. Nous avons trouvé précédemment que pour que trois points X,. Xj, Xj de la courbe soient en 
ligne droite, il faut qu'on ait les deux conditions 

(3) S,-h4S,-'- 12 =0. Sj-i-iSj-i-l-iS, = 0. 

3. Soit X le point de contact d'un plan osculateur mené par un point ;jt de la courbe. Nous obtien- 
drons la relation qui relie X et n en remplaçant dans l'équation (1) X,, X^, X^ par X et X4 par jji. Nous 



MÉCANIQUE 13 



trouvons ainsi 

(i) V -h 3(Ht + 4)X2 -H I2(fii -t- 3)X H- ISfJi = 0. 

Il existe donc trois valeurs de >' correspondant à une valeur de jji, et par suite trois points de contact. 
Pour montrer que ces points sont en ligne droite, il suffit de vérifier que les racines de cette équation 
satisfont aux relations i|3). Ceci ne présente aucune difficulté, puisqu'on a 

S, = — 3(:^ + 4), Sj = 12(,u + 3), S, = — 12a. 

4. Soit Ax + By + C: + D = l'équation du plan MD. .Vous allons déterminer A, B, C, D en 
écrivant que ce plan rencontre la courbe d"abord au point ix, puis aux trois points dont les X vérifient 
l'équation (4). 

Nous devons avoir l'identité 

AX* -H BX' -+- (3B + C)X2 4- 4CX + D = A{X — ,ji)[X3 -|- 3(^ + 4)X2 + 12(|jl + 3)X -+- lâ|x]. 

Nous en tirons 

B = 2A(iJi + 6), C = — 3AHV.-r2), D = — 12Ajji^ 

Par suite, l'équation du plan MD est 

,r+ 2(H' + 6),v — 3a(,u-H-i): - 12|i'-^ = 0; 
elle est du deuxième dt'gré par rapport à |.i, et en l'ordonnant elle s'écrit 
3(: -+- 4)(ji- — -->(.!/ — 6z)(x - [x -+- 12y) = 0. 
On aura l'équation de l'enveloppe en écrivant que cette équation en ix a une racine double, ce qui 

donne 

(;/— 6:)--f-12(;4-4}(.r-t-12y) = 0. 

Cette équation représente un cône du deuxième degré tangent aux deux plans ; -f-4 = 0, x-h i^y = 0, 
les génératrices de contact étant situées dans le plan y — 6: = 0. 

BROS. 

Bonnes solutions par MM. P. Albertixi. ii Nice;. t. D. DuFAni, k Poitiers; G. l'orcRY. à Roanne ; Victor (tRand, à 
Marseille; L. Sibe. 



MÉCANIQUE 



1654. — • On considère une cycloide située dans un plan vertical, de base horizontale, concave vers le 
bas. 

[" Etudier le mouvement sur la cycloide d'un point matériel pesant abandonné sur elle en M,, sans 
vitesse initiale. 

2° Trouver le point en lequel le point matériel quitte la cycloide. 

3" // décrit alors, pesant et libre, une parabole. Le point Mo variant, construire le lieu du sommet de 
cette parabole et évaluer l'aire comprise entre ce lieu et la cycloide. 

i° Lieu du foyer de cette parabole. 

Prenons la cycloide sous la forme ordinaire 

X = R{cf — sin o), y = R(l — cos o). 

Rectifions-la d'abord. On peut écrire 

dx = R(l — cos 9)(/.i, (/)/ = R sin frfti, 
d'où on tii-e ds- ^ -4R2 sin= -^ rf?^ . 



14 MÉCANIQUE 



Prenons pour origine des arcs le sommet A de la cycloïde et pour sens positif, le sens de A vers 0, en 
supposant le point M„ compris entre A et 0. 

o o 

Nous aurons ds = — ^R sin — do et s = 4R cos -^• 

Appelons z la dislance MP d'un point M de la cycloïde à la tangente au sommet A, de telle manière 
qu'on ait )/-+-: = 2R; on voit que : == R(l -f- cos ?) = ^R cos^ -|-. d'où on tire la relation clas- 
sique, qui nous sera utile, 4- = 8R;. 

Faiscms la remarque que l'angle de la direction de la pesanteur avec la normale dirigée vers le 

-il o u 

centre de courbure est 5-» que le rayon de courbure est p=4Rsin-;j-- Ces formules nous 

seront aussi utiles. Les équations intrinsèques du mouvement d'un point matériel uniquement pesant, 
assujetti à se mouvoir sans frottement sur la cycloïde, sont 

f/)7ît)- , mv- ,T . ^ 
= — mnaii, = N -t- w/ sm -^i 



N étant la réaction normale de la cycloïde sur le point matériel. La première de ces équations 
donnera le mouvement du point; la seconde la réaction. Le point matériel quittera la courbe, quand 
celte réaction, cessant d'être dirigée vers la normale extérieure, s'annulera. 

1° Occuj)ons-nous d'abord du mouvement du point sur la cycloïde. La première équation, intégrée 
une première fois, donne u^ -+- 2g{y — 1/0) = 0, ou bien, en substituant ; à j/, puis s à z, 



.2,7(;„— ;)=0 et v' -^ ^{si - s'') ^ 0. 

4 H 



On tire de là 



m 




L'intégration est alors immédiate et donne 



relation équivalente à la suivante : 

"T ' V (~) ~ ^ ^ ' ^ l'"l'"'lle o" P'Mil adjoindre — — y/( — )'- 1 = c"^ '^ ' , 

d'oii, par addition, * = s„ ch v/-^ t. 

V 4R 

Il est intéressant de faire remarquer que ce calcul est parallèle à celui qui est classi(|ue en méca- 
nique, qui est relatif au mouvement d'un point pesant sur une cycloïde concave vers le liaul, et qui 
prouve le taulochronisme du induvcnionl. 



2° Calculons la réaclii 



- "'3 S'" — = —JlJi-^ - „uj sm -^ = mf,\ ,/„ - ,/ - ^.l\ sur ^ .. 

2 
N = '"!/(.Vo-2.v). 



MÉCANIQUE 




Le point où le point matériel quitte la cycloide a donc une ordonnée moitié de celle du point 
initial. 

3" et 4\ — Après avoir quitté la cycloide en n, le point matériel, pesant et libre, décrit une para- 
bole. Mais en .u, les éléments cinématiques des mouvements sont les mêmes (vitesse et accélération). 

En particulier, l'accélération normale est 
y la même en ;ji, que le point soit sur la cy- 

cloide ou sur la parabole. La parabole est 
donc osculalrice à la cycloide ; en plus, on 
sait qu'elle est à axe vertical. En toute ri- 
gueur, dans le problème actuel, il ne faudrait 
prendre que les paraboles osculatrices dont 
le point d'osculation a un \\ compris entre 
et R. Mais nous les considérerons toutes. 

La méthode la plus simple pour traiter 
ces deux questions est de commencer par le 
lieu des foyers. Rappelons qu'en un point .u d'une parabole de foyer F, on obtient le centre de cour- 
bure de la manière suivante : on joint jjiF, on mène en F la perpendiculaire FB à celte droite qui 
coupe la normale en B. Le point B est le milieu du segment ,aC, C étant le centre de courbure. 

Figurons le point |ji de la cycloide, le cercle générateur w dans la position correspondante ; il 
touche la base Ox en B. Le centre de courbure en ,a de la cycloide s'obtient en prolongeant uB dune 
longueur égale à elle-même, vers le bas. Le foyer de la parabole osculatrice en 'j. et d'axe vertical, 
s'obtient donc en projetant le point B sur le rayon vecteur qui est évidemment le rayon at». Soit F le 
point ainsi obtenu. 

Cherchons le lieu de ce point. Four cela, décrivons un cercle sur Bt» comme diamètre, de centre 
o/. Avec les notations employées au début de cette solution, l'angle Bw;jl est égal à o. De là, on tire 
presque immédiatement que l'arc BwF sur le cercle de centre w' est égal à -R — Rf, c'est-à-dire, en 
appelant Ai la projection du sommet .\ de la cycloide sur la base, 

arc BtoF = OA, — OB = BA,. 
11 en résulte que le lieu de F est la cycloide dont la base est Oj et dont deux rebroussements con- 
sécutifs seraient et Ai. 

Nous allons maintenant nous occuper du lieu du sommet de la parabole. C'est évidemment une 
courbe rencontrant la cycloide donnée en 0, en A et en 0,. De plus, cette courbe est tout entière 
intérieure à la cycloide, car le point matériel quittant la cycloide reste au-dessous de la cycloide et 
décrit une branche de parabole qui ne contient pas le sommet. Comme il y a osculation entre les deux 
courbes, le sommet de la parabole est bien intérieur à la cycloide. 

L'abscisse de ce sommet est la même que celle du foyer. L'ordonnée pourrait s'obtenir facilement 
en remarquant qu'elle est la demi-somme entre celle du point ^ et celle du point où la tangente en a à 
la cycloide coupe l'axe de la parabole. Plus simplement, rappelons que si un point matériel est unique- 
ment soumis à son poids, il décrit une parabole dont la directrice passe par le point le plus haut que 
pourrait atteindre le point matériel lancé verticalement de sa position initiale avec sa vitesse initiale. 

Il en résulte que la directrice de la parabole est ici la parallèle à Ox menée par M,. Connaissant 
l'ordonnée du foyer et celle de la directrice, celle du sommet est immédiate. 
Les coordonnées du foyer sont 

U .. ... R 



L'ordonnée du point Mo est 2R(1 — cos 3). 



il — cos2o''. 



16 ÉCOLE POLYTECHNIQUE EXAMENS ORAUX, 1908) 

Donc les coordonnées du sommet sont 

K H 

x= — (2o — sin 2o), y = — 1 1 — coso)(3-f-cos!p). 

Nous n'insisterons pas sur la forme de celle courbe qui se trouve immédiatement. Elle touche la 
cycloïde en 0. en A, en 0, et reste toujours à son intérieur. 

Cherchons l'aire comprise entre ces deux courbes. Pour cela, prenons la différence des aires com- 
prises entre chacune d'elles et l'axe des .r. 

Pour la cycloïde, cette aire est bien connue. C'est 3-R^ nous ne referons pas l'intégration. 

Pour le lieu des sommets, cette aire est 

R- r^'- 

-r- I (! - cos9)(3 -i-coso)(i ~ cosir)d'f, 

qui s'écrit encore 

K2 r-i- 
(3 — 2 cos o — cos^tp)(l — cos 2o)rfç = — 1 5 — l cos? — cos 2o)(l — cos2? ,rfr- 



Considérons la fonction sous le signe I . Elle s'écrit 



3—4 cos ç — cos 2o — o cos 29-1-4 cos ç cas 2ç -h cos- 2'^, 

1 -t- cos io 



ou encore — 4 cos 9 — 6 cos 2? + 2(cos 'io ■+■ cos 9) - 

il cos 4o 

ou — 2 cos 9 — 6 cos 2 9-1-2 cos 3© -f -— ^ 



Tous les termes qui suivent le premier donnent, intégrés, des sinus de l'angle 9 et de ses multiples 
dont la différence des valeurs pour el 2ic est nulle. 

L'intégrale est donc — ^ L'aire demandée est par suite -^ ■ 

Bonne solution de M. Bues, à Albi. 
Assez bonne solution de M G. Garbe. 



KCOLR POLYTECHNIQUE (19U8) 



gUESTlONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 
I. — Algèbre et Analyse. 

«25«. - Connaissant les restes de la division du polynôme /"(J) par .r - a, x — b, x — c, calculer le reste de la 
division du même polynôme par le produit {x — a){x — b){x — e) . 

6257 . — Le polynôme {x -t- ijr - a.-" — y" est-il divisible par x' -t- xij -t-iff 

62Ô8. — Si m, n, /) sont des nombres entiers positifs .r»"' -t- ara»*' + jj,^= ggi dijjsible pur ,r- ^- .r -+- I . 

625». - Le polynôme H -■•■-,{[ ^ x) —2nx'>l\ —x\- n'x-(\ - xf ost divisible par {l—x)\ 

6260. — Plus grand commun diviseur entre .i" — 1 et .f— I. 

6201. — Multiplication de deux déterminants de degrés différents. 

6262. — Discuter les systèmes : 

"f "^ *," "*" *■' = '*: ''^ - '^'J = P' ">■ *- by -+ cz = U, ,1.1- -+- ftj, -H c? -+- dl = (, 

ax + by + r .• ^r d. ce — «s = q, „> + b'y+cz ■-^-- 0, a\c + Vy + c's + dl = T. 

JH-Of/ +-c: = ,/ , ati-bx=r, a.r-^ b'y -hc"z ^ 0, n".T ^ 6"(/ -f c": -+- d"< = f. 

6263 — On divise la suite des nombres impairs en groupes contenant le premier un nombre, le deuxième deus 
nombres, le troisième trois nombres, etc. Trouver la somme des nombres du n- groupe. 

6204. — Étudier les séries dont les termes généraux sont 



sin 



i_ .... 1 

(Lu!'' 

i 



"■"•^ '^ < . „,.. r; (calculer la somme 1, — ( valeur à près ) , 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 17 



est convergente. 

6266. — On donne une série positive convergente Ui -t- m, — ••. + «,-+-•• -, et une suite de nombres positifs non 

OiWi -t- "sH; -î- • ■ • + O.Mn 
décroissants n,. i., . ., a,. . . . tels que a„ soit infini pour n infini. Montrer que a pour limite 

zéro pour n infini. 

Il 

6267. — En posant h, = 1 H 1 ^ L(n-)-l). montrer que r„ = «, — m^i est le terme général d'une 

série convergente. 

1 J 1 , ... 

6268. — Pour n infini * -•- "J "^ T "* "* a une limite. 

6269. — On pose u„ = >^ Lh — I n -i- — jLm-H et r =u,», — m„. Montrer que la série c„ est convergente. 

En déduire que M„ a une limite. On considère e"" qui a aussi une limite. Peut-on en déduire un procédé de calcul approché 
de n ! pour n très grand ? 

6270. — Soit a un nombre positif et h» un nombre c|uelconque tel que u.j + a > 0. On pose Ui = /îi^+H, 

Ut = V "t + a !/, = v'w.^, — a. Démontrer que M, a une limite quand n augmente indéfln. ment et calculer celle 

limite. 

6271 . — Dérivées des fonctions arc sin (th x) et 2 arc Ig r- . Comparer les résultats et les expliquer. 

6272. — Calculer la différentielle totale de la fonction 

1/2 4- s- — x' z- -h x' — y' .t' ^y' — z- 

arc cos — i-arc cos r haro ces r 

iyz izx ixy 

6273. — Dérivée de la fonction implicite (/ définie par la relation an [x'- -^ //-) — .r= -<- j/-)L(.r' -h «') -i- a = 0. 

6274 . — Etudier les variations des fonctions : 

/ 1 \ ■' -L / 

.r"Lr, Mh J. U -I- X) ^ • Hj;= — 3a;-t-2 . v'i— x= ^ arc sinx. 

6275 — Minimum lie tgr— tgî/. sachant que j-h// est constant. 

6276. — Etudier les racines de l'équation = ('. ( On étudiera les variations de la fonction — 1- 

6277. — Développer en série entière les fonctions: 

Uar' — 3j--(- 2i. arc tg -• Ll.r -l-y/j' -(- ) i. ch .r cos .r, ch j; sin .r. e^sinc. 

6278. — On considère la série entière dont le terme générai est — ^ Mettre la somme de cette série sous forme d'une 
intégrale définie. Même question pour la série — — 



i -\- X 
6279. — Si J est compris entre et 1, on a — > e'-' 



6280. — Si .(■ > 1, on a — > e. 



n'a — Il 

1 H 



I r' ., 

6281. — Comment faut-il choisir x pour avoir a près sin .i=.r ■ 

100 ^ 6 

6282 — Si < a; < -^ • on a r < — tg ,c -+- -^ sin ./ 

6283. — Etablir la formule 

ijia - h) - ((a)] - hin») ^ ri" -^ A'] = - 4t f \a + Oh)- 

6284. - On considère la relation fix + b) = fi.r) -+ hl'i.r ^Uhu Quelle doit être la fonction / n pour que e soit 
indépendant de .'? 

6285. — trouver pour .r = u les limites des fonctions : 

rjc — X - 



LlH-j-l.e*^, sinjre'-"»'. '^ "f ' 






18 ÉCOLE POLYTECHMQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



pcosrL — j fgJe"='^ (1 — sin j;)e 



tg.r 
(1287. — Trouver pour m infini les limites lies fonctions : 

(fl a \" /m-f-l \"' / ni- -t- mjc -i- \ \" / m'' + am'' 

DOS h X sin — ) . ) • — — 1 

G288. — Limites des fonctions : 



m* + a'm'^-' ■+- fc'm'- 



^2— — V'i'i pour .( = 0, (tg.r)^ 4 pour x = —' (x — l)erï pour x—l, x — ^x' + x 

pour X infini, j — Lchx pour x infini. 

, i +x „ „ 

L 2 + 2 cos j; 

I ^ 

6289. — néterminer p de façon que le rapport : .ijtunelimitediltérente de zéro pour ,i; = 0. 

sin'x 

(>290 — Limite de I — ) pour ni infini. En calculiint cette limite de deux manières différentes, montrer que 

\ m — y / 
e'-.c — e'-<j. 

629-1 . — Calculer sh a -i-sh (a + h) + sli (o + 2fc) -i- . . . H- sh [a + [n — 1)6]. 

G292. — Étudier les fonctions inverses des fonctions hyperboliques. 



6294. — Hésoudrc les équations cos : = cos o, sin ;= sin a, 3 et a étant imaginaires. 

6295. — On donne ileuv nombres imaginaires qui sont les affixes de deux points A et B. Trouver l'imaginaire qui 
représente le troisième sommet du triangle équilatéral construit sur AB. 

6296 — Soient i, ?, ji. a', '}', ji' les affixes de six points A, B. M, A', B', M'. Quelle est la signification géométrique 
de l'égalité ^^= 1^;-^? 

6297. — Étudier les équations : 

9x' — 7x' — Hx'-f- 12x' + 6j;--*-j; — 1 =0 (racines commensurables), 
.e' — 13j,— 42 = 0, 4x' -f- x' — 1 = 0, 2.(r' — 5x- -I- I = 0, x« — x' — X' — 2 = 0, 

x'— 6x2-i-18x — 27 = 0, 4x' — x' — X- — X — 1 = 0, x"-— p(x"— ' -H x'"-' + hX-hl) = 0, 

.t» -4- ax' + 6 = (formules de Newton), x'2 + ax'-t-6 = (id.) 

12 3 . . _ 

T —a X— il X — c 

-H = , v/41 + X + i/4i — X =4, x' + mx' — mx-i- I = 

J — <• 2t 1 -(- t= 

X' -+- 3x' -I- 3ax -+- 1 =0.. cos' x -(- 3 cos= ,i- + 3a ces x + 1 = 0, ch' j — 3 eh- x + 3a eh .r — 1 =0. 

6298. — Résoudre l'équation 1 1 1 1 

.(,- .r + n X -f- 6 X -f 
sont les termes consécutifs d'une progression arithmétique. 
6290. — Étudier les équations 

CCS X + L sin x—l = 0, arc tg x — = m, xLIx + /cMM) — /t' -+- 1 

I +x= 

Lx — x-' = 0, (X— i)cc — (x + l)e-J^ = 0, cosx — — x-(- — sm2x = 0, 

■ 2 ces X — 2 = 0, I v--- -T- ■ ^j. _ g 



6300. — Étudier les systèmes 



/'■' \lx^+ i — 2x 
jo ^ + ' 

x+r _ 121 / !/» + î= = X, 

x^ + ff ~ ~n ' } z'-hx- = y, 

■i+y= 2; { x' +!/» — z. 

0:{0I. — Kiirmer l'équalion du troisième degré <|ui a pourmcines 3, l + i et 1 — i. Variations du premier membre. 
6:)02. — Soil ï une racine simple de f{.i) qui annule f"[.f). Montrer qu'il existe une relation entre a et les autres 
racines. 

6:103. — Condition pour (|ue l'équation x' + «x^ -+- 6x' -f w-f-(t = ait une racine double. 

6304. — On considère l'équation x' + a.r i 6 = 0, où it et 6 sont les coordonnées d'un point .M du plan. Où doit 
être ce point pour que l'équiition ail trois racines supérieures à T! Oii doit-il être pour que ré(|uation ait deux racines 
supérieures il 1 .' 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 19 

6305. — Soient a, b, c les racines de l'équation x' + p:r+ q = ; calculer les fondions symétrique-; 

{b —c]-{c — a)-{a — b]' et [b + c~-a){c-\-u —b){a + b — c). 

6306. — Former le résultant des deux équations ,c' -H px 4- </ = 0, j;' -i-p'x + 7' = 0. 

6307. — Soit f{x] un polynôme qui a toutes les racines réelles et distinctes. Démontrer que l'équation ff — f- = 
n'a aucune racine réelle. 

6308. — Soit a une racine réelle de l'équation x^ -t-px+ q =0; exprimer que les deux autres racines sont aussi 
réelles. Déduire de là la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation ait ses trois racines réelles. 

6309. — Déterminer n et 6 de façon que l'équation ix^-t-ijc'' — H j;- -i- ax + 6 = admette la racine double 1; puis 
discuter les variations du premier membre. 

6310. — Etant donnée l'équation a;' 4- px- -hqx-hr =0, p, q, r désignant des nombres réels nu imaginaires, quelles 
relations doit-il exister entre p et '/, pour que les points qui ont pour afflxes les racines de réf|uation soient les sommets 
d'un triangle équilatéral : l" ayant son centre à l'origine, 2» ayant son centre en un point quelconque .' 

6311. — Soit /(x) = une équation de degré »i dont toutes les racines sont réelles. Soient n et h deux racines 
consécutives de cette équation ; entre ces deux racines il existe une seule racine ï de la dérivée. Démontrer que cette 

{m — ^)b //-+-()« — l)a \ 



racine a est comprise dans l'intervalle ( — 



6312. — Soit 0(0;) une fonction continue telle que la dérivée ?'(a;) soit inférieure à un nombre fixe k plus petit que 1. 
Montrer que l'équation .c = o(x) aune seule racine. Xa étant un nombre ([uelconque, on pose successivement 

a-, = oj.fo), .r-j = 'iiXx), ... .T„ = =>(.r„_|) ■ ■ ■ 

démontrer que pour n infini ,f„ a pour limite la racine. Appliquer à l'équation de Kepler « — esin « = ni. 

6313. — Condition pour que les racines a, p, y, S de l'équation du quatrième degré x' + a if + bx- + ex + d ^ 
vérifient la relation a -1- fi ^ y + ^• 

6314. — Eliminer x entre les équations .1' + px^ -h (/j; + c = 0, x^ -hax + b = 0. 

6315. — Eliminer .r entre les équations x' ■+- px + ly = 0, ,/ - + nx -f- 6 = 0. 

6316. — Calculer la raison d'une progression arithmétique connaissant la somme de ciiu| termes consécutifs et la 
somme de leurs cinquièmes puissances. 

6317. — Déterminer a, b, c pour que les racines de l'équation x' -h ax- + bx + c soient 11, b. c. 
8318. — Combien l'équation .c' — ,c+l = a-t-elle de racines comprises entre —3 et +3? 

6319. —Trouver le produit des carrés des différences des racines de l'équation x' -i-px+ 5=0. 

6320. — Soient a, b,c les racines de l'équation x' + 1 = 0. Former l'équation admettant pour racmes les quantités 

de la forme « = -^— ^■ 

■' ih — c)- 

6321 . — Montrer qu'on peut toujours déterminer p, q, x, p de façon que le polynôme Ooi' + 3a iX- + 3a;X + as puisse 
se mettre sous la forme p{x + ot)' + qlx + P)\ 

6322. — \ quelles conditions le polynôme o,/;' + ia^x' -+- Ga^x' -h Uhx + 0, peut-il se mettre sous la forme 

p{x + ï;' + q{x -+- p)' ? 
Interprétation géométrique du résultat. 

6323. — Klirainer ./• et y entre les équations x' -H !/* = n, x' — y' = h, x- + y" = c. 

6324 . — Condition pour que l'équation x' + ax' -h bx- + ex + d r= ait deux racines doubles. 

6325. — Résoudre l'équation x' — 4x' +4,c-— 12x + 3 = sachant que le produit de deux racines est égal à 1. 
Etudier la variation du premier membre. 

6326. — Quelle relation doit-il exister entre les coefficients d'une équation du troisième degré x^ + ax^ + bx + c = 
pour que les racines soient en progression arithmétique ? 

6327. — Soient ï, p, y les racines de l'équation x' + ax- -+- bx + c = 0. Former ré(|uation ayant pour racines 

ï -^ . 3 -f- — ' ■■ H — . 

a ,3 Y 
63'28. — Former les équations du deuxième degré telles que si l est racine, — soit aussi racine. 

6329. — Former une équation réciproque du sixième degré sachant que si elle admet la racine a, elle admet aussi la 
racine \ — a. 

6330. — Calculer un arc de cercle inférieur a une demi-cinonférence, connaissant la longueur de la corde et la dis- 
tance du milieu de l'arc au milieu de la corde. Discuter. 

6331. — Soient a, b, c les racines de l'équation x^ + px + q = 0. Calculer le déterminant 

1 a n- 
1 b (/■ 

\ c c' 

6332. — .Montrer que l'équation x^ — 209x -f- 36 = a deux racines dont le produit est égal à 1. 

6333. — Condition pour t(ue l'équation n„x' + ajx' + a.x' -1- fljX -t- a. = ait ileux racines dont la somme soit 
égale à a. 



20 ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



6334. — t'.alculer le> intégrale 



(.' 



p + q 



ll.eg^alt;^ . 

) Ç dx Ç dx r dx l c-dx 

~''^' j x* + l' J TF^^n7' J Ix^'+W J X'-i-X'-hi. 

r dx f dx / ' xdx l x-'ix 

I fl + x){l-hx^)' J (1 ^ x][i. + x''](\ +.r'\' J„ r' -H X + 1 ' Ju 1 + ^'' 

/'* xdx 1^" dx 

J, 'WTT' J_, (x'--i-x + i)-' 



6335. — Calculer les intégrales : 

/dx f xdx r x-dx I '' xdx I '" / a — x 

'jx -t- \ + }Jx — i J X + \/x- — a? J y/iMTi J^ v/x' -k-fx-^q J_^ V a + x 

/' tjx — 1 + tjx — 2 dx l' dx I dx 

i + y/x — i sjx— 1 J„ ,t ^ 1 -t- 2v/.r(IF^^Ty , ' r -(- V3^ + y/j 

6336. — Etant donnée la relation / — = j — » trouver la relation qui existe entre j et u. 

J v/ïlT^j-l _/ vî/(l-?/) 

6337. — .Même question pour / -^^=r^=^=r = j — (a < 6). 

' \,i{h — x)ir — a) 1 \'(6 — ;/)(!/ — a) 

6:438 . — Calculer les intégrales ; 
/ dx f dx / ' (/.r i ' dx T d.r / ' dx 



f. 



'■h X — ch a / sh X — sh a ' cos .t — ces a ' sin ,r — sin a ' ros 2.)- ' 1 -i- sin x 

tg X dx I ' d.r t dx 



I sin xdx I dx f cos xdx 

J l -h sine J sin .f -(- 2 cos j; ' ' T+lgT' 



1 + cos X I \ — cotg .r / cos .r j- cos 2x 

d^ /^ î d'Y /'' - sin='fdo /'' ■ cos j; sin a;(tr 



/ " «Y / - «9 / sin- Vrttp / 

j^ a» cos= <» -I- 6- sin* 9 ' I a'cos'çH- 6- sin'o ' I a- cos' u -t- 6> sin= o j 



(cos' X + sin' xy- 



r sin' X -h cos' X / sin J- -*- 3 cos X ^ T ' , . / . ^ T ' ■ 

J (smx — cosxl» _/ 4 sin X -(- 2 cos X Jo ,/« ^'o 

f^ sin'fdç /'"=' cosçdç /" - cos' 

/ y/a' + h' — iab cos o / y/a' cos' •* ^^6' sin' !• ' • -•- 



- cos' 9 dcp 
sin <f 



/• dx r f r r 

7 ^ . , i> ' I (ax' H- ftx + c)e-J' dXj I r" arc tg .r dx, I e' cos x d.r, I CJ-sinxdr, 

/ cosxrhxdx, j dx, j x= rli.c dx, I (Lx)"dx, J L '^ ~ ' dx, 

I arc tg -^-^^ dx, | .r-e'-^dx, ( L '" "^ '^ - dx, | H'-r + «(1 — x)]dx. 

6339. — Ktant données deux fonctions inverses y = /(.t), x = 'î\y), peut-on déduire l'intégrale I tf(!/)d.'/ Ae 
l'intégrale i f{x) dx .' 

6340. — Calculer le moment d'inertie d une arclie de cydoide par rapport ;\ la base. 

6341 . — On donne un cercle et un point A intérieur. On divise la circonférence en n parties égales par des points de 
division M,, M, M„. Trouver la limite de la movenne arithmétique des quantités • > ■• quand h auc- 

_ ■ I»;' .on' 

mente indéliniment. Même question pour AM,", AJh", . . - 

6342. - On domie une circonférence matérielle et un imiiil A de cette cjrconférenoc. lin un point M la densité est 
proportionnelle à la dislance recliligne AM. Trouver la masse de la circonférence. 

63'«3. — On donne deux axes rectangulaires Ox et Oy; sur Ox un point B d'abscisse 6 et sur 0;/ deux puints A et A„ 

d ordonnées -t- « et —a. On divise AA, en h parties égales parles points de division A,, Aj, A,_,. t'.alculer la limite de 

, BA, + BA, H +- BA. 

la somme ■ pour n infini. 

6344. - Moment d'inertie d'un cercle par rapport à l'axe perpendiculaire il son plan et passant par son centre. 

6345. — Trouver le moment d'inertie d'une barre par rapport k un axe passant par le milieu de la barre et faisant avec 

elle im angle 0. Cas partirnlier : = — . 
2 

r 



ÉCOLE POLYTECHiNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 21 



X — aXx — f>] 



— — dx soit algébrique 

(X — p)'(x — 9)2 



6347. — 1,'n cercle tourne autour d'une de ses tangentes et engendre un tore dont on demande le moment d'inertie 
par rapport à l'axe. 

6348. — -Moment d'inertie d'un disque elliptique par rapport: 1° à l'un de ses sommets, 2' à son centre. 
634Î). — Moment d'inertie d'une sphère par rapport au plan d'un grand cercle. 

6350. — Valeur moyenne de la fonction sin'.ccos'x dans lintervalie (-^» -^ )• 

6351. — Valeur moyenne de sin-x dans l'intervalle ( 0, — ) 

6352. — Aire comprise entre les deux courbes y = sin a-, y =:: sin=x dans l'intervalle (U, -). 
6353 — .Maïima et minima de l'intégrale [ Hxtdx considérée comme fonction de À. 

6354. —Calculer / f{x\dj: — j l\c — x)dx. 

6355 — Intégrer les équations ditférentielles : 

..„!/' X — l "m 

y ^- u-h ces' j- sm X = 0, — = . w — « = sin x. 

!l IX— 2)(x— 3i 

y = — (passer en coordonnées polairesi, m — 2 ?/ = I. 

x'-i-y' ^ ^ " xU'— I) 

-2-=V/- ?-, __2_- = _ -, {3y^x-h2x'tdx^y'dy = t). 

6356 . — Intégrer les équations différentielles : 
d'y dy 

—T-^ 6 -r— -T- 9j/ = 7e" ^ sin (, j/" -+- j/ = cos' r, (/ -t- ;y = cos' x, y -h y = cos" x, ;/ — :i;/' —iij^zz x'e^, 

y' — iy' H- 2j/ =: sin X + cos x, y -^ y = cos x + sin x, y' -t-ay' -hby = x= — I , y —iy'-i-iy = x= cos" x, 

d'y 
y' — iy'-i-iy =. x' ch' x, ——^ -i- i/ = sin x, y' -t- 2y -^ t/ = sin x -(- x ch x, y' — i/ = sin x -+- cos 3x, 



tt'y d'x _ d^y _ d'x 

dx" dy- ~ ' dx» ~ dy- 



rfx* 

j/ — 21/ -(-(/:= x=e^ — cos T ^ X sin X, y' — y=x'-^i, y — Hy ~ I6y = 'le^ , 

-. _ 'Ix du 

03o/. — Intégrer le système -— = atx — y), -— = aix—y\. 

6358. — On considère l'équation différentielle 

dx- dx 

On pose I = cos /. Que devient l'équation ? Peut-on l'intégrer? 

d*u 2n dii t dy 

6359. — On considère l'équation différentielle -r-r -'■ • -. i- '/ = 0, et on pose : = ;— • Oue devient 

dx- X dx ' X dx 

l'équation ? 

6360. — On doone l'équation différentielle —\ -t-xj/ == 0. Que devient cette équation quand on prend x comme 
fonction et y comme variable ? 



6361. — Déterminer une fonction Vwi, r étant égal à ■Jx' + y^-¥ r-, telle que l'on ait 

ôx- dy- oz- 

6362. — Soit r une fonction de deux variables x et v : "" pose x->-»/ = ii, x — y = v. Calculer — -^ et — ^ 

0-'' dy 

en fonction de — ^ et — ^ • En déduire toutes les fonctions ; qui satisfont à l'équation — ^ = — ^ > ou à l'équation 
au à'- di du 

dx' dy- 

6363. — La relation : = f^x. y) définit x comme fonction .le y et de ; ; calculer — — et — — en fonction de 

dy dz 

<h et — . 
dx dy 

dl d: 

6364. — Soit ; une fonction de deux variables x et y : on pose x -*-y = u, xy = v. (.alculer — -— et — — en 

1* • dx dy 

•■ .■ , <^- * '^' 
lonction de — — et — — . 

du de 



ÊCOF.E POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



II. — Trigonométrie. 

sin* .r — cos' .r 2sin'.r cos' .r sin* .r 
63G5. — Simiiliûer l'expression — h j^ 1 

686G — Rendre calculable par logarithmes une somme de sinus ou de cosinus d'arcs en progression arithmétique. 

6367. — Calculer cos -^ et sin-^- 

D 5 

6368. — Calculer les lignes trigonométriques de l'arc — • 

6369. — Calculer sin — connaissant fgn. Discuter. 

6370. — Calculer Ik— = .r connaissant tga. Montrer que si ni est pair on peut abaisser le degré de l'équation en 

1 
posant y ^ x ;• • 

6371 . — Résoudre les équations : 

.£2!!.^+il^ =1. cos'.r + sin«.r = i. cos.r + v'S sin.r - 1 = 0. _!_+_J_ = a, 

cos'a: sin-x ■* cosj; sm x 

2arctgx = arc sin — + arc sin — -t- arc sin 1, cotgx-i- cotg ( x — 'j\ -+-cotg ( -'' — -^j = ". 

cotg (.T — a) -t- cotg [x — b) ■+- cotg {x — c) = 0. 

6372. — Résoudre les systèmes 

[ sinx-i- sin y = 1, ( sin a; = a cos y, 

) 3 .' sin « ^ 6 cos z, 

/ cos .r cos » = — ; i . 

( ■' 4 ' ( sin : = c cos x. 

6373. — Sachant que 2 cos a; = a h . calculer cos mx. 

Il 

6374. — On donne trois demi droites 0:, 0.\, OB, Os étant verticale, et on projette OA et 08 orthogonalement sui- 
vant OAi et OB, sur le plan horizontal du jioint 0. On donne les angles AOB = 0, AOA, = a, BOB, = Ji ; calculer 
l'angle A,OB,. 

6375. — Dans un triangle calculer -{h- — c*) cotg A. 

G37(>. — Dans un triangle calculer ip — a) sin -^ — «sin —sin -^ en l'onction de a, h, c. 

A B — C 

6377. — Ktudier la forme d'un triangle dont les angles satisfont a la relation 2 sin— = cos — - — ■ 

6378. — Résoudre un triangle connaissant y et R, et sachant que les côtés sont en progression arithmétique. 
6371). — Dans un triangle on connaît l'angle A et la relation ha = lu. + h,. entre les hauteurs. Calculer les angles 

R et C. 

6380. — Déterminer un triangle dans lequel les mesures des côtés et de la surface sont en progression arithmétique. 

6381. — Résoudre un triangle connaissant : 1» les trois hauteurs : 2» les rayons des cercles exinscrils ; 3» a, r, S : 
l» I-, R, S. 

6382. — Formule fondamentale de la trigonométrie sphérique. Que devient cette formule lorsque le rayon de la 
sphère augmente indi'finiment ? 

III. — Géométrie analytique à deux dimensions. 



6383. — Construire v'^n'-t-fc' connaissant a et b. 

,,\| 6384. — On donne deux points fixes A et R, et on demande le lieu du pulnt M tel que 



X 6385. — héniiintrer que l'expression 



.r, 


!h > 


Xi 


!/. 1 


X3 


>h 1 



sin h ne change pas si l'on effeclue 



A B T / 

une transformalion île coordonnées quelconques. -hC 

«•■386. — On donne deux points fixes A et R. Lieu du point M tel que AMI? = 2MÂR- La 
(■>:{87. — Bissectrices de l'angle de deux droites. Distinguer la bissectrice de l'angle aigu. /-<»■ 
6388. — Par deux points donnés peut-on mener une circonférence orthogonale i une circonférence ilonnée ? 
(>38!l. — Un ilonne •\eu\ points A, A' sur Or et deux points R, R' sur Oy. Lieu du point M tel que le rapport anliar- 
nioni(|ue dn l.ii-crau i.M AAISR soit égal à un nombre donné. 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 23 



6390. — Construire les courbes définies i)ar les ikjuations suivantes en coordonnées rectilignes : 

H = .r' — ) 3x — 12, 1/ = .1^ — Sahx -h h' -H (*', i/ = — ^^—-— . if = x^U — x), 

X (r — 1)- ■' 



I . e' — l 



b-x), Il ^_ 


x--h6x — i 


v/i'-^T 


y = cosv'x. 


, = l + ±^u-. 


i-i 
y = xe^-^' 


y— {x — ^)e''-i^ 



\ X-r ^ V .T + 1 

y = arc tgV/ (résoudre par rapport à ./■), y 

-L J- J- 1 

y=:e'~', y =: {2x + l)e^^' , y ^ xe'-' , j/ = arc sm — i 

j/ =^ {,(■ — Ue '-^ i/ = (.r + l)(>'-S î/=ar«''-i, 

La- x'4-?/' = n', .r" + î/" = (i", xV — 2J-I/- + 1 = 0, a;(^' — !/î) = î/=— 4,r', 

(.r= -h )/-)!/= a(a;- — j/') (aire de la boucle), a;'-f- 1/' — a=.r!/ = o riil.), 3C 

) ■ (n-/)(i + r, ' ^ 4/-' ' ^ -^-^irirr' 

( "= (i_,),l-n ' , ( " = ? / !/ = cotg(«-l), 

.r = cos 9, i .r = e""?, l x = sin /. l j; = tg t + sin /, 

) ] JL { . 

)/=P'Sr, / (/ = COS =■, / ii—e^-?', I y— , 

' ' " cos( 




[ a; ^ )■ ces- 1 sin 2a, [ x ^= e'^"", \ x ^ cosM -i- L sin /, 

I V = l'sin- a cos 2a, f y = e^', I y = s\ntcost, 

cos 9 -^ L(l — cos 9), i X = e^', [ x = y/l — m-, i ■'^ = a j e*? cos ç do, 

sin?, I^yz^e's; / ,, ^ „ _ i L 1±|.. / y = « | c'.- sin ? d?. 

6391. — Construire les courbes définies parles équations suivantes en coordonnées polaires: 
•X/' , _ p _ cos 26 . _ cos fJ _ sin- 

^ ~ 1— 2cos2u' ' ~ " cos h '^^ ' ~ " cos 26 ' ' ~ " cos 8 ' 

t°' 6 a sin u 



r = a(lg 6 + cotg 6), c = ay/l -i-cos2u, »• = 



tg 3(j ' 1 + tg u 

1 — cos M , . . ^ , , 2 1 

: points doublesl, o = te— u, o'^n'cosSw, p= r— 

1 + sin w "^ ' " 3 ' 2io 

cos — • 
3 



p = cos —z— (axes passant par le pôle). 



1 -+- 2 sin w 2 cos u — 1 



, . t,„ , j 1 1, 1 , cosw±v'cos^u — cos 2u 

)-- = a- sin 20 (aire de la boucle), o = — i— — — 

cos 2u 



/) 



1 — 2 cos 

1 -+- sin f) 



(points doubles), r = -^=^^ (ravon de courbure), 

y/sin 



)•= t + v'sinf), r = av/2-!-cos20.iv (■ = atg 



mK --atgl. 



K -«vA^-T- 



( — * 
< ' cos ç 

G392. — On considère la courbe ? = tg?, <u = ç — sin?. Construire. On fait varier ç de à x. Trouver l'aire 
comprise entre la courbe et le rayon vecteur. 

6393. — Branches infinies des courbes 

(13 /il 1 . 

^ -^ = 7-^7^^' ^ = 7^73r-^7TT + '' ^^ 

^13 2 1 2 1 3 V ' 



24 ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



6394 — Trajectoires orthogonales des cercles tangents à l'origine à Ox. 
6395. — Trajectoires orthogonales des courbes {}. désignant la variable) 

^ z- = ',.' ~~" . {x^-^y-\'- — 2a°{.r'—y'-) = \, x= + À.ir=l, A.r=-i-B.v = >•. 

.. _V " - l^-t-Xr-h y = 0, x'-f-j/2-(-2Xx— 2aX — 3>. = 0. V 

«luti — On donne deux lUes rectangulaires et deux points A et A' sur Ox. A tout point M du plan on fait corres- 
pondre un point M' situé sur OM et tel que MA et M'A' se coupent sur Oy. Si M décrit une droite, que décrit M ? 

6397 — Lieu des poinU d'où 1 on peut mener à une spirale logarithmique deux tangentes rectangulaires. 

6398 _ Trouver l'enveloppe de la droite V — f{x) — fix^X — x). 

0399. — MéniP question pour la droite — j:^^ — — ^tj^j ■ 

(•roo — Podaire d'un cercle par rapporta un point du cercle. Aire de la courbe obtenue. 

6401 — On donne deux cercles égaux et tangents. On prend la polaire d'un point M d'un des cercles par rapport à 
l'autre et le point de rencontre P de celte polaire et de la parallèle a la ligne des centres menée par le point M. Lieu du 
point P. Construire la courbe; elle a deux points de rebroussement. Tangentes en ces deux points. V" 

6402. — Construire la développée de la courbe y = x'. 

6403. —Déterminer les axes de symétrie delà courbe y[y' — 3x') +- 3by'^bey-ha = 0. 

6404. — Trouver l'aire de la courbe x^'+y^' — a'jr^'i/''-' . 

6405 — Mener par l'origine une tangente à la courbe y—iT^. Lieu du point de contact quand a varie. 

6406 — Construire la courbe ,c = a(l -t-cos' (| sin t, i/ = « sin' t cos /. Aire engendrée par cette courbe tournant 
autour de Oi. 

6407 — Le rapport anharmonique de quatre points d'un cercle se conserve dans une transformation par inversion. 

6408 — Par un point fixe A d'une strophoïde droite on mène une sécante rencontrant la courbe aux points M et M' : 
on joint ces points au point double 0. Démontrer que les droiles OM et DM' sont en involution. fÇ 

6409. — Trouver le point limite de la droite J-cos 6 + 1/ sin B - f{%) = 0. Normale à l'enveloppe en ce point. Centre 

de courbure. 

6410. — On donne une courbe plane et un point A dans son plan. On joint le point A à un point M variable de la 

courbe. Étudier les variations de AM*. /Ç 

6411 — On considère la courbe arj/''=l, »» et p étant des exposants entiers et positifs, et deux points .Mi, M- de 
cette courbe avant des abscisses positives j, et .r- {xi<x,), et des ordonnées positives. On abaisse M,P, et MsPs perpen- 
diculaires sur hx et on demande l'aire du trapèze mixtiligne M.P.MjPe. On suppose que Xi augmente indéûniment, cette aire 
a-t-elle une limite ? 

6412. — Enveloppe d'un cercle de rayon constant dont le centre décrit unecourbe donnée. 

6413 _ Montrer que la lemnlscate est unicursale. Exprimer les coordonnées d'un point en fonction rationnelle d'un 
paramètre 

6414. — Lieu des points d'où l'on peut mener à la courbe y' = x- deux tangentes rectangulaires. 

64 15 _ Construire la courbe y = sin x(l -i-cosa:). Points d'inOexion. Aire comprise entre la courbe et l'axe des x 
dans l'intervalle (0, -|. 

6416. —On considère les deux courbes r = /,(0), <■ = A(()). Construire la tangente en un point de lune des 
courbes r = im -hA(OK »' = fxM-M- 

6417. — Développante d une spirale logarithmique. 

6418. - Aire engendrée par une chaiin'tte tournant autour de son axe de symétrie. Véritter le théorème de r.uldin. 

6419. — Développante de la parabole qui passe au sommet 

6420. — Trouver deux points d une cycloide tels que les tangentes en ces points soient rectangulaires. Lieu du point 
de rencontre de ces tangentes. 

6421 . — Sur les tangentes à une spirale lo^'irithmique on porte dans un sens déterminé une longueur constante. Lieu 
du piiint ainsi obtenu. 

6'i22. — On considère une courbe tangente à l'origine à Ox. On mène une corde MM' parallèle â 0.r ; soit I le milieu 
de MM': trouver la limite de 01 quand MM' se rapproche indénniment de Ox. On représente la courbe par 

(/ -r= «X* ■+■ b.r' -hcx' -<- ■■■ 

6423. — On' considère une courbe rencontrant Oy en un point A. Soit M un point iinelconque de la courbe, et G le 
centre de gravité de l'arc AM. Trouver la tangente au lieu du point G. 

6124. — l'ne courbe algébrique peut-elle avoir une inlinité d'axes de symétrie .' Peut-elle avoir deux axes parallèles ; 
deux axes non rectangulaires? Equation d'une cubique admettant comme axes les diagonales d'un liexa^rone régulier. 

6425. — On donne ileux courbes C et r. dans un plan el d'un point M on mène les normales M\ .i la courbe C et MA' 
à la courbe C. On suppose le point M assujetti à l'une des conditions suivantes : 1° MA ~ MA', :;• MA — .MA' = a, 
3» MA -I- MA'= II- Construire la tangente au lieu du point M. 

6426. — Lieu des centres des cercles tangents à une car.lioîde et passant par le point de rebroussement. 

6427. - Démontrer que la transformation X = <*cosj/, Y = e^ sin .« conserve les angles. 

0428. — Enveloppe de la droite x sin < - ;/ cos J = f\l). Norinule en un point de l'cineloppe. Rayon île courbure. 



ECOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 2S 



6429. — Par un foyer F d'une ellipse on mène des rayons vecteurs F.M,, FM», ■■ FM. formant une étoile régulière. 

IFM, 

Trouver la limite de quand » augmente indéfiniment. 

Il 

6430. — Sur la tangente en un point M d'une courbe C on porte une longueur constante .Mi". Démontrer que la 
normale en I' au lieu de ce point passe par le centre de courbure de l.i courbe C au point M. ^ 

6431. — Une figure plane, formée de droites concourantes formant entre elles des angles égaux se déplace dans son -p 
plan Chaque droite a une enveloppe. Étudier la ligure formée par les points de contact de chaque droite k un instant donné, y^ 

6432. — Aire d'un segment parabolique. 

6433. — Sur une courbe on preml un sens positif des arcs, et on calcule les coordonnées polaires o et u dun point en 
fonction de l'abscisse curviligne ,s, ? = f{s). <■> = 'i(s). Montrer qu il existe une relation entre les fonctions /(s) et =■(«)• 
En un point M de la courbe, on mène la tangente' MT dans le sens .les s croissants, et sur la droite OM on considère la 
direction (IL telle que {Ox. OL) = <.,. Calculer le cosinus et le sinus de Fangle de la demi-droite OL et de la demi-droite MT. 

6434. — On fait rouler un cercle (•;) sur un cercle égal iC). Lieu d'un point M du cercle (v). Tangente. Rectification 
de la courbe obtenue. Montrer que cette courbe est un limaçon de Pascal. 

6435. — On considère la courbe ? = {u - a)(M — fc)(w — cHw — (/). Cette courbe peut-elle avoir des axes de symétrie 
passant par l'origine ? 

6436. — Trouver l'enveloppe des courbes .i;=f{t,\), i/ = ?('.>■)• "V 

6437. — On considère une courbe plane tangente à l'origine à 0./;. On admet que les coordonnées d'un point M de la 
courbe peuvent se développer suivant les puissances de lare s = OM. Calculer les premiers termes des développements. On 
porte sur Ox une longueur ON = s. La droite MN rencontre 0// en un point P. Trouver la limite de OP quand s tend vers 
zéro. 

6438. — On considire un limaçon de Pascal ayant son point double en 0, et deux points variables M et N de la courbe 
tels que l'angle MON soit droit. Lieu du milieu de .MN. 

6439. — Parle point .V où la courbe i/ — e' rencontre Oi/ on mène deux droites rectangulaires rencontrant Ox- aux 
points B et C ; par ces points on mène des parallèles BB' et CC à 6;/ rencontrant la courbe en B' et C. Ktudier les variations 
de l'aire limitée par la courbe, par Oc et les droites BB' et CC. 

6440. — Les tangentes en deux points voisins M et M' d'une courbe plane se coiqient en un point P. Trouver la limite 
du point de concours des liauteurs des triangles MM'P quand M' se rapproche indéfiniment de M. 

6441. — Former l'équation aux coeflicients angulaires des tangentes menées par l'origine à la chainette 

X 

u = a ch 

" a 

6442. — Longueur de la développée d'une ellipse. 

6443. — Podaire d'un cercle par rapport à un point pris sur le cercle. 

6444 — Par un point P on mène une droite qui rencontre les côtés d'un angle donné .\ en des points M et N. 
Étudier le lieu d'un point I dont les coordonnées par rapport à deux axes rectangulaires sont x = PM. y = P.N. 

6445. — Enveloppe des cercles qui sont vus de deux points fixes sous des angles donnés. I <i 

6446. — On donne une courbe i/ = /'{x) et deux points M et M' ayant pour abscisses a et a-^h. On mène les 
tangentes en M et M' qui rencontrent respectivement en P' et P les ordonnées de M' et M. Calculer la partie principale de 
l'infiniment petit P'M' — P.M, h étant l'infiniment petit principal. 

6447. — Aire engendrée par la chainette ;/ = a ch — tournant autour de Ox. Longueur de l'aie. Courbure. 

6448. — On donne trois points M', M, M" delà courbe y — f\xj, ayant pour abscisses a — li, a, a + li. et on 
considère la tangente au point M qui rencontre en L' et L" les ordonnées des points M' et M'. Par les points L' et M' on 
mène des parallèles à Ox qui rencontrent en Q" et P" l'ordonnée du point M'. Évaluer la différence P"M" — Q"L". 
Incidemment déterminer le nombre A tel que flo -t- ft) — flo — A) — 2/i/'(a) = AA '. Ya-t il des courbes pour lesquelles on a 

f{a -+ h)— fia — h) - 2hf(a) = 0. 

6449. — Podaire de la parabole par rapport à son sommet. Te lieu est une eissoïde droite. Équations paramétriques 
de cette eissoïde. Condition pour que quatre points soient sur un cercle. Si par deux points fixes de la eissoïde on fait 
passer un cercle, la droite qui joint les deux autres points de rencontre passe par un point fixe de la eissoïde. 

6450. — Soit C le centre de courbure en un point M (d'abscisse in de la coui-be y = fir) La normale au point M' 
fd'abscisse a -t- h) rencontre la normale en M au point P. Évaluer l'infiniment petit CP. 

6451. — Equation du cercle osculateur en un point M d'une courbe, l'istance d'un point voisin M' de la courbe par 
rapport à ce cercle. 

6452. — Aire balayée par le rayon vecteur dans une podaire de cercle. 

6453. — Trouver une courbe telle que la projection du pied de l'ordonnée sur la normale soit le centre de courbure. 

6454. — Trouver une courbe telle que le rayon de courbure soit dans un rapport constant 
avec la normale limitée à Ox. 

6455. — On considère une courbe rencontrant Ox au point A. En un point quelconque 
M de cette courbe on mène la normale qui rencontre en H la perpendiculaire menée par 
à O.M. Déterminer la courbe de fa«;on que l'aire OAMN soit proportionnelle à l'angle jOM. 

6456. — D'un point .M d'une courbe on abaisse MA perpendiculaire sur 0.r et .MB perpen- 
diculaire sur Oy, puis on mène la tangente en M qui rencontre 0.r au point T. Déterminer la 
courbe de façon que l'aire du rectangle OAMB soit égale à. u.MT, a désignant une constante. 




26 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 




6457. — La tangente et la normale en un point M d'nne courbe rencontrent Ox aux points T et N. Déterminer 
la courbe de façon que l'on ait soit ()N".0T = a-, soit ÔM" = A-.ÔN.ÔT. 

6458. — Trouver une courbe telle que la dilTérence entre la sous-normale et la sous-tangente polaire soit égale à 
(( cos w -+- h. Cas particulier où a =: 0. 

6459. — Trouver une courbe telle que l'abscisse du point de rencontre de la tangente en un point avec O.r soit con- 
stamnnent égale à Tare AM. A étant un point fixe de la courbe. 

6460. - On considère une courbe, un point M de cette courbe, la tangente en ce point qui coupe 0;/ au point 
T, et le centre de courbure u qui se projette sur Oy en m'. Déterminer la courbe de façon que le point M se projette sur 
II// au milieu de w' T. 

6461. — désignant un point !ixe et .M un point d'une courbe, la perpendiculaire menée par à OM rencontre la 
tangente et la normale aux points T et N. Déterminer la courbe de façon que la longueur NT soit constante. 

6462. — Trouver les courbes telles que la sous-tangente soit un multiple entier de la sous-normale. Cas de l'égalité. 

6463. — La tangente et la normale en un point M d'une courbe rencontrent Ox aux points T et .N. Déterminer la 
courbe de façon que le segment NT ait une valeur constante. 

6464. — Trouver les courbes dans lesquelles le rayon de courbure Ft est une fonction de l'angle a (|ue fait (),i avec la 
tangente dans la direction positive des arcs, R = /'(o). Cas particulier : U = ae'"'. 

6465. — On considère une courbe rencontrant tix au point \, et un point M de cette 
courbe. Déterminer la courbe de sorte que le rapport de l'aire AMP h l'aire O.X.MQ soit égale à 
une fonction o{x) de l'abscisse x du point iM. Déterminer la courbe de façon que 

aire AMP + o . , . . . . 

—. — r——- — = 9 U' , et b étant des constantes. 

aireOAMQ-4-() 

6466. — Déterminer une courbe telle que la portion de tangente comprise entre le point de 
contact et une droite fixe soit constante. Rayon de courbure. 

6467. — La tangente en un point M d'une courbe rencontre 0.r; au point T, et la normale au même point coupe 0;/ 
en N. Déterminer la courbe de façon que NT soit perpendiculaire à OM. 

6468. — Déterminer une courbe telle que le rectangle formé par la tangente, la normale et les perpendiculaires à ces 
ilroites menées par l'origine ait une aire constante. Podaire de cette courbe par rapport à l'origine. Aire balayée par le 
rayon vecteur quaml l'angle polaire croît de à 2ti. 

646Î). — Déterminer une courbe telle que le milieu du segment déterminé sur Ox par la tangente et la normale soit 
le point 0. 

6470. — On considère la parabole ;/- — 2px = et une courbe C. Soit M un point quelconque de cette courbe, MT 
la tangente en ce point, M' le point de rencontre de MT et de la polaire du point H par rapport h la parabole. Déterminer 
la courbe C de façon que le point M' décrive la droite ;/ = ". 

6471. —Une courbe C rencontre Oy au point A; d'un point M delà courbe on mène Ml' perpendiculaire sur 0.i-. 
Déterminer la courbe de façon ([ue l'abscisse x, du centre de gravité de l'aire OAMP soit une fonction donnée l'{x) de 
l'abscisse du point M. Cas on f{.ri=kT. 

6472. — Trouver une courbe telle qu'un point pesant, assujetti à décrire la courbe et attiré par un point fixe propor- 
J*i>nnellemeiit à la distance soil en équilibre dans toutes les positions : 1° sans frottement, 2« frottement limite. 

6473. — On joint un point fixe à un point M d'une courbe, et on mène par lé point une perpendiculaire ,a OM 
(|ui rencontre la normale en M au point u. Déterminer la courbe de façon que le point w soit le centre de courbure au 
point .M. 

6474 . — Trouver une courbe passant par un point A de Oj; et telle 
que si l'on mène la tangente en un point M rencontrant en T la 
perpendiculaiie menée par à OM, l'aire OAMÏ soit constante. 

6475. — On considère une courbe tangente fi l'origine à O.r. Sur 
la tangente en un point M dans le sens MO on prend une longueur 
MP = arc OM, et on joint le point 1' au centre de courbure w au point 
M. Déterminer la courbe de façon que : 1° 1''.) ait une longueur cons- 
tante ; i" Vu soit parallèle ii 0(/. 

6476. — Trouver les courbes telles que la projection du rayon de courbure sur une droite fixe soit constante. 

6477. - On donne deux axes rectangulaires Ox, Oi/ et un point lixe A siu- Oj;. Déterminer une courbe telle que si 
l'on mène: en un point M la tangente et la normale qui rencontrent Oi/ en T et N, l'aire du triangle ANT soil égale au 
carré de l'ordonnée du point M. 

6478. — Trouveriuie courbe telle (jue le centre de courbure en un point .M se pidjelte sui- O.t an point de rencon- 
tre de O.c et de la tangente en M. 

647!) — La normale en un puinl M il'ui 





courbe rencontre O.r 
tangente au point M. Iiétermincr la courbe de façon que -rr- = /.', k 



(Ml "il (Hiint N; 1111 abai 
ilésignant une constante. 
.s désignant l'arc, p le rayo 



0\ [lerpendlculaire sur la 



uirbure, a et li 



64H0. — Iiétermincr une coiulie telle qui' l'on ait s' — «o- -t 
des constantes. 

64N1. -- Soi! nue cmimIm' C, iiii piiint li\e 0, N le pninl oii la iinrniale en un punit M .le la courbe lenconlre la per- 
pendiculaire menée a OH par le point <l. Hélei miner la combe de lacon cine le centie de coiu bure au point M soit le milieu 
de M.N. 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 27 



6482. — On considère une courbe rencontrant Oi/ en un point A. Déterminer cette courbe de façon que le centre de 
gravité de l'arc AM ait même abscisse que le point où la tangente en M rencontre Ox. 

6483. — Uéterminer une courbe telle que le rayon de courbure en un point M soit proportionnel à l'arc AM, A étant 
un point fixe de la courbe. 

6484. — On considère une courbe rencontrant Oy en un point X. Soit M un point quelconque de la courbe, Ml' la 
perpendiculaire abaissée de M sur Ox. Déterminer la courbe de façon que l'aire OAMI' soit proportionnelle à l'arc AM. 

6485. — On donne deux point fixes et A. Déterminer une cuurbe passant par le point A telle que, M étant un 
point quelconque de la courbe, l'aire OAM soit proportionnelle à lare AM. 

6486. — Trouver les courbes dans lesquelles la normale est à une distance constante d'un point fixe. 

6487. — Trouver une courbe telle que l'ordonnée d'un point soit proportionnelle à l'ordonnée à l'origine de la nor- 
male en ce point. 

6488. — Trouver une courbe telle que la tangente et la normale divisent harmoniquemenl un segment donné AB. 

6489. — Soient T et .\ les points où la tangente et la normale en un point M d'une courbe C rencontrent l'axe des ,r. 
Au point N on mène une perpendiculaire à O.c sur laquelle on prend .\P = >'M. Déterminer la courbe C de façon que la 
tangente au point P au lieu de ce point passe par le point T. 

6490. — Déterminer une courbe telle que si l'on abaisse de l'origine une perpendiculaire OH sur la normale au point 
M, on ait OH = MN, N étant le point de rencontre de la normale et de Ox. 

6491 — La tangente en un point M d'une courbe rencontre Ox au point T. Déterminer la courbe de façon que 

0M = a. OT. 

6492. — Trouver une courbe qui coupe sous un angle constant les droites passant par un point fixe. 

6493. — Construire les coniques définies par les équations : 

j;2 + 7yi_6.rj/ + 2x — t4i/=:0, x= — 4X1/ + 4 (/--+- 6x - l-2y-hl =0, 3j' + jxy -H 3;/' — 2j = (ai re). 

x2 — 2X1/ -H !/=-+- 5x = fréduction), x- -i- 6X1/ + (/= — 2x — 8j/ = 0, y — 2x -h i ±v/x- + Sx — 1 , |^ 

v'x -t- v'F= 1 ■ 

6494. — Lieu d'un point invariablement lié à un segment de longueur constante dont les extrémités glissent sur deux 
droites rectangulaires. 

6495. — Calculer les coordonnées des foyers de la conique y'— '2px — qx' = 0. 

6496. — Enveloppe des cordes d'une conique qui sont vues d'un foyer sous un angle droit. 

6497. — Equation générale des paraboles tangentes aux deux axes. 

6498. — Equation générale des coniques tangentes h trois droites. En déduire la question précédente. 

6499. — On donne trois points A, H. C. Déterminer les points communs à une ellipse ayant pour demi-diamètres conju- 
gués AB, AC et à une autre ellipse ayant pour demi-diamèUes conjugués CA et CC. -Lifi^ 

6500. — Trouver l'équation du cercle passant par les pieds des normales issues d'un point à une parabole. 

6501. — Les normales aux points A et R d'une parabole se rencontrent en un point C. Trouver l'enveloppe de la 
droite AR sachant que la parallèle à l'axe menée par le point C passe par le milieu de AB. 

6502. — Autour d'un des sommets d'une ellipse on fait tourner l'ensemble de deux droites faisant entre eUes l'angle 
de 45". Enveloppe de la corde qu'elles interceptent sur l'ellipse. 

6503. — On considère une ellipse et les cercles ilécrits sur les axes comme diamètres. Par le centre D on mène une 
droite rencontrant les cercles aux points » et M' d'un même cùté du point 0. Par les points M et M' on mène des parallèles 
aux axes de l'ellipse. Lieu des sommets du rectangle ainsi formé. 

6504. — Intersection d'une parabole et de sa développée. Aire comprise entre les deux courbes. 

6505. — D'un point P on mène à une parabole les tangentes PA et PB, et on trace les normales en A et B qui se 
coupent en un point M. Calculer les coordonnées du point .M en fonction de celles du point P. 

6506. — Lieu des points d'où l'on voit la conique a = sous un angle droit. 

^ ^ ' 1 — c COS w ^ 

6507. — On donne une ellipse ayant pour foyers F et F'. Par le point F' on mène une sécante, et on joint le pùle P 
de cette sécante au point F. Lieu du point de rencontre de la sécante et de la droite FF. 

6508. — On considère une ellipse et un point fixe .\: on trace deux diamètres conjugués quelconques D et D', et on 
demande le lieu du point de rencontre de D et de la perpendiculaire menée de A sur D'. Solutions analytique et géomé- 
trique. Intersection du lieu et de l'ellipse. 

6509. — On donne une ellipse fixe et on considère une ellipse égale qui se déplace en restant tangente à la première 
et de façon que les grands axes soient perpendiculaires. Trouver le lieu du centre de l'ellipse variable. 

6510. — D'un point P on peut mener trois normales PA, PB, PC h une parabole. Construire la résultante de ces trois 
vecteurs. 

6511. — Lieu des centres des coniques d'un faisceau ponctuel. Discuter. 

6512. — On considère la parabole j- — 2px = 0, ayant pour sommet l'origine 0. On prend un point A sur la para- 
bole et on trace un cercle passant par les points et A et tangent à la parabole au point B. Etudier la correspondance 
entre les points A et B. 

6513. — On donne deux droites Ox, 0;/ et deux points A et B. On considère les coniques passant en X et B et tan- 
gentes aux droites Ox, Oy. Propriétés de la corde des contacts. 

6514. — On considère les coniques circonscrites au rectangle dont les cotés ont pour équations x = ± <i, »/ = m ft. 



ALGEBRE 



Déterminer celle de ces coniques pour laquelle le rapport anhainionique des quatre sommets du rectangle a une valeur 
donnée. 

6515. — Lieu du pôle d'une droite fixe par rapport à une ellipse de grandeur constante qui tourne autour de son 
centre. 

6516. — D'un point .M d'une ellipse on abaisse MP et MQ perpendiculaires sur les axes. Montrer que la droite PU 
est normale à une ellipse. 

6517. — Construire la courbe // ;= W ■ former l'équation (.'énérale des coniques ayant pour asymptote Oij 

et rencontrant Ox aux points d'abscisses -+- 1 et — l . Chacune de ces coniques rencontre la courbe en deux points A et B. 
.Montrer que Al! est parallèle à une droite fixe. 

6518. — Lieu des milieux des cordes d'une conique passant par un point. Solutions analytique et géométrique. 

6519. — Réduire la conique !/-+ ixy + ix^— 6y = 0. 

6520. - Trouver l'enveloppe des cordes d'une parabole qui sont vues du sommet sous un angle de iS°. 

[A suivre.) 
♦ 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1732. — On considéri; un triangli' ABC, dont les cIl'iix soinmels A et B sont fixes, el tel que le pieil de 
l'une des bissectricps de l'angle A .sur le côté BC décrive une droile lixe I). 

1° Trouver le lieu du point C. ("e lieu est une eoni(|uc P dont on étudiera le genre d'après la position de 
la droite D dans le plan. 

2° Lieux des points 1 et I' oii les hisseelrices de l'angle A rencontrent le côté BC. Ce lieu se compose, 
outre la droile D, d'une conique r' qui passe par deux points fixes, ijuand D varie arbitrairement. 

3" L'un(^ des coniques r, r' élant construite, en déduire la construction de l'autre. Montrer que si D se 
déplace parallèlement à ime direction lixe A, les coniques P' passent par un troisième point fixe, et donner le 
lieu de ce point i|uand la direction A varie. 

4° Trouver les droites D pour lesquelles la coniiiiie r est une paralmle. Ecrire l'iMiualion de l'axe, de la 
tangente au sommet, de la directrice, les coordonnées du foyer, du sommet, et donner les enveloppes et lieux 
eorrcspondanls. C. Cotty, lycée de Dijon. 

1733. — On considère une conique lixe C el une parabole P de loyei' lixe o, et on désigne par M et .M' 
deux ombilics conjugues de P et de C. En supposant que .M décrive une combe donnée, trouver le lieu du 
point M'. I,. BicK.uiT. 

1734. — .Soit la surface gaucbe 3;^+ </- - o'- — 1 = 0. 

I" (In >u]i|)o.se qu'un point M se meuve d'un iiiouvenient vibraloire simplesiir une génératrice (! de cette 
surface. Le centre de la viliraliou est le point de la géneralrice qui est sur le cercle de gorge. L'amplitude est 
/2. La période est îtt. 

La génératrice (J Uuirnc autour de o.- d'un mouvement uniforme de vitesse angulaire I. Trouver, au 
temps i. les coordonnées de M. 

2» Lieu de lu trace, sur le plan des xi/, de la droile qui porte le vecteur accélération du point M. 

:»» Construire les proje(aions de la Irajecloire du [loint M sur un plan ipielconque passant par o. 
et sur le plan de.s xi/. Définir géométriquement cette dernière. 

♦"Trouver el discuter l'intersection de la trajectoire du point M avec les génératrices de chaque système 
de la surface gauche. Tu. l. 



DEUXIÈME PARTIE 



ALGl-BUK 

1660. — Mitiilifr fjuc les de.ui produits 



('-^)('-^)--(-i:r)^ (-i)(''^)-(-4. 

snnt ciinvertjrnls. TnmixT la liiuHr du premier. 



ALGÈBRE 29 

On sait, o( il est facile de démontrer que le produit 

(l+2,)(l-h=tî) ... (1 -t-a,,)... 
a une limite dilTérente de 0, quand tous les t étant plus petits que 1, »„ tend vers d'abord, puis 
quand la série 

a, + otjH- ••• -!- a„-4- ••• 

est absolument convergente. Il n'y a qu'à remplacer le produit P„ par son logarithme, et comparer la 
série des logarithmes à la série des a. 

Or, dans le cas actuel, la série des -x est 

1 1 1 

elle est absolument convergente ; donc le produit est convergent. 

Pour avoir sa limite, dans le premier cas, décomposons P„ en deux produits 



nous aurons 



P- = 0„R„. 



0-11^ " ~' D _ «^ '' «+ ' 



3 4 H 2 3 

Nous avons donc finalement 



P„ = L'i-l. 



La limite est ^r- 



Michel COXSTAND.AKl. 



Bonnes solutions de MM. Amblabd, à Ruines; J. Mocrhet, lyrée Je Marseille; L. Simon, Cliàlons-surMaiiie ; Bros; 
L. Gauthikr, à Ferm.Tnville ; W. Mébigot, à Paris; G. IIauvergne, à Alger; G. Garbk, à Bordeaux; J. Soudet, à Rouen; 
G. FoocRï, à Roanne; Groscolas. 



1668. — On donne y — ax -i- b -h \/cx^ -\-'idx -r /'■ Trouver une relation entre ij et ses dérivées 
successives, qui ne contienne pns r, d, f. Dire ce que représente y par rapport à celte relation. 

De la relation donnée on tire 

(y — ax — Ij)- = Cl- -f- idx -h /', 

et en prenant la dérivée du troisième ordre des deux membres de cette égalité, on élimine immédiate- 
ment les constantes c, d, /', et on a 

d' 
(i) -—-■<y — ax—/>- = 0. 

dx' 

ou, en développant, 

!/"'(y — ar — h)-h 3i/'(i/' — a) = 0. 
On obtient ainsi l'équation diiïérentieile demandée, et d'après la forme 'I), on reconnaît qu'elle a 
pour intégrale générale la fonction y définie par l'équation 

(y — ax — f))^ = ex- -\- 2dx + /' 
ou y — <ix -{- Ij dz y/ ex- -h 2dx -f- /, 

c, d, f étant des constantes arbitraires. 

On peut dire aussi que les courbes intégrales sont des coniques admettant la droite y — ax-\-b 
comme diamètre conjugué des cordes parallèles à Oi/. 

L. SIMON, à Chàlons. 

Bonnes solutions par MM. .\uBLARri, à Ruines : Bros ; G. Foucav : Bertrand de LrR Saldcks. à Paris ; H. le Scecb, à Nantes : 
MoRET ; Jean Soudet, lycée de Rouen; Gh. Gicnco. 



30 



GÉOMÉTRIE 



GEOMETRIE 




1659. — On considère deux cercles C et G' se coupant aux points .K et B ; par le point B on mène 
une sécante variable qui rencontre à nouveau les cercles en M et M'. 

Trouver l'enveloppe du cercle circonscrit au triangle A MM' et le lieu du centre de ce cercle. 
Construire les points de contact de l'enveloppe avec les cercles G et C. 

Solution géométrique. — Le triangle AMM' reste semblable à lui-même, car l'angle M a même 

mesure que la moitié de l'arc AB du cercle Cet l'angle M' a même 
mesure que la moitié de l'arc AB du cercle C', l'angle MAM' 
est donc égal à l'angle GAG', on s'en rend compte aisément en 
menant la sécante M,BM', parallèle à la ligne des centres CC 
Le centre lo du cercle circonscrit au triangle AMM' est 
situé à l'intersection des perpendiculaires CH et C'H' aux 
côtés respectifs AM et AM'; mais l'angle w est constant et sup- 
plémentaire de l'angle MAM' lorsque les points M et M' sont 
de part et d'autre du point B, il est au contraire égal à l'angle 
MAM' quand les points M et M' sont d'un même côté du 
point B; le lieu du point <o est donc le cercle y circonscrit au triangle ACC'. 

Désignons par y, le cercle circonscrit au triangle AM,M'i, c'est riiomothêtique du cercle ■; (A centre 
d'homothétie, 2 rapport d'homothétie); soit w, l'homothétiqup du point w, le point de contact du 
cercle w avec son enveloppe est le pieddela perpendiculaire abaissée du point A sur la tangente en o>, 
au cercle •(,. 

L'enveloppe de ce cercle est donc lapodaire du point A par rapport au cercle v,. C'est une cardioïde 
facile à construire. 

Les cercles C et C font partie du groupe (w), il siillit pour le voir de faire coïncider la sécante MBM' 
avec les tangentes aux deux cercles en B ; on obtiendra donc le point de contact de ces deux cercles 
avec la cardioïde en menant au cercle -/i les tangentes en M, et M', ; les seconds points d'intersection de 
ces droites avec les cercles C et G' déterminent les points de contact cherchés. 

BROS. 

Solutions analogues : MM. Boit.isGAXD, à .Nantes; P. Fatre, étudiant à Lyon ; M. Coxsta.noaki ; Ch. Giillkrme, au lycée 
de Bourg. 

Bonnes solutions de M. G. Lach, à Di-nain: Cboscolas; Gli. Ciuscu ; H. Janois. 

Solution analytique.— Pour traiter la question par le calcul, on peut prendre pour origine le point A, 
piim- axe d(> 7 la ilroitc Al! (■( pour axe des j: une parallèle à la ligne des centres menée par A, les équations 
des deux cercles lixes seront 

«- -f y- — iax — iby = 0, x^-{-y'- — 2a'.r — 26// = 0, 

et 26 sont les coordonnées du point B. 

Une droite jiassant en ce point a pour équation y — -Ib =lv, et les rayons qui joignent l'origine aux 
points de renconlre a\ec le premier cercle ont pour équation 

26(x2 -). ,y2) _ 2(ax -f- 6;/X.'/ - >.i) = ; 
l'un d'eux est l'axe des y, x = Q, et l'autre a pour é(piation 

bx — a(y — Ix) + bly = 0, ou {b + a\)x — (a — bl)y = 0. 

Poiii I autre cercle, on a de même 

(6 -+- a''K)x — {a' — bl)y = 0. 
Considérons maintenant le ceicle demandé 

x^-i- y- — 2aa; — 2i>y = ; 
son axe radical avec le premier cercle est (a — a}x -h (f> — b')y = ; il doit être identitiue à 

(b ■+■ aX)x + (6X — a)y = 0. 



GÉOMETRII<: ANALYTIQUE 



31 



b -+- a'K 


a — a 


6 + a'X 



6).- 


- a 


?- 


b 


6X 


— a' 



On a dont 



Le second cercle donnera de même 



et on aura le lieu en éliminant ). entre ces deux éi|uations. 
La première donne de suite 

X(a^ — ôati + 6(? — *) +a(a— a) = 0, et la seconde /.(n'a — 6i) + i)|i — 6) -(-a'(a —a'j = 0. 

Le lieu du centre a donc pour éi[u,ition 

{a'fi — bx}[b{b — b) + a'iï — «')] — (n'fJ — 6a)[i(i — i) + a(a — a)] — 0. 
Il est facile de voir que c'est un cercle qui passe à l'origine. Ce cercle a pour équation 
6(a — n')(a2-(-;î2) — (a'- + 6-)(a3 — 6a) -(- (u^ h- è^na'f, — /_/a) = 0, 
on 6(ï- -)- â^) + ^(«a' — 6-) — 6(a +o')a = 0. 

La première forme montiv que le cercle passe aux centres des deux cercles. C'est donc le cercle circonscrit 
au triangle ACC. 

L'enveloppe du cercle mobile est alors une cardioïde facile à trouver. 

L. .SLMON, à Chàlons-sur-.Marne. 

Bonnes solutions géométriques de MM. J. Soudet, à Itouen; G. Gakde, à Bordeaux: H. Bolvaist; L. Mo.ntaut, à Alger. 
Bonne solution analytique et géoraélrique de M. G Foucby, à Roanne. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1650. — Lin pohit M est mobile sur un cercle fixe 0. Du symélrique W de M par rapport à un 
diamrire fixe Ox, on abaisse une perpendiculaire M'P sur OM. Quel est le lieu du point P ? 

Nous allons montrer que ce lien est une rosace à quatre brandies. 

Soit en effet <o l'angle de Ox avec O.M et p la valeur algébrique 
du segment OP- L'angle de OM' avec OM est évidemment Sw, puisque 
M' est symétrique de M par rapport à O.r; donc on a 

p = «ces 2(0. 
a étanl le rayon du cercle. C'est là l'équation en coordonnées polaires 
de la courbe. 

Construisons celte courbe : il sufTit pour cela de faire varier w de 
à 2-. Si nous changeons w en 2- — u, p ne change pas : il y a 
symétrie par rapport à Ox. 
Si nous changeons w en -r. — w, p ne change pas ; symétrie par rapport à Oy. Si nous changeons 

3- 
enhn <-» en — w, ? change de signe, et il y a symétrie par rapporta la première bissectrice. 

y On verrait de même qu'il y a symétrie par rapport à la deuxième. 

Faisons donc varier w de à -;- ■ 





p a décr. 

d'où la courbe ci-contre. 

Il était évident que la courbe serait symétrique par rapporta Ox 
et Oy, et par rapport aux deux bissectrices. 

L'équation cartésienne de lacourbes'obtient facilement. On a en effet 



32 



QUESTIONS PROPOSÉES 



p := rt (cos- 10 — sin- to) 






a[x"- — yi). 



puis 

ou enfin (a-' +î/-f - a'[^' —?/'")■ = 0. 

La courbe est du sixième degré ; rorigine est un point quadruph^ 

Remarque. — On délinit en général' la rosace comme la podaire d'un point O sur une droite de 
longueur constante, s'appuyant sur deux droites rectangulaires pas- 
sant par le point. Nous allons montrer que le lieu trouvé correspond 
à cette détinition. 

Soient Q et \\ les points de rencontre de M'P avec les deux 
bissectrices ; je dis que OR garde une longueur constante égale à 2o; 
en effet, j'ai, par symétrie, 

ROP = (JOM^, 
et d'autre part ROP est égal à itQM' comme ayant ses côtés perpen- 
diculaires à ceux de OQM'; donc le triangle QOM' est isocèle et 
M'O = a ; on verrait de même que M'R = a ; donc QR = 2a. 
Paul WAHit. lycée Janson. 

Bonnes solutions : MM, G. Boiligasd : L. Montaot, à Alger; P. Favrk ; Mii''C. M.; A. tj, à Paris: Isabelle Crozier ; 
C. GciiLEBME ; M. lioNXARii, Ijci'c Janson ; E. N. HiKisiKN. ,■/ 

Assez lionnes solutions: MM. J. Souiikt : L. Smo.v; Dopcnuant ; J. D. Dlfaut ; G. Dbhillv ; T.. L^ch; H. Le Suei'r ; 
Nabodlet ; Amblarii, C. Verxières, élève à l'Ecole Centrale. 

Reçu dernièreinenl .le honnes solutions de : MM. D. George>;ko, à Bucarest : i. Vêrots, à Lvon : Bros, à AIbi ; .\. Barriant ; 
H. >'iox-(',HATKAU : i;. FoucRY, .-1 Koanne; H. Janois ; K. Ma.nex. '>■ 




QUESTIONS PROPOSÉES 



1735. — .Mipiilror <)iit^ si l'on eflectue la division 

a.3m _(_ 3;im _|_ a;m _(_ 1 



X'^ X- + X+ I 

elle se fera cxaetcini'iit pour' w impair. Si m est pair, il y aura deux cas: io Si m; rsI un niulliple de 4, le 
reste de la division serai, .|iicl que .soit .r ; 2° si m est un niiilliplc de 4 augmente d." 2, le reste de la division 
sera iix- ■+- 1 ). 

E.-X. lÎABISIE.N. 

1736. — C.alrulcr à ç^^ près la partie réelle et le eoenicient de / pour rliaeiine des racines imaginaires 
de l'éqnalion 

3« — î* — ;' + j2-|- ; — 1 = 0. 

P. Brizaru. 

1737. (hi donne un cercle de centre et on mène par un point fixe extérieur A une droite AP ren- 
cdotrantle renie en P ; sur Al' on considère le point M tel que OM = .\!P. 

1" Lieu du point .M. 

2" l.ieii de l'ortlioeenlre et du puinl de concours des liissecirices du triangle OMP. 

3" l.ieu du centre du cercle circonscrit à ce triangle. 

4° Enveloppe de ce cercle. 

P. Aliiertim, à Nice. 

1738. — Irc.iivcr l'enveloppe des plans qui coupont deux sphères données suivant deux cercles ortho- 
gonaux. 

Discus^ion. 

Trouver aussi le lien des centres des cercles sections de l'une des sphères. 

("i. Pklissfer. 



BAR-LK-DDC. — mr. COMTIl-JACaUlT. 



Le Hédacleur-Gémnt : II. VUIBERT. 



19» Année. N° 2. Novembre 1908. 

REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



NOTE SUR LES ÉOUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS 

par M. P. Brizard, élève de Mathématiques spéciales. 



Considérons une équation linéaire à coeflicients constanls 
d"'u d"'^'u 

(1) ''■'-rf]^ + "' dï^r -•■ + «..'/ = AW, 

que je nie propose d'intégrer. 
Soit 

(2) .^(«) = «05:'" + Oia"'-' H ha,„ — 

son équation caractéristique. 

Je dis que l'intégration de l'équation (1) pourra se ramener à l'intégration d'une équation d'ordre 
inférieur à m, et que si l'é(iuation (2) a une racine d'ordre ji, la nouvelle équation diirérentielle sera d'or- 
dre m — p. 

En ell'et, posons ;/ — uv ; 

l'équation (1) devient 

/ d"'v d""'v du d"'~'o d-u d"'u \ 

"o u j „, -H C'i" ■ „„. -; — h t.i . ,„_, r^ -f- • ■ • -h y -; ) -I- ■ • • 

\ dx dx ' ax dx - dx- ■ dx"' j 

I do du \ 

ou encore 

/ d"'v d"'~'o 



Déterminons v par la condition 

d"'v (/'" '(1 

"0:5 t-«i . ,„ , H l-a„,u = 0. 

dx"' ax""' 

Soit 2 une racine d'ordre p de l'équation caractéristique. L'équation ('i) sera satisfaite pour 

« = e" 
et, en remarquant q uc 

AW = 0, A'(a) = 0, A"(a) = 0, . . ., A"-'(x;) = 0, A""(a) =0, 

l'équation (3) peut s'écrire 

Ai''){a) d''u d"'u 

J ^ \-a„—, — = e-" Hx) 

p\ dxf dx"' '^ ' 

d''u 
ou, en posant —, — = z, 

^ d.ri' 

d"-i'z A'/')(a) ^. ^ 

dx" '' Il 1 



34 SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIKLLISS LINÈAmES A COEFFICIENTS CONSTANTS 



La proposition est donc établie. 

Appliquons cette méthode à l'équation du deuxième ordre 

L'équation (o) devient 

n{uv" -h 2u'v' H- u"v) -h ù{uv' -H u'v) -+- cuv = f(x) 
ou 

^^) ti'/iv"+bv'-hcv) + u'(^au'+bv)-+-au"v = f{x); 

faisons dans cette équation 

iii]" + bv' -i-cv — 0, ou c — e'''\ 

3(1 et a, étant les racines de l'équation A(a) = u. 
L'équation {6) devient : 

( '^ A\oti)M' + au" = e-'r'/(a'). 

Nous supposerons d'abord aj = a,. 
On tire facilement de l'équation (7) 

Nous ne mettons pas de constante arbitraire;! nous nous bornons à trouver une intégrale particu 
hère de 1 équation proposée. 'icoiaie panicu- 



Remarquons que 



A'(a,) b 

— ïi = ï, 4- _ =, _ , 



on a donc „■ _ j , , /., \ , 

" )dx. 



-~je-.'/lx). 



" = -^J" "''<^\f^-ni^)d^ et , = Çf/^^^j,, |^,_,./^^,, 



d'oi . 

• . .' ''■^'' 
puis, en intégrant par parties, 

(8) 



1 r /• -. 

Dans le cas où /'(.•) est un polynôme, o,; peut mettre la formule (8) sous une autre forme 
* "^^^^ IV) = :, c'^'dx = dl, 

f'(x)dx = dz, _ L!1' =, / . 



de môme 



11., '^ '^ (lefcie u), puis remplaçant es iiité"rilps hmt' in....^ 

valeurs dans la formule (S), on obtient >.'' 'i^- "H^c'aies pai leurs 

la suite s'arrête d'ellp-nirmc. - « / j 



SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS 35 

L'équation (8 peut s'écrire sous une forme plus symétrique. 
En effet, on a 

A(a) = fi(:i — 3,)(a — i,), 
A'(ï,) = aja, — a_,J, A'i'io) = a(ï2— a,), 

donc 



(10) 



?/= -T7--1 c-'^'f{.v)dx-^-- — - I e-"-'f\x)dx. 
A(.»i) J A lï.) _/ 



Si 2, = a^ les expressions (8) et (10) deviennent illusoires; on peut dans ce cas opérer de deux 
manières. 

L'équation (7) se réduit à au" = e~'iY(x) ; 

on n'aurait qu'à intégrer deux fois; il est plus simple d'appliquer à l'expression (8) la règle de L'Hos- 
pilal ; on a ainsi 



(11) 



1/ = — e'''l .r / e-''Y(.T)rfx — / x<r'<'f(x)dx l- 



Nous avons ainsi des intégrales particulières de l'équation (5) ; si nous voulons les intégrales 
générales, nous n'avons qu'à y ajouter les mûmes expressions dans lesquelles on aurait remplacé les 
intégrales par des constantes: on a ainsi 

(10') Y = î/^C,e='.'-+-Cie'=', (11'; Y = i/ + (C.ï -h Ci)e''^ 

Généralisation. — -le dis que si nous considérons réqualioii 
d"'ii d"'~'u 

(1) '•':d^-^"'^L^+---""-y = n-), 

on a, dans le cas des racines simples de l'équation caractéristique, la formule générale 

(•-^ ' = tSï/^"'"^^^^'''^-- :^/''""'/'^^)^^+ ••• + tJ^^ A"'"-/"(-)^''-- 

En eflét, nous avons vu qu'on peut remplacer l'équation (1) par une autre équation d'ordre m — 1 : 

nous supposerons démontrée la formule (12) pour une équation d'ordre vi — 1. On tire alors de l'équa- 
tion (13) : 

en posant 

B(^^) = «0?'"^' + ^^^^~yi 'r-' + •■• + A'(:.,) = 

et i,, %, . . ., S,„_| étant les racines de cette équation. 
On a doue 

" = .S j i^, '/•^J'-''^-'YWrf^'. 

Posons 

c'.'dx = d,; f e-'"+'y>'f{x)dx =^ t, ■Ç- = '-. '-''^■^''r"f{x)dx = dl: 



on a 



36 SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LLNÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS 



2'=>',-l 



d'où 

( 
Or considérons Téquation 

A(a) =: «yi"' -f-rt,a"'~' + ■•• -t- a,„ = 0. 

Soit a, une racine de celle équalion et posons a = Ji + a, ; 
on a, d'après la formule de Taylor, 

A(.) = A(.,+?) = AW + i^+f'-^-^ ■ + ?■■«. 



■■^W = {""^"-^: ?"-■■■ -H 



La partie entre crocliels est précisément B(â), donc, on a 
donc l'équation (14) peut s'écrire 

ou 

D'autre part 

B(P) = «o(p-?.)(?-^) ••.(?-?«.-.), 
B'{P.) = a„(P,- - ?i)[?, -?.)... (?p - k,-ù > 
or ^ip — ?, = ap+i - «j+i, % = ^y+i — a„ 

donc PpB'Op) = a„(ap^, — ii)(ap+, — a.) . . - (ïp+i — «,„) = A^ap+i), 

d'oii ?/ = s .!' ' , / e-'^-'7Wrf^ — «'" I e--''f{x)dx Y — -. 

^ A(a,,^,)J J ^ A'(ap+,) 

D'ailleurs on a, d'après l'identité d'Euler, 

1 1 i _ 

par suite >, = 

' ^ A'(a„^,^ A'(a, 



■'(»,.^i'> A'(a,) ' 

on a donc ;/ = V -f-l- / e-,'f[c) dx 

et, comme l'équation est vériliée pour une équation du deuxième ordre, elle est générale. 

y\ppHrritii,iis. — Soit ('('(lualion (( -t4"-+-* —r- -I- cy = f{x). 
i" f[x) = ,-, 

y = -^TT- + C,e'' -+- Cjev, si », = x, ; 

y = -^ + (C.x -+- C,)e"% si ï, = ,, ; 



ALGÈBRE -37 

V = h {C,a; -1- Cs)e»''', si )• = a, = a>. 

2° f{x) — cos p.r, 

1 a.a,COSpa:-(».+a.)psin/JX ^ ^^^^^ ^ ^ _^,^ 

" (Ȕ-t- /'')>=']+?') 

:!" /-(x) = kx\ 

Nous nous servirons de la formule (9) et nous aurons 

V = a-' + 1 )-.T'~' H- — r -^ 1 r P'' I- — l)x'-~- 

H-(-L+J HAr-^4-)K'--l)('--2K-=+-l 



ALGEBRE 



1670. — .'^oi< /"(a) = n„a;* -+-4a,a;^ -H GoaT- -^ 4fl3.T + fl;. 

Démontrer que les deux polynômes du qualricme degré 

^df_ if:_[drf_j c,riïT_ 6^ £L jH^qIILTJIL 

" dx ' d.r- L dx^ J ' "L dx- J rfx t/i-^ rfx' ' L dx ] dx- 

prennent, iiuand on y substitue l'une des racines de l'équation f(x) = 0, des valeurs indépendantes de la 
racine choisie. Calculer ces valeurs en fonction des coefficients de f. 

_ df d-f 
on a, après simplilications, o'(^) = -"7~ ' "TT • 

dH df 

or -rV = 24n„, donc z.'{x) ^ 48fi„ -t—- 

rfar* ■ a.r 

Par suite 

(1) o(a:) = 48n,/(x)-t-C, 

C étant une constante. 

On voit donc que le résultat de la substitution à x dans o{x) de l'une nuelconque des racines de 
f{x) = est une valeur indépendante de la racine choisie, la constante C. Pour calculer C, nous 
faisons x = dans les deux membres de l'identité (1): il vient 

<?(0) = tëa^a, -+- C. 
Or ■ ?(0) = 2AO).r(0)-[r(0)?, 

mais /"'(O) = 4^3, /"(O) = 12o.>, /"■'(O) = 24fl„ 

donc ç(0) = 19203^, — iVtal. 

Par suite C = i^'ia/iy — 48n,ai — 144'(j — 48(4a3a, — no"* — Saj) = — 481, 

I étant l'invariant équianharmonique. 



„ o . -J d-fY . df dy d'f Sdfl' d*f 

2° Soit encore t.( j ^ 2 -pV — 6 -^ -t^ -Hr + 9 -r" -rr ' 

L dx- I dx dx- dx' \_ dx J rfx' 

emarquant que . = 0, 



d^f 
d'où, après simplification et en remarquant que —^-^ = 0, 

dx" 



38 MÉCANIQUE 



d-f (/•■/■ / cPf \- 
Soit alors eW^2^.-^-(-^), 

on en lire f''(T) = 0, 

ce qui montre que 0(.r) étant une constante C,, le second polynôme o considéré est bien du quatrième 

degré. 

ti'(x) = 6Ci -r- et par suite r(a?) ?= 6C,/'(3;) -h C 

or 

Le résultat de la substitution dans 'f(.r) d'une quelconque des racines de f{x) est ici Co, indépendant 

de la racine choisie. 

On a d'ailleurs 

<p(0) = 6C/(0) + C,, mais C, = 6(0) = 2f\0)f'\0) - [f"'(0)]' = 24^(aoO„ - oj) . 

Ensuite o(0) = 2. 12'(ai — 2a,fl,«3 -+- a.nl], 

donc C2 = 2.12Xnii — 2r/|«,«3-i-a„al) — 6.242a._(a2fl'j, — if) = 'iA'i'^{a?, — 2a,cua^-i-a„al—a.2aoa,^ -l-fl;of), 

ou 

a,, "1 ' 



C, = —2.12^ 



0, a. 
Os fi 



— 2.12^J, 



J étant l'invariant harmonique. 

En appelant r,, Xo, xj, Xi les racines du polynôme f, on peut dire, pour les deux polynômes o 

considérés, que ç(x,) est une fonction symétrique des racines de f; d'ailleurs, l'e.xpression générale des 

polynômes ç du quatrième degré, à une variable, pour lesquels cette propriété est réalisée est lif + k. 

Il et /.• étant deux nombres. 

A. DARMON, élève au lycée Louis-le-Grand. 

Bonnes solutions : MM. W. Mérigot, à Paris ; P. Bbizarb, .à Piiris ; Bros ; L. Simon, section normale à Chûlons ; L. Oac- 
tiiikh, ;'i Fermanville ; H. Le SiiKun, ;i Nantes ; Gnosr.oi.As; A. Diuv, à Dijon ; R. Manen, à AIbi ; Gli. Gionco, à .lassy. 



MÉCANIQUE 



1671. — On donne un parabolnide de révolution (P), d'équalion x- -t- y- = 2jo:. 

1° Oéterminer le mouvemenl d'un mobile qui se déplace sur le paraholoïde de façon que sa projection 
sur 0; ait un mouoemeni uniforme et que sa projection sur xOij ol/cisse ù la loi des aires. Aature de la 
projection de la trajectoire sur arOy. 

2° On considère toutes les trajectoires (C), obtenues en laissant seul constant le rapport de la vitesse 
suivant 0: à la constante des nires. Démontrer que toutes les Innifenles à taules les courbes (C) sont tangen- 
tes ù un même paraboloide de révolution (Q), de même axe et de même sommet que (P). Trouver le lieu 
des points de contact avec (Q) des tfintjentes à une même courbe (C) et le lieu des traces de ers tamjentes 
sur xO;/. 

'.i° Chercher l'hodographc rfluiifà une trajectoire déterminée. Chercher également le lieu (r) des extré- 
mités des vecteurs accélération. Construire la projection de (P) sur xOij. 

Si on considère parmi toutes les trajectoires précédentes celles qui correspondent à une même valeur de 
la constante des aires, les courbes (I") correspondantes engendrent une surface de révolution, dont on cher- 
chera l'équation et dont on construira la méridienne principale. 

1° Prenons des coordonnées polaires )• et 0, dans le plan des xy, et traduisons les conditions 

imposées dans l'énoncé ; nous aurons 

, rfO 
z=vj-^z,, -'-dT^'' 



MÉCANIQUE 39 



D'autre part, nous avons aussi / - — Sps. puisque le point est astreint à se mouvoir sur le parabo- 

rfo c c 

loïde; par conséquent -;- = — — = — — : -• 11 n'v a plus qu"à intésrcr pour obtenir û : 

' ' ^ lit 2p; ^Piv^t -h:j .11 Cl 

*) = 1. 7 ' A étant une constante arbitraire. 

2;h'„ a 

Cette équation donne , ^", . ... -, r. 

z = Xe ■ , et, par suite de )- = 2p:, 

(1) '• = v/^""". 

Telle est l'équation de la projection de la trajectoire sur le plan des xij. Elle représente une spirale 
logarithmique. 

2" Quand — est constant, on obtient la courbe ?■=:).« , 1 ?« = -^- — j, »! désignant un nombre 

constant et X une variable arbitraire. On a ainsi une infinité de trajectoires et les coordonnées d'un 
point de l'une d'elles sont 

).- 

.r ^ /,c"'''cosO, 1/ = Àe'"'' sin : = — e^"''' : 

2p 

elles ne dépendent, pour chaque trajectoire, que de la variable 0. Les paramètres directeurs de la tan- 
gente sont donc 

d^' , ■ du . ^, . , (/: À- . „ 

-— = \e""'[m cos 6 — sin Oi, — ^ = Xe""( m sin 4- cos 0), —r- = — me''"' ; 

en supprimant le facteur /.e""' et posant w = Igo, on obtient sin (-f — O), oosfa— 0), — sin^e"'''. 

r 

Les coordonnées d un point quelconque de la tangente sont donc 

X = '/£""' cos 9 + sin (o — 0), y = /e'"" sin 8 -f- p cos(o — 6}, : = — ^ e""(>.e"" -+- 23 sin o). 

Cela posé, considérons un paraboloïde de révolution autour de 0:, x'^ -+- ;/"- = 2|j.;j:, et écrivons 
que la droite précédente le rencontre en deux points confondus; nous aurons d'abord une équation du 
second degré en p. qui donnera les a des deux points de rencontre 

p- -1- Tf.pe""' sin ç -f- X^e*"" = hie'""lle"'" -+- 2p sin o) ; 
puis, nous écrirons que cette équation a une racine double, ce qui donne 
y.-e-'"'' sin- r( l — f)' — À-e-^'f 1 — ;jt) = ; 
nous tirons de là .ut = 1, ce qui correspond au paraboloïde donné et usin- i -i- cos- o = 0, 

cos- o i . 

ou [i = -r-j-j- = -, qui correspond au second paraboloïde indiqué dans l'énoncé. Les tan- 
gentes aux diverses courbes (C) sont donc tangentes aux deux paraboloïdes 

2» 

,x- -^ ij- = 'ipz, et x--\-ri'- = — :. 

7»- 

Le p du point de contact de la tangente avec le second paraboloïde (Q) a pour valeur 



le'"" 

X(|ji — l)e'"''sin ■:, — -: ; 

sin o 



les coordonnées de ce point sont donc 



'le'"" sin 6 Xe"" cos A-e- 



m 'ip 

Si l'on change " en '' -t- -r et que l'on pose À = -^ , on voit que r et y deviennent 

- ni 

X = '/'e"'''' cos<)', y = À'e'"'"sin 6': 

par conséquent la projection de cette courbe sur le plan drs ay ai une spirale k sarilhnraque qui se 



40 MËGANlOUli 



déduit de la projection de la courbe (C) par une homothélie suivie d'une rotation d'amplitude — — , 
le centre d'homoihétie et le centre de rotation étant confondus avec l'origine. 

Le lieu du point de rencontre de la tauirente à la courbe (C) avec le plan des xy s'obtient en annu- 
lant : ; on trouve ainsi 



le" 



Ssinç 

'/ e'"'' — ^.e'" * 

Duis .(■ = — T sin(e^-ç>), ,/ = -^ cos(0 + o). 

y"' ïisin? 2sinç 

On verra comme précédemment, en posant - ç = 6' -t- -^^ que cette courbe est une spirale 
logarithmique qui se déduit de la courbe (C) par une homothétie suivie d'une rotation. 
3° Les coordonnées d'un point de l'hodographe sont 

. _ dx _ dx df) di^ _ dy_ dG_ y _ ^ _ , 

^ ~ ~dr ~ Wdt' ~ lit ~ do ' dt' ~ dl ~ ^"' 

L'hodographe est donc une courbe plane située dans un pUm parallèle au plan des .n/, le plan 

: = Vu- 

di\ c c dx Xe"'«sinfo— 0) dy /.e'"» cos (o — 6) 

D'autre part, —7— = — „ = ^, .,„„, ' et -— - = ^-^ ; — ^ — '■ ■ 

' ' dt r- l-p-"" dO cos ç (ifl cos-f ' 

(' c 

parconséquent X = : — c""" sin fç — 9), Y = ^ e-"'"cos(o — 0). 

' ' A cos o /, ces 9 

Cette courbe est encore une spirale, qui se déduit de la courbe (C) par les opérations déjà indiquées 

précédées d'une inversion, c'est-à-dire en dérmitive par une inversion suivie d'une rotation. 

, „ , . d\ dY rfZ 

Les composantes de I accélération sont -—1 —r-^ —r-; 

d\ dX dO c ,. . . . (l'> <:«'"" , d^ 

or = — : r- = e""' I — m sm (o— 1 — cos (o — [\? ——= — cos -r-' 

dl du dt Xcos? ^ VY . V. j ^i Acos^o dt . 

d\ — c- d\' — c- „ . ,, „ dZ, 

-^ = «""""cosO; on a de même — ;— = -rr — e~""'sm'i; et enlin -— r= 0. 

dt X' cos- o dl a' cos- ç dt 

Les coordonnées de l'extrémité du vecteur accélération sont donc 

dX ,(. „ c2 . \ 

a-, = a: H — ;— = cos 01 le 



ou 



dt \ 'l-^ cos- o :/ 

d\ . 1. , c- , \ 

•' •' dt \ a3cos-o / 

dZ >.■- , , 
=• = ^-^77 = !};"'"• 

La projection de la courbe ainsi décrite sur le plan des xi/ a pour équation en coordonnées polaires 

)• = /.e — • e - ; 

a' cos- ç 

son rayon vecteur est la différence des rayons vecteurs de deux spirales : 

7- = ïe'"", 

il s'annule pour = lo 



4m À' cos- o 

l'our les grandes valeurs positives de 0, la courbe coïncide sensiblement avec la première spirale ; 
pour les grandes valeurs négatives de 0, elle coincide sensiblement avec la seconde. Kniin r cmit tou- 
jours avec 0. 11 serait dès lors facile de tracer la courbe et d'en donner la forme générale. 

Supposons m;iiulenant r et v„ constants et envisageons toutes les courbes (!'). Nous avons, pour 

chacune d'elles, r = i.t."''' — g-a»"" Ou: = >.-e-"'" 

>.' cos» ? 



géométril: DESCKiprivi': 



41 



et le lien de ces courbes s'obtient en éliminant ). entre les deux équations. Ce calcul évident donne 

r^siljn f ; 

(2/)3j - CCS- ç 

c est réciiiation d'une surface de révolution autour de 0: et dont la méridienne a pour équation 

c- Ap-z- — 0^(1 ~m-) 



.r = yl'lpz 



Cipzi - cos'- o 



2pz^ipz 



Cette équation montre que la courbe est symétrique par rapport à 0:, qu'elle est tout entière du 

côté des :■ positifs et que pour : inûni, x est inflni comme 
y/ipz. Il y a donc deux branches paraboliques dans la 
direction 0:. symétriques l'une de l'autre. 

Il y a en outre un point double sur 0:, au point 
c\''l -h m- 

11 est visible aussi que si l'on envisage la branche qui 
correspond à la valeur arithmétique du radical, x est une 
fonction croissante de ;, qui croit de — oo à +3o quand 
: varie de à — x . La courbe a dés lors la forme ci- 
contre. 

BHOS. 
Bonnes solutions: MM. (1. Folcbv. ù Roanne: R. Acscher. 




lil-nMKTRIE DESCRIPTIVE 



Soude commun .\ delx Cô.nes. 

1702. — 0, 0' el C, C, situés sur une même droite de bout sont les centres de deux sphères de même rayon R . 

S, S' el T, T', situés à un même niveau, sont les sommets respectifs de deux cônes circonscrits : l'an à la sphère 
0, 0' et l'autre à la sphère C, C. 

Les axes de ces cônes sont de front. 

On demande : 

i» De déterminer, par ses deux projections, le solide commun aux deux cônes ; 

2° En l'éclairant par des rayons lumineux, tels que l.V, parallèles entre eux et inclinés à 45° ( -f ), selon l'usaje 
de déterminer tes ombres propres au solide. 

Nota, a) Les sphères n'ont pas d'existence réelle ; elles ne servent qu'à déterminer les cônes. 

b) On ne demande pas les ombres portces sur les plans de projection. 

c Pour les construclions on se servira de l'intersection des cônes avec le plan horizonlal .ry qui passe par les 
points a; et y oà se coupent les tangentes au cercle telles que S':' et T'x. 

Le point courant de l'intersection des deux cônes sera désigne par la lettre m, m' el la tangente en ce ^mint par 
les lettres mt, m't'. 

Les constructions relatives <•. la recherche de l'intersection seront tracées en rouge. Celles relatives aux ombres 
seront en bleu. 

Les lignes existantes (Intersection, contours apparents, séparatrices d'ombre ..) seront dessinées en trait noir 
plein (—) pour les lignes vues, el ponctué '. . .) pour les lignes cachées. 

Les ombres vues seront recouvertes par des hachures bleues. 

[Ecole Polytechnique, Concours de 1908.) 

On sait que le contour appaient d'un cône circonscrit à une sphère se compose des deux génératrices dont 
les projections sont les tangentes au contour apparent de la sphère menées par la projection du sommet dn 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVR 



cône. On a donc immédiatement les contours apparents des deux cônes S et T sur chaque plan de projection. 
Chaque cône ayant son axe de front, le plan de front qui passe parle sommet est un plan de symétrie et contient 
le grand axe de l'ellipse section du ci'me par le plan horizontal x'ij', dont on a la vraie grandeur; le centre de 
la projection horizontale de chaque ellipse est sur l'axe de la feuille, qui passe par le milieu de x'y', et chaque 
petit axe a pour longueur la corde de bout intérieure à l'un des cônes et qui se projette verticalement en a' . 
Si l'on imagine que les deux cônes ont leurs axes dans le même plan de front, sans modifier leur projection 
verticale, ils sont circonscrits a la même sphère, et la corde considérée, commune aux deux plans de contact ab' 
et a'i', a ses deux extrémités sur la surface de la sphère, ."^a longueur est donc le diamètre du petit cercle 
horizontal dont le centre se projette en a'. Connaissant maintenant les deux axes de chaque ellipse on peut 
tiacer les projections horizontales des bases des deux cônes donnes. 

Inierseciion des deux surfaces. — Nous couperons les doux cônes par des plans passant par la ligne des 
sommets ST; leurs traces sur le plan des bases XY seront toutes parallèles à l'horizontale ST et donneront sur 
chaque ellipse les pieds des génératrices d'intersection dont il suffira de prendre les points communs pour avoir 
des points de la courbe cherchée. Nous obtenons les deux plans limites rfiSi et rf^îo en menant à chaque ellipse 
celle des tangentes parallèles à ST qui coupe l'autre ellipse et leur disposition montre qu'il y aura arrachement. 
Sur chaque génératrice telle que T('i nous obtenons des points de l'intersection tels que di en chacun desquels 
la courbe est tangente à la génératrice de l'autre cône qui passe par ce point. On a ainsi quatre points de la 
courbe et leurs tangentes. 

Points remarquables. — Nous chercherons tout d'abord- s'i4 y a des points sur les génératrices de contour 
apparent, et pour cela nous mènerons les traces des plans auxiliaires par les pieds de ces génératrices. Ainsi le 
plan auxiliaire qui passe par le pied e^ de la génératrice Tei nous donne deux points t,, et v,-2 sur cette géné- 
ratrice — il n'y en a aucun sur la seconde génératrice de contour apparent horizontal du cône T. Nous en 
trouvons de même deux sur la génératrice Se-) du second cône. 

\.vi génératrices du contour apparent vertical étant dans le plan de front de l'axe pour chaque cône, leurs 
pieds se projettent horizontalement aux extrémités du grand axe de chaque ellipse. Nous aurons ainsi, en 
menant le plan auxiliaire par i/i, les deux génératrices du second cône T/"] et Ifi dont les projections verti- 
cales nous donnent les points o| et o.î situés sur la génératrice sy. 

On a les points le plus haut et le plus bas en prenant les génératrices situées dans le plan vertical ST. 
Ainsi T'^J donne le point le plus bas ■;'. 

Nous avons donné la construction d'un point courant m, m' et de la tangente en ce point, en utilisant le 
plan auxiliaire ftfi et en menant les tangentes aux courbes de base en u et /"o, pieds des génératrices qui se 
coupent en m, d'où la tangente tm, l'm'. 

On passe de la projection horizontale de chaque point de lintersection à sa projection verticale en déter- 
minant la projection verticale de l'une des génératrices qui y passe, et pour cela il suftit de relever son pied 
sur la trace x'y' du plan des bases. 

Il est alors facile de tracer la courbe d'intersection sur chaque projection; la détermination du soliste 
conimun ainsi que des parties vues et cachées n'oflfre aucune difficulté. 

iJmbre propre. — Sur chaque cône l'ombre propre est limitée par les génératrices de contact des plans 
tangents à la surface parallèles aux rayons lumineux; il suffira d'en conserver ce qui reste sur le solide com- 
mun pour obtenir l'ombre propre de ce solide. 

Pour déterminer les génératrices de contact sur le cône T par exemple, nous remarquerons qu'elles tou- 
clienl la sphère inscrite sur le cercle de contact de celte sphère et du cylindre qui lui est circonscrit parallèle- 
ment aux rayons lumineux. Elles passent donc par les points communs à ce cercle de contact et au petit cercle 
suivant lequel le cône touche la sphère. H suflitalors de prendre la droite d'intersection des plans de ces deux 
cercles et de chercher les points où elle coupe l'une des courbes de contact pour déterminer les génératrices 
cherchées. 

On pourrait construire l'ellipse projection du cercle d'ombre sur la sphère, mais on peut aussi éviter de 
tracer cette courbe en rabattant son plan autour du diamètre de front a'I' et en même temps la droite dont on 
a la projection verticale b'k' et dont les points p'etr/ viennent en p'i et g\. Cette droite coupe le grand cercle 
en r*! cl lî'i qui se relèvent en r' et v', d'où les génératrices cherchées TV et TV. Une construction analogue, 
mais simplifiée parce que la première en a déjà fourni les principaux éléments, fait connaître les génératrices 
d'ombre propre sur le second cône. On passe de la projection verticale à la projection horizontale en prenant 
les point-i oii ces génératrices traversent le plan x';/' des bases des deux cônes. On reconnaît qu'une seule des 
deux génératrices sur le second cône appartient au solide commun, c'est su' . En conservant sur chaque sur- 



44 PHYSIQUE 

face la porlion des génératrices limitée par la courbe d'intersection, on obtient l'ombre propre demandée. Tout 
rp qui est dans l'ombre dans les parties vues sur chaque projection a été recouvert de hachures. 



PHYSIQUE 



1649. — /'''•< nxi/jii'xl.i fin nombre n cnnlcnanL la im'ine lu.isse d'flau ii la mi'me Irinpi'ruliirn luiliah 'i,, 
peuvent communiquer entre eux de telle sorte que l'eau du {" s'écoule dans le 2', celle du 2'" dans le 'i' el 
ainsi de suite. On fait arriver dans le l" de l'eau à 0°, à débit constant et à raison de m grammes par 
seconde; en même temps on ouvre toutes les communications de manière que la masse d'eau reste constante 
dans chaque récipient. Exprimer en fonction du temps la température du n'-""" vase en supposant que, dans 
chacun d'eux, le mélange se fasse instantanément. 

Considérons, à un moment donné, le p'"'"' récipient. Dans l'intervalle de temps infiniment petit dl, 
il a perdu une quantité d'eau mdt à la température <i,, qui s'est trouvée remplacée par la quantité égale 
7«rf< à la température 0^_, ; il en résulte un gain (négatif) de chaleur égal à m(0,,_, — 0,,)rf(. Or cette 
chaleur a fait varier de d^i, la température de la masse M : on peut donc écrire 

MdQp = Hn'V, — 0^,)(//. 
m 

Désignons par a le rapport — - c est-à dire l'inverse du temps nécessaire à un récipient isolé 

pour se vider, et l'équation générale peut s écrire -^ — i- 'J^, = o^,_,. Pour intégrer, posons 

-uv — ''^,_,. Déterminons o de façon que le coellicient de u soit nul : 



''a dt 

; — I- U = 0, d'oi'i V = Ce~"'. 

a dt 

On peut supposer G = 1 ; nous aurons donc 

Oj, = ne~"' avec dti = ai)p^ie"'dl. 

Pour tous les récipients, on aura, pour / = 0, H^ — u = 0^. 

Soil p — \. On peut supposer Op_, constant et égal à 0. Donc u est constant et égal à sa valeur 

initiale f'o, 8, — Boe-"'. 

Soit /( = 2, du = a\iit, d'uii, avec la condition initiale u = >iu[l -hat), 

0, = e„(l -H at)e-'". 

Soit p — 3, du = n'\{{ -^al)dt, d'où m = "î J 1 -+- -j-^ i~^ 



/ . at a-l- \ 



0, =. o„ 

at a-i- 



Dune manière générale, »„ = '^o 1 ^- -7- + -r^r + • 1 ttK" • 

\ I l.Z [n— I)! / 

il est facile, en effet, de vérilier que la loi, supposée vraie pour n vases, l'est pour « -+- l . 
Hoiiiarquons qu'au hmil du temps on a 

«' V 1 1.2 ^ yn- 1): / 


cl, en parliciiiier, pour \i' proinii'r récipient, '', — -^■ 

II. AUSCHKK. 



ÉCOLK POLYTECHNIQUE (EXAMENS OliACX. lOdS- 



miLI-; l'OLYTECHMuUE (1908) 



gUESTlU.NS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX (fin.) 

G52I. — Itelation entre la longueur de la normale à l'ellipse limitée à un axe et le rayon de courbure. 

(il/ / 1 -t- '/" 

6522. — Intégrer l'équation différentielle — ^ = V/ '—r- Equation rationnelle des courbes intégrales qui sont 

des coniques. Axes de ces coniques. Enveloppe des coniques. 

6523. — Lieu des pôles des normales à l'hyperbole — ^ '— — 1 = 0. 

6524. — Tangentes menées par le point (ï, ?I à laconique ({x, y) = 0. Condition de réalité. 

6525. — Par un point A d'une parabole on mène deux droites Tariables symétriques par rapport à la normale en A. 
Ces droites coupent la parabole aux points B et C. Enveloppe de la droite BC. 

x' y- 

6526. — Mener du point (.i-,,, i/o) If* tangentesà l'ellipse -^ -h — 1 = 0. Discuter. L'ellipse se déforme en con- 

serïant les mêmes foyers, comment varient les tangentes ? Lieu des foyers des coniques qui ont un foyer donné et qui sont 
tangentes à deux droites. 

6527. — Une tangente variable à une ellipse rencontre les axes aux points P et Q. Lieu du quatrième sommet du 
rectangle construit sur OP et OQ. 

6528. — Enveloppe des cordes de longueur constante d'une ellipse. . 

0529. — Soient le sommet d'une parabole, P le point à l'infini. M et M' deux points de la courbe symétriques par 
rapport à l'axe. (Calculer le rapport anharmonique des quatre points 0, P, M. M'. 

6530. — Equation générale des coniques qui passent par les sommets d'un triangle et son centre de gravité. 

6531. — La normale en un point M d'une ellipse rencontre la courbe eu un second point N. Calculer les coordonnées 
du point .N, la corde M.N et le rapport des aires déterminées dans l'ellipse par cette normale. 

6532. — Trouver les axes, les sommets et les foyers de la conique j- + y- — a- = 0, les axes de coordonnées faisant 
l'angle 60». 

6533. — Les sécantes communes à une conique et à un cercle sont également inclinées sur les axes de la conique. 
653-4. — Lieu des points d'où l'on peut mener à une parabole des tangentes faisant un angle donné. Solutions géomé- 
trique et analytique. 

6535. — Lieu du centre de gravité du triangle formé par les [ kds des normales issues d'un point à une parabole, 
quand ce point décrit une droite. 

6536. — On donne une ellipse rapportée à ses axes et un point de cette ellipse x =a cos 'f, y ^ sin 9. On 
pose 1 = «'?, et on exprime j et // en fonction de (. Quelle relation doit-il exister entre les t de quatre points de 
l'ellipse pour que ces points soient sur un cercle ? ^ 

6537. — Lieu des points de contact des tangentes parallèles à une direction donnée à une parabole de grandeur constante 
qui tourne autour de son foyer. 

6538. — Par un point M on mène une tangente MT à une parabole de foyer F. Quel lieu doit décrire le point .M pour 
que I angle T.MF soit constant ? 

6539. — Trouver l'enveloppe des axes des hyperboles dont on donne une asymptote, un point et la tangente en ce point. i> 

6540. — Intersection d'une droite et d'une conique définie par trois points et les tangentes en deux de ces points. 

6541. — On joint un point M dune ellipse aux foyers F et F'. Etablir la relation qui existe entre les angles de MF, 
MF' avec le grand axe. 

6542. — Trouver les foyers de la conique x- — tixy -t- 9j/' -i- 2// = C. 

6543. — Calculer le rapport anharmonique des quatre sommets d'une ellipse. 

6544. — Equation générale des paraboles qui ont pour paramètre p. l<fl' 

6545. — On donne une parabole y^ — 2px ^0 et un point Mi Cu, ;/»). De ce point on mène des tangentes M.V et MB 
à la courbe. Former l'équation du cercle circonscrit au triangle M.AB. 

6546. — On donne l'équation différentielle x -f- yy' = r, — ^ . '• < 6t on considère les courbes intégrales (C). On 

vl -+- ;/ - 
demande de former l'équation difl'éientielle que vériâent toutes les courbes polaires réciproques des courbes (C) par 
rapport à la parabole x- — 2y = 0. Intégrer cette équation, et en déduire l'intégrale générale de l'équation proposée. 

IV. — Géométrie analytique à trois dimeasions. 

6547. — Dans un tétraèdre deux arêtes opposées sont égales. E.xiste-t-il d'autres relations entre les éléments du 
tétraèdre'; i,*- 

6548. — On donne trois droites quelconques Di, l»s, D3. Déterminer respeclivement sur ces droites des points Xi. A;, Aj 

tels que AiAs soit perpendiculaire à Di, Aa.^i à D:. AiAj à D3. 

6549. — Trouver le volume d'un tétraèdre SAliC connaissant les longueurs SA, SB. SC et-les angles BSC, CSA, ASB. L,^ 



4f; ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



6550 — On donne deu\ systèmes d'axes rectangulaires Oc. 0(/, O3 et Ox', Oy', Oz' ayant même origine et disposés de 
la m'orne manière. Trouver unedroite passant par le point autour de laquelle on peut faire tourner le trièdre Oxi/z pour 
l'amener sur Ox'ij':'. t<> — 

6551 — On donne les deux droites a- =!/ = s, et ,ix -h by + cz -t- d = 0. a'x -h by ^ c'z -\- (ï = 0. Equations de 
la perpendiculaire commune; plus courte dislance. Coordonnées des ettrémités de la perpenliculaue commune, i;,^^. 

6552. — Perpendiculaire commune aux deux droites x= y = z, et x = y^i. : = 2// — 1. 

.T -t- 1/ f 
0553. — Ivtudier la surface z = arc tg ^ _^^ • UO- 

6554 — D'un point P de l'espace on mène des plans oseulaleurs a l;i courbe y = .1-, ; = //-• l'eut-on choisir le 
point P de façon que les points de contact de ces plans soient dans un même plan avec le point P .• V 

6555. — On considère la courbe x = az', y = hzK Irouver la tangente et le plan oscillateur. V. 

0556. — Oue représentent les équations i = » cos «, ;/ = i' sin n, z = av -^ 91111. u et d étant des paramètrej. -\/' 
Plan langent en un point de la surface. 

(5557 _ Sur les tansentes à une hélice circulaire on porte à partir du point de contact .M une longueur MP = / 
variable avec M. iiuelle doit être la loi de variation de / pour que la tangente en P au lieu de ce point soi! perpendiculaire 
à MP?. 'pT 

0558. — Lieu des pieds des normales menées des points d'une droite à un cone de révolution. 

0559. — Équation du conoïde dont le plan directeur est le plan des xy et dont les génératrices rencontrent 0: et sont 
tangentes à la sphère x' -^y° -f- z' — inx -i- ô- = 0. 

0560. — On considère la courbe .T =: ^ ^ , y= ^_^ . : = ^J^, ■ Équation du plan passant par les points 

(,. t- fi. Tangente. Plan osculateur. [Ç . . , _ 

r' (/- :- "7" 

6561 .— Trouver le cône supplémentaire du cone — -^ j: -., =" MdL.- 

0562. — Trouver la surface engendrée par un cercle du plan des xy tournant autour de la droite 7 = "^ —~- 

Étudier la méridienne. L,CK f 

0563. - Équation de la section droite du cylindre défini par l'équation A(P, (ji = 0. i-,<X ■ 

0504 - On considère la courbe x= ^ , y = ^- ïangente. Plan osculateur. Longueur d'un arc. Montrer que 

lu 3 ly. 

la tangente fait un angle constant avec une droite Use. JV- 

6565. — On donne une courbe tangente à l'origine à 0.- et admettant le plan :()r comme plan osculateur. Étudier 
aux environs de l'origine le lieu des traces des tangentes sur le plan des xy. ^ 

6566. — Projection dune courbe gauche sur un plan perpendiculaire à la tangent». 

6567. — Éouation de la surface engendrée tiar la courbe : = 0, {x- + y^Y = a'ix- — (/-|, tournant autour de Ox . 
Volume. Li€., . 

6568. — Kormer l'équation d'un cylindre de révolution passant par l'origine et ayant pour axe une droite donnée, ^fi, • 

6569. — On considère un cylindre de révolution ayant pour axe 0:. l'ar le point on mène une droite rencontrant 
le cylindre au point M, et sur O.M on prend un point P lel que O.M.OP = t. Lieu du point P. StO^ 

6570. — Lieu des sommets des cônes de révolution passant par une conique. \/ 

«571. — Kquation de la surface de révolution engendrée par un cercle du plan des xy ayant son centre sur Oc autour 
d'une droite passant par l'origine et située dans le plan a:0:. \/~ 

0572. — On donne trois axes rectangulaires Ox, Oj/, 0: et un cercle C dans le plan des xy ayant pour centre le point 
0. Soit .M un point de ce cercle. Ou point M comme centre et dans le plan cOM on construit un cercle ayant pour rajon la 
moitié de l'ordonnée .lu point .M. Trouver la surface engendrée par ce cercle, quand le point M décrit le cercle 0. LiO- 

0573. — Par un poinl .V de l'espace on peut mener trois plans osculateurs ii la courbe x = :■, (/ = .(-. Où doit se 
Irouver le poinl .A pour que les points de contact trouvés soient en ligne droite ? V 

6574. — Equation de la surface engendrée par une droite parallèle au plan des xy qui rencontre 0: et une hélice 
tracée sur un cylindre de révolution ayant pour axe Oz. Plan tangent en un point de celte surlace. 

0575 — ttudedc la surface : = a '' ~'^. • Génératrices. Section par un plan passant par une génératrice. J\ 
y'-hx' 

0576. — Volume de la surface — r+V7 —=0 compris entre les plans : = 0, z = h. V' 

6577. — On considère la surface dont l'équation s'obtient en éliminant ï entre les deux équations f{x, y, z, a) = 0, 
o{x, y. z, I) = 0. Trouver le plan langent en un point. Casoii les deux équations sont du premier degré en x, y, z. 

6578. — On donne un point A et une droite I). Par le point \ on fait passer une droite variable i, et on demande le 
lieu ilu pied sur A de la perpendiculaire commune k U et ii A. !,£, ^ 

6579. — Trouver le cône ayant pour sommet le point (I. 1, 1) et pour directrice la courbe .r ^- i\ y — (•', ; =1. Jî 

6580. — Lieu du centre d'une sphère passant par deux points et tangente il un plan. £) 

0581. —On donne un cylindre de révoluticm et une droite. Lieu des pieds sur les généralrices du c> lin Jre des perpen- 
diculaires communes h ces génératrices et u la droite. 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



6582. — On donne deux points M et M', voisins, d'une courbe gauche, et du point M' on abaisse MP perpendiculaire 
sur la tiuigente au point M. Calculer l'ordre infinitésimal de MP, en prenant la dislance MM' comme infiniment petit 
principal. 

6583. — Quelles sont les courbes dont le plan osculatfur passe par un point fixe? 

C584. — Déterminer les courbes gauches dont les tangentes louchent une sphère. Soient A et B deux points «l'une de _, 
ces courbes. Montrer que l'arc .\B s'exprime en fonction des coordonnées des points .-V et B. Interprétation g'^ométrique.j> 

♦>5f<5. — f'x, y, :, l) désignant un polynôme homogène, montrer que l'équation [xf, — yCj -+- if; -^If't ]m = " 
(puissance symbolique) représente un cône ayant pour sommet le point |x„, y„, z^, to), lorsque ce point est un point multiple 
d'ordre m de la surface /(x, ;/. ;, t) = 0. 

6586. — Aire du paraboloîde de résolution. 

6587. — On considère une surface de révolution engendrée par une courbe C du plan îles :x tournant autour de l'axe 
0; supposé vertical. On limite cette surface à deux plans horizontaux. Déterminçc-la courbe C de façon que la pression 
exercée par unité de surface sur la base inférieure soit indépendante de celle-ci. ^ 

1)588. — Equation du conoide engendré par une droite rencontrant 0:, parallèle au plan des xy et s'appuyani sur le 
cercle x ^ a, y--f- z- = h-. Volume du conoide limité au cercle. 

6589. — Trouver réqudtion du cylindre de révolution qui a pour axe la droite 

ix -1- 6(/ + 3; — 7 =- 0, 3x -^ 71/ -H 5: -^ S = 0, et pour rayon 1 . 

6590. — Démontrer que par un point quelconque P de l'espace, on peut mener trois plans osculateurs à la courbe 
y = x', z ^ x'', et que le plan des trois points de contact passe par le point P. 

6591 . — Placer sur le cône x- + y- = m'z- une courbe coupant les génératrices sous un angle constant. ^/<^ 

6592. — Truuver le lieu dos points de l'espace dont le rapport des distances à un point fixe et à une droite âxe est 
constant. "^^ 

6593. — Trouver les points d'inflexion du développement d une courbe située sur un cylindre de révolution à axe 
vertical. 

6594. — .Moment d'inertie d'un ellipsoïde de révolution par rapport à son axe. J\ 
6595 — Etudier les quadriques : 

X- -t- 2xy — Hz ^ X — y = (génératrices parallèles au plan : ^ 0) . 
x- — xy-*-xz — î/ = (génératrices), c--t-y- — Si/; -f- 6a; := 0, 

% X- + y' — Hxz — (i: -H 7 =0 (sections circulaires), x- -h 2xy -*- z' -i- 2y — 3 = 0, 

, x-f- V 

x* + yi — -2xy-hyz-i-2x-i-iy = 0, y = x±^x ^:. z = ^_ ' 

x'-i-y- — iyz + 6x — 3 = 0. x-+ y^ — 2yz -h 2z — i = 0, yz -h zx -t- xy = l . L.«-- 
V X- -h y- — z- + 2yz — ixy -y- 2xz-hx-i-y = «. iy: — z'--t-3y- — 2x = 0, 
x' — y- ■+■ 3yz =: 1 , X- -t- ;/- — 2i/: -h 2x = Û . X 
6596. — Déterminer /. de façon que la quadrique 

/.(x= -+- y) -(- 6xj/ 4- 33- — - -i- 1 =0 



Ze! 



ait une ligne de centres. l^C 

6597. — Exprimer qu'une quadrique se décompose en deux plans 

6598. — Lieu des points d'où l'on peut mener <à un cône du deuxième degré deux plans tangents rectangulaires. 

6599. —On donne un point .A, une quadrique U et un plan V. Par le point A, on mène une sécante rencontrant la 
quadrique aux points M et M', et le plan P en un point B. Lieu du conjugué harmonique de B par rapport .à M et .M'. 

6600. — Déterminer un cône du second degré passant par deux lercles ayant deux points communs, p 

6601. — Ine droite variable A rencontre deux dwiles Dxes D et D'en des points M et M' tels que MM' soit vu .l'un 
point fixe sous un angle droit. Lieu de la droite .i. D 

6602. — Lieu des milieux des cordes d'une quadrique passant par un point fixe. L». i ' T> 

6603. — Trouver sur un ellipsoïde le lieu des points où la normale rencontre une droite fixe. •-«_ E> 
6601 — Même question pour un paraboloîde hyperbolique. Z_^<. 

6605. — Trouver sur un paraboloîde hyperbolique ^ ^— 2a' = le lieu des points où le plan tangent fait un 

T J ' P t 

angle donné avec l'axe. i.€. 

6606. — On donne un point fixe A et un plan fixe P. Lieu du point .M, tel que le rapport des distances du point M 
au point A et au plan P (comptée parallèlement à une droite donnée) soit constant. \-d. 

6607. — Deux quadriques qui se touchent en trois points se raccordent en général en tous les points dune 
conique. 

6608. — Trouver toutes les quadriques qui coupent l'ellipsoïde -^ — -H — '■ ! — ^ —1=0 à angle droit en tous 

Bii- 0- t- 

6609. — Soit A (Si le premier membre de l'équation en S. Former le produit A (S) A ( — S). Peut-on en déduire que 
l'équation en S a toutes ses racines réelles? Zé,. 9 

6610. — Deux quadriques circonscrites à une quadrique se coupent suivant deux coniques. J^£^ 

6611. — Trouver l'éfiuation de la surface engendrée par une droite assujettie à rencontrer trois droites parallèles à un 
même plan. 

6612. — Lieu des points de la surface xy = az où se coupent deux génératrices faisant l'angle de GO-. 



r:coLr: polytiiCHNIQUe (examens oraux, iws) 



6613 — Etant donné lellinsoMe ^ ^ 4ir ^ —. '' = » et le point A [x.,, i/o, lo,), mener pnr le point un 

a- 0- c- 

plan conpant la surface suivant une ellipse ayant pour centre le point A. 

6614. — Lieu d'un point >1 tel mie la perpendiculaire menée de ce point sur son plan polaire par rapport à une qua- 
drique passe par un point donné. Jf 

6615. — Étant donnés lliyperboloide -îp -^ Y' ^^^ ' ~ " ''^ '" '*"''''■'''"' '■"' '"' P"""" Paramétres direc- 
teurs acos?cos6, 6sin = co50, c sin 6, qUeiie relation doit-il exister entre et -^ pour que cette direction soit celle 
d'une génératrice de la surface ? Équation de cette génératrice. "^ 

6616. — Xieu des droites passant par un point donné et pnr lesquelles passent deu\ plans rectangulaires tangents à un 
ellipsoïde . \/ 

f.617. — Lien du pôle du plan û\e iix -h vy^ irz -^ r = par rapport aux quadriques 

__£L_ -I ^ j :i_ 1 — 0. le plan fixe coupe chaque quadrique suivant une conique. Lieu des centres 

a- -h A b- ^'/. tr c' -^ A 

de ces coniques. J\. 

6618. — Lieu de la droile commune à deux plans rectangulaiivs passant chacun par une droite Qxe. Nature de la sur- 
face. Sections circulaires. Solution géométrique. 

6619. — Lieu des milieux des cordes d'une quadrique qui passent par un point donné. LA. 

6620. — Lieu des centres des coniques section d'une quadrique par des plans passant par un point donné. L«_ 
«021. — Lieu des pieds des perpendiculaires menées d'un point sur les génératrices d'un paraboloïde hyperbolique 

ou d'un hyperboloïde à une nappe. V" 

6622. — On considère l'ellipsoide ^ ^. — 1=0 et une sphère tangente au point (0, 0, c . Projec- 

n- h- c- 

tion de l'intersection sur le plan des .ri/. 

6623. — On donne im ellipsoïde et un point A. Lieu diiiie droile D passant par A telle que le diamètre conjugué du 
plan perpendiculaire à D rencontre celte droite. Lieu du point de rencontre. "^^T 

6624. — Équations du cùne ayant pour sommet le point (0,0,// 1 et pour directrice le cercle .r- -h y- — îkx = 0, : = 0. 
Plans cycUques. 

6625. — Lieu des points d'un ellipsoïde pour lesquels la distance du centre h la normale est constante, en particulier 
égale à zéro . 

6626. — La normale en un point d'un ellipsoïde rencontre les plans principaux aux points A,B,C. Lieu du centre des 
moyennes distances de A, B, C quand le point varie sur la surface, 

6627. — Lieu des points d'une c[uadrique oïi se coupent deux génératrices rectangulaires. 

6628. — Plansde sections circulaires d'un ellipsoïde. Trouver le volume compris entre deux plans de sections circulaires, 
6«529. — Mener d'un point des normales au paraboloïde yz = ax. 

6630 — Déterminer les plans coupant la surface ^ -h 4r — 't = ^ suivant une courbe qui se projette sur le 

^ a- b- c- 
plan des xy suivant une hyperbole équilatere. y 

W. — Géométrie Descriptive. 

6631 . — Construire l'angle des plans projetant une droite. 

6632. — Mener par une droite un plan de pente donnée. 

6633. — On donne deux points .\ et B par leurs projections horizontales, situés dans un pLin donné par son échelle 
de pente. Construire dans le plan un carré ayant AB pour côté, puis un cube ayant ce carré pour face. 

6634. — ,\ngle de deux plans donnés par leurs échelles de pente, 

6635. — Construire un cube dont une diagonale est verticale, 

6636. — On donne un tétraèdre SAlîC, et par son centre de gravité •'. on mène un pl.ui parallèle au plan ABl'. (|ui 
détermine un tronc de pyramide, visibilité. Ombre portée sur le plan horizontal. 

6637. — Perpendiculaire commune à une droite quel'onque et à la ligne de terre. 

6638. — l'erpendiculaire commune à deux droites en géométrie cotée. 

6639. — Distance d'un point du second bissecteur à une droile donnée par ses projections. Angles de la porpendicul.iire 
avec les plans de projection. 

6640. — Couper im angle pnlyèdie à (piatre f.aces par un plan de manière que la section soit un parallélogramme. 
6'>41. — On donne trois points A,B,t;. Trouver le sommet d'un trièdre trirectangle dont les arêtes passent par les 

points A, B.C. Le problème est-il toujours possible .' 

6642. — On doime deux points .\ et B parleurs projections et on demande de construire un point C connaissant s.» 
projection horizontale et sachant que AB et AC sont perpendiculaires, 

6643. — Faire tourner un tétraèdre ABCIt de façon (|ue l'arête AB devienne horizontale. 

6644. — Déterminer les dièdres d'un létraèilre donné par ses projections. 
664>5. — Projection d'ime ilroite sur un plan donné par son échelle de pente. 
6646. — Projection d'un cercle passant par trois poinis. 



ECOLE l'OLYTEGHNlQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 49 

()6i7. — L'a cercle donné est la projection horizontale d'une ellipse située dans un plan P donné par son échelle de 
pente. Cette ellipse est la directrice d'un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan P. Le cylindre est 
éclairé par des rayons lumineux parallèles à une droite donnée. Ombre propre et ombre portée sur le plan P. 

6648. — On coupe un cône à base circulaire horizontale par un plan. Trouver les points de la section où leplnn 
sécant est normal au cùne. 

(î'649. — Construire une normale commune à un cylindre de révolution dont l'axe est de bout et à un cone de révo- 
lution à axe vertical. 

6650. — Ln cône de révolution à axe vertical est coupé par un plan. La section est la base d'un cylindre parallèle à 
la ligne de terre. Trouver le contour apparent de ce cylindre. 

6651. — Section plane d'un cône oblique à base circulaire. Deuxième direction des plans cycliques. Section parabolique. 
Sommet. 

6652. — On donne un plan défini par deux droites et dans co plan une conique définie par sa projection horizontale 
(|ui est un cercle. Cette coni([ue est la base commune à deux cùnes de sommets donnés. Intersection de ces deux cùnes. 

6653. — On donne deux cercles tangents dans le plan horizontal. L'un est la directrice d'un cylindre vertical, l'autre 
la directrice d'un cône dont le sommet est sur la verticale du point de contact. Intersection des deux surfaces. 

6654. — Intersection d'un cAne à base circulaire horizontale et d'un cône parallèle. 

6C55. — On donne un cône de révolution à axe vertical limité à un plan horizontal et à son sommet, la pointe étant 
vers le bas et le cône étant creux. On l'éclairé par un point lumineux. Ombre à l'intérieur du cône. 

6656. — Construire un cône passant par un cercle et trois points. 

6657. ~ Construire un cylindre passant par un cercle et deux points. 

6658. — On donne deux coniques S et - dans le plan horizontal ; ce sont les bases dedeux cônes ayant respectivement 
pour sommets les points (,<;, s') et (t, ^'j, s étant le centre de la conique S, 3 celui de S. Intersection des deux cônes. 

6659. — On donne une circonférence dont le centre est sur la ligne de terre. Considérée comme étant dans le plan 
horizontal, c'est la directrice d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à une frontale (F,F'). Considérée comme étant 
dans le plan vertical, c'est la directrice d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à >uie horizontale (H, H'). On 
suppose en outre qui' F' et H sont parallèles. Intersection des deux cylindres. 

6660. — On donne un cylindre dont la directrice est un ceicle du plan vertical tangent à la ligne de terre et dont les 
génératrices sont horizontales, et un cône de révolution dont le sommet est sur la ligne de terre et touchant le plan hori- 
zontal suivant une droite donnée. On connaît en outre le demi-angle au sommet de ce cône. Intersection des deux surfaces. 

6661. — Intersection d'un cône de révolution à axe vertical et d'un cylindre hyperbolique. 

6662. — Intersection de deux cylindres hyperboliques. Points à l'infini. 

6663. — On donne deux cercles : C (centre o,o't et •; (centre <■>. w') situés dans des plans horizontaux différents. Inter- 
section du cône qui a pour directrice le cercle C et pour sommet (w, w), et du cône qui a pour directrice •; et pour sommet 
(o,o-). 

6664. — Intersection de deux cônes de révolution !i axe vertical ayant même angle au sommet. 

6665. — On donne une hyperbole horizontale définie par ses .asymptotes et un point .11 : c'est la base d'un cylindre de 
direction donnée. On demande l'intersection de ce cylindre et d'un cône ,ayant pour directrice un cercle concentrique à 
l'hyperbole, passant par le point M et dont le sommet est sur la génératrice du cylindre passant au point M. 

6666- ~ f'f donne un cercle horizontal et un cercle de front. Chacun d'eux est la base d'un cône ayant pour sommet 
le centre de l'autre. Intersection. 

6667. — On donne un cercle horizontal et une droite de front située dans le même plan de front que le centre. Le 
cercle tourne autour de cette droite. Déterminer un point du contour apparent de la surface engendrée et la tangente en 
ce point. 

6668. — Cylindre circonscrit à un tore dont l'axe est vertical. 

6669. — On donne les projections d'un segment AB qui est le grand axe d'une ellipse dont le petit axe est égal à la 
moitié de AR. Trouver le contour apparent de l'ellipsoïde engendré par l'ellipse tournant autour de Ali. 

6670. — Contour apparent horizontal d'un tore dont l'axe est de front. Rtude analytique. 

6671 . — Ombre (en lumière à 45») d'un tore à axe vertical. 

6672. — 1 ne courbe quelconque C tourne autour d'une droite quelconque et engendre une surface de révolution. 
Trouver la normale à la surlace en un point de la couibe C. 

6673. — Mener .à un tore dont l'axe est vertical un plan tangent parallèle à une droite, le point de contact étant sur 
un méridien donné. 

6674 ^ On donne trois points par leurs projections, A, lî, M et on considère l'ellipse qui apour foyers A et B et qui 
passe par le point .M. Trouver les contours apparents de l'ellipso'ide engendré par cette ellipse tournant autour de son grand 
axe. 

6675. — Section d'un tore à axe de front par un plan passant par le centre et parallèle au deuxième bissecteur. 

6676. — Tout plan bitangent au tore le coupe suivant deux cercles. 

6677. — On donne quatre points par leurs projections coté.'s : construire la sphère inscrite dans le tétraèdre formé 
par les quatre points. 

6678. — On donne deux points M et N sur une sphère. Déterminer sur la sphère un point P tel que le triangle M.NP 
soit équilatéral . 

6679. — Ombre (en lumière h 45») d'un système formé par une sphère pleine et une droite la rencontrant. 



oO ÉCOLE POLYTECHNIQUE 'EXAMENS ORAUX, 19081 

0680. — Une sphère est donnée par la projection et la cote de son rentre et son rayon. Ine droite est définie par un 
point et sa pente égale à -^- Intersection de la droite et de la sphère. 

6681. — Point brillant d'une sphère, les rayons lumineux ayant une direction donnée et l'œil étant à l'infini en haut 
sur une verticale. 

6682. —On donne deux points (o. o') et (ii, a') et sur la droite qui les joint entre ces deux points un point (m, m'I. 
Trouver les projections du cercle commun à la sphère de centre (o, o') et de rayon (oo, o'a') avec le plan perpendiculaire à 
ce rayon et passant par le point (m, m'). 

6683. — On coupe une sphère par un plan vertical passant par le centi-e, et on enlève un des hémisphères ainsi 
formés. Trouver l'ombre de l'autre (ombre à l'intérieur, à l'extérieur, ombre portée sur le plan horizontal). 

6684. — Construire la sphère inscrite dans un tétraèdre connaissant les échelles de pente des faces. 

6685. — Trouver sur une droite le point d'où l'on voit un segment AB sous un aiigie droit. 

6686. — Construire une sphère tangente à trois plans et passant par un point. Cas où les plans sont les plans de 
projection et un plan de profil. 

6687. — On donne une sphère el un rayon lumineux qui la rencontre ; trouver le rayon réQéchi. 

6688. — On coupe une sphère par le plan horizontal et le plan de front du centre et on considère le quart de cette 
sphère situé en arrière et en bas. Ombre a l'intérieur, les rayons lumineux étant parallèles à 43». 

6689. — On donne une sphère et un point A. Mener parce poii\t une droite telle que les plans tangents menés .i la 
sphère par cette droite fassent un angle donné. 

6690. — Droite conjuguée d'une droite donnée par rapport à une sphère. 

6691. — On donne une droite (A,.4'| et la projection horizontale m d'un point. Construire un cylindre de révolution 
ayant pour axe la droite (A, A') et tel qu'il n'existe qu'un point du cylindre se projetant horizontalement en m. 

6692. — On donne un cylindre de révolution défini par son axe et son rayon. 1° Trouver la projection horizontale d'un 
point dont on donne la projection verticale. 2° Interseclion avec une droite quelconque. 3» Mener des plans tangents par 
un point ou parallèles à une droite donnée. 

6693. — Construire un cylindre de révolution passant par un point et tangent à deux plans. 

6694. — Déterminer sur un cylindre de révolution dont l'axe est de front le lieu des points pour lesquels le plan tan- 
gent au cylindre fait avec le plan horizontal un angle donné. 

6695. — On donne un segment (oft, a'b'\ qui est l'axe d'un cylindre de révolution de rayon donné. On coupe ce cylindre 
par le plan horizontal du point (fc.fc'i et par le plan de section droite du point [a.a''. Représenter le solide obtenu. 

6696. — On donne un cylindre de révolution ayant pour axe la ligne de terre, et une droite quelconque. Par les 
points de la droite on mène des normales au cylindre. Construire le lieu de leurs pieds. 

6697. — Un rayon lumineux tombe sur un cylindre de révolution dont l'axe est parallèle à la ligne de terre. Construire 
le rayon réQéchi. 

6698. — On donne deux droites A et B par leurs projections cotées. La droite A est l'axe d'un cylindre de révolution 
de rayon donné. Mener à ce cylindre un plan tangent parallèle à B. 

6699. — On coupe un cylindre de révolution dont l'axe est parallèle à la ligne de terre par un plan horizontal passant 
par l'axe et on considère seulement le demi-cylindre inférieur réduit à la surface et limité à deux plans de profil. Ombre de 
ce corps. 

6700. — Déterminer un cône de révolution connaissant son axe, son sommet, et sachant qu'il est tangent à une ver- 
ticale donnée. 

6701. — Hener par un point donné un plan faisant des angles donnes avec deux droites données. 

6702. — On donne un cône de révolution défini par son axe, sou sommet et un point. i° Contour apparent. 2° Inter- 
seclion avec une droite. Cas oii la droite est perpendiculaire ,i l'un des plans de projection. 3° Plans tangents parallèles à 
une droite donnée ou passant par un point donné. 4» Section plane. 

6703. — On donne un cône de révolution par son axe et une génératrice. Trouver le contour apparent horizontal du 
n'me supplémentaire. 

6704. — Plus courte distance d'une droite et d'un cône de révolution à axe quelconque. Cas où la droite est la ligne 
de terre. 

6705. — Trouver la trace horizontale d'un cône de révolution circonscrit à une sphère le long du cercle section par 
un plan donné. 

6706. — Construire un cône de révolution ayant un sommet donné, passant par un point donné et tangent aux plans 
de projection. 

6707. — On donne une sphère, une droite D et un point S sur cette droite. Construire un cùnc di- révolution avant 
pour sommet le point S, pour ave la droite el tangent à la sphère. 

6708. — On donne trois droites par leurs projections. Construire un plan coupant ces trois droites sous le même angle. 

6709. — Mener à un cône .le révolution des plans tangents parallèles à la ligne de terre. 

6710. — Construire une droite située à une distance donnée de la ligne de terre et faisant des angles donnés avec les 
plans de projection, .-..imaissant un point de la projection horizontale de la droite cherchée. 

67 U- — Mener un plan ii une distance donnée d'un point donné et faisant des angles ilonnés avec les plans de projec- 
tion. 

6712. — l'.onstruire un cône de révolulion connaissant trois génératrices. 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) "il 

6713. — Mener par un point donné une droite faisant un an^'le donné avec la ligne de terre et située à une distance 
donnée de cette ligne. 

6714. — On donne une surlace gauche de révolution par Sun ase de front et une génératrice de front. Trouver un 
point ili' cette génératrice tel que le plan tangent en ce point fasse un angle donné avec le plan horizontal. 

6715. — Mener par une droite un plan coupant une surface gauche de révolution à axe vertical suivant une hyper- 
bole équilaléri'. Cas particulier on la droite est une génératrice du cône asymptote. 

6716. — Ombre propre et ombre portée sur le plan horizontal dune surface gauche de révolution à axe vertical. Les 
ra\ons lumineux sont parallèles. 

0717. — Construire une sphère passant par un point et in^crile dans une surface gauche de révolution dont l'axe est 
de front. 

6718. — Trouver le contour apparent d'une surface gauche de révolution dont l'axe est de front et qui a une généra- 
trice verticale. Section par le deuxième bissecteur. 

6719. — Trouver les points d'une section i>lane d'une surlace gauche de révolution pour lesqueU le plan sécant est nor- 
mal à la surface. 

6720. — On considère une surface gauche de révolution engendrée par une droite C tournant autour d'un axe de front. 
On l'éclairé par des rayons lumineux à 45°. Trouver les points de la courbe d'ombre sur le parallèle décrit par un point 
donné de la droite G. 

6721. — On donne une surface gauche de révolution par son axe vertical, son centre, son cercle de gorge et un paral- 
lèle. Cette surface supposée creuse est limitée par un second parallèle symétriquedu premier par rapport au centre. Ombre 
à l'intérieur, ombre propre et ombre portée, les rayons lumineux étant à 43». 

6722. — Mener à une surface gauche de révolution à axe vertical des plans tangents par une droite qui rencontre l'axe. 

6723. — Déterminer un point et la tangente de la courbe de contact du cône circonscrit de sommet donné à une sur- 
face gauche de révolution à axe vertical. 

6724. —On considère une surface gauche de révolution engendrée par une verticale tournant autourd'une droite quel- 
conque. Plan tangent à la surface en un point de la verticale. 

6725. — Plan polaire d'un point par rapport à une surface gauche à axe vertical. Pôle d'un plan. 

6726. — On donne une surface gauche de révolution à axe vertical par son cercle de gorge et un parallèle. On donne la 
projection horizontale m d'un point de la surface, trouver la projection verticale m . far le point [m, m') on mène une 
droite (D, D'| : construire la symétrique de cette droite par rapport à la normale en (m, m') à la surface. 

6727. — On considère la surface engendrée parla ligne de terre tournant autour d'une droite définie par ses traces. 
Oonstruiie des génératrices de la surface. 

6728. — Section par un plan horizontal de la surface gauche engendrée par une droite quelconque tournant autour 
d'un axe de front. 

6729. — Construire des génératrices de la surface gauche engemlrée par une verticale tournant autour dune droite 
perpendiculaire au premier bissecteur. 

6730. — On considère un paraboloïde hyperbolique défini par un plan horizontal et deux génératrices quelconques 
non horizontales. 1" Déterminer le sommet: 2» Plan tangent parallèle à un plan donné. Cas où le deuxième plan directeur 
est le plan vertical ; 3' Nature de la trace horizontale d'un cône circonscrit ; 4° Intersection du paraboloïde et d'un cône de 
révolution ayant pour axe l'une des génératrices données; 5° Intersection du paraboloïde et d'un cylindre ayant pour base 
un cercle de front et pour génératrice une génératrice du pai-aboloïde ; 6° Courbe de contact du cylindre circonscrit dont la 
direction des génératrices est donnée. 

6731 . — Lieu des projections d'un point donné sur les génératrices horizontales d'un paraboloïde hyperbolique à plan 
directeur horizontal. 

6732. — Ombre (au llambeaul propre et ombre portée sur le plan horizontal d'un paraboloïde hyperbolique à plan di- 
recteur horizontal. 

6733. — Section parabolique d'un paraboloïde hyperbolique à plan directeur horizontal. Sommet de la parabole. 

6734. — Trouver le sommet d'un paraboloïde hyperbolique défini par deux génératrices et ayant un plan directeur 
parallèle au deuxième bissecteur. 

6735. — Trouver un plan passant par une droite donnée et coupant un paraboloïde hyperbolique à plan directeur 
horizontal suivant une hyperbole équilatère. 

6736. — Trouver le plan polaire d'un point par rapport a un paraboloïde hyperbolique à plan directeur hori- 
zontal. 

6737. — On donne un hyperboloïde défini par trois génératrices. Trouver un point et le plan tangent en ce 
point. 

6738. — Intersection d'une surface gauche de révolution à axe vertical et d'un cylindre de révolution engendré par 
une génératrice de front de la surface tournant autour d'une parallèle menée par le centre de la surface. 

6739. — On donne deux cercles C et Ci situés dans le plan horizontal et tangents intérieurement en un point a de la 
ligne de terre. Le cercle de plus petit rayon C est la base d'un cône dont le sommet est sur la verticale du point </. L'autre 
Cl est la section droite d'un cylindre. Intersection des deux surfaces. 

6740. — Intersection dune sphère avec un cône de révolution ayant pour sommet un point du contour apparent ver- 
tical, pour axe une droite de front passant par le point le plus à gauche de la sphère, ce cône passant en outre par le 
centre de la sphère. 

6741. — Projection cotée d'un ellipsoïde reposant sur le plan de cote suivant un ombilic. 



ECOLE POLYÏECHMQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



6742. — Intersection du cône de résolution engendré parle segment (su, s'a) tournant autour de la verlicale du 
point (s. s') et de la sphère ayant oe segment comme diamètre. 

G743. — Intersection d'une droite et d'un ellipsoïde de révolution dont l'axe est de front. 

6744 _ (jn considère un cylindre de révolution vertical limité au plan horizontal de projection et i\ un plan lioi izontal 
H Dans le plan H, on considère un losange circonscrit à la base supérieure du cylindre, l'une des diaKOiiales étant parallèle 
au plan vertical. Ce losange est la base d'un prisme de hauteur donnée. Ombre du système en lumière à 45". 

6745. _ Intersection d'une sphère et d'un cone de révolution ayant pour sommet le point le plus haut de la sphère, 
pour axe une parallèle au deuxième bissecteur faisant 45» avec les lignes de rappel et pour demi-angle au sommet 45». 

6746. — In paraboloïde a pour plan directeur le plan horizontal et deux génératrices de front. In autre paraboloïde 
a un plan directeur de front et deux génératrices horizontales. Intersection des deux surfaces 

6747. — On donne deux cercles tangents intérieurement en un point a.a de la ligne de terre et une droite (A, A') 
située dans le plan vertical et passant parle point (a,o'). Intersection de deux hyiierboloides [assaut tous deux par la droite 
(A, A') et ayant les deux cercles donnés comme cercles de gorge. 

6748. — On donne un paraboloïde de révolution à axe de front et un parallèle. Trouver les points de ce parallèle où 
le plan tangent fait un angle donné avec le plan horizontal. 

6749. — Intersection d'un cylindre de révolution à axe vertical et d'un hyperboloïde à axe de front admettant l'ave 
du cylindre pour génératrice. 

6750. — Intersection d'un hyperboloïde de révolution à axe vertical et d'un cylindre de révolution ayant pour axe 
une génératrice de front de l'hyperboloïde. 

6751. — On donne une surface gauche de révolution à axe vertical et un cône de révolution parallèle au cône asymp- 
tote de la surface. Déterminer la direction du plan de la conique intersection. 

6752. — Ombre portée par une sphère éclairée par des rayons à 43» sur un cône de révolution h axe vertical. 

6753. — Intersection d'un paraboloïde de révolution à axe vertical et d'un hyperboloïde de révolution engendré par 
l'axe du paraboloïde tournant autour d'une droite de front. 

6754. — Intersection d'un paraboloïde hyperbolique à plan directeur horizontal et d'un cône ayant pour directrice un 
cercle horizontal. 

6755. — On donne un paraboloïde hyperbolique ii plan directeur horizontal et une verticale. Trouver le lieu des 
pieds des normales au paraboloïde qui rencontrent cette verticale. 

6756. — Intersection d'une surface gauche de révolution à axe vertical et d'un cône dont l'axe est une génératrice de 
front de la surface. 

0757. — Intersection d'un cylindre de révolution à axe vertical et d'une surface gauche engendrée par l'axe du 
cylindre tournant autour d'une droite donnée quelconque. 

6758. — On donne dans nu plan horizontal un parallélogramme abcd {ad et Itc étant les diagonales). On fait tourner 
ah autour de ad et cd autour de bc. Intersection des deux cônes engendrés. 

6759. — On donne une verticale, une frontale et une droite quelconque qui définissent un hyperboloïde. intersection 
de cette surface avec un cylindre de révolution ayant pour axe la frontale. 

6760. — Ombre au llambeau d'un ellipsoïde de révolution à axe vertical. Courbe d'ombre propre. Tangentes horizontales. 

6761. — Intersection d'un cône de révolution et d'un paraboloïde de révolution dont les axes sont parallèles. 

6762. — On coujie un hyperboloïde de révolution à axe vertical par un plan et on considère un cône ayant pour 
base la section plane. Section du cône par un plan horizontal. 

6763. — Intersection d'une surface gauche à axe vertical avec une sphère tangente à la surface en un point. 

6764. — Intersection d'un paraboloïde de révolution à axe de front et d'un cône de révolution à axe vertical, les axes 
ne se rencontrant pas. 

6765. — On donne un tore à axe vertical et un plan bitangcnt qui coupe le tore suivant deux cercles. L'un des cercles 
est la base d'un cône de révolution. Intersection de ce cône et du tore. 

6766. — Intersection d'une surface gauche ii axe vertical avec un cône ayant un sommet sur la méridienne principale 
et dont la base est une conicjue dans le plan du cercle de gorge. 

6767. — Intersection d'un tore à axe vertical et d'une surface gauche de révolution engendrée par l'axe du tore 
tournant autour d'une ilroite de front. 

6768. — On donne une surface gauche de révolution engendrée par une frontale F tournant autour d'une verticale V. 
Intersection de cette surface et du paraboloïde hyperbolique passant par les droites F et V, et ayant le deuxième bissecteur 
pour plan directeur. 

6769. — Intersection de ileux Cylindres de révolution dont les axes se rencontrent à angle droit, l'rojeclion sur le plan 
drs axes. Asymptotes. 

*>''70, —On donne (|uatre points .\, H, C, U. UeprésentiT W rône passant par les cercles cinonscrits aux triangles 
AI»; et ABU. 

<>""• . — Trace horizontale d'un cylindre circonscrit à ini ellipsoïde de révolution à axe vertical. 
•»'''-• — Intersection d'une surface gauche de révolution h axe vertical et d'un cône de révolution ajimt av.c la 
burfaci; une génératrice commune de front et dont l'axe passe par le centre de la surface. 

6773. — Intersection de deux paraboloïdes hyperboliques ayant un plan directeur horizontal commun et déllnis cha- 
cun par lieux génératrices du système non liorizonlal. Etude analytique. 



ECOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, It 



6774. — Intersection de deu\ coaes de révolution dont les axes de front se coupent à angle droit et dont les demi-angles 
au sommet soit égaux à 45''. Etude analytique. 

6775. — Déterminer une droite rencontrant quatre droites de profil données. 

6776. — On donne deux droites de front rectangulaires dans un même plan, et une droite les rencontrant. On fait 
tourner cette droite successivement autour des deux premières. Intersection des cônes ainsi engendrés. 

6777. — Représentation dune hélice en géométrie cotée. Construire un point, la tangente, le pian osculateur et la 
normale principale. 

6778. — On donne un cercle dansie plan des xy tangent à la ligne de terre au point (a, a'), et une droite (G, G'j dans 
le plan vertical passant par le point [a^al), et on considère la surface gauche de révolution ayant le cercle donné comme cercle 
de gorge et la droite (G, G'y comme génératrice, intersection de cette surface et d'un cône ayant pour sommet uu point de 
la génératrice et pour base le cercle de gorge. 

6779. — On considère un cône de révolution à axe vertical, limité à un plan horizontal et reposant sur un cylindre 
de révolution parallèle à la ligne de terre. Ouibre portée par le cône sur le cyhndre. 

6780. — Intersection d'une sphère et d'un cône ayant pour sommet le point le plus haut de la sphère et pour base 
un cercle situé dans le [dan horizontal inférieur tangent à la sphère. 

6781 . — On donne une verticale, une ligne de front et une parallèle à la ligne de terre qui déûnissentun hyperboloïde 
à une nappe. Construire des génératrices de diUérents systèmes. Plan tangent en un point. 

6782. — On donne un hyperboloïde par une verticale, une droite de bout et une droite quelconque. Construire des 
génératrices et trouver sa section par le premier bissecteur. 

678;J. — On donne une verticale \, une horizontale H de cote donnée, et une droite li définie par sa projection cotée. 
Ces trois droites déUnisseiit un hyperboloïde. Keprésenler des génératrices. Trouver la cote d'un point connaissant sa 
projection horizontale, flans tangents horizontaux. 

6784. — Trouver les contours apparents d'un cylindre ayant pour directrice une section plane d'un paraboloîde de 
révolution à axe vertical et dont les génératrices ont une direction donnée. 

6685. — On considère un paraboloîde de révolution a axe vertiral. éclairé par des rayons parallèles à une direction 
donnée, frouver le point brillant pour un observateur a l'infini sur l'axe. 

'VI. — Cinématique. 

6786. — Etudier le mouvement d'un point connaissant sa trajectoire if = ipx -+- qx-, et l'hodographe relatif à l'ori- 
gine, qui est une parabole \y — mx'- -^ 2xx -!~ i'^y + T = Ù ayant son sommet à l'origine. 

6787. — biVtrmiuex analytiquemeul les projections de l'accélération totale sur la tangente et la normale principale, 

sachant que les projections de cette accélération sur les axes de coordonnées sont . — —< — —■ On difl'érentie les 

(11,- dV- dl- 

dx dy (Iz - 

relations — -_ = n, — — = r'i, — — = v;, a, >, y étant les cosinus dix-ecteurs de la tangente. 

dt dl dt 

6788. — Trouver k mouvement d'un point -M tel que le rapport de ses vitesses aréolaires par rapport à deux points 

011 
fixes et soit : 1" constant: 2° égal au rapport Trrr- 

0789. — Ln vecteur MP de longueur constinte a se déplace de telle manière que le point M décrit un cercle d'un 
mouvement uniforme et que la vitesse du point !• soit égale a celle du point M. Trouver la trajectoire du point P. .Même 
question en supposant que la vitesse de P est dirigée vers le point M. 

6790. — Etudier le mouvement défini parles équations 

X = -- (1 -i- sin u>< — y/S cos w(), y = — (1 -(- sinui— v/5co3u<), : = — (1 + 2 sin u(,. 

■> •> 3 

^atu^e de la trajectoire. 

6791. — On donne un axe fixe autour duquel tourne une droite parallèle A d'un mouvement uniforme. Soit M le pied 
sur A de la perpendiculaire commune à A et à une droite fixe 0. Lieu du point M. Etudier son mouvement. 

t->-k 

6792. — Etudier le mouvement .c = Ltg — - — > y = sint. 

6793. — Sachant qu'un point décrit une hélice d'un mouvement uniformément accéléré, trouver les équations du 
mouvement de ce point. 

6794. — Ln point se déplace sur un cercle d'un mouvement uniformément accéléré. Trouver la force qui pourrait 
produire ce mouvement. 

6795. — L'n cercle est parcouru par un point .M d'un mouvement uniforme. Trouver les équations du mouvement de 
la projection du point .M dans un plan donné. 

679'>. — Déterminer le mouvement d'un point sur une hélice circulaire de manière que l'hodogr.iphe se projette sur 
un plan passant par l'axe du cylindre suivant une parabole ayant son loyer sur l'axe. 

6797, — Déterminer le mouvement d'un point M dans un plan sachint que étant un point fixe du plan, la droite 

OM tourne autour du point avec une vitesse constmie w. que la vilesse >• du point M est égale : 1° à ., ■ K désignant 

une constante: 2" à v/KTÏTT: 3» a KOM, 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



^•jgg. On considère ("eux ellii'es inant un foyfr comirun et décritfs par deux points suivant la loi des aires, ces 

deux points se IrouTant en foircidence en chacun des points comtnuns aux deux ellipses, ftudier le mouxenent du 
milieu des deux points. 

6799. — L'n vecteur JIP de grandeur constan e se déplace de façon que M décrive un cercle donné et que la vitesse du 
point P soit toujours dirigée veis le point M. Déterminer la trajectoire du point P. 

ggOO. — Ln segment AB se meut dans un plan. Chercher si, à un instant donné, il existe sur ce segment un point 
dont la vitesse soit dirigée suivant AB. 

(itjOl. — Deux vecteurs OA et \)B tournent autour du point avec des vitesses angulaiies constantes, égales et de 
signes contraires. Construire la vitesse du point 1^ milieu de AB. Montrer que cette vitesse est perpendiculaire à AB. lieu du 
point 1. 

6802. — On donne un cône de révolution et une droite D parallèle à l'axe : on mène la perpendiculaire commune à D 
et à une génératrice G du cône. Etudier le mouvement du pied M de cette perpendiculaire sur 0, quand (i tourne d'un 
mouvement uniforme. 

6803. — Etudier le mouvement rectiligne dans lequel 1 accélération est proportionnelle au carré de la vitesse. 

6804. — Une droite se déplace dans l'espace. Démontrer qu'à un instant donné les vitesses de tous ses points sont paral- 
lèles à un plan. 

6805 . — On donne trois axes de coordonnées rectangulaires Ox, 0;/, 0: . In point M de masse m décrit un cercle situé 
dans le plan des xy avec une vitesse angulaire ^„nstante w. In poipt M' de masse m' décrit un cercle situé dans le plan des 
xs avec la même vitesse angulaire <■>. Déterminer le mouvement du centre de gravité des deux points. 

6806. — F.tudier le mouvement x := a(- +- ad-i-d-. y = hl- ^- b,t -^ li-:. 3 = c<- + et ^ c.. 

6807. — Etudier le mouvement plan dans lequel le vecteur accélération est à chaque instant perpendiculaire au vecteur 
vitesse et a même longueur. 

6808. — On donne dans un plan deux points fixes et A, et une droite D. A tout point .M de la droite on fait corres- 
pondre le point Ml symétrique de A par rapport à OM. Etudier le mouvement de M, lorsque M décrit D d'un mouvement 
uniforme. 

6809. — On considère un cercle de rayon OA, et sur la tangente en un point M du cercle, on porte une longueur 
MP = arc AM du même côté que l'arc AM par rapport au point M. Etudier le mouvement du point H quand M décrit le 
cercle d'un mouvement uniforme. Du calcul de l'accélération déduire le rayon de courbure. 

"VU. — Dynamique. 

6810. — Mouvement d'un point attiré par un centre fixe en raison inverse du cube de la distance. 

6811. — Mouvement d'un point attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance. Cas où la vitesse 
initiale passe parle centre fixe. 

6812. — De la surface terrestre on lance un point matériel suivant la verticale. Quelle doit être la vitesse initiale pour 
que le point s'éloigne indéfiniment? Qu'arrivera-t-il quaml on lance ce point avec la même vitesse suivant l'horizontale ? 

6813. — .\vec quelle vitesse doit on lancer un point attiré par un centre lixe en raison inverse du carré de la distance 
pour (|u'il décrive un cercle ; une hyperbole équilatère? 

6814. — Un point M est attiré par un point fixe suivant une force inversement proportionnelle à la distance. La résis- 
tance du milieu ambiant étant proportionnelle à la vitesse, étudier le mouvement du point. La vitesse initiale passe par le 
point 0. 

6815. — On donne un cercle dans un plan vertical ; un point matériel se dépinçant sur le cercle est lancé du point le 
plus bas. Quelle doit Hre la vitesse initiale pour qu'il arrive au point le plus haut ? 

6816. — Un point décrit une ellipse sous l'action d'une force émanée d'un foyer et inversement proportionnelle au 
carré de la distance. Le point partant d'un sommet à l'époque 0, calculer sa position à l'instant I, sachant que la durée de 

la révolution est T. Anomalie vraie, anomalie excentrique. Discuter l'équation ç — esinÇ = ^^ ■ 

6817 — Mouvement d'un point attiré par Ox et 0;/,en raison inverse du cube des distances du point à ces axes. 

6818 — l n iioint M a un mouvement rectiligne vibratoire simple. Trouver le mouvement il'nn point P attiré à 
chaqiii- instant par le point .M proportionnellement à la distance. 

6819. — On considère un point attiré par un centre fixe en fonction de la distance. Déterminer le rayon vecteur en 
fonction du temps. 

6820. — Mouvement d'un point pesant sur une cycloïde. 

0821. — F:tudier le mouvement d'un point assujetti :i se déplacer sur une ilroile avec frottement et attiré par un point 
lixe situé en dehors de la droite proportionnellement à la di^itance. 

6822. — On considère un point M mobile dans un champ uniforme d intensité II. .Soit r la vitesse du mobile. Trouver 
le mouvement du point M soumis ii une force constante I' perpendiculaiie au plan lli;. 

6823. — Que devient le théoiimi; des aires lorsque le i-entre attractif s éloigne indélinimeiit ? 

6824. — Etudier le mouvement d'un point pesant sur une hélice circulaire ilnnt l'axe est vertical. 

6825. — Mouvement d'un point attiré par un centre fixe en raison inverse de la quatrième puissance de la distance. 
I.a vitesse initiale est perpendiculaire au rayon vecteur et la constante des forces vives est nulle. Construire la tra- 
jectoire. 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 55 

6826. — Valeur raoyennede /(p) dans le mouvement des planète> pour une révolution complète, la Tariable étant le 
temps, p le rayon vecteur, et f?) une fonction de ?. Cas particulier oi'i f^P) ^ — 

6827. — (Jn lance sur une sphère un point assujetti à y rester et qui n'est soumis à aucune force. Déterminer le mou- 
vement. 

6828. — Même question en remplaçant la sphère par un cylindre de révolution. 

6829. — L'n point décrit la cardioïde r ^ a (I -f- cos 6) sous l'aclion d'une force passant par l'originr et fonction de 
r. Quelle est cette force ? Problème inverse. Ayant trouvé la force, étudier le mouvement du point. 

6830. — On lance un point horizontalement sur la terre. Quelle doit être la vitesse initiale pour que le point fasse le 
tour de la terre ? 

6831. — Etudier le mouvement d'un point pesant lancé sur un paraboloide de révolution à axe vertical. 

6832. — Un point matériel est assujetti à décrire une parabole. Il est soumis à une force normale à l'a.ve de la parabole, 
et la projection du point sur l'axe a un mouvement uniforme. Déterminer la force. 

6833. — Travail élémentaire de la force X = 1, Y = ■■ Fonction des forces. Lignes de niveau. Ligues de 

v/û' - y> 
force. 

6834. — .Mouvement d un point soumis à une force centrale proportionnelle à la distance. Traiter la question en écrivant 
les équations des aires et des forces vives. 

6835 — Un point est assujetti à décrire sans frottement un cercle ; il est attiré par une force émanant d'un point du 
cercle et [iroportionnelle à la distance. Étudier le mouvement. 

6836. — Un point matériel décrit une parabole sans frottement sous l'action d'une force émanée du foyer. Déter- 
miner cette force pour que le mouvement soit uniformément varié. 

6837. — Un point matériel est assujetti à décrire une lemniscate sans fioltement sous l'action d'une force émanée du 
point double. Quelle doit être cette force pour que le rayon vecteur varie proportionnellement au temps? 

6838. — Deux projectiles sont lancés d'un même point avec une même vitesse initiale, mais sous des angles différents 
et à des époques ditférentes. Ces deux projectiles peuvent-ils se rencontrer ' 

1 2j- 

6839. — Travail de la force X = -- ^ ^ — — > Z = z-. Examiner s'il y a un potentiel. 

sin* 

6840. — La courbe r = a ;- est parcourue par un mobile suivant la loi des aires. Trouver la force oui le 

cos 8 ^ 

sollicite. 

6841. — Un point est attiré par l'.ixe 0; proportionnellement à sa distance à l'axe. .Montrer qu'on peut disposer des 
données initiales pour qu'il décrive une hélice circulaire tracée sur un cylindre ayant pour axe 0;. 

6842. — Travail élémentaire de la force X = (/- -i- ixy, Y = j- -t- 2xy. Y a-t-il une fonction des forces ■; 

6843 — On donne deux axes rectangulaires. Oj- horizontal et Dy vertical, et dans le plan de ces deux axes on consi- 
dère une courbe C passant par le point 0. Un point pesant assujetti à décrire la courbe est abandonné au point sans 
vitesse initiale. Déterminer la courbe: i° de façon que le temps mis ,-i parcourir Parc OM — s soit fonction de s: 2" de 
façon que l'ordonnée du point M soit fonction de s. 

6844. — On donne une cycloide dans un plan vertical, la base étant horizontale et la concavité tournée vers le haut. 
On abandonne un point pesant sans vitesse initiale en l'un des points de rebroussement. Quel temps meltra-t-il pour arriver 
au sommet .' 

6845. — Etudier le mouvement d un point décrivant une lemniscate sous l'action d'une force passant par le centre. 
Expression de la force. Problème inverse. 

6846. — Démontrer que dans le mouvement des planètes, l'hodographe est un cercle. Réciproquement si l'hodographe 
est un cercle, et si la force passe par un point fixe, celle-ci est inversement proportionnelle au carré de la distance. 

6847. — Travail d'une force dans un mouvement de rotation. 

6848. — Un point M décrit une parabole de foyer F suivant la loi F.M = f{l). Calculer la force qui sollicite le point 
en fonction de r= F.M. 

6849. — Un point matériel est assujetti à décrire une ellipse^ en étant soumis à une force émanant du centre. Déter- 
miner cette force pour que la tangente à Uellipse tourne d'un mouvement uniforme. 

6850. — Un point est soumis à l'action d'une force centrale, attractive et inversement proportionnelle au carré 
de la distance. La trajectoire peut-elle être une hyperbole équilatère ? 

6851. — Un point est soumis à l'action de la force X = — ^ — —• Y = — Z = — o. V a-t-il une fonc- 

j' -i- 1;' x* -t- y' 

tion des forces ? Surfaces de niveau ; lignes de force. 

6852. — Trouver l'hodographe dans un mouvement produit par une force centrale. Cas où la force est proportionnelle 
à la distance. 

6853 — On lance de l'origine et en même temps divers points pesants suivant une même direction, mais avec des 
vitesses différentes. Lieu de leurs positions à l'instant l Lieu des sommets des paraboles. 

6854- — D un point de l'espace on laisse tomber un mobile, puis au bout d'un temps on lance un deuxième 
mobile vers le bas avec une vitesse v^. Le deuxième mobile atteindra-t-il le premier'? 

6855. — Un cercle situé dans un plan horizontal est décrit par un point .M. A ce point est attaché un Ul inextensible 



56 ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EXAMENS ORAUX, 1908) 

et sans masse dont l'autre extrémité est attachée à un point A, dont on connaît le mouvement. Comment varie la tension 
de ce fil ? 

6856. — D'un point on lance un mobile pesant avec une vitesse v„ donnée en grandeur et en direction. Ce mobile 
décrit une parabole. On suppose cette parabole conpée par un plan horizontal. Le mobile s'y réfléchit. Etudier le mouve- 
ment du mobile après réilesion. 

6857. — Ln point matériel est soumis à une seule force, rencontrant une droite fixe. Comment sera la trajectoire ; 
6858 — On lance vers le haut avec une vitesse initiale v„ un point pesant sur un plan incliné. Le point frottant sur le 

plan repassera-t-U par sa position initiale ? Quelle y sera sa vitesse? 

6859. — Un point matériel pesant se déplace avec frottement sur un cercle vertical. Etudier sa vitesse en fonction 
de sa position sur la courbe. 

6860. — Travail élémentaire de la force ' X=l —■ Y= — • Travail total. Fonction des forces. Lignes de 

/■- s 

niveau. Lignes de force. 

6861. — Mouvement d'un point pesant sur une hélice dont l'axe est horizontal. 

6862. — ln point matériel étant attiré par un centre lixe proportionnellement à la distance, le lancer d un point .\ 
pour qu'il atteigne un point P. 

6863 .— Calculer le travail total de la force \ =: — , V = ~ "'^ ■ Z=— quand le point d'application 

ji—y- X'+y- - 

décrit une spire d'hélice tracée sur un cylindre de révolution d'axe Oa". 

6864. — On donne deux axes de coordonnées rectangulaires 0.r, O//, un point .\ sur Or et un point B sur 0)/, 
0K= OB = a. On considère un point soumis à l'action d'une force centrale émanée du point et proportionnelle à la 
distance. On lance ce point du point A avec une vitesse r, faisant l'angle 6 avec Ox. Quelle relation doit il exister entre ro 
et 6 pour que le point passe en B? 

6865. — Sur une droite glisse un point matériel A auquel est attaché une extrémité d'un fil élastique. A l'autre 
extrémité est fixé un autre point matériel M se déplaçant sur la même droite. Le mouvement de A étant donné, 
déterminer celui de M. 

6866. — Appliquer le théorème des aires et le théorème des forces Vives au mouvement d'un point attiré d'un 
centre fixe par une force F = , r désignant le ravon vecteur. Etudier la trajectoire. 

,.3 ,'. 

VIII. — Statique 

6867. — On donne une ellipse dont le grand axe est vertical. Son foyer supérieur F est considéré comme une poulie 
infiniment petite sur laquelle passe un fil reliant deux points A et B, qui sont assujettis à se mouvoir sur l'ellipse. Condi^ 
lions d'équilibre. 

6868. — ijn point pesant M se déplace sur un plan horizontal avec frottement. Il est relié par un fil élastique à un 
point fixe A du plan. La longueur de ce fil est i, et quand le fil s'allonge, la tension est proportionnelle à l'allongement. 
Plages d'équiUbre. 

6869. — On considère deux points pesants M et M", assujettis à se déplacer sur un cercle vertical et reliés par un fil 
sans masse tendu sur le cercle Equilibre du système 

6870. — Equilibre d'un point matériel pesant assujetti à se déplacer avec frottement sur une parabole à axe vertical. 

6871. —In point matériel pesant est placé surl'ellipsoîde -^ -t--?r+--T — ' = "• ' -'se des ; étant verUcal. 

' ' '^ a^ b- c- 

Position d'équilibre en supposant qu'il y ait frottement. 

6872. — On donne un disque circulaire et un point A qui se projette ortliogonalement au centre dii disque. Chaque 
élément du disque est attiré par le point A en raison inverse de la distance et proportionnellement à la masse de l'élément. 
Trouver la résultante de ces attractions. Que devient-elle lorsque le rayon du disque augmente'.' 

6873. — On donne une barre AA' dont on désigne par p la masse de l'unité de longueur. In point B, situé sur la per- 
pendiculaire élevée au milieu de .\A', est attiré par chaque élément de la barre en raison inverse du carré de la distance 
el proportionnellement à la masse de l'élément. Trouver la résultante de toutes ces attractions. 

6874. — l'ne force constante tourne autour de son point d'application dans un plan donné. Lieu de l'extrémité du 
moment de celle force par rapport à un point fixe 0. 

6875 — Equilibre d'un point M pesant, placé sur un cercle vertical et soumis à l'action d'une force attractive éma- 
nant du point A, extrémité gauche du diamètre horizontal du cercle et proportionnelle à la distance AM. Montrer que la 
résulLinte des deux forces rencontre la tangente en A en im point fixe. 

6876. — In |ioint pesant A placé sur un plan horizontal est attiré par un point fixe de ce plan en raison inverse du 
carré de la distance OA. Il \ a frottement. Trouver les plages d'éciuilibre. 

6877. — E(|uilibre d'un point matériel pesant situé sur la surface intérieure d'un paraboloide elliptique à axe vertical, 
en supposant qu'il y ait frottement. 

6878. — Deux points l'csants de poids /i et ;;' sont placés sur un plan horizontal : ils sont reliés par un Ul élastique 
qui développe une tension proportionnelle à l'allongement. On désigne par f et /" les coefficients de frottement pour 
rbarun des points. Trouver les positions d'équilibre. 



OUESTIONS PROPOSÉES 



6879, _ Condition nécessaire et suflisante pour qu'un sy*tùme de forces jinisse se réJuire ii deux passant par deux 
points donnés. Expliquer l'indétermination du résultat. 

«880. - Réduire un système de forces à deux dont l'une soit sur une droite donnée. Solution g.'ométrique et 
analytique. 

6881. — On donne n droites dans l'espace. Peut-on trouver des forces portées par ces droites et se faisant équilibre ? 
Discuter suivant la valeur de n. 

6882. — Conditions d'équilibre d'un corps solide assujetti à passer par un point fixe et à reposer sur un plan fixe. 
«883. — Peut-on réduire un système de forces appliquées à un corps solide à deux forces portées sur deux droites 

données? 

«884. — On considère un système de forces situées dans un même plan, et on fait tourner chaque force autourde son 
point d'application avec une même vitesse angulaire. Chercher l'enveloppe de la résultante du système. 

6885. — Uéduire un système de forces à deux rectangulaires. 

688«. —Démontrer que la perpendiculaire commune à deux forces rencontre lave central de leur système. Lieu du 
moment résultant quand son point d'application décrit la perpendiculaire commune. 

«887 — Faire la réduction d'un système de forces représentées géométriquement par les arêtes Alt, AC, .\D, liC, CD. 
DB d'un tétraèdre ABCD. 

«888. — Déterminer deux forces dont les supports doivent rencontrer Or et qui sont telles que la résultante générale et 
le moment résultant par rapport au point sont sur 0:. 

6889 . — A quelles conditions peut-on réduire un système de forces a deux dont l'une soit parallèle à O.r et l'autre a Oy .' 

C890. — Trouver l'axe central du système formé par trois forces appliquées lune en un poini A de O.r, l'autre en un 
point li de 0,1/ et la troisième en un point C de 0:. 

6891. — Quatre forces sont placées sur quatre génératrices de même système d'un hyperboloide. Condilion pour 
qu'elles admettent Mie résultante unique ? 

6892. — Tout système de forces appliquées à un corps solide peut se réduire à six forces placées sur les arêtes d un 
tétraèdre, et cette réduction est unique. 

6893. — On considère quatre forces situées dans un même plan et représentées par les cotés d'un ipiadnl, itère concave 

AB, BC, Ctl, DA. Ces quatre forces peuvent-elles se faire équilibre; 

6894. — Réduire un système de forces à deux dont l'une soit d;uis un plan donné et ait une 
grandeur donnée. 

«895. — l!n corps solide est mobile autour d'un point ; il repose en outre sur un plan fixe 
liar un point A. Ce corps est soumis à un système de forces quelconques. Conditions d'équi- 
libre. 

6896. — Aux milieux des côtés d'un polygone plan on applique normalement des forces pro- 
portionnelles à ces côtés et dirigées vers l'extérieur. Démontrer que ces forces se font équilibre. 
«897. — On considère un tableau rectangulaire ABCD ; on fixe deux cordons égaux sur les côtés Al) et Bi:, et on les 
réunit par leur extrémité 0. On accroche le cordon en contreun mur, le colé CD reposant sur le 
mur. Equilibre du système. 

«898. — Equilibre d'une barre reposant sur le sol avec frottement et sur un cylindre de révolu- 
tion tangent au sol. Le cylindre est supposé parfaitement poli. 

6899. — On donne deux points fixes Cet 0' situés sur une même horizontale. L'ne barre pesante 
AB a son extrémité A attachée à un fil fixé en 0. Au point B est attaché un autre fil passant par le 
point 0' et à l'extrémité duquel est appliquée une force F. Position d'équilibre du système. Pour quelle 
valeur de F, AB est-elle horizontale '? Calculer dans ce cas la tension du lil 0\. 
6900. — Equilibre d'un corps sur un plan incliné avec frottement. 

«901. — Une échelle double est posée sur un plan horizontal. Une personne y est placée à une certaine hauteur ; on 
réunit par une corde les deux montants. On demande la tension de la corde en négligeant tous les frottements. 

6902. — Une échelle double repose sur un plan horizontal sur lequel elle frotte. En négligeant les frottements à la 
charnière, on demande quel est l'angle maximum des deux montants pour que l'échelle ne s'aplatisse pas. 

«903. — Equilibre d'une sphère soumise à l'action d'un système de forces et assujettie à être tangente à une droili'. 
«904. — En un point A d'un mur vertical est attaché un ûl AB, à l'extrémité B duquel est attachée une tige BC, le 
point (; reposant sur le mur avec frottement. Trouver les positions d'équilibre. 

6905. — Equilibre dune tige pesante passant par un point fixe et reposant sur le bord supérieur horizontal d'un mur 
verlical ; l» sans frottement ; 2" avec frottement. 

«906. — On considère une barre rigide pesante dans un plan vertical, appuyée par ses extrémités sur deux plans, I un 
verlical et l'autre horizontal. Discussion de l'équilibre. Cas où il n'y a frottement ([ue sur le mur vertical. 
«907. — Centre de gravité d'un arc de parabole. 

«908 — (Centre de gravité d'un arc d'hélice circulaire. Mouvenuiit de ce point ((uand l'une des extrémités de l'arc se 
déplace d'un mouvement uniforme. 

«909. — Centre de gravité de la tabie de Pythagore. 

«910. — Soit G le centre de gravité d'un arc de cercle AM. Le point A restant fixe, et le point M décrivant le cercle 
d'un mouvement uniforme, trouver le mouvement du point G. Trajectoire et vitesse. 

6911. — On considère un tube vertical de 1 mètre de long, de 1 centimètre carré de section droite et pesant 300 





58 



ALGÈBRE ET ANALYSE 



grammes. On le remplit de mercure jusqu'à une certaine hauteur. Trouver le centre de gravité du système. Combien faut-il 
verser de mercure pour que le centre de gravité soit le plus lias possible ? 

6912. — Centre de gravité du volume d'un hémisphère homogène. 

6913. — Centre de gravité de l'aire limitée par une parabole, son axe et une perpendiculaire à l'axe. 

6914. — rentre de gravité d'un hémisphère, la densité en chaque point étant une fonction /i:) de la distance : de ce 
point à la base de l'hémisphère. Cas particulier : f{z) ~ kz, f{:) = A- (R — :). 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1739. — 1" Étudier les variations des fonctions 
e^— l , , e' —i 



oJx) 



cifa;) 



•o,,(a;) = 



(P-^)'- 



2" Trouver la somme de la série entière dont le terme général est 
p étant un entier positif, /' un polynôme. 



/■(»' 



p(p-hl} ...{p- 



Th. L. 



1740. — Trouver une courbe (S) telle que le cercle (C) décrit de chaque point de la courbe comme centre, 
avec le rayon de courbure comme rayon, soit orthogonal à un cercle fixe (•,'). 

On construira les différentes formes de courbes obtenues, ainsi que leurs développées et leurs podairespar 
rapport au centre de (■,•)• 

On construira, dans chaque cas, l'enveloppe du cercle (C). Enlin on rectifiera tontes les courbes (S). 

.1. HXM,. 

1741. — Une ellipse E a son centre en un point donné et est tangente à un plan donne P, la distance du 
point au plan P étant égale à la moitié OB du petit axe BB'. On la fait rouler sans glisser sur le plan P, le 
centre restant en 0. Quel est le lieu du point de contact de l'elliiise avec le plan. 

1/ellipse étant dans sa position initiale, on considère les ellipsoïdes, en nonibre simplement infini, qui 
ont deux sommets opposés en 15 et B', qui passent par l'ellipse E, et qui sont tangents au plan P. Ces ellip- 
soïdes se raccordent le long de l'ellipse E; si on les suppose entraînés par cette ellipse, ils roulent sur le 

plan P. 

{,. F. 



DEUXIEME PARTIE 



ALGEBRE ET ANALYSE 



1661. — Trouver vue courbe telle qu'il y ait un rapport constant entre la sous-tangente en un point 
quelconque }\ et le segment OP compris entre l'origine et le point P oii la parallèle A la tangente en M, 
menr.e par le point de rencontre de la normale au point M avec ())/, rencontre 0.v. 

Soit iM(.T, y) un point de la courbe chcreliée et y' la dérivée 
de y par rapport à x ; ré(iuation de la tangente est 

^' — ?/ - ;y'(-^ - •I'), 

et, si nous v faisons Y = 0, nous avons X — x = wT = p- • 

y 

D'autre jiart, 1 équation de la normale est 




.'/ = -y(X-.r) 



et, jiour X :- 0, nous avons 
c'est l'ordonnée du point N. 



». -^ 

^ = î/ + -7 

y 



ALGÈBRE ET ANALYSE oïl 



La parallMe à la tansrente menée par le point N a pour r-quation 



v-'/-^ = ?/'X; 



elle coupe 0.r au point P d'abscisse ,^ — : le rapport est donc égal à — 7- > et 

y ' OP î/!/ H- a; 

Ton doit poser — — — = /.-. 

'.ly' -t- •'• 

Finalement, ;/ est donné par l'équation diflérentielle 

kx + {k-iyji/' = 0, 
et la courbe cherchée a pour équation 

Au-^ + (A-— 1)1/- = C. 

Si I; est négatif, ou positif et plus grand que 1, toutes les courbes sont des ellipses rapportées à 
leurs axes. Si k est compris entre et I , ces courbes sont des hyperboles. 

Si l'on pose C = kC et que l'on fasse grandir /.■ indéfiniment, on obtient des cercles, ce q\ii était 
évident a priori et doit être regardé comme une vérification. 

Pour /,=—■- on a des hyperboles équilatères. 

Bonnes solutions: MM. R. Boivaist ; G. Fouchy, à Roiinne: J. Soi riEx, à Rouen ; D. GEonoEscr ; L. Simon, ;'i CliAlons-siir- 
Marne ; Bnos, à Albi ; Asidi.abd, à Ruines ; G. Lacii, h Den.iin ; R. Dupf.xdvnt, à Rouen ; H. Aivergxe, à Alger ; (ÎROscoLAS.à Beaune. 



1672. — On considihr les deux polijiwmes 

f[x) = 1 — C,>(- 4- C;,x' , 9{-v)=-- C;,r — Q,r' -(-■•■. 

Démontrer l'identilé [/'(*)]" + i.'ï'Wr = ""(' + a?')""'. 

Soient f[:r) = I — Clx- -+- C,;x' et g[x) = C,',.x- - C?,a?' -)-•■• 

les deux polynômes proposés. On a évidemment 

f[x) -f- hj{x) ^ 1 4- 'Cl.c - Clx'- — iCix^ ••■ = !+ C,',(ia;) -h Ci:(!"x)^ -f- C?,(«)' + • ■ ; 
donc f{x) + ig[x) = (!-(- ix)". 

De même f{x) — ig{x) = (1 — ix)", 

et par suite f{x)' h- g{x) = (1 -j- j-)" . 

En dérivant les deux identités précédentes par rapport à x, on a aussi successivement 

f'U) + ig'{x) = ni(l -h ix)"-', /''(x) — /9'(x) = — ni{\ — m-)"-', 

et, par suite, /^'(•''j' + 9'l^>" — "'(' -H. '•-)""'. 

On pourrait continuer: 

f\x) 4- ('/(a-) = — ()(»« — 1)(1 + ixY--, f"{x) — ig"(x) = — n{n _ 1)(1 — ix)"-\ 

et f"{x) -t- g'ixf = n"-{n — 1)-(1 4-a;-)"--. 

■ . .r, N • . , . CCS nt» , , , , sin h? 
Autre solution. — En posant x=lg=>, le polynôme /(x) est égal a , et ofx) a 

On a donc bien 

» , 1 

f[X) +,9(X)- = ^^^;^ =(l-f-X-^)". 

On a de même 

— rt sin «j cos"3) -+- n cos HO cos"-' sina d^ 
~ COS-" ^ rfx 



CO MÉCANIQUE 



d'ailleurs 
pt l'on a 



« cos HO cos" !B -t- n sin îiw cos" ' o sin tp do 
S^^' ~ côs-"ç dx 

do 1 



dx 1 + X- 



sin » — 0° do ,, , cos(n — l)o rf<? 

fi f\ = —71 î ~ -r- , n(x) = n ^^ — ; y- ' 

'^'^' cos"'o dx ^'^ ' cos-"-'cp dx 

. - — 2 n\l + x-)"*' ,., ,, , 

et n^y -^ (M = \^ ^ ^^ = «"< ' -+-^-)"-' . 

A. DARMON, élève au lycée Louis-le-Granil. 

Bonnes solutions : MM. R. Bouvmst ; P. ItiiizAiin : L. Gaitiiieb, ;i Fermanville ; J. Soodf.t, à Rouen ; i.uoscolas. à Besançon; 
A. DuBY, à Dijon ; Gh. C.ioxr.D, à .lass\ . 



1673. — Délerminer un pohjnome du chiqinhne degré Pf.r) tel que P(a;) + 10 fo'u diiusilile par 
(x+2)-' et P(x) — 10 par (.r-S)'. 

Par hypothèse le polynôme 

o{x) = P{x) + 10 
est divisible par (x-+-2)'; donc sa dérivée P'(at) est divisible par (.rH-2)'-, on voit de nn'me que 
P'(j.-) est divisible par (rr — 2)^. Comme ce polynôme P'{a;) est du quatrième degré, on a 

(1) P'(.r) = C(x -^ 2)=(.r — 2)- = C(x' — 4)% 

C étant une constante à déterminer. 

De (1) on tire, en intégrant, 

P(.r)^G('4^ -|-.r^-+-l6xWc„ 

c, étani une nouvelle constante ;\ dr'torminer. 

l'oui' calculer C et C,, nous nous appuyons sur ce que 

p/_2)-hi0 = 0, P^2)- 10 = 0, 



ce (lui donne 



32 64 ._\ .„ „ ,/ 32 64 



C(_±L_. .^_32J+C, . 10 = 0, c(^ ^^+32) + C,-10 = 0. 



i:n ajoutant, un trouve C, = et parsnile C = — 

lemenl 



A DARMON. 



Tonnes solutions : MM. «. Foucrï, à Roanne : H. Le Sueih, ;\ Nantes ; W. Mkrigot ; t'. Bbiiard; L. Cutiiieb, à Ferman- 
ville ; ltKi)OUii.LAT, à Vilicrsexel : Gboscolas ; K. Oci'isndant, à liouen ; Guillbriik, à Bourg; L. Simon, a Clialons ; J. hooiiKT, a 
Bonen; A. Dunv, à Dijon; Gii. GniNcu, à .lassy ; R. Manen. 



MÉCANIQUE 61 



MÉCANIQUE 



1669. — On considère un cercle 

X* -+■ y- — âax — 0, 

rapporté à un diamètre Oc et à la tangente Oy à l'extrémité de ce diamètre, et un point M mobile sur ce 

cercle. 

di> 1 

1' Soit l'angle du rayon vecteur OM arec Ox et —r- = — - — ■ — - la vitesse an julnire de ce rayon 

vecteur autour du point 0. On suppose en outre qu'à l'origine des temps le rayon OM coïncide avec Oy 
(6 = ■;r ) • Trouver les équations du mouvement du point M, la vitesse de ce point, l'accélération et cons- 
truire l'hodographe. 

2° Soient Mx- l'axe OM prolongé et Mi/ l'axe perpendiculaire orienté dans le sens -^ — ■ On 

suppose un plan entraîné avec ces deux axes dans le mouvement précédent et on demande les équations du 
mouvement d'un point de ce plan. Trouver le point qui a une vitesse nulle, son lieu dans le plan mobile et 
aussi dans le plan fixe. 

3° Trouver le lieu des points du plan mobile qui ont une vitesse égale à celle du point M. 
Ce lieu est un cercle dont on demande l'équation dans le plan mobile. On demande aussi le lieu dxns le 
plan fixe du point de ce cercle qui est le plus rapproché du point 0. 

(/O 1 

1" On a. par hypothèse, -;- = — > par suite 

^ ' ^ dt 1 — <- ^ 

= — arclgi-f-C'"; 

or, pour t — 0, f) = — ; donc la constante d'intégration est égale à -^ et l'on a 

arc tg < = ^ — 0, t = colg 'I, Ig 9 = — 

D'autre part, les coordonnées du point M sont évidemmeat 

X — OM cos = '■2a cos- 6, y = OM sin = ia sin 6 ços 0. 

Les équations du mouvement du point M sont donc 

•iat- iat 

Il = 1 

•' lH-<- 

dy _ 2a(l-P) 
dl {i-^V-f 

^_. A < - si on supi)0se le cercle orienté dans le sens du mouve- 

2n 
ment, et par c — — , . si on suppose le cercle orienté dans le sens habituel. 







l-r(^ 


et les composantes de la vitesse 






dx 




'lat 


dl 


(i 


■-^l'f 




2(1 


\ 



62 



MÉCANIQUE 




Pour t = 0, la vitesse est maximum 
et égale à ia ; elle décroit ensuite quand t 
augmente, et tend vers quand t grandit 

indéfiniment. L'ansle ') décroit aussi de — 

2 

à dans les mêmes conditions et le mobile 

part de 0, tourne sur le cercle dans le sens 

OMA et se rapproche indéfiniment du point 

A, sans jamais l'atteindre. 

L'accélération a pour composante lan- 

— 4«' 

senlielle •;■=-; r-r' quand on oriente 

■ ' 1 ^ /-)- 

le cercle dans le sens du mouvement, et 
pour composante normale 



L'accélération totale est donc 



([-^r-r 



v/(i-f-<^r 



elle est retardatrice du mouvement, comme 
on pouvait le prévoir d'après l'étude de la 
vitesse. 

En outre, — = — /, t,, — — Vi ^g * ! l'accélération My fait doue avec la tangente, en sens con- 
traire de la vitesse, un angle égal à 6 ; elle décroit depuis Aa jusqu'à 0. 
Les coordonnées de l'hodographe sont 



iat 



y = 



2a(1 - f) 



Ces deux équations sont les équations paramétriques de la courbe. L'équation cartésienne s'obtient en 
élevant d'abord au carré et ajoutant, ce qui donne 

4(1- 



•r^ -hy = 



(1 + f'Y 
'J . 



1 



on en déduit de suite ax = l(x--{-y'-) ; d'autre part, 
L'élimination est alors immédiate et l'on a 

1/ (x' -H y')* — à'x- 

~ " '2,1, -(x- -\- !/-) 

L'é(|ualion do l'Iiodograpln; est donc liiialemcnt 

(j,= -I- y'j- — 2fli/(x- -+- IJ-) — a'x- = 0. 
Mais l'emploi des coordonnées polaires est plus simple encore: l'angle de la vitesse avec Ox est 
on effet ÎO — ^ ; nous avons donc s = d. o = 26 — — ; 



1 I (» 



2nsin=0 = <i(l — cos28), t't comm» cos2« 



= «-os ( T -^ ■" ) = - ' 



MÉCANIQUE 



63 



i — (1(1 4- sin'u). 
Cette dernière équation montre que l'hodographe est une cardioïde rela- 
tive au cercle X- -h ij- — aij ~ 0, et à l'origine ; Oy est l'axe de symé- 
trie et la tangente au point de rebroussement. La courbe a la forme ci- 
contre. 

2. Soient P un point du plan mobile, x' et y' ses coordonnées par 
rapport aux axes Ma;' et Mi/', et x, y, ses coordonnées dans l'ancien 
système. Nous avons de suite 

X = x„-\-x' cos'i — y'sia'i, 
y = i/(, -+- j' sin fi -h y' cos 6, 
en appelant a-o, ,'/,) les coordonnées du point M ; ensuite 
2a cos- + x' cos — y' sin 0, y = 2<i sin 8 cos -+■ x' sin 4- i/' oos . 

1 




Il n'y aurait qu'à remplacer tgO par 



pour avoir les coordonnées du point M en fonction du 



temps, c'est-à-dire les équations du mouvement du point P. 

La trajectoire de ce point s'obtiendrait sans peine en éliminant entre les deux équations précé- 
dentes; mais elle est évidente géométriquement. En effet le vecteur MP est invariable dans le système 
Mx'y', l'angle P.M;/' et son opposé par le sommet AMw sont constants, le point w est donc fixe, et, 
comme MP = C'^, le lieu du point P est un limaçon de Pascal par rapport au cercle donné et au 
point to. Si MP < io, il y a un point double ordinaire au point w; si MP>2a, c'est un point 
isolé; si MP — 2o, c'est un point de rebroussement, le lieu de P est une cardioïde. 
Les composantes de la vitesse du point P sont 



ilx 

rfT 



— (4a sin <J cos -^x' sinO-;- ly'cosO) 



f/e 
dl ' 



— _ = —(y-\-„ sin 20) , 
dt '^ dt 



[id cos 26 -+- x' cos — (/' sin ( 



i(i 



du 



du , ^ . , « 
~- ~ a- — 2a sin- 0)-, 
dt ^ dl 



elles sont nulles au point 



ia sin- 0, 



y 



2i sin cos 0. 

Il — - c'est le point diamétrale- 



C'est le point I du cercle C qu'on oblieal en changeant " en 

ment opposé au point M . 

Le lieu de ce point dans le plan lixe est donc le cercle donné C, et, dans le plan mobile, c'est le 
cercle de centre M et de rayon 2a. 

Tous ces résultats sont évidents a priori: caries deux points et .\ du plan mobile décrivant des 
trajectoires tangentes aux droites MO et MA, le point M décrit le cercle G, les trois normales en ces 
points aux trois trajectoires se coupent au point I, qui est le centre instantané de rotation, et, par suite, 
le point de vitesse nulle. 

Les deux lieux de ce point sont évidents et constituent : l'un, le cercle CO, la roulette fixe, la base 
du mouvement ; l'autre, le cercle mobile Ml, la roulette mobile. Celle-ci roule sans glisser sur le 
cercle fixe CO et produit le mouvement du plan mobile qu'elle entraîne avec elle. Tous les points de 
celle roulette engendrent des cardioïdes, les autres engendrent des limaçons de Pascal. 

3" La dernière partie est évidente géométriquement : les points qui ont même vitesse que le 
point M, à l'époque t, sont sur le cercle de centre I et de rayon IM. Le plus près du point est sur 
le rayon 10; c'est le point N. Comme IN = C"= = 2a, le lieu de ce point est une cardioïde relative 
au cercle donné et au point 0; elle a pour point de rebroussement le point et pour tangente Ox. 
C'est l'une des cardioïdes décrites par un point de la roulette mobile. Il n'y a aucune difficulté à écrire 
les équations de ces deux lieux. 



64 QUESTIONS PROPOSÉES 



Oa peut d'ailleurs trouver l'équalion du premier lieu dans le plan mobile en écrivant (jue 
(ii)V(^)'.....4«.si„^, „,,e„c...e (^y ^(^f = ,.(^ . 

Ce calcul donne immédiatement 

a'- -H î/'- -t- 4aa;' ces -(- 4ay' sin = 0. . 
C'est bien le cercle iiM. _ 

Quant à l'équation de ce cercle dans le p^jin lixe, c'est 
Ix — 2asin'-0)»-i- (»/ -i- 2asinfi cos 0)- = ia- ou x- ■+- y- — 4aa;sin- j-4a j/sinO cos — 4a- ces-" = 0. 
On aura le lieu des points de rencontre avec le rayon lU en coupant par la droite 



y = ccIg/O — — j = — xcotgO. 

cos sin 1 . 

On déduit de là = = —;==:- ■ 

— y i- ^*J.•■--^-î/- 

l'équation du dernier lieu est donc 

(x^ -+■ y'-)- —À(ix(.i'- -4- //■-) — ia^y- = 0. 
C'est bien la cardioide que nous avons signalée. 

G. BOULIGAND, l'iève de mathématiques spéciales, au lycée de Nantes. 

lionnes solutions : MM. I... Gauthier, à Fernanville; J. Soddst, à Rouen ; Bros, à AIbi ; Grosoolas, à Besançon ; G. D. 
et Y. 6., à l'oiTiEiis ; H. Le Sueck à Nantes; G. Foucbt, à Roanne : L. Sire, h Lyon ; G. Gaube ; M. Constandaki ; H. Janois, à 
Nantes ; Gh. Ciuncu, à Jassy. 



dt 



QUESTIONS PROPOSEES 

1742.— Intégrer li^ciuation clilTérenliclle 

d-y 1 

rf.r- a; 

Cl mniilrcr que les l'onitioiis 

satisfont à celte équation etsont les mêmes. 

P. Bkiz.vhd. 

1743. — La courbe lieu du point du plan d'une parabole à égale distance de la parabole et de son sommet 
est une développée de paral)ole. 

Cette courbe est aussi le lieu ilu imint dont les trois normales issues de ce point à la parajjole et la paral- 
lèle il l'axe menée par ce point forment un faisceau hariiKuiique. 

K.-X. Barisien'. 

1744. — Ou eonsidere deux sphères Unes, S et S', de cenires U cl d', et les sphères variahles i; passant 
par le centre de S et coupant les sphères S et S' suivant deux cercles orthogonaux. 

1" Trouver le lieu des centres des sphères S. 

2» Trouver l'enveloppe îles sphères i; et construire la section de celte enveloppe par un plan passant par 
la droite OiV. 

Examiner le cas où S et S' sont orthogonales. 
Solution géomélriiiue. 

(i. Pki.issieh, il Toulouse. 



BAH-LK-iioc. — inp. coHTK-jACQUBT. I-C liédaclcuv-Uéranl : 11. VUIBEKI. 



19» Année. N" 3. Décembre 4908. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



CORRESPONDANCE 



SOLUTION GÉOMÉTRIQUE ET RECTIFICATIO.X DE LA QUESTION 1632, 
par M. J. Haag. 



Dans renoncé de la question 1632 : 

On donne deux axes rectangulaires Ox, Oy. Un segment BC de grandeur constante et glissant sur 
Ox est l'hypoténuse d'un triangle dont le sommet A de Cangle droit décrit 0<j. 
1" Trouver l'enveloppe des côtés de l'angle droit. 

2» On considère un rectangle dont le centre est le milieu I de AB, dont une diagonale est dirigée sui- 
vant AB et a pour longueur OC, et dont les côtés sont parallèles aux symétriques par rapport à Ox des 
bissectrices de l'angle ABC. On demande l'enveloppe des côtés de ce rectangle, le lieu de ses sommets et de 
leurs projections sur AB. 

3° On construit sur AB un polygone semblable à un polygone donné, d'ailleurs quelconque. On 
demande le lieu des sommets de ce polygone et l'enveloppe de ses côtés, dont la solution a paru dans la 
Revue de Septembre 1908, se trouvait une légère erreur d'impression, qui compliquait considérablement 
la seconde partie et la rendait par cela même peu intéressante. Dans la deu.\ième ligne de la seconde 
partie de l'énoncé, il fallait lire « et a pour longueur BG » au lieu de « et a pour longueur OC ». Avec 
cette rectification, la solution analj-tique complète ne doit présenter aucune difliculté. Je me bornerai 
ici à indiquer une solution géométrique qui intéressera peut-être quelques lecteurs de la llevue. 

Je rappellerai d'abord la propriété suivante de l'dypocycloïde à trois rebroussements, dont j'aurai 
dans la suite à faire grand usage. 

Soit un cercle (G), un point fixe et I un point variable de ce cercle. 
J .Menons I: parallèle à une direction fixe, d'ailleurs quelconque. Menons 

P ensuite la droite (D), symétrique de 01 par rapport à Iz. Cette droite 

enveloppe une liypocycloïde à trois rebroussements, iritangente au cercle 
(G). Le point de contact M de la droite (D) avec son enveloppe est symé- 
trique du point P par rapport au point I (voir la figure). Enfin, le point 
est un point de contact du cercle (G) avec l'hypocycloïde, dans le cas où 
h est perpendiculaire au diamètre passant par O. Dans les autres cas, on 
a facilement les points de contact par une trisection d'angle que le lecteur apercevra aisément ('j. 
Geci étant, arrivons à la solution de la question 1652. 

(') Je ne rappelle pas la démonstration de ces propriétés, dont j'ai déji eu l'occasion de me servir dans cette Kevue. On 
les trouvera très rapidement en partant de la détinition ordinaire de l'hypocycloïde à trois rebroussements et de la con- 
struction classique de sa tangente. 




6G 



CORRESPONDANCE 



1. Soit I le milieu de AB. Menons lE perpendiculaire à 01. Le triangle rectangle OIE est évi- 

1 

rapport — 




deniment semblable 



triangle BAC, dans 



Donc 



0E^5^ 



Par suite le point E est fixe et le point 1 décrit un 



cercle (G) de diamètre OE. Il s'en suit, d'après la propriété rappelée plus 
haut, que AB enveloppe une hypocycloide à trois rebroussenients (H) 
Irilangpute au cercle (C), le point étant l'un des trois points de contact. 
On verrait de même que AC enveloppe riiypocycloïde symétrique de la 
précédente par rapport à Oy. 

2. Traçons le cercle (C) de diamètre OE. Soit F son centre. Traçons le diamètre WG. Un raison- 
nement élémentaire montre que l'angle GIB et l'angle 
lOB ont des bissectrices parallèles. On en conclut aisé- 
ment que IG est la seconde diagonale du rectangle de 
l'énoncé. Comme cette diagonale a pour longueur 20E, 
l'une des extrémités est le point G, qui décrit le cercle 
(C), et l'autre est le point R symétrique de G par rap- 
port à I, et qui décrit un cercle (C) horaothétique de 
(G) dans le rapport 3 et de centre F. Les côtés du 
rectangle issus de G vont passer par les extrémités K 
et L du diamètre perpendiculaire à PG, comme on 
s'en assure en s'appuyant sur ce qu'ils doivent être bis- 
sectrices de IGP'. Mais FK est parallèle à IP ; donc 

ÊFK = lûF. 
Par suite, 

OFG = IPE = 2ik. 

Il s'en suit que UK est symétrique de OK par rapport à la perpendiculaire à OE menée par K. 
Donc GK enveloppe l'iiypocycloïde (H). Même chose pour GL. Les deux autres sommets S et T du 
rectangle sont respectivement symétriques de G par rapport à K et à L. Ce sont donc les points de 
contact de (H) avec GK et GL. Les cotés RT et RS enveloppent évidemment une hypocycloïde (H') 
horaothétique de (H) dans le rapport — 3, relativement au point F. (Ceci nous démontre en passant 
des propriétés bien connues sur l'hypocycloïde à trois rebroussenients et sur sa développée.) 

Quant aux projections des sommets G et 11 sur AB, elles décrivent, l'une P le cercle (C), l'autre 
Q rhxpocycloïde (II). 

3. Soit A un côté quelconque du polygone en question. Il coupe .\B 





en U sous un angle constant x et le rai)purl 



L'A 
UB 



est aussi constant. Un 



déduit de cette di'rnicio propriété que lo rapport ,„ et le rajiport ■ 

sont également constants. Ceci prouve d'abord tiuc U" décrit un cercle 
(C") homoihétiqueà (C) relativement à 0. Menons alors par U" une paral- 
lèle A' il A. La bissectrice de l'angle D'A' a visiblement une direction 
lixe. Donc a' enveloppe une hypocycloïde (U") tritangenle à (G"). .le dis 
que A enveloppe aussi une hypocycloïde. 
i'^n ell'rt, lra(;ons le cercle (G'). Menons |iY |i;irallt"'le ;i A' (Voir la ligure), joignons 0^ et traçons 



CORRESPONDANCE 



67 



la tani^ente 02 en à {C"). Je dis que l'angle îOy a même bissectrice que OU's. Il fuflil, pour le 
prouver, de montrer que l'angle oOU" est égal à l'angle de Oy avec a'. 

, ■ OÙ" , ^ 

Or le premier a pour mesure — - — Le second a pour mesure 




OL" 



U' ' - OL"' 



iO 



OL"" 



Donc les deux angles sont 



bien égaux. 11 résulte de là que le point -; reste lixe quand U' décrit (C"). 

Or, les droites A et A' sont homothétiques relativement à ■; dans le 

3U 
rapport constant ■^-rr, ■ Comme A' enveloppe une hypocycloïde, il en 

est de même de à Nous avons de plus un moyen très simple de placer cette hypocyclo'ide, en 
s'appuyant sur ce qui précède. 

Reste à trouver le lieu d'un sommet quelconque du polygone. Soit m un tel sommet. Si on le joint 
au point I, on obtient une droite faisant un angle constant avec BC, et 
par suite symétrique de 01 par rapport à une direction fixe I:. De plus, 

le rapport est constant. Or. soit Oi la perpendiculaire à I: et mm"m' 

parallèle à I:. On a les égalités suivantes : 

_^ = Q' _ ^ ^ ,.e 

Om" 01 — bn 




01 



II 

d'où, en divisant membre à membre, 



Donc m" décrit un cercle (C ') hoinothétique de (G). Puis 
m'ni' Om' 
11 ^ "ÏÏT ^ ^"' 
m III Ijiii 01 -+- Im . lui 



01 



1 



01 



= c" 



»i m 
m' m" 



11 résulte de la que le point m décrira la projection d'un cercle ou une courbe pouvant se projeter 
suivant un cercle, c'est-à-dire une ellipse, dont les axes seront évidemment parallèle et perpendi- 
culaire à Ob et qui passera par 0. Xous n'insistons pas davantage sur celte ellipse dont il serait très 
facile de déterminer tous les éléments. 

Remarque. — Dans la solution fournie par la Revue dans le numéro de Septembre 1908, l'auteur, 
cherchant l'enveloppe d'un cùté du polygone, se borne à dire que cette enveloppe est une courbe de 
troisième classe. Il était très facile de voir sur l'équation obtenue que c'était une hypocycloïde à trois 
rebroussements. En divisant l'équation par cos (o — ?) et posant tg(t» — S) = m, on voit de suite 
que l'équation de la droite prend la forme 

03(m) désignant un certain polynôme du troisième degré en »i. Or c'est là, comme on sail, la forme 
caractéristique de l'équation d'une tangente à une hypocycloïde à trois rebroussements. 



68 NOTE SUR L'ÉQUATION DE RICCATI 

NOTE SUR L'ÉQUATION DE RLCGATI, 

par M. J. Haag, professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Duuai. 



Je me propose d'exposer ici les propriétés les plus importantes d'une équation célèbre, qui, sans 
être au programme de la classe de Mathématiques spéciales, peut intéresser les lecteurs de la Revue, 
car on la rencontre dans un grand nombre de questions de Géométrie. Cette équation, qu'on appelle 
l'équation de Riccati, est de la forme 

(1) -d^=« + *^ + "2/'' 
a, b, c étant des fonctions quelconques de a-. 

On ne sait pas intégrer cette équation dans le cas général. Mais ou peut le faire dès que l'on en con- 
naît une intégrale particulière iji. Posons en effet 

(2) y = y>^-- 

L'équation devient, en tenant compte de ce que j/, vérifie l'équation (l), 

(3) -g-+-:(6 + 2cy,) + c = 0. 

On arrive donc à une équation linéaire, qui s'intègre, comme on sait, par deux quadratures dans 
le cas général et par une quadrature quand on en connaît une intégrale particulière. Donc 

Théorème. — L'équation de Riccati s'intègre par deux ou une quadrature suivant que l'on en con- 
naît une ou deux intégrales particulières . 

L'équation (.3) a une intégrale générale de la forme 

; = X -f-CX,. (C = cX' arbitraire). 

Donc, l'équation i,l) a une intégrale générale de la forme 

D'où l'on déduit sans peine le théorème suivant : 

Théorème. — Le rapport anhamionique de quatre intégrales particulières de l'équation de fiicctili 
est ind''pendiinl de la variable x. 

[)e ce théorème résulte que si l'on connaît trois intégrales particulières i^i, y., 1/3, l'intégrale géné- 
raU- sera donnée par 



y — Ut . U^ — Vi 



= C, 



y — 'h î/3 - y-2 
où c désigne une constante arbitraire. L'équation s'intégrera donc dans ce cas par des calculs pure- 
ment algébriques. 

Application. — Soit l'équation 

(5) y»_^A-/'-HBy = 0, 
où Â el B sont des fonctions quelcomiues de r. Posons 

(6) ;/ - c-^-"''. 
L'équation transformée est 

(7) :'-^-:=-r A:-hB = 0. 

C'est une équation de Riccati. i't donc on sait intégrer (7), on saura aussi intégrer (3). 
Inversement toute équation de Riccati se ramène à une équation linéaire du second ordre. Soit en effet 
réqiialion 



SUR LES TRAJECTOIRES ORTHOGONALES D'UNE FAMILLE QUELCONQUE DE CERCLES 09 

(8) II' -{- au^ -i- bu + c = 0. 

Posons V — >.;, l'équalion devient 

Iz'-i-ar-z- -4- z(hl-hl') -1- r = 0, 

équation qui sera idonlique à (7), si l'on prend 

V 
nl—Ï^Q, A = h-\ — y, B=lc. 

L'intég;ralion de (8) se ramène donc bien à celle d'une équation de la forme (5). De celle Iranpfor- 
mation de l'équation de Hiccali, on déduira sans peine toutes les propriétés établies plus baul. en s'ap- 
puyant sur ce que l'intégrale générale de (5) est 

y = Ci(/, + C2J/2, 
où 2/1 et î/2 désignent deux intégrales particulières distinctes. 



SUR LES TRAJECTOIRES ORTHOGONALES D'UNE FA.MILLE QUELCONQUE DE CERCLES, 

par M. J. Haag, professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Douai. 



La présente note a pour but de donner aux lecteurs de la Revue quelques principes généraux sur la 
recherche des trajectoires orthogonales d'une famille quelconque de cercles. Les résultats que je vais 
exposer se trouvent d'ailleurs dans l'ouvrage de M. Darboux sur la théorie des surfaces (Tome I, pages 113 
et suivantes). 

Considérons une famille quelconque de cercles C. Soient a'„, y^ et R les coordonnées du centre et 
le rayon de l'un quelconque de ces cercles. Ce sont trois fonctions données d'un certain paramètre u. 
Pour trouver l'équation différentielle des trajectoires orthogonales r, appliquons la méthode employée 
par MM. Cotty et Durand pour la solution des questions 1595 et 1635, méthode qui n'est autre que celle 
qu'utilise M. Darboux dans l'ouvrage cité plus haut. Appelons v l'angle polaire d'un rayon quelconque 
d'un cercle C. Les coordonnées de l'extrémité de ce rayon sont 

(1) T = a'o+R CCS îJ, y = j/,i -H R sinu. 

Ce point décrira une courbe r si l'on a 

sin u . dx — cos v .dy = 
ou sin «[(xii -)- R' cosv)du— R sin vdv] — cos v\{y'^ -+- R'siny)rfu -+- Rcos vdv = 

ou (2) 

Or, posons 
l'équation (2) devient 

(3) ■ 2-^_^(i_.)_2:g.. = o. 

Cette équation est bien connue; c'est une équation de Riccati. Appliquons-en les propriétés. 
On sait d'abord que le rapport anharmonique de quatre intégrales de cette équation est indépendant 
de u. D'oii : 

Théorème. — Soient quatre Irajecloires quelconques r,, r.j, Tj, r._ et soient Mj, Mo, Mj, M; les points 
où elles coupent un même cercle C. Quandjelui-ci varie, le rapport anharmonique (MiMsMjM,) reste cons- 
tant. 

Une conséquence immédiate est que si l'on connaît trois trajectoires particulières r,, r.,, r^. on aura la 
plus générale en prenant sur chaque cercle C un point M qui forme un rapport anhaimoniqre cons- 



R— T h ?/i cos V — x'„ sin v 


= 


V 




rfu ^ R ^' '> - R 


t = 



70 ALGÈBRE 

tant avpc M,, Mo. Mj. Le point M décrira alors une courbe r. Le proUrmc s'achrvcni donc dans ce ras 
•par des calculs purement algébriques. On %A\i aussi que si l'on connaît une ou rfeui intégrales particu- 
lières d'une équation do Riccati, l'intégrale générale peut s'obtenir par deux ou une quadrature. Donc 

Théorème. — Si l'on connaît une ou drur trajectoires particulières, les autres se déterminent pin- 
deux ou une quadrature. 

En particulier, supposons que tous les cercles C soient orthogonaux à un cercle fixe r,,. Chaquecercle 
C sera orthogonal à \\ en deux points différents, ce qui donnera donc deux intégrales différentes de 
l'équation (3). Donc 

Théorème. — 'Si les cercles d'une famille sont orthogonaux à un cercle fixe, leurs Irajecloires ortho- 
gonales se déterminent par une quadrature. 

Ceci arrive en particulier si les cercles C ont leurs centres en ligne droite, comme dans les ques- 
tions 1633 et 1395, ou encore si les cercles G passent par un point fixe (cas limite), comme dans la note 
que j'ai publiée dans la Revue en janvier 1908. 



1675. — On considère la fonction 



ALGEBRE 



aLx — a; 



x^ 
dans laquelle a désigne un nombre positif donné. 

l" Montrer que cette fonction satisfait à l'équation différentielle 

, a — J- 

en déduire le calcul de »/<»' en fonction de iy " ' . Calculer y, y, y" et y'" pour a- = 1, et trouver com- 
menl la parabole 

?/ + 1 = (2» - 1)(^ - 1) - -Ç- (^ - 1)= 

est placée par rapport à la courbe 

aLi' — X 

y = —;r' — 

au voisinage du point [x = l, y = — 1). 

2° l'étudier la variation de y pour les diverses valeurs positives de a. Construire les courbes qui corres- 

pondent aux divers cas, en particulier, celles qu'on obtient pour a = — -î a =: 1, a = e. 

1. La fonction y = ^ satisfait à la relation -Vy — af.x — x, el, par suite, en prenant 

la dérivée par rapport à x, 

a a — X 

(xx'~iy -\- x'^y = 1 , xy' + ai/ = 

C'est la relation indi(iuée. 
Elle peut s'écrire 

^î/'+ "J = ^^ " — x~^'*~', 
el, en la dérivant successivement par rapport à x, elle donne 

xy" + (a -h 1)l/' = — a'x"""' -(- (» — i)x~' ; 

xy'" + (a -t- 2)!/" == a . a . (a H- 1 )x-''-- — (a — 1 jai-""' ; 



ALGÈBRE 



71 



pt ainsi de suite, jusqu'à 

XI/'"-' H- (3^ -I- n)î/'"' = (— J)''=t.3t.{a-t- 1). . .(a + " — i)x-'-" _ (_ l)"(a — l)a. ..(a+ n — 2)a;-='-"+' . 

Ces formules donnent successivement y', y", y'", ..., y"' 

Pour X = l, on a y = — 1 ; puis y' = 2x— l, 

y" -X- {1 -+- l)(2a — 1 ) = - a= -t- a — 1 . y" = —'ix^; 

enfin, ?/"-*-(» -+-2;(-3a2) =: a\c< -h 1) — a(a — 1), j/'" = ia^ _^ 6a^ -H a. 

La parabole 

j/_h1 = (ia-l)(x-l) — ^(x_l)2 

s'obtient en prenant les premiers ternifs du développement de y par la formule de Taylor, au voisinage 
du point X = \. Soit y, l'ordonnée de la parabole et j/celle de la courbe proposée ; on a évidemment 

y = y'^ â {x~\}'H 



par conséquent 



?/-.'/. = ^^^[4-^ 



■ 61' -+-a + (x -!)(...). 



Au voisinage de x = 1, ;/ — !/i a le signe du premier terme ; il est donc négatif avant et positif 
après ; la parabole est au-dessus de la courbe à gauche du point x = 1, et au-dessous à droite. 

Cette parabole est osculatrice à la courbe au point envisagé; elle a le même rayon de courbure 
qu'elle; elle rencontre la courbe en trois points confondus, c'est-à-dire qu'elle a deux éléments consé- 
cutifs confondus avec elle. 

2. Kn même temps que nous allons étudier les variations de y, nous allons aussi figurer la courbe 
correspondante. 

Au dépari, pour x = ou e, la fonction est égale à — 00 . Pour -■ = 1. elle est égale à — I. 

Il est d'ailleurs bien visible qu'elle n'existe que pour x> 0. l']nfin à l'arrivée, pour 

X = -!- 3c . elle est égale à — 3C si a est plus petit que 1 , à — 1 si a = 1 , 

Lx 
et à si a est plus grand que 1. (On sait que le terme — '— a toujours pour 



limite 0). Si a = 1, y = — 1-He pour x infini, et si a>l, j/ est infiniment 
petit et négatif. Nous aurons donc les trois formes ci-dessous. 

Voyons maintenant si la courbe traverse Oj, c'est-à-dire si aLx — x peut 

s'annuler. Pour cela, étudions la fonction u = aLx — x ; nous avons u' = l ; 

X 

celte dérivée s'annule pour x = », et on a alors 

u = a(Li — 1). 
Avant a. u' est positif, la fonction croit ; après «, u' est négatif, la fonction décroit; le nombre 

trouvé est donc un maximum. 
Nous voyons donc de suite que : 
si 3t est plus petit que e, la 
>^ courbe reste au-dessous de Ox, 

^ si 2 = e, elle touche Ox au 
^ point X = ï = 1? ; enfin si a > e, 

elle traverse Ox et entre les deux 
points de rencontre avec Ox, il 
y a sûrement un maximum. 
Voyons maintenant la dérivée: 



y 



y 



ALGÈBRE 



a — .'I- — a-L.T -+- a,r 



Nous poserons 



a — X — a^L.T -+- a.r, 



et nous aurons 



1 



Si I est inférieur ou égala i, z' est toujours négatif : par suite : décroît toujours. Or pour x= z, 
n = +00 et pour a;=-t-x, on a le signe de (a — i)x, c'est le signe — . La dérivée passe donc du 
positif au négatif; la fonclion y a un maximum unique. Pour « = 1, la racine do la dérivée est 
égale à e. 

On peut donc tracer de suite les courbes qui correspondent aux valeurs de x inférieures à 1 et 

à a — 1. 
y Nous avons pris comme exemple 

1 

le cas de a = — - : alors le maximum 





a lieu pour x — 1 
Quand oc > 1 , 



1 



s annule pour 
et alors : va de -+- x 



a 4- aa — ,=L ■ 



= 3t-Lc 



à -i- 00 en passant par un minimum 
pour cette valeur de x. Ce minimum a 
pour valeur 

a — 1 



Tout dépend donc du signe do Le " ■ 

par rapport il 1. Pour a = 1, ce nombre est nul ; pour ar= 
maximum et quel est ce maximum ; pour cela, annulons p', 



1 i^j. ^_i 
— ou de la position du nombre i = e " ;— 



la racine est 



il est nul encore. Voyons s'il a un 
l-(-\/5 . 



P est donc maximum pour ce nombre là. 



■r 1 



Ce nombre est voisin de 2 et pour « = 2, p = e- — > 1 ; on peut alors figurer sans peine la 

courbe fi. De 1 à o', ^ est plus petit que 1 et ; 
s'annule deux fois ; de «' à a", p est plus grand que 1, 
et : ne s'annule pas. Enfin de «" à +» , ? est 
plus petit que 1 et : s'annule de nouveau deux fois. 
11 est facile de vérifier que ^ est plus petit que 1 
pour a=e; e est donc au delà de a". 

Prenons al^rs une valeur comprise entre 1 et a. 
Pour cette valeur de «, la fonction aura un maximum 
et un minimum et restera toujours négative ; on aura 
la forme ci-contre. 
Pour a compris entre a' et a", il n'y a pas de sinuosité, y croît toujours. 

Enfin, entre a et e, les sinuosités réapparaissent et la courbe reste au-dessous de O.r. Pour a = e, 
elle est tangente à Or. 

Pour a>e, elle traverse Ox. 




GÉOMETUIE ANALYTIQUE 



73 




Telles soal les différentes formes de courbes que donnent les diverses valeurs positives de a, portées 
dans la fonction y. 

Bonnes solutions : MM. G. Foocrt, à Roemne ; P. Bbizaru ; L. Simon-, à Ohàlons-sur-Marne : Iîpos : C. Dinat, à Poitiers; 
H. JiNois, à Nantes; Amblard, à Ruines. 



GEOMETRIE AXALYTIOUE 



1676. — On considère deux paraboles focales l'une de l'attire. Soient .M un point de l'une et .\1' un 
point de l'autre. Soient r le milieu de MM' et (P) le plan perpendiculaire à }i\l' mené par ce point. 

1» Former l'équation générale des plans (P). Chercher les plans (P) ijrui passent à l'origine. 

2" On considère les plans (P) parallèles à l'axe commun Ox des deux paraboles. Chercher l'enveloppe 
de ces plans, le lieu des points r et des droites M.M' qui leur correspondent. Le lieu de MM' est une surface 
réglée dont on cherchera le degré, la ligne de striction et le contour apparent sur le plan des >/z. 

3° On considère les plans (P) qui font avec Ox un angle constant. L'arête de rebroussement de l'enve- 
loppe de ces plans est une hélice située sur un cylindre à base hypocycloidale et sur un hyperboloïde de révo- 
lution. La trace de (P) sur yOz enveloppe une hypocycloide à quatre rehroussements. 

N. B. — On prendra pour axe des x l'u.ve commun aux deux paraboles et pour origine des coordonnées 
le milieu des deux sommets. 

1" .Nous prenons pour axe des x l'axe commun, pour plan des xy celui de Tune des paraboles, les 
axes étant rectangulaires. 

Les équations des deux paraboles sont alors 

Nous allons exprimer les coordonnées d'un point de chacjine 
d'elles en fonction d'un paramètre. 

Pour la première, on pose j/ = — ( x -t- y- ); 

on en tire, pour les coordonnées de M, 





- 




^ 


A 




i<? 


/ 


X 


/ .^ 













GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



j-, -I- -y = 'ipu-, y, = "^pu, :, = 0. 

Uuant à la seconde, on pose := — (x -j, d"où, pour les coordonnées de M', 

,r, — -^ = — 2/)u-, y, = 0,, :.. = — 2pv. 

Les coordonnées du point r sont alors 

a = ^-^ =p(u' — v-), y= =pu, '= -^ =-pv. 

Remarquons en passant que ce point décrit le paraboloïde équilatère représenté par l'équation 

y' - :' = P^- 
Les paramètres directeurs de MM' sont 

P 

XI — X. = 2p{tr + V'] — -^, ,v, — I/-2 = "^pu, :, — :, = 2pv. 

L'équation du plan P est donc 

(1) fx— p(H^ — j;-)ir2(«- + «2) - —1 ^(>.l — pt'y2u-i-(z-\-pv)iv = 0. 

Cherchons ceux de ces plans passant à Torigine ; pour cela annulons le terme constant de (1) ; nous 
avons 

équation qui se décompose en 

3 

(2) «2 — V' = 0, (3) u'- -h V- -^ — = 0. 



La première donne v = ±u : l'équation des plans correspondants est 



équation montrant que ces plans se partagent en deux familles, les plans de chacune des familles 
passant par l'une des droites 

( X = 0, ( X = 0, 

ly^z=0; ly-z=0. 

bissectrices des axes Oy, 0:. 

Quant à (3), elle fournit des plans imaginaires. 

2" Pour écrire que l'équation (I; représente \m plan parallèle à Ox, nous annulons le coefficient du 
terme en x, ce qui donne 

(4) „i _,. y2 = _ . 

(1) devient alors 

(5) (y—pu)u^(z-i-pv)v^O. 

Ces plans enveloppent un cylindre parallèle à Ox ; sa trace sur le plan yOz est l'enveloppe de (p), u 
el V étant reliés par (4). 

De (4) on lire « = — cos ç, " = V ^''^ '^' "^ étant un nouveau paramètre. 

(5) devient alors 

P 

(6) y cos ç 4- ; sin ç — — cos 2<f = 0. 

Pciur trouver l'enveloppe, nous dériverons par rapport à r ; il vient 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



7S 



(6)/ — j/ sin 9 + : cos 9 + /) sin 2^ = 0. 

Nous obtenons une représentation paramétrique de la courbe en résolvant (6) et (6)' par rapporta 
y et z, ce qui donne 



P 



-^ (2 sin^" 



3 sin 9). 



y = -i^ (3 cos 9 — 2 cos'o), 

Je pourrais construire la courbe en me servant de ces formules, mais il est plus simple de remar- 
quer que c'est une hypocycloïde h quatre rebroiissements admettant les bissectrices des axes pour 
tangentes de rebroussement. 

En effet, les coordonnées des points de rencontre de la droite (6) avec ces bissectrices s'obtiennent 
en faisant y — : et ?/ = — : dans (tj), ce qui donne 




?/, = :, = — fcos t? — sinol, 
et par suite 



— 30 = — (cos ? + sin o), 



(y-2 — yiy- + {--2-z,r- 



V 



Les segments de tangente à la courbe enveloppe compris entre les 
deux bissectrices ayant une longueur constante, la propriété est établie. 
Le plan P enveloppe donc un cylindre parallèle à Ox ayant cette hyper- 
cycloïde pour base. 

Lien de r. — Les coordonnées de r sont dans ce cas 

P P 
cos 2o, ?/=— -cos'f, := — sin-f. 



Ces formes paramétriques représentent une biquadratique tracée sur les cylindres 

les deux dernières surfaces étant des cylindres paraboliques ont un plan tangent commun, le plan de 
l'infini; par suite la biquadratique a un point double; c'est ce qui explique sa rationalité. 

Lieu de iOl'. — La droite MM' passe par le point r : ses équations sont donc 
X — p(u- — y^) y — pu z-hpv _ 



2p(tt2-t-t;2) — -^ 

or, dans le cas qui nous occupe, 2(u^ + u") = 0. 

Donc les équations de MM' sont 



2pu 



X = p[u- — D-), 



y — pu 



2pv 



pv 



ou, en fonction de 9, 



■cos2ï 



)/ sin ç, — : cos 9 — — sm 29 



Pour avoir l'équation de la surface engendrée, j'élimine « et v entre les équations de la droite et 

«5 + y2 = — ; 



j'ai immédiatement u- — y- = 



2«= = -- 



2- = T- 



/' 



Mais de 



y — pu _ z-]-pv _ 



on tire 



!/ = m(? + P), 



= <?-p)^ 



par suite (P + P)'=i;^' (?-/')' = ^' 

d'où, par addition et soustraction, 



70 



GÉOMÉTRIK ANALVTIQUI': 






ou, en éliminant c, 

[6p- \u- v"- ! '^ -1\ u- K- 

u"- et y« étant linéaires en x, cette équation représente une surface du sixième degré. 

Ijqne de striclioti . — Considérons deux génératrices G et G' de la surface; elles se projettent sur 
le plan des yz suivant les droites g et g' se coupant en A. Comme G et G' sont 
parallèles au plan des yz, leur perpendiculaire commune, et par suite son pied P 
sur G, se projette en A; or si G' tend vers G, P tend vers le point central et sa 
projection A sur le plan des yz tend vers le point de contact de g avec son enve- 
loppe, donc la ligne de striction se confond avec le contour apparent. 

Nous allons chercher la projection de ce dernier sur le plan des yz : c'est 
Tenveloppe de la projection de la génératrice sur ce plan, c'est-à-dire de la 
droite 

y sin ? — ; cos ç sin 2? = 0. 

Celle droite rencontre les axes en des points qui ont pour coordon- 




dODC 



y, — p COS cp, 

:■ = 0; 



AB- 



B 



;/. = 0, 

z-, = — ]) sin ç. 



pi = c'' 



L'enveloppe est donc une hypocycloiile ii quatre rebrousse- 
ments. 




3. Les coefficients du plan P sont 



■V-)- 



les cosinus directeurs de Ox ; 1,0, ; l'angle du plan P avec O.r est donc donné par la relation 



sin V = 



y/(2K -+- ^'') --§■)' + ^^"' + "') -■"' ^"'^^T 



d'où 



2 1 — sin V 



Or L' 



sin V 



2 i_sinV 



est toujours positif: on peut donc écrire w» -(- c- = m-, vi- étant une cons- 



tante. 



L'équation du plan P est dans ce cas 

( 2m= - •^) a; -H ^"î/ + 2i-: — ;>(«' - v'-)(im^ -^S^j =0. 
Or on peut poser u = m cos œ, v — m sin o, o étant un nouveau paramètre; l'équation du plan devient 
(J) (im- — — jx-h'îmycoso-h'imzsin o — pm-ilm- +-;5- j cos2ç = 0. 

Ce plan, dépendant d'un seul paramètre, enveloppe une surface développable, dont nous aurons 
l'arèle de rebroussemenl en adjoignant à son équation celles obtenues en la dérivant deux fois par rap- 
port à Ç, ce qui donne : 

— 1/ sin 9 -i- : cos f = — pm i im- -h — ) sin 2o, 



(2) 
(3) 



• j/coso — : smç 



? = — 2pm ( 5m» + — ] cos 2?, 



OÉOMETItlK ANALYTIQUE 



d'où, en résolvant (i) et (3) et ajoutant (1) et (3). 

3 



X — — 3/>m- ^ CCS 2ç, >j ~ 2pm( 2m- -^ -5- ) cos= 9, z = — 2pm ( im- -H — ) sin' =.. 

2m'- r- 

Ces formules nous définissent l'arête de rebroiissrmeiit : c'est une courbe du sixième ordre ; les 
deux dernières donnent d'ailleurs 

?/'+:■ ^ \ -2pml 2m- -I- — ) ' 

équation d'un cylindre parallèle à O.r, contenant la courbe et ayant pour base une hypocycloïde à 
quatre rebroussements. 
On a d'ailleurs 

ds- = rf.r2 + (/(/- -1- (h- — 9m-p-— ( 2m- -f- — ) sin'^ 23rfo'-, 

donc, k désignant une constante, ds — ksinî'^di. 

3 

2 dx 

Or dx = &pm'^ sinSorfa, donc "77 = ^ • 

2m» — — 

Par suite, la tangente à la courbe fait un angle constant avec Or. Cette arête de rebroussemenf 
est donc bien une hélice. 

Montrons encore que cette arête de rebroussement est située sur un hyperboloïde de révolution. 

On a, pour représenter la courbe, les formules 

x=:bcos2-^. t/ = 2ncos^=, : = — 2asin^r, 

a et 6 étant des constantes. 

Des deux dernières on tire 

~ = cos' ^ -h sin" o ; 

de la première, 

-7T- = ces' o -t- sm* o — 2 sm^ o cos* o, 
h- ' ' ' ' 

ou. en multipliant le premier membre par 1 et le deuxième par cos-o ^ sin-o, 

— - = cos^ 'J -i- sin^ o — sin- ° cos- ? = cos^ a -+- sin'^ o sin'- 2o . 

/;■- ■ •4 

X X- 

Or de cos 2-^ = -7-. on tire sin' 2c = i — : 

' n- 

finalement 



X- y^ -+- :- 




b'- Aa' 




y- -h :'- 


3x^ 



Ti'-i 



a- 0^ 

hyperboloïde de révolution à une nappe. 

La trace du plan P sur '/O; a pour équation 



y cos 'f + 3 sin ç. i— i 2ni- -I — — Icos 2= = 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



équation qui 5e déduit de l'équation (6) du premier paragraphe en changeant p en pml 2m"- -h ~y> 

elle représente donc une droite enveloppant une hypocycloïde à quatre rebrousseraents situés sur les 
bissectrices des axes. 

Reinarque. — Les droites rencontrant les deux paraboles forment une congruence intersection de deux 
complexes de droites s'appuvant sur chacune des paraboles. Elle est donc de quatrième ordre et de quatrième 
classe et admet comme surface focale l'ensemble des deux paraboles. Il y a plus : 
C'est une congruence de normales. 

En effet, prouvons que les plans locaux .sont rectangulaires : chacun d'eux 
est détioi par MM' et la tangente à l'une des paraboles. 
Les paramètres directeurs de MM' sont 

?/)(!<- + B-j— ^, ipu, 2pi- ; 

ceux des tangentes MT, M'I", 

ipu, 2p, ■ ; 4pjj, 0, — 2p ; 

les coefficients A, B, C ; A', B', C des plans (MM', MT,, (MM', MT') vérifient les 

équations 

kiu"- +1-5 — — .'j-(-Bi< + C<- — 0, 




Des deux premières on tire 



des deux dernières, 



^Y,,2_l_v.î-^lj-,.B'i( + C'i-= 0, 
C 



A2m -f- b = 0. 
A'.2i' + C = 0. 



B 



d'où 



-(„.-..- i) 



— iuv ' 



AA' H- BB' + ce = — !!D — 'iuviv:- — r^ — x )~ -"'iv- — u- — -|-) = ; 
la propriété est établie. 

Toutes les droites MM' envi.sagées sont normalc^^ à une famille de surfaces parallèles. 
Cherchons ces surfaces. 
Les équations de MM' sont 

X — p{u- — V-] y — pu z + pr 



Mettons les coordonnées de l'un quelconque de ses points sous la forme 



lra^.,y..V 



(1) 



xa — p{u- — î;-), yo = pu, 

a = 2(m2-|-o2) — -i-. ? = 2m, 



Y = 2r. 



Cherchons à déterminer un point N sur .MM' par sa distance p (ou une quantité proportionnelle) à \, en 
écrivant que cette droite est normale à tout déplacement infiniment petit effectué sur la surface lieu du point N 
au voisinage de ce point, ce qui s'exprime par la condition 

adx-i-'idii -\- -;di = ; 
cette équation donne, fout calcul fait, 



c'est la difrérentielle totale de 



d'où 



udu — vdv -+- z{udu -(- edcl h — ^ ^u^ "•""") ^" "ô" 



»2-t>2+pr2l»'-f-i->) + -i.J = 



CONCOURS DE 1908 



C 



,1 , „ , 1 

2(i(- + c2i + — 2{u- -\-V^)-hY 

Eu portani cette valeur de p dans les expressions de x, y. :, on a toutes les surfaces cherchées ; elles sont 

aiffébriques et uniciirsales. 

A. DAiniON. 
Bonnes solutions de .MM. P. Albertim, à .Nice; Bros: .1. D. Dofalt, à Poitiers; R. Boovaist. 



CONCOURS [)!■ 1908 

POUR l"e.mploi de 

COMMISSAIRE-CONTROLEUR DES SOCIÉTÉS DASSUR.WCES SUR LA VIE f 



Epreuves élimin.vioires. 
Malliémattques 
I. — 1745. — Calculer l'intégrak^ indénnie 



1= r ^ 

J (x — i) 4^- 



■ x -t- 6 
II. — 1746. — Construire la courbe 

Calculer à — — — - près Tordonnée du maximum et celle du miniinuni et à — -— pi-ès la plus 
1000 100 

petite racine de l'équation 

,,e-v^'-'i_ 1 = 0. 
lU. — Deux urnes contieniienl lune 4 boules blanches et 8 boules noires, l'autre 10 boules blanches et 12 
boules noires. On tire, d'un seul coup, 6 boules de la première urne pour les mettre dans la seconde. On de- 
mande la probabilité de tirer une boule blanche de la seconde après cette opération. 

I\'. — 1747. — On considère l'équation linéaire 

(1) #-^/''(-)-£+/-^(-)^ = '^- 

On pose 

(2) ;/ = «c 

et on demande de déterminer la fonction v. de manière que réquation en i- , ([ui sera aussi linéaire et du se- 
cond ordre, manque de second terme. 

Application à l'équation 

..^-.4.,.i;i-.(.-.^.,. = o. 

Etablir l'intégrale et \oir ce qu'elle deviendrait si on remplacjait /« par A;' (<- = — 1). 

Eprklves définitives. 

Composition finaticicre. 

1. — Exposer sommairement les diverses méthodes de calcul de la réser\e mathématique des assurances à 
terme. 

11. — Lue entreprise de capitalisation émet annuellement, le le janvier, 1000 bons remboursables à lOOOfr. 
l'un au ]dus tard au bout de 20 ans, et par anticipation, au moyen de tirages semestriels ayant lieu, les 1'^'' 
mars et Ji^r septembre de chaque année. 

Il sort à chaque tirage 1 bon sur 2.ï0 bons émis dans une même série annuelle. 

C) l.e prochain concoure aura lieu le 10 février 1009 (Ministère du Travail). 



80 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



La prime est de 12 francs par trimestre, payable les 1" janvier, 1" avril, !•■ juillet et !«' octobre. En cas 
de remboursement par anticipation, les versements k échoir cessent d'être dus. 

l» Quel est le charjçemcnt compris dans la prime ? 

2» L'entreprise ayant commencé à fonctionner le 1" jan\ier 190!, quel est le montant de ses réserves mathé- 
matiques au 31 décembre 1903. 

On supposera que le taux annuel de capitalisation est de 3 1/i 0/0. 

III. — Trois personnes d'âges x, y, :, désirent se constituer une rente viagère annuelle immédiate, rejio- 
sant sur leurs trois tètes, payable jusqu'au dernier décès, et devant toujours se partager également entre les 
vivants. Quelle e.--l la prime unique pure de cette opéraiion ? Quelle est, dans cette prime, la part contributive 
de chacune des personnes considérées? 



QUESTION PROPOSEE 



1748. — 1° Construire la courbe S), p = , ut délenniner en particulier la position de cette courbe 

par rapport à son asymptote. 

2» On mène la symétrique de MO par rapport à la tangente en M à (S) ; cette droite rencontre la perpen- 
diculaire à CM au point en un point P. Trouver le lieu de ce point. 

3" On fait tourner (S) autour de 0. Trouver les trajectoires orthogonales des courbes ainsi obtenues. Cons- 
truire une de ces courbes (T). 

40 On considère le cercle (r) de centre et de rayon a. Trouver le lieu des centres des cercles (C) ortho- 
gonaux à (D et tels ([ue le diamètre passant par ait une extrémité sur la courbe (T) précédemment cons- 
truite. 

Donner une construction géométrique des points ilo contact du cercle (C) avec son enveloppe. 

J. Haag. 
♦ 



DEUXIEME PARTIE 



GEOMETRIE AN A LYTIQL E 



1674. — On cuiuidère une ellipse et un point M de l'ellipse. Ile .M on almisse les trois normales 11 
l'ellipse, nijant pour pieds A, B.C. Construire la ijuarlique lieu du centre des ellipses qui passent par 
.M, A, B, (] et un foyer de l'ellipse, lorsque M varie. 

Soit //-.c- -H «'-'/-—"■/'• = l'équation de l'ellipse rapportée à ses axes et «00^9, i sin 9 les 

eoordoniiées d'un point .M de celte elliiise. L'hyperbole d'Apollonius relative au point M [lar rapport à 

l'ellipse a pour équation 

c'.ni +- b'x sin » — a^ij cos u = ; 

elle rencontre l'ellipse au point M, puis aux pieds A, B, C des normales issues du point M. l'ar suite, 

l'équalion d'une conique quelconque passant par les quatre points M, A, B, C est 

■/,(/>'- X-- + a-ij- — ti-b-) 4- c'-rij -+- O^x sin 9 — "^'J ces 9 = U. 

c 
Cette conique passe par le foyer (c, 0) de l'ellipse, si a = -T-sin9. Nous sommes donc conduits 

à clierclicr le lieu des centres des coniques 

c sin '^{b-.v' -+- a'-y^ — a'b-)-i- l>{c'-j:y +b^x sin 9 — a^y cos 9) = 0, 
quand 9 varie. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 81 



Le centre est défini par les équations 

( 26-cj sin ç -+- b{c^y -^ é' sin -S) = 0, 
(') j 2a=c)/sin 9+ /yiC-J — «'cos-i) =0. 

Nous aurons l'équation du lieu en éliminant ? entre ces deux équations. 

La première nous donne 

«^'/ 

sin Ç = n-T r: — 

bi'icx-hb-) 

et la seconde 

2a-c^y" c\ h^x{'ic:c -h b-t — 2a^cy- 
a^cos o = 2a=cy sin o+ bc\r = be-x~-^^^^~ = /,(^cx + b-) 

ou 

c2[A2x(2cx + è=) — 2a-cy2] 

COS o = ■ 



a''b-{tcx -+- b-) 

Écrivons maintenant que sin^ o -(- cos'- => = 1 , nous obtenons l'équation du lieu 
ày- c''[b-x(icx -+- b-) — 2 a'cy^]- ^ 

b\2cx -+- b^f a^b\'-2cx -h b'-)- " 

ou 

u'^b-chf- -h f*[/*-.T(2ca^ -I- /y2) — 2a-Ci/-]- = oVj^'icx -h b^)'-. 

Celte éqralion représente une combe du quatiième degré tjméirique par rapport à Ox. En ordon- 
nant l'équation pariapportà y, on reconnaît qu'elle est bicarrée, ce qui permettrait de la discuter et 
de construire la courbe. On voit immédiatement que celle courbe admet un point double sur Ox ayant 

b'- 
pour abscisse 

2 c 

Mais la construction de la courbe sera beaucoup plus simple en se servant d'équations paramé- 
triques. 

Revenons aux équations (1) et résolvons-les par rapport à x et y, nous obtenons 

a^iac cos o -i- 2i'- sin''' '^j b sin ç(A-c -+- 2a^ cos r) . 

_ _ V • ,/ = ■- - 



c('if(- sin^ 9 — C-) c(4r(- sin-9 — C-) 

ce sont les coordonnées du centre en fonction du paramètre ■•?. 

Transportons l'origine des coordonnées au point double ix — — —, y = Ou il suflit de rem- 
placer X par .r — — - ; la première équation s'écrit alors 

n^(aecosç=-i- 26- sin-<?) b- __ 2a' cos o -i- 6-c 

~ e(4a^sin'-9 — C-) 2c ^fV;- sin- o — c-) 

Par suite, les équations paramétriques du lieu sont 

2(7' cos ? -hb'-c b sin -Ji^rt' cos 9 -f- b-c) 

2(4a- sin- 9 — c-) c{4a= sin- 9 - c-) 

Nous aurons toute la courbe en faisant varier 9 dans un intervalle quelconque dont l'étendue soit 
égale à 2ir. Si nous changeons 9 en — 9, x ne change pas et y change de signe ; la courbe est donc 
symétrique par rapport à Ox. Si nous choisissons comme intervalle de variation de 9 l'intervalle 
(—11, -f-ir), nous pouvons le décomposer en deux, , — -, 0) et (0, -t- -) qui nous donneront 
deux branches de courbes symétriques par rapport à Oc. 

Il suffira donc de faire varier 9 dans l'intervalle (0, -), de construire la branche de courbe correspon- 
dante, puis de tracer la syméti iiiue de celte branche par rapport à Ox. 

X el y sont discontinus pour les valeurs de qui annulent le dénominateur 4a- sin- 9 — c- = 0. 



82 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Dans l'intervalle (0, r.) sin o est positif et prend la valeur — pour deux valeurs de o supplémentaires, 
l'une aiguë que nous appellerons a, l'autre obtuse it — «. 

D'autre part, i et y s'annulent pourune valeur de -f comprise entre — et - et dont le cosinus est 

fj-c 
égal à — Soit ^ cette valeur; nous avons 

. , c- Ire- Àa'' — a'-c- — //c^ ^ „ 

COS^ a — C0S2 3 = 1— = > 0, 

'ia"' \n' 4a'' 

et par suite -^ ^ < it — x < -. 

iN'ous pouvons alors dresser le tableau suivant qui donne les signes et les valeurs remarquables de 
X et 1/ : 



9 












3 




- 


— a 




- 


X ' 


2a' -h è-c 
2c= 


-H 


H- 30 


— X 





H- 


-t-oc 


— 30 


- 


2a' — b'-c 
2c"- 


y 





— 


OC 


-(- 3C 


J- 


- 


X 


-4~» 


-H 






Nous en déduisons les branches 
de courbe AB, COD et EF. Comme la 
courbe est symétrique par rapport à 
Oj; les tangentes aux points A et F 
sont ou bien parallèles à Oj/, ou bien 
portées sur Oar. Celte dernière hypo- 
thèse est impossible, car si la tangente 
au point A était O.t, le point A serait 
un point de rebroussement ; l'axe des 
X rencontrerait la courbe en trois 
points confondus en A, en deux points 
confondus au point 0, et cela est évi- 
demment impossible puisque la courbe 
est du quatrième degré. Donc les tan- 
gentes en A et F sont parallèles à 0;/. 
Cherchons maintenant les asymptotes. Considérons d'abord les branches AB et OC correspondant 
aux valeurs de o voisines de a. 

1/ 2A sin o 




Nous avons ■^— 



pour r = ^ 



La direction asymptotique a pour coefficient angulaire 

D'autre part 

h Asin (i(2a"cos9-f- fc'-c) 

1/ -)- — X = 



lim. ^ 
h 



ib sin a 



6(2a^cos<f-t-fc»c) 



c[ka^ sin- o—c"-) 2a(4a»sin* o — c^) 

bi'iii" cos Q -+- ft'c) ,„ . , b{->a' cos ? -f- b-c) 

= -^—. r(2<' sm <p — e) = — ^ — ; — : ^ 

2rtc(4«'^ sm= 9 — - f-) ^ '■lac{ta sin 9 -1- c) 

Pour 9 = a, on a 

,. , „ . 6(2a' cosï-h6-c) la\Uci- — c^ -h b^c)h 
lim.' — y\ — — ! 1- ^ _5 L_ 



( -x] 
\y -4- « / 



2ac(2a sin a -t- c) 



4nc2 



ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



83 



L'équation de lasymptole est dnnc 

b l,(a\'in' — c^--hb^c) . 

a iac- 
cette droite renconlre Ox en un point (1 situé entre les points et A. Un calcul analogue montre 

que l'asymptote aux branches OD et FE qui correspondent aux valeurs de o voisines de - — y. a 
pour équation 

h M — a-v'4a'' — c- -!~ é^f ) 

.'/ = ■!■ — m ' 



cette droite rencontre 0^ en un point II silué entre (i et 1". 
11 n'y a plus qu'à achever par symétrie par rapport à Ox. 

Bonnes solutions par MM. Biios ; Malpht, 140' d'infanterie : L. Smo.\, à Chàlons. 



G. FOUCRV, à Roanne. 



ECOLE CENTRALE (1908) 



4308. - 
4300. - 

4310. - 

4311. - 

4312. - 

4313. - 

4314. - 

4315. - 

4316. - 

4317. - 

4318. - 

4319. - 
4320. - 
4321. - 

3 

2 ^'X2 

4322. 
4323. - 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 
Arithmétique. Algèbre et Trigonométrie (M. Ckharu.) 

Reste de la division d'un nombre entier par 25. par 9. 

Preuve par 9 de la multiplication. 

La suite des nombres premiers est illimitée. 

Di'montrer que si un nombre premier divine un produit de deux facteurs, il divise au moins l'un d'eux. 

Si on divise deux nombres par leur p. g. c. d., les quotients obtenus sont premiers entre eux. — Réciproque. 

Démontrer que le produit de deux nombres premiers avec un troisième est premier avec ce troisième. 

Si a est premier avec 6, il est premier avec b-. 

Tout multiple commun à a et à 6 est multiple de leur p. p. m. c. 

Si on multiplie deui nombres par un troisième, leur p. p. m. c. est multiplié parce nombre. 

Calculer ,1 -^ près ^r., y -=- • \/^- 

près . 

9 " 1000 

- Limite supérieure de l'erreur commise sur le produit - v^ en prenant - = 3,14, \Jï = 1,41. 

-Calculera — près — •• -Ji, --. e-, — 
10 "^ - * e 

- Démontrer que 

_i_ _3 t_ _2_ _V_ 

'=2^ \ a ' xa ' = I 

- Effectuer le [iroduit a « x6 " ; 

- Résoudre et discuter les systèmes 

X -i- 2y -h m 



s/- 



i ' », la ' / > =0 ", 

démontrer que \a i )" =0"^ . 



V25 = î/5, 



'jTi = 3»; 2. 



= 1 

■2x -t- my -f- z = 2 
mx -h y -h 2.Z = 7, 

ax -h 3y -h z =b 

■2x -\- ay -h 2z = e 

x-^-az ^ d, 

/x -<-!/— 23 = a 

X — 2;/ 4- >.: = 6 

— 2x -h'f.y -h z ^ c. 



x-i-y-+-z 


= 


1 


ax -hby -h cz 


= 


m 


a-x + b'y -t- c-z 


= 


m- 


ax -h by -^ cz 


= 


a'- 


bx-h cy -i- az 


= 


ab 


ex -t- ay -i- bz 


= 


b--. 


x-^y-^z 


= 


a 


ax -t-by -t- ez 


= 


? 


X y z 


= 


1. 



^i ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



4324. - Trouver trois nombres en progression, géométrique connaissant leur somme et la somme de leurs carrés, 
par U^^^ ~ Développement de ix- a)". - Démontrer que les coefficients sauf le premier et le dernier sont divisibles 

4326. — Somme des carrés, des cubes des n premiers nombres impairs. 

4327. — Développement de (a-i-6-i-c)\ 

4328. — Somme des termes d une progression géométrique. — Appliquer à 

e" -t- e2^-H c3'> H 1_ <>'">. 

4329. — Calculer la somme des n premiers termes delà série 

Etudier la convergence de la série 

, i + 2x -h 3x- + ■ ■ ■ -t- JW"-' -+-... 

Obtenue en prenant la dérivée de chaque terme. — Calculer la somme de cette série. 

4330. — Étudier les séries 

\ « — 1 / V 3n — 1 / 

1 



/ n — 1 \.= 1 

". = ) • u.= — — . 



«n = 


: — ifommp de la 

n . 


série). u„ = 




1 
11' 


1 


M, = sin , 

n{n-h\) 


ii„ = arc cos , 

n ^1 


»/„ = arc tg 


sin Hj 

«, =: 

11= 


sin" I 
u„ = . 

Il : 


n-f-l 



n.s" 
1.3.3...(2n — 1) 



îi= — î 
1 



sm sm • 



11=^ 1 
1 



n-Hl 



"» = -T—T ('^^•'''"er la somme à -— près pour x ^ — i), h, = '^^" , „„ = _ÎL£L 

x' _ {n — l)x' {n'-hi)x" 



II- = 



v'n v'»' + I v'n' -1-1 v/î -H n= 

4331. — Calculer à — prés la somme des termes de la série «„ = — -. 

4332. — Calculer à — -— près c, «-'. 



2 '^ -2.2'- 3.2' "^ ^ n.i' "^ " 

4334. — 'yï tend vers 1 quand n augmente indéfiniment. Déterminer ?» de façon que 

4335. — Démontrer que si < a < 1, a' lend vers quand x augmente indéfiniment. 

4336. — Déterminer p de façon que pour » > p 

\ 3 / ^ I 000 " 

4337. — Démontrer que Lx tend vers — x quand x tend vers 0. 

4338. — Montrer que L'J/7= —lx. 

433!). — Calcul des logarithmes vulgaires en partant des logarithmes népériens. 
4340. — Dérivées des fonctions suivantes 

y = {x' — x]\ y = 'yj, 

j/ = sin I -j- — 2x\, ;/ = cos ix, y = sin Sx. 

y = e''"', y = c''"!!! y = gi-lx'+i)^ 

!/ = L sin e3'"»t, .'/ = arc cos ^\ —x', 

2x 3r x^ 

1/ = arc tg . ?/ = arc Ig -^ — -— - 

1 — x' 1 — 3j' 

1/ = arc lg(2'i"'c'), 



CONCOURS DE 1908 (Suite) 85 



4341. — Dérivée seconde d'un produit de deux facteurs. — Application à y = sin 'ix.e^'-. 

4342. — Dérivées successives de !/ = .cf. —Variation. 

4343. — Dérivées successives de y — —^ — . y = —, . y = ejco!.') si,j(j; sin 0) . 

4344. — Dérivée d'une fonction composée. — Application à. y = u'-.s,m r, ;/ = ((si"' . 

43i5. — Trouver les deux premières dérivées de la fonction y = f{u, v) : u = sin a;, k = tg x. 

4346. — Dérivées de y = x^, j/ = sin x's-^, !/ = (sin i-)'s's y = (x- -^-iY'i^'^^, ;/ = (tg 2x'r''i-', y ^ tg (sin a-'= 
= (sin xlMc^+ii, y = [L(a;--i-5)l'"'^"i"~''' . 

4347. — Dérivée d'une fonction implicite. — Application à x'i = e, sin y = x, e-'J — a;'- — 1 = 0. 

4348. — Dérivée seconde de y définie par l'équation f[x, y) = 0. — Application a. y- — 2px = 0. 

4349. — Étudier les variations des fonctions 

y = i^'ix- — 2.T + 2) — 2, 1/ = '^ ■ '~ ' . 

X 

y = sin x.sin 3x, y :^ tgl -^ ^x-j.tg/-^ —xV 

;/ = tg j; -f- 3 cotg X, y = 5 sin= j; -i- 3 sin j;.cos x + cos'- x, 

'"-"{t-Î)- 

4350. — Maximum de y = sin j;(l — cosx) (0 < j < t.), 

y = sin= x.sin 2x, y — tg a;.tg l-^ — x\ ( < x- < -J-'- 1 . 

y=cofg,r.tg(:r-^) (!.<,. <|.j. 

4351. — Maximum du i)roduit des sinus des angles d'un triangle isocèle 

u = sin a:. sin j/.sin :. 

(.4 suivre.) 



GOiNGOURS DE 1908 (Sitite) 



ECOLE DES Ml.N'ES DE SAiNT-ETlENNE 

Physique et Chimie. 

I. — 1749. Dans un tube de porcelaine rempli de coke et porté au rouge on fait passer un courant d'air 
chaud chargé de vapeur d'eau. 

Un recueille dans un eudiomètre 200 centimètres cubes du mélange gazeux ainsi obtenu. Après agitation 
avec un excès dépotasse, le volume du gaz est réduit à 192 centimètres cubes. Un expulse la potasse, on rince 
la chambre eudioniétrique, on y introduit la quantité de gaz tonnant nécessaire pour rendre la combustion 
complète et on l'ait jaillir dans le mélange une étincelle électrique : le volume s'abaisse à 157 centimètres cubes. 
Une nouvelle agitation avec de la potasse amène enfin ce volume ;i J35 centimètres cubes. Une addition d'acide 
pyrogallique au liquide, qui brunit, prouve d'ailleurs que le mélange tinal contient encore de l'oxygène. 

Sachant que toutes les mesures de volume sont elTectuées sur des gaz saturés de vapeur d'eau et ranu'jiées 
à la même pression et à la même température, l'on dira : 

i» Quels sont les gaz qui constituent le mélange analysé, supposé sec ; 

2" Quelle est la composition centésimale, en volumes, de ce mélange; 

3° Quelle est la valeur, approchée à un centième près par excès, de sa densité o par rapport à l'air. 

On supposera que les gaz étudiés obéissent rigoureusement aux lois de Mariotte et de Gay-Lussac. i.in 
admettra i|ue l'air utilisé est composé uniquement d'oxygène et d'azote en proportions normales, et l'on 
adoptera pour les poids moléculaires de l'azote atmosphérique et des autres éléments chimiques les valeurs 
usuelles en nombres entiers. 

II. — 1750. On a préparé une eau savonneuse de masse spécilique (ji. 

On commence par mesurer sa hauteur d'ascension h dans un tube capillaire de diamètre ir . 

On plonge ensuite un instant dans ce liquide le tube de dégagement d'un gaz de densité o ; après avoir 
arrêté le coui-ant gazeux, on attend que la bulle formée soit en équilibi-e mécanique et thermique avec l'at- 
mosphère ambiante, où règne la pression p„ ; on mesure alors son diamètre 2R. 



86 



CONCOUllS DE 1908 {!<uite) 



i» Exposer très brièvement quels sont les phénomènes capillaires mis en jeu par ces expériences, et mon- 
trer commenl on peut les expliquer par l'existence d'une tension superticiellc A, dont on donnera la déilnilion. 

''• Donner les relations qui lient les grandeurs litlérales précitées, raccéléralion 7 de la pesanteur et la 
pression p qui règne à l'intérieur de la bulle, et justifier les formules employées par l'étude de l'équilibre du 
liquide dans le tube de diamètre très petit 2r : 

a) Ecrire la condition d'équilibre du très |)elit volume de liquide compris entre le ménisque que, confur- 
niémentk l'expérience, l'on supposera de l'orme sensiblcmenl ^pberique, et le plan de section droite qui lui est 
tangent en son sommet; 

b) en déduire la hauteur h de la colonne soulevée ; 

c) en admettant, sans démonstration, la légitimité de l'extension de la formule trouvée au paragraphe a, 
■lu cas d'une surface libre spliérique de courbure finie, et en supposant égales les tensions superlicielles du 
liquide au contact de l'air et du gaz gonflant la bulle, établir l'équation qui détermine p. 

3° Calculer d'après les données numéiiques ci-dessous, la valeur de la différence p — Pa, qui sera expri- 
mée successivement en C. G. S. et en fractions de kilogrammes par centimètre carré ; donner également la 
valeur de la tension superlicielle en C. G. S. et en milligrammes par millimètre. 

Par une lé^'ère secousse, on détache la bulle du tube maintenu vertical de manière à l'abandonner dans 
l'atmosphère sans vitesse verticale initiale : la bulle s'élève, et au bout du temps t, crève en arrivant au con- 
tact du plafond du laboratoire, élevé de H au-dessus de l'extrémité du tube. 

4° Donner l'expression littérale des forces qui sollicitent la bulle d'épaisseur e plongée dans l'air de masse 
spécificiue a; en déduire celle de l'accélération •{ qu'elles lui impriment: on négligera les variations di; ces 
forces pendant U déplacement de la bulle et la résistance que l'air oppose à son mouvement. 

5° (.'.alculor la valeur numérique de l'accélération ■• en C.G.S., et avec un seul cliifl'rc sigiiilioatif, celle de 
l'épaisseur e en fractions de millinu''tre. 

Données nuniériiiues en G. G. S. : 

[ji = 1, h = i, ■2r—0,l, 21!= 10, ( = 5, H = 410. 

i)n dormera à o la valeur trouvée an ,s'3 de 1; on supposera la pression atmosphéiiiiue p^ voisine de la 
normale et la température voisine de 15°centigrades. 

Matliéniaiiqxes. 

1_ _ 1751. Dans un triangle rectiligne .\BC on désigne par: 

a, b. c, les longueurs des trois côtés ; 

6'' la projection du vecteur CA sur le vecteur CB ; 

c' la projection du vecteur BA sur le vecteur BC ; 

//„ lahaut<'ur rclati\e au cote a. 

On demande de calculer : 

jjiu —, cos — et /.i en lonctiuii de a,b,c; et de démontrer la relation : 

/, -I- // // 4- ,• j- a 



c — c' b + c — a 

Il _ 1752. Calculer les dérivées des fondions de x suivantes: 

logfa^ — v'.P -(- «l- 
I.a notation log dé>igne un higarithme népérien. 

III. 1753. "n donne trois axes rectangulaires Ox, (»;/, i)i et deux poinis .\ et A' situés >ur 0- de |iart 

|i et d'autre de 0, à des distances t)A = UA' =: /. 

I Soit l'ordonnée d'un point qnelcoii(|ue I' de la droite .\A'. Chaque élé- 

ment inliuilésiuial l'I'' = dz de cclt'' droite .\A' exerce sur loiil point M 
de l'cspaie une attraction dV qui a pour valeur 

cl esl dirigée dans le sens MP. 



(Oû-J P ^^è^ 



,M(j-..O.Jo) 



dV - 



K^ 



(U désigne la longueur MP). 

lin demande d'étudier le champ de force produit par le segment de 
droite A.\'. Ci' champ étant de révolution autour de 0;. on peut supposer que 

lr piiiiil .\l SI' trouve dans le p au ,'/ = 0. SoienI (x„, 0, >„) Irscoordonines de M. 



QUESTION PROPOSÉE 



i» Démontrer que les lignes de force sont des hyperboles ayant leurs foyers en A et V, et que les surfaces 
de niveau sont des ellipsoïdes de révolution . 
On commencera par établir la formule : 

dans laquelle doi représente l'angle des deux droites MP et MP'. 

On admettra d'ailleurs sans démonstration que les seules courbes dont la tangente fait des angles égaux 
avec les rayons vecteurs MA et MA' sont les ellipses et les hyperboles ayant leurs foyers en A et A'. 

2° Démontrer que l'attraction an point M a pour valeur : 

■^ = 7^- 

Dans cette formule r et r' représentent les rayons vecteurs MA et MA', k est une quantité qui reste cons- 
tante sur une même surface de niveau. 

3° On décompose Tatlraclion F suivant les deux rayons vecteurs MA et MA'. Démontrer que ces compo- 
santes restent constantes lorsque le point M se déplace sur une surface de niveau. 

4» Calculer le potentiel en M. Ce potentiel est donné par la formule 



=/^- 



Faire successivement le calcul en choisissant comme variables d'intégration : 

1» u = r-HR, 
2-) t'. = R, 
3° u = z, 
i" u =^ (•), 
w désignant l'angle de Oj avec PM. 

On utilisera les résultats obtenus dans les questions I i-l II. Vérifier l'identilé des solutions et cxprimei- V 
L'n fonction de <• -I- r'. 

Calcul trigonomélri'jue. 

10 Résoudre le triangle ayant pour côtés : 

= 92.134°', // = 27.010", c = 83.707iii. 

On donnera les trois angles en grades, minutes et secondes centésimales, et la surface du triangle en hectares 
^. On se servira de tables de logarithmes à cinq décimales. 




2o Calculer la fraction 



V3 



à 0,001 près d'erreur absolue. 



Epure de gioniétrie descriptive. 

1754. — Sphère et cône de révolution. —La sphère de centre 0,0' a 50°"" de 
rayon. — Le cône a son sommet S, S' à gO"" k droite, 100°"» au-dessus et 40°'°' en 
avant de 0, 0'. 

Les projections de l'axe du cône font des angles de 43° et de 60° avec les lignes de 
rappel. La sphère inscrite dans le cône et dont le centre w, m' est à la même cote que 0, 0' 
a 40°"° de rayon. 

Représenter le solide formé par l'ensemble du cône indéfini et de la sphère. 



QUESTION PROPOSÉE 



1755. — On considère la fonction 



et on demande : 



BIBLIOGRAPHIE 



1° De former l'équation ditréi'unlielle linéaire du second ordre à lai[uelle elle satisfait, puis d'intégrer cette 
équation dilférentielle ; 

2° De former le faisceau des courbes intégrales qui passent au point .>■ = -, 1/ = — 1, et de trouver le 

lieu des points d'inflexion de ces courbes. Montrer que ceux de la courbe 1/ = -^-; — sont sur une courbe 

algébrique du sixième degré. 

3" Trouver les séries delaforme 

a_. 
h "il -h ciiC -+- atx- H + a„cc" + ■■■ 

X 

qui satisfont à l'équation différentielle et expliquer le résultai obtenu. 



E. H. 



BIBLIOGRAPHIE 



Récréations mathématiques et prablémes des tetnp.s anciens et modernes, par W. Hocsb: 
Uall, Fellow and Tulor of Trinity Colle^'e, Camlirid^e. Deu.xièine édition française, traduite d'après la 
quatrième édition anglaise et enrichie de nombreuses additions par J. Fitz-P,\tii!i;k. — i'aris, 
.\. Herinann. — Deux volumes à 5 fr. chacun. 

.le suis convaincu que la lecture de cet ouvrage sera une récréation amusante et instructive pour les lec- 
teurs de la Revue. Aussi je pense leur être agréable et utile en signalant succinctement les questions qu'il ren- 
ferme et la nature de ces questions. 

Le premier volume est plus spécialement consacré à l'aritbmi'tique, l'aigèlire et la théorie des nombres. 
Il se conpose de quatre chapitres et d'une note. 

Le premier chapitre parle de l'histoire des nombres et renferme toutes sortes d'anecdotes, de remarques 
curieuses et de souveniis historiques. Les premiers nombres y sont passés en revue depuis 1 jusqu'à (4 inclusi- 
vement, et le chapitre se termine par quelques opérations abrégées. Ce chapitre renferme aussi des théorèmes 
d'arithmétique proprement dits, tels que celui-ci : Le nombre 10 est ie seul nombre triangulaire qui soit éyai 
à la somme des carrés de deux nombres impairs consécutifs. 

Le deuxième et le troisième chapitre traitent de (piesiions diverses d'aiithmétique et d'algèlue : devinettes, 
jeux de société, paradoxes et problèmes tirés des anciens auteurs. Us renferment en outre des problèmes variés 
qui se résolvent par l'algèbre, l'analyse indéterminée et le raisonnement purement arithmétique. Voici deux 
exemples : Trouver u>i nombre qui soU éyal à la somme des chiffres de son cube et déterminer trois nombres 
entiers dont le produit surpissB la somme d'une unité. Le troisième chapitre se termine par quelques questions 
d'arithmétique supérieure qui y sont envisagées au point de vue historique et au j)oint de vue scieutiliqiie. 

Le chapitre IV est consacre aux nombres de Mersenne et ;i l'expusé historique de la question. 

La note <|ui termine le volume est due à M. A. Hermaim et roule toute entière sur un problème de comp- 
tabilité très intéressant: l'étude des divers moyens qu'un homme i|ui est obligé dedépenserplus que son revenu 
pendant quelques années a à sa disposition pour se constituer une rente viagère qu'il se continuera ensuite 
au[irès d'une compagnie avec le capital restant. On ne saurait trop recommander l'élude de cidte note qui s'occupe 
de problèmes pratiques très utiles et dont l'application pourrait être fréquente. 

Le second 'volume n'est pas moins intéressant (|iu> le pi'emier. Il renferme six cbapiires consacrés ;i la 
géométrie, la mécanique et des jeux de toutes 'sortes. Une foule de paradoxes curieux, de problèmes ingé- 
nieux y sont exposés. Le dernier chapitre renferme l'exposé historique des f.uueux problèmes de la duplication 
du cube, de la trisection de l'angle et de la quadratui-e du cercle ; il se termine par une notice historique très 
détaillée sur la résolution de l'équation du troisième degré. 

Le peu que nous venons de dire sulfît à donner une idée de la variété et de l'originalité des 
questions traitées dans ces deux voluiiu^s. Ils se Usent sans fatigue, sans grand effort et sont aussi amusants 
qu'instructifs. C'est le plus bid éloge que nous en puissions l'aire. 

E. H. 
♦■ 



iiMTK-McuuiiT. Le Rédacteur-Géranl : 11. VUIBERT. 



19* Année. 



No 4. 



Janvier 4909. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



QUESTION DE CINÉMATIQUE 

par M. A. Durand, professeur au lycée Saint-Louis. 



Proposons-nous de déterminer la courbe qu'il faut faire rouler, sans glissement, sur une droite, 
pour qu'un point qui lui est invariablement lié décrive une courbe donnée. 

Prenons la droite comme axfl des X et un axe perpendiculaire OY. 
Soit G la courbe inconnue, P le point qui lui est lié ; prenons deux axes 
rectangulaires P.c, Py liés invariablement à G. 

Soient x. y les coordonnées, relativement à ?x, Pi/, du point de 
contact de G avec OX : soient X et Y ses coordonnées relatives à OX 
et UY. On a donc Y = 0. 

Soient a et 6 les coordonnées de P relativement aux axes fixes. Le 
lieu de P étant connu, on a une équation entre a et h. 

Soit enfin l'angle de Px avec OX (—6 est alors celui de OX avec 
Px), on a 

(1) X = (i-t-.fcose — ysinf», = Y = 6 + xsin *)4-,'/cosO. 
Soit s l'arc de la courbe G, compté à partir d'un point A pris sur cette courbe et fixe relativement 
à elle ; on aura, par définition du roulement, 

\ = s + c^e- 

on peut supposer cette constante nulle, en prenant pour point A celui qui, par le roulement, vient 
coïncider avec 0. Kn ditférentiant par rapport à la variable /, on aura 




(2) 



d\ ds </" , dx . du 

— — ~~ = — — - cos sm —f- 

dt dt 'Il dt dl 



[x sin + y cos 0] 



rfO 



or l'angle de OX avec Pa; est — 0, donc 
dx ds 



-y- — ~r ^°^ '^1 



dt 



II 



dy 
U 



sinO. 



,^ da . ^ „, dO dtî , rfO 

= -T ixsin'J-i- V cos 0| — - = -- — hi — 1 

dt ^ " ^ dl dt dt 



en tenant compte de la seconde formule (1). La variable t est indéterminée, car on peut se donner la 
façon dont la trajectoire de P est décrite ; on peut donc, si l'on veut, supposer < = a ; le mouvement 



'JO QUESTION UE CINÉMATIQUE 



de P en projection sur OX est uniforme. On a donc, par une quadrature, 

r" da 

«' 

où b désigne une fonction connue de a. 
Revenons aux équations (I) : 

X = s = a -r- X cos 9 — î/ sin 0, I cos 9, — sin 6 I 

Y = = 6 +x sin6-r y cosO ; | sinO, cos 9 | 

projetons sur Pj et Vy le contour des coordonnées X et Y. 

(3) [s — a) cos 9 — 6 sin 9 = X, — (s — o) sin 9 — b cos 9 = y ; 

or, en différenliant par rapport à a les deux membres de lëqualion Y = et en y remplaçant comme 

dx du . ^ ds . ^ ds . .V . 

on Ta déjà fait — r- et —f- respectivement par cos 9—-, — sin 9 -— (puisque n = l), et 
•' dl dl da da 

a; cos 9 — y sin 9 par X — n, ou s — a, on a successivement 

db rf9 . „ rf9 rfx . „ du 

= —r- -^ a" cos 9 — ; 1/ sin 9 — h — — sin 9 H — p- cos 9 

da da da da da 

et 

db (/O db s — a 



da ' ^ ' da da b 

Le problème est donc résolu par les formules b = «(n) {équation de la courbe donnée), 

(A) 

db , db . 

(C) x=— isin9-^i — cos 9. i/ = — /> cos 9 — 6 -— sm 0. 

^ ' da •' da 

On déduit de ces formules, on ajoutant les carrés, 

et en divisant membre à membre 

da 

u lib"^^^' 





d'i i 




da ~ 4' 




bdb 
s— a = \ — a= —, — 
da 


i sin9-^ 


b cos 9. 1/ = — 

da '' 



da . ,. . , , .7 



'-Hb'^' 



= Ig Ci, on a les formules qui permettent d'obtenir 
ol tg<o = tg(V-^9). 

" " ~ J ~' 
"o 

, ,-- ., ,., = V + 9 + /.r. 

\ sin V 

Un voit donc que les formules déduites des coordonnées polaires, et dont la démonstration directe 
e:>t facile, sont aussi celles dont l'emploi est le plus commode. 



.. ....^„.. rfi -*- " - 


^ a 


' ' 


la courbe en coordonnées polaires : 






<-' 




b 


'" ~ aln-V' 




' sin V 


Les formules sont alors : 






1 


IgV 


da 


(C) 1 




b 



GÉOMETllIE ANALYTIQUE 



Ul 



SUR LES CUBIQUES CIRCULAIRES, 
pniM. G. Pélissier, à Toulouse. 




Soit une cubique circulaire ; on sait <|u'elle admet quatre pôles d'anallaf;inatie qui sont les points 
de la courbe oi^i la tangente est parallèle à l'asymptote réelle. Soit a un 
de ces points : par o on peut mener quatre tangentes à la cubiqiie ; soient cia' 
aa" deux de ces tangentes; je dis d'abord que le point b où la droite a'n", 
rencontre la courbe est un de ses pôles d'anallagmatie. En effet les points a', 
a", b étant en ligne droite, leurs tangentiels sont en ligne droite : les tangentiels 
de a', a" sont confondus en a, le tangenliel de b est donc le point d'inter- 
section de la cubique et de la tangente en «, c'est-à-dire son point à l'infini ; 
la tangente en b est donc parallèle à l'asymptote réelle (fig. 1). 

Si donc on considère les quatre tangentes menées à une cubique par un 
de ses pôles d'anallagmatio a, les six droites joignant les points de contact se 
coupent deux à deux aux trois autres pôles ; d'autre part ces points de 
contact sont sur un cercle de centre a et ayant pour rayon la racine carrée 
de la puissance d'anallagmalie ; on a donc la propriété suivante : trois pôles 
d'anallagmatie d'une cubique circulaire sont les sommets d'un triangle 
conjugué à un cercle ayant pour centre le quatrième, autrement dit, chaque 
pôle est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres. 
Si la cubique a un point double en o (//(/. 2), il n'y a plus que deux pôles d'anallagmalie a et b et 

deux tangentes aa', (in" menées de a à la combe, la droite ad' passe toujours 

par le point b. Comme 

bo = bd .ba, 

la droite oh est tangente au cercle oda qui a d'ailleurs pour centre le point a. 

et les droites oa, ob sont rectangulaires. Soit c le point de rencontre de ab et de 

la cubique, la relation 

ao = ab.ac 

montre que c est la projection de o sur «6. De plus les trois points a, b, c étant 
en ligne droite, leurs tangentiels sont en ligne droite. La droite joignant les 
tangentiels de a et i étant l'asymptote réelle de la cubique, le tangentiel d de c 
p=t sur cette asymptote. Ainsi, le point double d'une cubique circulaire et les deux 
pôles d'anallagmatie sont les sommets d'un triangle rectangle ; le pied de la hauteur 
relative à l'hypoténuse est sur la courbe et la tangente en ce point passe par le 
point d'intersection de la courbe et de son asymptote. 

Si la cubique est une strophoide, on peut, d'après cela, construire immédiatement les tangentes 
cm', ad' : on sait en elTet que dans ce cas les droites ob, da" sont rectangulaires. Les points a', a" 
s'obtiennent donc en coupant le cercle de centre a et de rayon ao par la parallèle à oa issue de b. La 
construction montre que pour un des pôles les tangentes sont réelles et que pour l'autre elles sont 
imaginaires. 




9^ GEOMETRIE ANALYTIQUE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1679. — Trouver l'enveloppe des cercles ayant pour diamètres les cordes d'une ellipse qui passent par 
un point fixe du grand axe. Cette enveloppe est une quartique bicirculaire. Déterminer le point fixe de façon 
que celte courbe se décompose en deux cercles. 

Soil 1- -7 1 =0 l'équation de l'eliipse et a l'abscisse du point par lequel on mène la se- 
rt- /;- 

canle. 

L'équation de cette sécante est 

X — my — ï = 0, 

et celle du cercle cherché 

b-x^ + a-y- — a^b* -(- {ux -hvy -h wi(x -+- my — a) = 0. 

Ecrivons d'abord que c'est un cercle, puis que le centre du cercle est sur la droite x -+- my — a = 0. 

Nous aurons " -+- b- = vm -\- a-, - v -+- nui = : 

par suite, u[l -i- m-) — a- — b-, 

c- — c'-m 

u = , puis V = 

1 -+- m- 1 -+- m- 

Le cercle a donc pour équation 

(\ -{'Vi^)[b-x^ -h a-y- ~ a^b-) -i- [x -hmy — a)(c'x — c-my -h w) = 0, 
ir étant une autre constante. Celte équation devient 

[a- -+- b^m-){x--i-y') + x{w — c^a) -t- y{icni -+- c-am) — n-i'-( 1 -t- m'-j — iroi = 0. 
Les coordonnées du centre sont 

«■ — c-a Vl[u! -+- c^x) 

~ i{a^-i-bhn^-)' ~ 2(a=-f- bhn-) ' 
et en écrivant que ce point est sur la droite x + my — a, nous avons 

ir — c-a -t- m?(lV -H C-a) + 2a(a- -+- b-m-) = 
ou enlin 

'/•{ l -H JH-) -f- a(l -I- m-){c.'' -hb") = 0. 
La valeur finale de «• est d)nc une constante w = —x{a'-+ b-), 
et la seconde corde commune au cercle et à l'ellipse est la droite 

c-[X — my) — a(rt^ + é^) = ; 
elle passe par un point fixe de Ox. 

Dès lors, le cercle a pour équation 

(a' -h b-m-)[x- -t- y-) — Saa^j; — ^^b'-my — a-ft-(l -+- m-) + a'(a- -i- b-) = 0. 
Le lieu de son centre est une conique, la conique qui a pour équations paramétriques 

aa- -jib^m 

a- -+- b'-ni- a- -+- b'-m- 

L'enveloppe s'obtient en écrivant que l'équation en m a une racine double. Ceci donne 
[a'^(x- -+- y-) — 2aa=x — a-b^ -+- oi-^a- -+- i-)][6-(x'- -+- y-) — a-b- — i-b''y'- — 0, 

ou 

, a- -h Z>- \ iHi-y- 



(x» -(-»/- — a-) ( X- H- 1/' — 2a.r — «' - 



= 0. 



C'est une quartique bicirculaire qui se décompose visiblement en deux cercles, quand a est nul. 
11 est facile d'avoir les points a pour lesquels elle se décompose ; en effet posons 

p = x'' -f- 1/2 g}^ 

l'équation deviendra 

pfp— 2aX-HC'-t-a»— -; 1 _(p4.„>_a;=) = 0, 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 93 



o2 _,_ p(ï2 _f_ c' — 2ïx) -\ — f.x- — a-) = 0. 

Il y aura décomposilion si les racines de cette équation en p sont rationnelles en x, c'est-à-dire si 
la quantité sous le radical est un carré parfait, or cette quantité est 

(a- -i- C- — 2aj:.-)2 — (x^ - a-). 



c'est un carré si 



ili 4a.r(o;'- + C-) + (a- H" «-)" + ia^i^ — ; 



2(a2 ^ ,;2)2 _ f^ [(a2 _^. c'-)2 _^ 4^2/,2-| ^ Q. 



Cette relation donne d'abord ot = 0, qui correspond au cas de décomposition évident et 

6-(«'- + C-y- — 4/y-C-a- = 0, 

qui se réduit à 

(a2_c^j2^0. 

V La décomposilion a donc lieu aux deux foyers et à l'origine. Pour y. =Q, on a les deux cercles 
x- -hy^ — a- = et x^ -•-!/" — b- = 0. 
Pour a = c, le trinôme en x sous le radical devient 

les deux cercles ont donc pour équations 



11 n'y a plus qu'à y remplacer p par a- -+- ?/" — «^ 

On peut aussi traiter la question en prenant le point a pour origine, c'est-à-dire en partant de 
l'équation 

prise pour équation de l'ellipse. 

On peut aussi effectuer la décomposition en identifiant au produit des premiers membres des équa- 
tions de deux cercles et s'appuyant sur la symétrie. Celle-ci oblige les deux cercles à avoir leurs cen- 
tres sur Ox ou à être symétriques par rapport à Ox. 

lionnes solutions ; MM. Bros; G. Dînât, à Poitiers; J.-D. Dopadt, ;i Poitiers. 

Remarques r/éoiiiririques. — (,e lieu du centre du cercle est le lieu des milieux des cordes qui passent au 
point P. C'est donc le lieu de l'intersection des rayons liomologiies de deux faisceaux homographiques formés 
l'un, par la sécante variable qui tourne autour du point P, l'autre, par le diamètre conjugué de cette sécante. 
C'est une ellipse homothétique à l'ellipse donnée et qui passe aux points et P, qui sont d'ailleurs ses som- 
mets. 

Il est facile de voir parle calcul que le cercle variable est orthogonal à un cercle fixe et de déterminer ce 
cercle. 

On peut le voir aussi en démontrantquc les cercles du faisceau tracenlune involulion sur Ox et en détermi- 
nant les deux points doubles de cette involution, I) et D'; le cercle fixe, orthogonal aux cercles du faisceau est 
alors le cercle décrit sur DD' comme diamètre. 

Le reste s'en suit. 

Le calcul nous a donné d'ailleurs tous les éléments de cette involution, puisque nous avons vu que la 
deuxième sécante commune au cercle et à l'ellipse passe aussi par un point fixe P. D'après le théorème de 



94 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Desargues, le couple MM' des points de rencontre du cercle avec Oj; est en involiitiou avec les deux couples 
fixes P, P' et A, A', sommels de Fellipse. 



1680. — Un triangle ABC est inscrit dans un cercle fixe, le sommet A et l'angle A restent fixes, les 
côtés de cet angle tournant autour du sommet. Trouver les lieux des centres des cercles inscrit et exinscrit 
dans l'angle BAC. 

Prenons pour axe polaire le diamètre du cercle qui passe au point A et pour pùle le point A. 
Soient 2a l'angle BAC et t» l'angle de la bissectrice AI avec Ax. Soient, en outre m et w' les centres 

des deux cercles inscrit et exinscrit dans l'angle A et wD, -d'D', 
les rayons de ces cercles qui sont perpendiculaires à AC. 

Nous avons AD — p^a et AD' = p, en appelant 2p le 
périmètre du triangle ABC ; or 

AC = 2R ces ((0 — a), AB = 2Rcos(w-ha), 

et BC = 2R sin 2^ : 

donc 

p = R[C0S (w — a) -t- COS (<o — T.) ' 

= 2R COS a (cos w H- sin yt). 




sin 2«] 



D'autre part, en appelant p le rayon vecteur Aw, nous avons 

'. = 2R(cos 10 — sin a). 



2R(cos<j) + sin«). 



cos a 
Tel est le lieu du point o ; c'est un limaçon de Pascal. 
Pour le point o/, nous avons 

' = ?^ 

cos a 

C'est le même limaçon. 

Géométriquement, ces résultats sont évidents, car il est facile de voir que le triangle Bcvo' est rec- 
tangle en B et a pour médiane BI. Le premier point est évident ; le second résulte de ce que les angles 
tuBI et Bwl sont égaux ; on voit aisément que leurs mesures sont les mêmes. 

On obtient donc le lieu des points t» et i"' en portant sur AI, à partir du point I ot de part et d'autre, 

deux longueurs I<" et h»' égales entre elles et éjrales à IB : or 

IB = 2Rsins:. 

IB est constant et l'on voit bien que le lieu des points w et t»' est un même limai;on de Pascal, ayant 

le point A pour point double. 

G. D. et J. D., à Poitiers. 

Bonnes solutions : MM. 0. Foocry, à Roanne ; H. Janois, à Nantes; M. Constandaki ; J. D. Dufaut, à Poitiers ; R. Bouvaist ; 
Bros; L. Sivo.n, n Cliàlons ; Guillerve; L. Montadt ; G. Lach, à Uenain ; Groscolas ; Kedouillat. 



.MI'CAiMOUE 



1682. — .1 chaque position M d'un point dont le mouvement est rapporté à trois axes de coordonnées 
rectangulaires ox, oij, oz, on fait correspondre l'extrémité G du moment, pris par rapport au point o, 
du vecteur vuesse du point M. 



Or 



.MÉC.VNKJUE 93 

r Le point G est animé, sur oz, d'un mouoement vibratoire simple déterminé. Le point M décrit une 
droite donnée du plan des xy. Déterminer et discuter le mouvement du point M sur celle droite. 

2° Le point G a sur oz un mouvement uniforme de vitesse v. Sa cote est Z = vt. Le point M a un 
mouvement uniforme de vitesse vi dans le plan des xy. Trouver sa trajectoire. 

3° Le point G a pour mouvement 

X = A(n, Y = B(0, Z =C(/). 
Tfouver les équations du mouvement du point M. Interpréter les cas d'exception trouves. 
4° A chaque point G on fait correspondre un point n obtenu en partant de G comme G a été obtenu 
en partant de M. Connaissant les équations du mouvement du point M, trouver celles du point [x. 

1°. Quand le point G rcsle sur oz, le point M décrit une courbe du plan des xy. Supposons que 
celte courbe soit la droite y = p. 

La cote du point G étant Z = a, ces tu/ -r- 6,, on peut écrire, en appelant v la vitesse du 
point M, 

pu = a, COSO)/ -r- /;,. 

dx 

Far suite, x= sino>/H t-i-C 

pu> p 

iiu bien, en changeant de notation. 
(1) .'■ = (/ sin hil + bt -h X., . 

C'est un mouvement rectiligne dont le diagramme est facile à tracer, car ce mouvement rectiligne 
résulte de la composition d'un mouvement vibratoire et d'un mouvement uniforme. 

Ce mouvement se réduit à un mouvement vibratoire si b et par suite b^ sont nuls ; c'est dire que le 
centre de la vibration du point G sur oz est le point o. 

La discussion du mouvement du point M d'après les constantes peut se faire sur la formule (I). 
Des remarques directes peuvent la faciliter en partant du mouvement de G : Lorsque le point G tra- 
verse sur oz le plan des xy, le point M a un mouvement qui change de sens sur la droite y — p. 
Lorsque le mouvement de G change de sens sur oz, la vitesse du point M passe par un maximum ou 
par un minimum. 

2°. La cote du point G est Z = vl. Nous voulons trouver la trajectoire du point M sachant qu'elle 

est décrite d'un mouvement uniforme de vitesse i',. Appelons p, à l'instant t, la distance de l'origine 

à la tangente à la trajectoire du point M. 

,. , dp V 

On a pvi = vt, d ou — ^ = — ; . 

dl l'i 

ds 
mais -7- = y,. 

On obtient donc, par division, 

dp _ V 

ds v] 
C'est une équation ditrérentielle qui ne contient plus que les éléments géométriques de la trajec- 
toire. 

Considérons celle trajectoire comme enveloppe de la droite 

X cos a + 1/ sin a — ;) = 
et cherchons à déterminer p comme fonction de ». Le point de contact s'obtiendra en adjoignant à 



96 



MECANIQUl!: 



l'équation précédente, 
D'où on tire 



Par suite 



X = p cos 

dx 

da. 



• x sin a + '/ cos c( — pi = 0. 
— plsin ■-(. 



[p-^ p"J) sina, 
ds 



]l =psin a-t-^jjCOSa, 

dy 



di 



= (p-hpl'-) cos a. 



= P + P. 



et, en remplaçant ds par sa valeur dans l'équation dilTérentielle 



dp 
ds 



on obtient 



— ?'- 



P-^PI'. 



C'est une équation difTérentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, sans second mem- 
bre, dont on sait écrire l'intégrale générale. Le problème est donc résolu. 

3°. On donne le mouvement du point G, X = A(/), Y = B(/), Z = C(t). Soient i, ?/, : les 
fonctions de t qui donnent les coordonnées du point M. On a 

yz' — zy'=A{t), :x''-a-:/ = B(0, xy' — yx' = C{t). 

De ces égalités, on tire 

A.i- + By + G: = 0, Aa' + By' -+- G:' = 0. 

Diflérentions la première ; nous aurons 

A.(' -t- Bî/' -h Cz -^ X'x -+- B'y -+- G': = 0. 
On peut donc écrire 

(2) Ax -^ Bi/ + G: = 0, k'x -+- B'y + G': = 0, 
d'où l'on tire 

-—!—— = ?/ ^ - ^ ) 

BG'— CB' GA' — AC' AB' — BA' 

Il reste à calculer X en fonction de t. Pour cela, écrivons 

y = X(GA' — AG'), y' = À\CA' — AC') -h X(GA" — AG"), 

: = X(AB' — BA'), :' = X'(AB' — BA') h- X(AB" — B.V) . 

Exprimons maintenant que yc' — zy' = k ; nous aurons 

(3) X^[(CA' — AG')(AB" - BA") — (AB' — BA')(CA" - AG")] = A. 

Mais, il résulte d'identités connues sur les délerniinanls ou d'un calcul direct immédiat que le coef- 
ficient de X- dans le premier membre est 

A li G 

A' li' G' = A-^. 

A" B' G" 

On a donc X= = — en supjjosanl .\ := U. 

■ F>e mouvement du point M est déterminé. Il y en a deux possibles. 

Reprenons ce calcul pour trouver les cas d'exception. Nous n'avons pu, des équations (2), tirer 
des quantités proportionnelles à x, y, z qu'en supposant les trois binômes BG' — GB', CA' — AC', 
AB' — BA' non tous trois nuls. 

Leur annulation identique signifierait que 

A' _ B' _ G' 
~\ ^ ~B ~ ~C' 
c'est-à-dire que la tangente au lion du point G passerait constamment par le point o. Ce lieu seratt 
donc une droite passant par o. Kxaminons ce cas. Supposons que le point G décrive o: d'un mouve- 
ment Z = C{1). Le mouvement du point M n'est plus déterminé. Itn pi'ul on dire seulement ([u'il 
se fait: 1° dans le plan des xy ; 2" de telle manière f|n'on ait x]/' — yx' ~ C{/). 



CONCOURS DE 1908 (Suite) 



97 



On peut choisir arbitrairement, par exemple, la projection du mouvement du point M sur l'un des 
axes ox et oy. 

Particularisons; supposons que le point G reste lixe, sur o: par exemple. On peut dire que le 
mouvement de M se fait dans le plan des xy suivant la loi des aires. 
Plus loin, pour déterminer À, nous avons supposé 

A B C 

A' B' C =;éO. 

A' B' G 

Dire que ce déterminant est identiquement nul, c'est dire que le plan osculaleur de la courbe lieu 
du point G passe constamment par l'origine ou encore que celte courbe est plane, son plan passant 
par ". Si oG décrit un plan, le plan passe par o et une tangente à la courbe lieu de M passe par 
une droite lixe. Donc le mouvement de M se fait dans un plan passant par o et il est alors nécessaire 
que G se meuve sur une droite passant par o, cas qui a été examiné. 

Enfin, supposer que A = 0, c'est supposer que le point G décrit une courbe plane dans un plan 
passant par o, nous venons danaiyser ce cas. 

4". Partons du point M(jr, y, zk Nous obtenons le point G(i/:' — :î/'. 
point ,a(a',, j/i, :,) donné par 

X, = {zx — xz'}{xy"—yx") — [xy' 
ce qui s'écrit encore 



Donc 



xy' — yx"), puis le 



— yx')(za/' - 


- xz'). 


U - 




u' -' 




!/■■ =■' 




y 




!/' 3' 




y' '"" 





Il y a là des résultats à obtenir directement. D'abord, si le déterminant 



est identiquement nul, le point :jl est toujours en o ; c'est évident, car l'annulation de ce déterminant 
exprime que le mouvement de M se fait dans un plan passant par o. Donc le raouvemeot de G se fait 
sur une droite passant par o. 

Ensuite, le point u. est sur oM. Ceci résulte de ce que oG, étant perpendiculaire au plan tangent 
en M au cône décrit par oJI, décrit le cône supplémentaire du cône décrit par oM. Donc oa est per- 
pendiculaire à oG et décrit le cùne supplémentaire du cône lieu de oG, c'est-à-dire que oa est con- 
fondue avec oM. C'est une conséquence immédiate de la réciprocité de la définition de deux cônes 
supplémentaires. 

Bonne solution de M. Bbos. 



CONCOURS DE 1908 [Suite.) 



ÉCOLE DES PONTS ET CHAUSSÉES. 
(Places d'élèves-ingénieurs réservées aux conducteurs.) 

Aljèbre et aiialysc. 
1756. —1 "Former l'équation générale du troisième degré dont l'équation dérivée admette pour racines et I. 
2° L'équation demandée peut se mettre sous la forme 
(I) 2x3 ~ 3x^ -f a = 0. 



98 



gUESTlOiNS PROPOSEES 




a désignant une constante arbitraire. lodiquer, au moyen du théorème de Rolle, comment varie avec a le 
nombre des racines réelles de l'équation (I). 

3» Quelles sont les racines de l'équition (l) lorsque a prend les valeurs au passage desquelles le nombre 
des racines réelles de cette équation se moditie ? 

4° Si l'on fait a = 0,7, on reconuaitque l'équation (1) a une racinecomprise entre' 0,6 et 0,7. Calculer cette 
racine à 0,001 prési)arla méthode de Newton appliquée une seule fois en partant de ces deux nombre^ 0,6 etO,7. 

1757. — Calculer l'expression de la dérivée «.^'"'^ de ;/ = cos- x. 

1758. — Trouver par l'analyse la courbe plane telle que si l'on considère le quadrila- 
tère .MÏO.N ayant pour cotés la tangente MT, la normale M.N, l'axe polaire ON.r et la perpen- 
diculaire Oï à cet ase, les diagonales de ce quadrilatère soient perpendiculaires l'une sur 

T l'autre. 

[Durée . 4 heures.) 

GéomiHrie et mécanique. 

I. — Un cable métallique de longueur l = 600 mètres, et de poids spécifique/) = 7,7 est fixé par ses deux 
bouts en des poinis dont la distance horizontale a = 400 mètres et la distance verticale 6 = 300 mètres. 

Déterminer : i" le maximum R de l'effort d'extension que subit ce càble par millimètre carié de section ; 
2° le degré d'approximation qu'on peut obtenir pour R, en supposant que le dernier chilfre tle chacune des 
données ci-dessus est déterminé à une demi-unité près. 

II. — Une caisse fermée de forme cubique et de n>atière homogène, suspendue à l'une de ses arêtes de 
longueur a =. 2'",6J placée horizontalement, exécute de petites oscillations dont la durée ^aller ou retour) est 
T = 2 secondes. 

Déterminer: 1° l'épaisseur uniforme «de la boite ; 2« avec quelle approximation doit être supposée faite 
la mesure de la valeur ci-dessus de T pour que e puisse être connu à un demi-centimètre près. 

[Durée : 4 heures.) 
Géomclrie descriptive. 

1759. — Par rapport aux axes Ox et Oy de la feuille (qui ne seront pas passés à l'encre), les points p,p' 
et S,S' sont définis par le croquis ci-joint. 

On considère le conoïde droit à plan directeur hoiizontal ayant : i' pour directrice 
rectiligne la verticale du point S,S'; 2° pour noyau la sphère (S) de centre p,p' ayant 
un rayon de 6 centimètres. 

Ce conoïde étant limité d'une part à cette directrice rectiligne, de l'autre à ce 
noyau sphérique (supposé enlevé), on en retire toute la partie intérieure au cône de 
sommet S,S' circonscrit à la sphère (S). 

On demande de représenter la partie restante de ce conoïde. 
Les lignes de contour seront dessinées en noir (trait plein pour les parties vues, 
ponctué pour les pailit's cachées), les lignes de construclion en rouge. 

On indiquera la construction d'un point courant et de la tangente en ce point pour 
la ligne d'intersection du cône et du conoïde. 

[Durée ; 3 heures.) 



S' 



W 



ylOrm 






!«?'' 



-f>r*'„ 



QUESTIONS PROPOSEES 



1760. — Soit l'équation 

f^x -F /.) = A») -H -^ r\^) + ■ + ^^^nl^\~p ^"^"^ '^ "^^ • 
Démontrer que la valeur limite de 6 pour ;• = est racine de l'équation (i — (!)"-/■ = — . Examiner 

le cas oïl // ^ II. 

\V. .Mkhiùot, à Paris. 

1761. — On considère une slrophoide quelconque S. 

1" Dïinontrer <iue les cercles bilangents à celie courbe se partagent en deux familles et que les cordes des 
contacts |>BsseMt par deu.\ points fixes. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE î)9 



2° Les points de contact de deux cercles d'une même famille sont sur un même cercle ; 

3° A tout cercle de l'une des familles correspond un cercle et un seul de l'antre qui lui est tangent en un 
point de S. 

4° Montrer que les tangentes aux deux autres points de contact se coupent sur S et (|ue la droite qui les unit 
enveloppe une parabole. 

5° La droite qui joint le point double de S au troisième point de i-enconlre de S avec la corde des contacts 
est perpendiculaire à cette droite. 

(i. Pklissier. 
3 

1762. — Un ellipsoïde en verre, de révolution autour de son axe, a pour indice n =— , ponr grand 

g 2 
axe 2a et pour excentricité — = ---• "^n le coupe par une sphère ayant son centre à l'un des foyers et dont 

le rayon égale— -a. On forme une lentille-ménis(i(ic. Déterminer les points nodaux et les foyers principaux 
de cette lentille ; comparer les distances calculées à l'épaisseur r de la lentille. Quel serait le diamètre de 
rimaiïe d'un astre dont \o diamètre apparent serait de radian ? 



DEUXIEME PARTIE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1677. — On conxicli're uncerclc de retUrn 0, de rayon \\ el un dinmi'lie fixe \B de ce cercle ; par X 
on mène une corde variahle AM. 

1° Trouver l'enveloppe du cercle décrit sur AM comme diamètre. 

2° Sur AB 'on pi-end BN = B\I ; trouver l'enveloppe du cercle circonscrit au triangle M.\.\. 

3° Lieu du point de rencontre de MN avec le rayon perpendiculaire à \\\. 

4» Lieu du milieu de MN. Construire ce Heu et trouver la surface qu'il entoure. 

1. Prenons comme axe des x le diamètre AB et la tangente au cercle au point A; l'équation du 
cercle est alors x'--\-y'- — 2R,i = 0, et si nous désignons par 9 l'angle de AB avec la corde variable 
AM, celle-ci a pour équation 7/ = a; Ig 9, et les coordonnées du point M sont 
X = 2R cos'-o, y =211 sin o cos 9. 

L'équation du cercle décrit sur AM comme diamètre est donc 

x{x — 2R cos- 9) -+- y{y — 2R sin 9 cos 9) = 0, 
ou a;- + y- — 2Ra; cos- 9 — 2Ri/ sin 9 cos 9 = 0. 

ou encore x- -h y- — Rx — Rx cos 29 — Rj/ sin 29 = . 

On en déduit immédiatement que l'enveloppe de ce cercle a pour équation 
ix'- -h y- — Rxf — R^x- + y-) = 0, 
ou, en passant aux coordonnées polaires, 

G = R(l -t-coswj. 
Cette équation représente une cardioide ayant le point A pour point de rebroussemeni et le point 
B pour sommet. 

2. On a BM = 2Rsin 9 ; par suite, les deux points N situés sur AB et tels que l'on ait BN = B.M 
ont pour abscisses 2R ± 2R sin 9, ou 2R(1 — ssiur) en posant t=zti. 
Un cercle quelconque passant par les points A et M a pour équation 
x^ -hy'^ — 2Ra; -+-X(jr sin 9 — j/ cos 9) = 0. 



100 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Ce cercle renconire Ox à l'origine, puis en un autre point dont l'abscisse est ,r = 2R — Àsino: 
écrivons que cette abscisse est égale à celle du point N, 2R(1 — esinç), nous obtenons >■ = 2R£. 
Par suite, l'équation du cercle circonscrit au triangle AMN est 

j;2 -t- ?/- — 2Ha; -+- 2Re(j: sin ? —y cos ?) = ; 
et sous cette forme, on reconnaît que l'enveloppe de ce cercle a pour équation 

(x- -4- 7/2 _2Ra;)- — iR-(a;- -h y"-} = 0, 
ou, en coordonnées polaires, 

p = 2R(l-4- cosw). 
Cette équation représente encore une cardioïde qui a pour point de rebroussement le point A, et 
pour sommet le symétrique de A par rapport à B. Cette cardioïde est bomothétique de la précédente, 
le centre d"bomolhétie étant le point A et le rapport d'homotbétie étant égal à 2. 



3. L'équation de MN est 

y 2R sin o cos o 



X — 2R{i - i sin o) 2R cos-^o — 2R(1 — Esintf) 

ou, en remplaçant dans le second membre cos- v par 1 — sin^ 9, et en divisant baut et bas par 2R sin 9, 

y cos f 

X — 2R(1 — e sin -ç) £ — sin ç 

ou 

(1) {x — 2R) cos 'rH-y sin ^ -(- e(2K sinçcosç — y) = 0. 

D'autre part l'équation du rayon perpendiculaire ù AM est 

'2) y =--L,. 

' X -H tg <f 

Nous aurons donc l'équation du lieu en éliminant o entre ces deux équations. 
Transportons d'abord l'origine au point ; ces équations deviennent 

!/ d 

(3) (X — R) cos o -I- y sin 9 -h î(2R sin ç cos 9 — y) = 0, — = > 

et la seconde nous montre que 9 = — -+- w -h/.-, <'j désignant l'angle polaire du point du lieu. Nous 
aurons donc l'équation polaire du lieu en remplaçant dans la première équation (3), x par p cos w, 
y par p sin <« et 9 par — ■ -h a> -1- /{r. On obtient ainsi p =: — 2R cos lo dz R, et en prenant succes- 
sivement les deux signes, on a deux équations qui représentcnl la même courbe. 
Le lieu est défini par ré(|uation 

p = R(l — 2 cos (o) 
qui représente un limaçon de Pascal, aisé à construire. 

4. Les coordonnées du milieu de MN sont 

X = K cos'- 9 H- R(l — e sin 9), y = R sin 9 cos 9, 

ou, en transportant l'origine des coordonnées au point li(x = 2R, y = 0), 

(4) X = — R sin 9(£ -1- sin 9), y — ïi sin 9 cos 9. 
Nous aurons l'équation du lieu en éliminant 9 entre ces deux équations. 
Prenons d'abord e = + 1, et divisons membre à membre ; nous avons 



cos 'i 2 



sin= -^ - cos= I- sin-^ — cos-l- tg-- - 1 



/ 9 ? \' ? t " 

(sin- + cos-j sm-^-H-cos-^ tgy-l-l 



'Kï-v)' 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



101 



et par suite ~ '— = o> -\- kr., ou .; = -^ -f- 2to -h 2^-, u> désignant l'angle polaire du point 

Remplaçons alors => par cette valeur et y par psinoj dans la deuxième relation (4), nous obtenons 
l'équation polaire du lieu 

= = — 2R ces w cos 2co. 

On serait conduit à la même équation en prenant e = — 1. 

Pour construire la courbe correspondante, il faut faire varier u dans un intervalle dont l'étendue 
soit égale k ~, car en changeant oj en -4-ai, s change de signe, et aux deux valeurs w et --f-to 
correspond le même point de la courbe. D'autre part, si Tûn change w en — oj, ,: rechange pas; la 

courbe est donc symétrique par rapport à l'axe polaire. Il «uflira de faire varier w de à — . et d'ache- 
ver par symétrie. 

En prenant la dérivée de ■-■ par rapport r w, on trouve 

dp 



cette dérivée s'annule dans l'interva 
le tableau de variation siiivan 



2R sin oj(5 cos- w — sin- "j, ; 
lie ( 0, — j pour tgw = v'S; soit a l'angle correspondant. On a 




u 


croit 


-4 


croit 


5C 


croit 


2 


— 2R 


croît 


(J 


croit 


iiin.v. 


décroît 


(1 



Calculons l'intéerale indéfinie 



Or, on a 



a- d'où l'on déduit la forme de la courbe. 

L'aire comprise entre .\B et l'arc ACB est égale à l'intégrale 

1 /'^ 1 f"^ 

— I ydto, et l'aire de la boucle BDB est égale à — I p-rftu. 

T 
e 

I = — / p^(/w = 2R= / cos=wcos=2u)rf(.). 



cos- 10 cos* 2i 



1 

cos U) cos 2io = — (cos 3oj -+- cos w) 

2oj = —I COS^.'Ju) -+- COS-(o 4- 2 COSO) cos .3(0 I 

1 r cos 6oj -h i cos 2u> -1- 1 



-\[- 



C0S-coC0S-2u 



H 



cosB'i 



-f- cos 4(0 -+- COS 2cj 
3 cos 2(o 



•] 



On en déduit 



R-^ r sin 6o 



-'^[ 



sin4(o 3 sin 2 



12 



n2(.i 1 

!- (o r 

4 J 



i ' '^'^'^ = -W '=^" ^ ^)' jf. ' "''" = ^ ^^" ■ 



102 



gf.ométrie analytique 



Par suite Taire de la boucle ACBC'A est ■— (3t: 
est - (3.-8.. 



8) et celle de chacune des boucles BDB et BD'B 



L'aire totale limitée par la courbe est donc 



7:R= 




E.-N. RARISIEN. 

Remarques géométriques. — Considérons un cercle variable passant par un point fixe A et dont le 
centre (u décrit une courbe C, et proposons-nous de déterminer l'enveloppe de 
\' ce cercle. Soient lu et oj' deux positions voisines du centre sur la courbe; les 

deux cercles correspondaui-: se rencontrent d'abord au point A, puis en un 
second point A' symétrique de A par rapport à a«y'. Qnand le point to' se rap- 
|iroche indétiniment du point w, ww' a pour limite la tangente Mt à la courbe C 
au point w, et .A' a pour limite le point Ai symétrique de A par rapport à cette 
tangente. Or, le point Ai est le point où le cercle to touche son enveloppe. On 
en conclut que l'enveloppe des cercles considérés est homothétique de la 
podaire du point A par rapport a la courbe G, A étant le centre d'homothélie 
et 2 le rapport d'homothétie. 

1. Cela posé, le cercle décrit sur AM comme diamètre a pour centre le point w, milieu de AM, et ce centre 
décrit le cercle C, de diamètre AO. Donc l'enveloppe du cercle décrit sur AM 
comme diamètre est homothétique de la podaire de A par rapport au cercle C; 
cette enveloppe est donc la podaire de A par rapport au cercle 0. C'est une car- 
dioïde qui a le point A pourpoint de rebroussement et le point B pour sommet. 

2. Le centre du cercle circonscrit au triangle AMN est le point commun à 0<o 
et à la perpendiculaire menée à MN' en son milieu. Cette perpendiculaire passe par 
le point R et est bissectrice de l'angle MB\ puisque BM = BN. Donc elle ren- 
contre le cei-dc au point I milieu de l'arc AM. Par suite, le centre du 
cercle circonscrit au triangle AMN est le point l. On en conclut que l'enveloppe de 
ce cercle est homothétiiiiie de la podaire du point A par rapport au cercle 0; c'est 

une cardio'ide qui a le point A pour point de rebroussement et le point symétrique de A par rapport à B pour 

sommet. 

3. Soit 




P le point lie lencontre (l 



P et I sont synii'lriiiiies par rap- 




Mais BM — 2B .sin 9, et 
L'équation du lieu est donc 

Bonnes solutions par MM. G. 1'ouc;rï et M. Constanhak 



MN et de Ocj ; il est aisé de voir 
port à AM. r;ir on a 

IMto = .M RI (même mesure) 
et wMP = .MBl. (côtés perpendiculaires) 

Construisons le cercle [■{), qui a pour centre le point A et pour 
rayon AO = R, et soit H le point où ce cercle rencontre PL N'eus 
avons HP = 01 = B, par suite le lieu du j)oint P est lui limaçon de 
Pascal, conchoide du cercle {•() par rapport au point 0. 

4. .Soit B le milieu de MN ; cherchons l'équation du lieu du point 
B en coordonnées polaires. Posons BB = /•, liRic = 0. Nous avons 
)■ = RB = - BN cos = — BM cos 0. 
- 3- 

= -;j ; donc 0=26 — — ^ I et sin tp = cos 20. 



V -(- 2 (TT 

r = — 2B cos cos 20 



H. JANOIS, à Nantes. 



1684. — Sur un cercle, on conxidi^re un pjint fixe fl un point vnrinhlc M. /.a (angeniren M rencontre 
lu liinfienlr en nu point A. 

I" /Jru du centre du cercle inscrit an Irinngir (l.WI. 



UÉOMËTIUE ANALYTIQUE 



103 



2° Construire l'enveloppe de ces cercles. 

3° Arc, raijou de courbure de celte courhe. Montrer i/ne la développée est une épicijcloidc à deux 
rebroussements. 

V Les bissecliices de l'angle AOM sont les deux droiles Ow, Ow'. 

u) est le centre du cercle inscrit au triangle AU.VI, "/ est le centre du 
cercle exinscrit dans l'angle A ; le lieu de w et oV est donc le cercle donné. 

2° Cherchons l'enveloppe des cercles u> et ai'. 

Sur (o les points caractéristiques sont le point 
a et son symétrique a' par rapport à la tan- 
gente loT. 

3t'T est la tangente à l'enveloppe, cette courbe 
est ainsi délinie par points et par tangentes. -, 

Prenons UG pour axe des .c et OA pour axe 
des '/ . 

Soit -f l'angle de Cu avec Ox. Les coordon- 
données do i.j sont x = K(l + cos 9), ij ~ R siii -:, ; l'équation du cercle est 
donc 
f--l-y- — 2R(1 -l-cos o)x — 2Rsin 9 y -1- R^ sin- 9=0. 





(1) 

Dérivons par rapport à o : 

c'est l'équation de la droite a»', 
d'où 

Portons dans(l), il vient 



X sin 'i — il cos o -I- R sin o cos 9=0; 

y — X tg^-i- l\ sin o. 
a--(l -+- tg^ç) — 2R(1 ^ cos o)x = 0, 



X = donne le point a. 

Les coordonnées de a' sont 

X = 2R cos- 0(1 -H cos o), y = H sin 2-9(1 -h cos o) -t- R sin 9. 

o 

En introduisant Ig-^' on voit que l'enveloppe est du sixième ordre. 

x' — — Il sin 29(^ + 3 cos o), 

y' = 2R cos 2cp(l -t- cos ç>) -h R cos o(l — 2 sin^ <p) 

= Rcos2'f(2 + 3cos<p). 

La courbe est symétrique par rapport à Ox-, il 
suffit de faire varier ? de à -. 

Soit a l'angle compris entre et -n tel que 




On a le tableau de variation : 

■n: n 

-r- -^ a 



3- 






- 








-0 + 





— 






- 







-t- 









- - 





-+- 







- 




'iR 


\ 


"(-7 





\o/ 


8R 
27 


\ 


,.(■ 


-rù 


\ 






U / R(l+;2) \R\^V^ Kv'2-I \ 



104 ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1W08) 

A la valeur a correspond un point de rebroiissement, la courbe a la forme ci-conlre 

3o s'- = K-{i -h- 3 CCS zj-, 

doù s = R(2o-f-3sin?H-c'«). 

Prenons le point S pour origine des arcs, on a 

s = R{'iz, — 3 sinç); 
pour - = 2t:, L = 4-K. La longueur de la courbe est égale à deux fois celle du cercle C. 

tg a = ^ = ~. : donc ch = id^, f = -3- == R(l -t- — ces o). 

■" a^' tg 30 0.7. z ' 

f est nul au point de rebrousse ment. 

La développée est l'enveloppe de la droite aVo, mais RwC = Gwï', donc wi' est le rayon réfléchi 

du rayon Rw sur le miroir sphérique C. 

La développée est la caustique principale de ce miroir, c'est une épicycloide à deux rebroussemenls. 

Soit I le milieu de wC, considérons le cercle de diamètre toi et le cercle de centre C et de rayon CI. 

Comme Cw»' — a>CO, on a arc IP — arc IQ- 

P engendre une épicycloide à deux rebroussemenls, et <«a' est tangente à cette épicycloide. 
Les coordonnées du centre de courbure sont 

X = X 7^ =; 2R cos- o(l -f- cos =■) ^(2cos^o — l)(2-i-3cosç) 

ai ' 2 

3R 

= — R cos= f -+- R H — — cos ç, 

V ,. 3R R 

X — R = -7- cos f cos 39, 

4 4 

Y = (/-+- — = R sin o sin '2r cos r — —- sin r — — (3 sin ? — 4 sin= ?) 

■* da '2 ■* i 

3R . . R . „ 

= sm o — sm 39. 

4 ' 4 

La développée est bien une épicycloide à deux rebroussemenls. 

PIGLOWSKl, lycée Louis-le-Grand. 

lionnes solutions : MM. P. Waiil, lyct-e Janson; Gboscolas: G. Foccbv ; L. Mo.ntadt ; H. 4anoi<, à Nantes; L. Smo.v, à 
Chàlons; Bues; R. Bocvaist. 

♦ 

ÉCOLE CENTRALI- (1908) . 

OUESTIONS POSÉES AUX KXAMENS ORAL'X [Suile.) 

4352. — Primitives des fonctions 

u' 1 , Sx + 5 ,1 




^ — o' =p tt' ' ^ ~ a;= — 3x -t- 2 ' '' ~ 2x' -h te h- 3 ' ' a:= + 4x + 5 

" ~ x' — 2* - 3 ' ^ ~ x' + 2x' " x'-i' ^ x' — ix' + ix^ 

1 1 , cos J , m' 

!/' = -z^ — ITT' y' = ,.,,.,. ' -" = ,i..= . _■;..„ r^o ' y = 



x=(x — 1)' r' — ,c= -H 1 " sin= j- — 3 ?in .r -t- 2 •' y'w' + O' 

2x — 3 , _ I , _ cos.r , cos .r 

'' ~ )/x' -r- 2x — T' ■ ^ v'ir» -h I2F+ 20 ■ ~ ^/sTn»a• -+- 1 >/2Tin'a-h sinx -f- î 

.i/' = cos2j, y = sin X — sin 2x, y" = sinSx.sin 4x, i/' = sinf-^ — ^x jcos( j -(-3x j, 

y' = sin= \x, y' = sin x. sin 2x.sin 3x, y' — sin' x.cos 2x, y' = cos' x, 

y' = sin' 4x, y' = sin»^2z — j-)' »' = S'"' -T. !/' = S'"' -r. V = cos' 2x, 1/ — tg inx, 

cos' X i 

!/■ = tg iHU.u , !/' = tg« imu.m', «■ = cotg 2x, ;/ = tg' x, y' = -^^' !/' = j^' 



ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) «03 



A353. — Limite de Ji " pour n infini. — Déterminer n pour que ii ■■ < 1 



4354. — Limites pour n infini de '^u-, \/ > (3« -+- 4) "'+' ' 

V n — 1 

,, _ .... , sinx — sina Le — La 

435o. — Limite pour x = a de > — : 

i- — iax + ia- sm[x—-a) 
4356. — Limite pour a; = de 

X cos X — sin X i" + «-j — 2 — x- in + \) cos nx — n cos in -*-l]x — i 



— i L(l -t-sin2.T) sin= 2a;.lg»a; 



4i — 3^ 1— cos'x LIlH-.T'") 



•K 4.r — 7 

4357. — Limite pour ,t = — île 



sin(x-^) 



4358. — Limite pour ,r = .^f de 



sin.x— cosx tg.r — 1 

sin (.._!) 



1—2 COS X 



435». — Limite pour x = de colg,! ^ . L(l — sin 2r) — sin ?J, x^im-^ (sin 2x)'s'j-, (sin 2x) '-^ . 

4360. — Limite de x j^ pour .c infini. 

4361. — Limite pour n infini de 

(—)"• mr- (1^)""' iéihr- i^,)'"- hi)""' 

4362. — Limite de (cosx + sin x)"'s ' pour x = 0; de (sinxj'a-^ pour x = -^ • 

4363. — X étant l'infiniment petit principal, ordre infinitésimal et partie piincipale de 1 — cosx, x — sin x. 

4364. — Qu'appelle-t-on infiniment petits équiviilenis î — Exemples : L(t + .t) et sin x ; L(l + sin x) et tg x. 

4365. — Module d'un produit (a + fci)(a' + (*'()• 



cos b -h i sin b — ( 

4367. — .Mettre a + bi sous la forme ré" . 

. n 

4368. — Signification de t - . 

4369. — Montrer que «'"xe"'" = l. 

4370. — Somme des termes de 1 + e"' + e-'" + ■•■ + e"'~'"". 

437 1 . — Calculer ( cos — + i sin — ] , (sin a -+■ i cos fl)', (cos a +- i sin a)-'. 

4372. —Calculer \/3TM, v'i— ^) V'^i y'i ■+■ i, V—l— i. 

v'— 8 H- 8/, V 3 + iVS, Vl +W3, Vi, Vs + v'S- 

4373. — Résoudre les équations C" = 1, z' = 1, :■' = 1, ;' = 1 . 

4374. - liésoudre les équations 

I ] =>, I I = cos a + 1 ma. 

\ x—i / \ x-i J 

4375. — Reste de la division pnr a- + l de (COS a +x sin o)(cos6 +x sin 6). 

4376. — Reste de la division par x'-h I de 

(cos a -H. ï sin (i)(cos6 + xsin 6)(cos c+ xsin c). 

4377. — Reste de la division de x'»+l par x- + 2. 

4378. — Nombre des racines d'une équation algébrique rationnelle et de degié m; une équation peut-elle avoir toutes 
ses racines égales ? 

4379. — Etant donnée l'équalion (x' -t- px' — (/■' = 0, condition pour qu'elle ait une racine double. 

4380. — Condition pour que l'équation x' -t-px^+gx -h »• ;= ait une racine triple. 

4381. — Déterminer )H pour que l'équation x' — 2x' + 2,r -l- m =: ait une racine triple. 

4382. — Déterminer m de façon que les racines de l'équation 

20,c' — 30x2 + 12x — m = 



i06 ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 

soient en progression arithmétique. 

•4383. — On donne léqualion j^ - 6j:=-(- lix +m = C : Jéterminer m de façon que l'une des racines soit égale à la 
somme des deux autres. 

4'J84. — Condition pour que les racines de l'équation x'- + pj:- + gjc + r =0 soient en progression géométrique. 

4385. — Condition pour que la somme de deux racines de l'équation 

X* ■+- px' -h qx- -h rx A- s = 
soit égale a la somme des deux autres. 

4386. — Déterminer m de façon que deux des racines de l'équation 

x' — 5x5 -i- s.r + in = 
vériOent la relation a6 ^ a -f~6. 

4387. — Condition pour que les deux équations a^+px-hq = 0, j' -4- p'j -i- g' = aient une racine commune. 
— Déterminer m de façon que les deux équations 

X- — 3 e -I- Hi = 0, 
2x- — 8 J ^ HH- 4 = 
aient une racine commune. 

4388. — Calculer la somme des carrés des racines de l'équation ix' — Sx -f- sin a = . 

4389. — a,b, c étant les racines de l'équation x'+px + q =0, calculer 

(37 — pa\m — ph){dq—pc). {a' -h b'){b- -h c^)[c- -h a'), 

[a' - b-iia- — c')-h[b- — c^i{b-—a')-h{c- — a'i{c' — b'), 

a'b- — a'-b' + Vc- -h b-c^ -+- c'a- -h t*a\ 

i 1 1 

3a' + p "*" 36»+ p "^ 3c- -h p' 

a(3(/' + p)(3.;= +p) -i- b(3c' -^ p]{3a- -i- p) + c(3a=-i-p)(3fc= -i- p), 

a- b- c- 

3a»-t-p "^ 36=-r-p "^ 3c'-t-p 

4390. — a, b, c étant les racines de l'équation x' +px -i- 7 = 0, former l'équation qui admet comme racines 3a-, 
3b'-, 3c-. 

439i. — (I, (>,c étant les racines de l'équation x' -i-px- -^ qx-^ r = 0, former l'équation qui admet pour racines 
a-^ b, b-h c et c-i-a. 

4392. — Résoudre les équations 

J' -H X" -4- "/JC- + X -H 1 =0, 

2x' — x^ -t- Xa- — .1- -I- 2 = . 

4393. — On donne l'équation x' — 6x+ 1 = 0. — Combien cette équation a-telle de racines comprises entre et 4 ? 

4394. — Combien l'équation x= — 3x-i- m(l — 3x=) = a-t-elle de racines entre 1 et 4 ? 

4395. — N'ombre de racines réelles de l'équation 

1 -H 2x 1 — 3x 1 -h .1- 

— H r--+-' r-t-S = 0. 

X — 2 x+3 X — 1 

4396. — Condition pour que l'équation x' -^t2x=-f- »i = ait ses trois racines réelles. — Même question pour 

2x' — 6x=-i-m = 0. 

4397. — Démontrer que si une équation a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nom- 
bre des variations. 

4398. — .\ppliquer le théorème de Descartes à l'équation .r' -i- .r' -+■ ax- -h bx-h c = 0. 

4399. — .\ppliquer le théorème de Bolle ;'i l'équalion 

X' t' 

4400. — ittudier les é<|;iations 

X' — 6x -f- m = 0, X' — 6x= -f 8x -I- ), = 0, 

1 X 
1 m = 0. X' — 4(ix -i- b = 0, 

X' (X — 3)^ 

x' — Sax-i-b = (condition pour qu'on ait le plus grand nombre possible de racines réelles). 

4401. — Appliquer les méthodes d'approximation h la recherche des racines des équations 

x'— 150 = 0, x' — 500 = 0, x' — 4x-(-l=0. 

4402. — Racines de l'équation j^ — 6x' + 8x -+- 15 = 0. 

4403. — Résoudre les inégalités x» > 3x — 2, x' — a" > 4a"(x — a) . 

4404. — Décomposer en fractions simples réelles les fractions rationnelles 



x' -4- 2x — 3 X' -4- 1 x" -H I x' + px- 

.Montrer que tg <i = cotg a — 2 cotg 2a. — Limite pour 11 inOni de 

1 . a 
Il -r — 2 cotg 2ii -• -^ cotg — • 



4400. — Evaluer le produit sin n sin I n + -~ 1 sin I a -1 — — - )• 



ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 107 

4407. — Calculer tg -— en fonction de tg a. — Appliquer au cas de a ^ i^o". 

4408. — Calculer les sommes 

i-os a -h cos 3(1. + CCS Sa + — i- cos (•2»i — 1 )a, 
sin (( + sin 28 + sin 3a + + sin un . 

4409. — Démontrer que eosj>l — -^' ,c — sin .t < 

4410. — On donne une circonférence de rayon R = S"" ; trouver une limite supérieure de la difTérence entre un 
arc de un degré et la corde qui le sous-lend. 

4411. — Résoudre les équations 

sin.c -I- cosa: = 1, sin i; -+- v/3 cos .T = 1 (maiiimim et minimum de sin ,r ^ ^/^ cos J-). 

sin X -+- sin 2x -h sin 3x =0, cos i.i- + cos 6x -h cos 8x = 0, 

cosj; — sin x = sin x cos x, sin x (sin x ■+- cos x) = a, 

sin- X + 2 sin j; cos x — cos' a; =: 0, 2 sin- x -h \/^ sin ix — m, 

sin=a; + (4 — m) sin j; + 3 — m = (discuter), 
cos 3j- — Hi cos' X, tgX.ts2x = III, l$- X -\- coi- X = m . 

4412. — Résoudre un triangle connaissant b, c, A. 

4413. — Calculer les côtés d'un triangle connaissant les trois angles et le périmètre. 

4414. — Résoudre un triangle connaissant deux cotés 6, c et sachant que le troisième a est égal à la hauteur A cor- 
respondante. 

4415. — Késoudre un triangle connaissant : 

4" a, A, b — c = d: 

5" o, X, be — p- ; 

G» A, B - C = I, bc = k\ 

Géométrie analytique et Mécanique (M. J.\ulo.\ski.) 



1" 


", 


A 


)• ; 


2» 


a 


A 


"i ; 


3" 


n. 


A, 


h; 



4416. — Construire les longueurs a; = v/ . x^=^/ 



4417. — Equation générale des droites perpendiculaires à la droite ax + by = 0. 

4418. — Quelle est la propriété commune aux droites représentées par l'équation I) + >.n' = 0. Étudier les diCfé- 

rentes positions de cette droite quand /, varie de —y- à -t- ce . (lu'arri-ve-t-il dajis le cas où — = 

A' B' 

4419. — Que représente l'équation x' —ixy -i-2y- = fl ? 

4420. — Quels sont les points du plan qui Térittent le système 

X- — y- > 0, a; -I- 2;/ — 1 = ? 

4421. — Que représente l'équation a --H)/- — ix + y — 2 = ? 

4422. — Équation d'un cercle passant par trois points donnés. — Kquation du cercle circonscrit au triangle dont les 
côtés ont pour équations P = 0, Q = 0, I! ^ 0. 

4423. — Lieu des points du plan dont la somme des puissances par rapport à deux cercles est constante. 

4424. — Tangentes communes aux deux cercles x- + y- — R= = 0, x-+y- — 2R'j; = 0. 

4425. — Tangentes menées d'un point (ï, ?) à la courbe y = x\ Nombre des solutions. 

4426. — Équation aux coefficients angulaires des tangentes que l'on peut mener d'un point h une conique. 

4427. — Mener d'un point P(a;ci, y„) les tangentes à l'hyperbole ^^ p l = ; lieu du point P pour que les 

tangentes soient également inclinées sur la droite x + y = 0. 

4428. — Lieu des symétriques d'un fover par rapport aux tangentes à l'Iivperbole — 1 = 

(!= b- 

4429. — Kquation de la normale en un point d'une courbe plane. — Application à i/ = 

x- 

4430. — Normale à la parabole y" — 2px = 0, parallèle à une direction donnée. 

4431. — Rayon de courbure en un point d'une courbe y= f{x) . — Quelle est la courbe dont le rayon de courbure 
est constant .' 

4432. — Rayon de courbure de la courbe x- + y- — y = 0. 

X' -h 1 

4433. — Concavité dans la courbe y = ; • 

X — 1 

4434. — Construire les courbes suivantes : 

j-' — -c-t-l y — i 

„ ii:miri)H :t^v iiiiii itiH i il ^^n ■** — 

1 ' X— 1 



y = — J-' y = — (courbe asymptote). y = 



108 ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 






1+2C0SX \/y y_-t- ^ 

^ j^Ti ' y- x^i V x-i 

4435. — Asymptotes de la courbe xix — 2y + l) -i- i = 0. 

4436. — Asymptotes de la courbe (y- — x'-;{x — 2y) + x + 3y = 0. 

4437. — Construire la courbe a' + y^ + x'-— 2y- = 0. - Tangentes à l'oriî;ine. 

4438. — Construire la courbe {x + a]{x° + y-) -+■ 2ay' = 0. 

4439. — Interpréter les inégalités 

{2x- -h 2y- — X -I- y\{x -+- y) > 0, 

-:- + -^>o, _L_ + _i--.>0. 

x + i y—^ X— 1 y + l 

4440. — Réduction de l'équation d'une conique en axes rectangulaires. Ex.: 

2j;2 -+- 3?/^ + ixy — x-\- iy =0, x* -^ 2y- — ixy + ix — y = 0. 

4441. — P.éductlon à la forme y'- = ipx+qxK 

4442. — Axe et sommet dans la parabole x' + y' — 2xy + 3.r = 0. 

4443. — Axes de la conique x- + Sy- + ixy -i- ix — y -i- l =0. 

4444. — Angle ou anomalie excentrique dans l'eriipse. Exprimer les coordonnées d'un point de l'ellipse en fonction de 
l'angle excentrique. Tangente en ce point. 

4445. — lielation entre les segments interceptés sur une droite par deux coniques homothétiques et concentriques. 

4446. — Intersection de deux coniques. — Cas oîi les deux coniques ont les mêmes directions asymptotiques. 

4447. — Construire les courbes : 
1 — 2t 



1 — 
t 

2t 
1 





1 - 1 




1 +£ 


y = 


t + i 


Il = 


l- 

i -t 



1= -+- 2« -+- 1 


(^ + 2 




f- 

X = — 1 


y = -, , ■ 



4448. — Sous-tangente et sous-normale en coordonnées polaires. Appliquer à la courbe 

déduire une construction de la tangente. 

4449. — Construire les courbes 



r — 1 ■' (- -f- 1 

p 



1 - tg 

tg u 1 — tg 0) sin' M 



' si n w -t- cos w ' cos w -h sin <u 1 — 2 cos u cos 2u 

44ÔO. — Calculer les coordonnées .c, i/„ :, du point A, obtenu en faisant tourner d'un angle a un point A(.r, ;/, :) 
autour de la droite x ^ y, ; = 0. 

4451. — On donne le plan P = 2j;+ 3.i/— î -H 1 = » et le point A(l, 3, 0). —Trouver le point lî symétrique de A 
par rapport au plan P. 

4452. — On donne la droite et le plan P 

( X — « -I- : = 0, 
I) • „ P s .r-i-2(/-i-: = 0. 

( Sx -H y — 1 = 0, 

Trouver la projection de la droite D sur le plan P. 

4453. — Angle des deux droites 

( a; — // -t- 1 = 0, l—x + 2y + z = li, 

\ix-y~z-i — ^\ \ a;-t-j/— 23= 0. 

4454. — Équations générales des droites perpendiculaires à la droite P = 0, Q = 0. 

4455. — Équation générale des plans faisant un angle donné x avec le plan ax + by + cz— a et un angle donné ? 
avec l'axe 0;. 

4456. — Mener par la droite 

2.r - 1/ — : = 0, 3,1- h ;/ — i = 

un plan faisant un angle avec la ilroite 

x_ _ y_ z_ ♦ 

3—4 5 ■ 

4457. — Mener parla droite 

.r 1/ : 



ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS OKAUX, 1908) 109 

un plan faisant le même angle avec deux droites données 

.r _ )/ : :!_ — JL L 

~n^ ~ b' " f' ' a' ~' b' ~ c" 

4458. — On donne la droite (U) : ix — y + i='!), a;-+-i/ — 1 = 0, et le pian P = 3x+2j/ — ;=-Û; mener 
par la droite D un plan faisant avec le plan P un angle donné. 

4459. — Mener par une droite donnée 

■f — a-Q _ .y — j/o _ ; — ;, 
abc 
un plan faisant le plus petit angle possible avec un plan donné. 

4460. — Distance d'un point (1, — I, 2) à la droite 

2r-l-i/ — 1 = 0, 0: + :— 2=0. 

4i61. — Dislance de la droite a; = 2:-i-t, y = 3: — 2 à l'axe 0;, les ases étant rectangulaires. 

4462. — Distance des deux droites 

(^ = 2.-1, |,, = -c + 3, 

4463. — Perpendiculaire commune aux deux droites 

( X — 1/ — 3 = 0, i)/+-2i — 1 = 0, 

( — ,T — y -h 23 — l = ; ) .E — 3j/ -H 1 = 0. 

4464. — Que représente l'équation j:- -f- y' -H 3° — sr -)- 2j/ = ? — Déterminer le centre de la section par le plan 
« + » — 3 = 0. 

4465 . — .Mener à la sphère x" -r-y^ + z- — Zx + iy — 1 = un plan tangent parallèle au plan 2x + y — 3 =: 0. 

4466. — Puissance dun point par rapport à une sphère. — La sphère est la seule surface du second degré pour 
laquelle le produit PA x PB reste constant quelle que soit la sécante PAB. 

4467. — Equation d'un cône de sommet (0, 0, 1) dont la directrice a pour équation 

xy — X — y = 0, 

3+1=0. 

4468. — Cùne de sommet (1, 2, 0) dont la directrice est la ligne D 

l xz-y = 0, 
} yz-x = i). 

4469. — Surface engendrée par une droite s'appuyant sur deux droites données et perpendiculaire à l'une d'elles. 

4470. — On donne la droite fixe — - — = — ; — = — ; former l'équation de la surface engendrée par la rota- 
tion de 03 autour de cette droite. 

4471. — Surface engendrée par la droite x = 1, y = 2, en tournant autour de la droite — =_ = — — 

4472. — Equation de la surface de révolution engendrée par la courbe 

X- -h y- — 1 = 0, 3 = 

en tournant autour de la droite .r = i/ = :. 

4473. — Déterminer les axes du cône x- -i- y- -i- 3:'+ 4.r.v — 3yz = 0. 

4474. — Directions principales de la quadrique 

x* — y- -h z' -h ixy + 2yz — 'ix-hy-i-\ = 0. 

4475. — Mener au cjne x- -h y'' -i- z- — ijz — 3.r = un plan tangent parallèle à la droite 

X _ y _ 3 
— 1 ~ — 2 ~ — 3* 

4476. — Mener à la qiiaJrique x- + y^ -h z'— 2y + z = un plan tangent parallèle au plan x-i-y + :—t}. 

4477. — On donne la quadrique ix- — y- + 3- — Sx + 2y = 0. Mener à cette surface un plan tangent parallèle au 
plan 2j + (/ — 3 = . 

4478. — Equation d'un cùne de sommet donné, circonscrit à un paraboloide elliptique. 

•4479. — Equation d'un cylindre de direction donnée circonscrit à un ellipsoïde. — Condition pour que le cvlindre soit 
de révolution. 

4480. — Equation du cylindre circonscrit à la quadrique 

x' y- z' 

h— 1 = 0, 

a' 6' c- 

parallèlement à la direction p, q, r. 

4481. — Par la droite — = — - — = -^, mener un plan tangent à la surface 2x= — j/' — := — 1 = 0. 

4482. — Mener par la droite ' = " = ^ — un plan tangent à la quadrique x= -H {/= -t- s= — 1 = 0. 



110 ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



4483. — Mènera la surface a;= +2;/' — ;' — 1 = un plan tangent passant par In point (1,-1,2) et faisant avec 
0: un angle donné. 

'«484. — Mènera un paraboloide hyperbolique un plan tangent parallèle à vine liirection donnée. 
4485. — Mener par un point donné les normales à la surface xy = z. 

•4486. — Combien peut-on mener de normales par un point à la quadrique -t+TT"*"""! 1=0? Le point 

étant pris dans un plan principal, discuter le nombre de solutions. 

4487 . — Déterminer les asymptotes de la section de la quadrique J-- — y- — 2z =0 par le plan 2.v + y — z — i =0. 

^/^fiS. — Que représente l'équation x- -h y- — 2z' — \ = 0? Déterminer les asymptotes de la section faite dans 
cette quadrique par le plan x + y + z — l = 0. 

4489 — Condition entre 2, S, - pour ([ue le plan xx — %y -+- •;: 4-/1 = coupe le paraboluide : i: = 

P 9 
suivant une hyperbole équilatère. 

4490. — Propriété d'un plan passant par une génératrice d'un hyperboloïde à une nappe. 

4491. — Que représentent les équations 

.r- + j/' — s- 4- jy = : : = j; — y ^ \'x- — 2!/ (génératrices rectilignes) ; 

s = 2x + j/ ± v'Sj' -t" ?/■ -+- xy~^^ ; x' -Ht/'- — 23* -hiyz — 2xz = ? 

Contour apparent sur le plan xOy, les projetantes étant parallèles à 0:, puis sur le plan .rO;, les projetantes étant 
parallèles à Oy. 

4492. — Que représente l'équation 

xi — y- ^ z- + iyz + 2xz -t- 2x ^ 3y -\- z — l = ? 
Cône asymptote. 

4493. — Comment reconnait-on que l'équation générale du second degré représente un cylindre ? Appliquer à léqua- 
tion 

— x°-+y'— 22' -I- 2xj/ -f- ixz + x-hy = . 
4 494. — Etudier les mouvements rectilignes déSnis par les équations suivantes .• 

,j; = 6<— (=, I x = a.cos^^l. 



al — bl' 



X = a.cos- wj + 6sin-w(, 



3 
x=a.sin27T/, | ,c = n.sin-M/. 

4495. — Diagramme des espaces et des vitesses dans le mouvement défini par l'équation x = fl.cos wj. 

4496. — Trouver la loi d'un mouvement sachant que 



(■ — /. 



{'-7] 



g{x — a), 3 > 

: k{a — x). 



V- = X- — a-, 

4497. — Composition de deux mouvements vibratoires simples de même période 

X, = .COS (to( + a), X-: = h COS (w/ + ?) . 

4498. — Composition de trois mouvements vibratoires simples de même période- 

Xi = Oi. ces (ut-F a,), Xi = a-. COS(ltl -h Cli). .Tj = 03. COS (u<+ la). 

4499. — Définition de la vitesse aréolaire. — Qu'est-ce qu'un mouvement où la vitesse aréolaire est nulle ? 

4500. — Dans un plan, un mobile se meut avec une vitesse constante et une vitesse aréolaire constante. Quelle est 
sa trajectoire ? 

4501. — Hodographe. — Démontrer que si l'hodographe est une droite, la trajectoire est plane. — Existc-t-il des 
mouvemenis dans lesquels i'hodograplic coïncide avec la trajectoire? 

4502. — Composantes suivant trois a\es rectangulaires de l'accéléraliun tulale, de l'accélération normale et de l'accé- 
lération tangentielle. 

4503. — Mouvements d.ins les(|uels l'accélération a une direction constante. — Cas oi'i l'accéléralion a eu outre une 
valeur constante. 

4504. — Mouvement dans le(|ui,'l l'accélération normale est nulle. 

4505. — Ktudier les mouvements suivants: 

X := a cos il, y ^= Il cos 21; j; = a sin w<. ;/ = b sin <o( (vitesse aréolaire) ; 

x=nroSMu/, y -: hsïii- lui, x=iU+bi-, ;/ = 'l't -+-'''*" : 

a; = acos2-(, 1/ = (< cos (2-< -t- n), .i- = n cos o)<, y = 6 cos(u< -t- »; ; 

X = al, y — bt. z — cl + — iji- ; 

1 1 " 1 

X — at + — al', y = bt -I — b'r-, ; = c< -I- — c'I'- ; 

j; = a cos 2-1, j/ — a sin 2-1, z --= kl 

(Construire le vecteur vitesse et le vecteur accélération.) 

X — a cos wl, y = 9 sin ,0/, 3 = 6 sin 2u( ; 

X = a cil (w/ t al, y = b cli {ml -t- 3), : = c cli (wf 4 -i 



ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



m 



4506. — l'n point M tourne avec une vitesse angulaireu autour de 01, bissectrice de lO;/. — Calculer les composantes de 
la vitesse du mobile, suivant les trois ases de coordonnées. 

4507. — Etudier le mouvement de rotation d'un point de l'espace tournant autour de la droite x = :,y =0 avec une 
vitesse angulaire constante w = 3. - Déterminer les coordonnées dun point à un moment donné et les composantes de la 
vitesse de ce point. 

4508. — On considère un point M (j:,)/,:) soumis à deut forces atlr.ictives .VIF, M?' émmint .les points û\es A et .\ 
et proportionnelles aux distances .MA, MA'. — Déterminer la résultante. 

4509. — On a cgnstaté que le mouvement d'un mobile dans tui plan a pour trajectoire la courbe d'équation 

= P 

1 +e cosu 
et que de plus la vitesse aréolaire est constante. Quelle est la loi de la force ? 

4510. — Dans un mouvement sur l'hyperbole A- — -^ - ' = ", la vitesse aréolaire par rapport à lorigine est 

constante ; en déduire la loi de la force qui produit le mouvement. 

4511. — Mouvement d'un point soumis à deux forces centrales, l'une attractive, l'autre répulsive, proportionnelles à 
la dislance. 

4512. _ Trajectoire d'un mobile soumis ;i une force centrale répulsive et inversement proportionnelle au carré de la 
distance. 

4513. — Mouvement d'un point soumis à une force attractive émanant d'un centre et inversement proportionnelle à 
la dislance. 

4514. — Deux points M et M sur une droite XX sont soumis à deux forces égales en 
valeur ab50lue et qui les attirent l'un vers l'autre. — Etudier le mouvement. 

4515. — Surfaces de niveau dans un champ de forces créé par deux forces centrales 
constantes. 

4516. — Travail d'une force constante et constamment tangente à la trajectoire du 
point mobile. 

4517. — Dans un plan vertical, on donne une droite AB et un point : on suppose 
qu'un mobile pesant partuit de décrive sans frottement la droite OM. A 
quel moment atteindra-t-il le point H ? Comment faut-il choisir le point M 
pour que le temps soit minimum ? 

4518. — Mouvement sur un plan incliné d'un point matériel pesant sou- 
mis h une force attractive proportionnelle à sa distance à un point fixeO. 

4519. — lUudier le mouvement d'un point matériel M non pesant, mo- 
bile sur un cercle sans frottement, ce point étant attiré proportionnellement à la distance par un (loint fixe \, sur le cercle. 

4520. — Mouvement d'un point pesant sur une parabole, sans frottement. 

4521. — Mouvement d'un point pesant lancé sur un plan horizontal rugueux. 

4522. — Mouvement sur un plan horizontal rugueux d'un point matériel pesant soumis à une force horizontale cons- 
tante. 

4523. — Equilibre et mouvement d'un point matériel pesant sur un plan incliné rugueux. 

452^. — Déterminer la tension du fil dans un pendule simple. 

'«525. — On suppose un peuilule simple oscillant; au moment où le lîl passe par la verticale, il se casse ; quel sera le 
mouvement nouveau? 

4526. — Calculer l'accélération pour une latitude donnée, d'un point invariablement fi\é à la surface de la terre, en 
ne considérant que le mouvement de rotation de la terre sur elle-nu'Uie. 

4527. — Equilibre d'un point mobile pesant sur ime courbe donnée. 

-^528. — Dans un plan vertical, on a un fil tendu AB ; un anneau pesant M, de poids P, est repoussé par le point C 
par une force constante F. — Equilibre de l'anneau en supposant qu'il n'y a pas de frottement. 

4529. — Moment d'un vecteur (,r, //, :, X, Y, Z) par rapport à la droite 

:! — IL — 1 
<l ~ h ~ c' 

4530. — llelition entre les moments d'un système de vecteurs par rapport à deux axes 
parallèles. 

4531. — On donne un système de vecteurs et un point dans l'espace. Lieu des axes 
passant par pour lesquels le moment du systf-me de vecteurs est égal à un vecteur 0(i. 

453$. — Dans la réduction à deux vecteurs, peut-on se donner arbitrairement l'un des deux vecteurs? 

4533. — Construire un couple équivalent à un couple donné et dont les vecteurs soient parallèles à une droite donnée ; 
dans quel cas le problème est-il possible? 

4531. — Conditions d'équilibre du treuil : l'axe étaht horizontal, déterminer les pressions sur l'axe. 
4535 — Équilibre de la poulie fixe avec frottement en supposant les cordons rectangulaires, l'un (puissance) horizontal 
et l'autre (résistance) vertical ; la poulie élanl sur le point de se mouvoir sous l'action de la puissance. 






112 



QUESTIONS PROPOSÉES 



Géométrie et Géométrie descriptive. (M. Ar\\l.) 

4536. — Rapport auharnioiiiciue île quatre points. 

4537. — Mener une droite parallèle à une droite doniiLO en sappuyant sur deu\ droites données. 

4538. — Droite s'appuyant sur trois droites données. 

4539. — Trouver les points d"une droite dont le rapport de la cote à l'éloignement soit égal à — Trouver les 

, m 
points d'un cône de révolution tels que le rapport de la cote à l'éloignement soit égal a 

4540. — Lieu des points d'un plan, donné par ses traces, pour lesquels la cote et l'éloignement ont une somme 
donnée À. 

4541 . — On donne la ligne de plus grande pente d'un plan ; trouver les traces du pliin. — Trouver les points du plan 
tels que la somme de la cote et de l'éloignement soit égale à .'. 

4542. — Appuyer sur deux droites données dont les projections horizontales sont parallèles un segment horizontal 
de longueur l. 

4543. — Trouver sur une droite un point également éluigiié de deux points donnés. 

4544. — Trouver dans un plan donné une droite dont cliaque point soit équidistant des traces d'un plan donné. 

4545. — Trouver sur une droite donnée un point à une distance donnée d'un plan donné par son échelle de pente. 
454tj. — Plus courte distance entre deux droites, l'une dans le plan horizontal, l'autre dans le plan vertical. 

4547. — Etant données las deux projections d'une droite, les projections horizontales d'une seconde droite et de leur 
perpendiculaire commune, trouver les projections verticales de cette seconle droite et de la perpendiculaire commune. 

4548. — Amener par un changement de plan les traces horizontales de deux plans à être parallèles. 

[A suivre.) 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1763. — Dans un triangle on donne le pàrimètra 2p, le rayon du cercle exinscrit dans l'angle A, r, cl 
la surface S. Cilculer le côté a et former l'équation du second degré qui donne les deux autres côtés b et c. 
Discuter. 



Application numérique : p = .3, /■ =: \,l'ï, S = v''^. 



E. H. 



1764. — On cûisidére une courbe (C) rapportée à deux axes rectingulaircs Ojc et Oi/, un point M de 
cette courbe et la normale en M, qui rencontre l'axe des x au point N ; on considère en 

T outre le centre de courbure C et la p iralléle CT k Oy, qui rencontre la tangente en T. 
1° Déterminer lescourbes (C» de façon que l'on ait toujours 
20.\ = CT. 
2° Trouver les lieux des points de contact des tangentes menées par le point aux 
courbes (C) . 

3" Ces lieux constituent une fauiilU' de courbes a un paramétre, dont on demande 
les trajectoires ortliogonales. 

BoULiGANii, à .Nantes. 

1765 . — t)n considère un cercle de diamètre .4B et de centre 0, un point M mobile sur le cercle, et la pro- 
jection P de ce point sur AB. Le point I étant le symétrique de P par rapport au rayon MO, on demande : 

!° Le lieu du point I ; 

20 1,'enveloppe de la droite Ml et le lieu du pôle di' celte droite par rapport au cercle ; 

3° Le lieu du point de rencontre (J de la droite IP et du rayon O.M, ainsi que l'enveloppe de IP. Construire 

ces courbes. 

(i. Bmi-icANn. 




«AK-UE-nOC. — mP. C0I1TB-JACQU8T. 



Le Rédacleur-Gérnnt : H. VUIBEilT. 



19» Année. N» 5. Février 1909. 

REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCULES 



PREMIÈRE PARTIE 



NOTE SUR LA CONTINUITÉ DES RACINES D'UNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE 

par M. L. Leau, professeur au lycée Michelet. 



Les racines d'une équahon ulrjébrique eiUirre sont fondions conliniies des coefficients de celle équalion. 
Pour préciser cet énoncé, désignons par 

F(x) ^ OoX'" + «iX'""' + h dm = 

l'équalion envisagée, et supposons que les coellicients a^ soient des fonctions continues de n variables 

tf, to, t„, qui prennent pour les valeurs a,, ïj, . . . «„ de ces variables, les valeurs finies a„, a\, ... dm', 

supposons en outre que dans ce cas Téquation admette une racine multiple d'ordre p,x' ; il s'agit de 
démontrer que, lorsque les variables l tendent vers les valeurs a, simullanément, p racines de l'é- 
quation F(x} = tendent vers le nombre x'. 

A mon sens, la méthode de Cauchj', fondée sur la variation de l'argument de la fonction, et que 
Uriot et Bouquet ont exposée dans leur théorie des fonctions elliptiques, est Tinstrument qui convient 
le mieux, tant par sa simplicité que par sa précision, dans l'étude de ce théorème et des théorèmes ana- 
logues. Malheureusement, il semble difficile de la placer dans un cours de Mathématiques spéciales. 

Les démonstrations données dans les livres destinés aux élèves de cette classe, sont insuffisantes. 
L'une des meilleures, celle de M. Niewenglowski, n'est pas rigoureuse. 

L'objet de cette note est de préciser les termes employés et de perfectionner cette méthode. 

.M Niewenglowski étudie directement le cas des racines infinies, et démontre le théorème suivant, 
auquel le théorème général peut «e ramener sans difficulté. 

Lorsque les coefficients de l'équation F(a.) — tendent simultanément vers des limites finies, les p 
premiers vers 0, et a^ vers une limite non nulle aj,, il y a exactement p racines de l'équation qui sont 
infiniment grandes. 

Dans la démonstration que j'ai citée, on ne prouve pas, avec netteté, qu'il existe p racines 
dont les modules sont supérieurs à un nombre positif arbitrairement choisi, lorsque les modules des 
différences t — a sont plus petits qu'un certain nombre positif bien déterminé, et que, en même temps, 
les modules des m — p autres racines restent plus petits qu'un nombre positif fixe R. 

C'est cependant là ce qu'il est indispensable d'établir pour préciser le sens que l'on doit attribuer 
aux expressions racines infiniment grandes et racines finies, et pour démontrer rigoureusement le 
théorème. 

Ecrivons ainsi l'équation 



ï,H-i^~' -I 1- a^x^""-^ _ _ 



aoX* + a,x''~^ H ■+■ a^^a 

Avec cette forme, nous allons montrer qu'on peut fixer un nombre positif, R, et construire un 
nombre infiniment grand, u, tels qu'il n'y ait aucune racine dont le module soit compris entre R et [u|. 



114 SUR UNE APPLICATION DES IMAGINAIRES A LA GÉOMÉTRIE 

Désignons par h un nombre positif fixe moindre que \ay\ et supposons que tous les modules des 
quantités <— s soient assez petits pour que \a^\ soit supérieur à un nombre positif fixe b' compris 

entre b et |al| ; nous savons qu'on peut trouver un nombre positif s, assez petit, pour que — étant 

I ■"■ I 
plus petit que £, le module de aj,_ix~^ + aj,_^_=,x~'- -\ hama:~^"'~^' soit moindre que 6' — //. Nous 

serons assurés alors qu'en prenant 11 = — . et \x', > R, le module du numérateur est supérieur 

à b. 11 est facile maintenant de rendre le module du dénominateur plus petit que b. 

11 suffit de rendre le module de chaque terme moindre que — > c'est-à-dire de prendre 

r b t-ii~'r' h 

Or tous ces nombres sont des inûniment grands; désignons par u celui qui a le plus petit module, 
nous pourrons prendre les différences t — i assez petites pour que, toutes les conditions précédentes 
étant réalisées, on ait en plus |m| > R. Nous voyons alors que, pour toute valeur de x dont le 
module est compris entre R et |it|, l'égalité posée est impossible, puisque le second membre est égal 
à — 1 et que le premier a un module supérieur à 1. Il n'y a donc aucune racine comprise dans la cou- 
ronne correspondante, et les racines de l'équation F(x) ^0 se partagent on deux groupes, celles 
dont les modules sont plus petits que R, et celles dont les modules sont supérieurs à \u\. 

Ainsi se trouvent précisés les sens exacts qu'il faut attribuer aux expressions : racines qui restent 
finies et racines infiniment grandes. Ainsi se trouve fixée en outre une limite supérieure des modules 
des différences / — a pour lesquelles les modules des racines infiniment grandes seront plus grands 
qu'un nombre positif choisi arbitrairement, A : il suffira de rendre \u\ > A. 



SUR UNE APPLICATION DES IMAGINAIRES A LA GEOMETRIE 

par M. Gh. Michel, professeur au lycée Saint-Louis. 



Dans un précédent article [Revue, mars 1906), j'ai montré que le rapport anliarmoiiique de quatre 
points A, B, C, D d'un cercle peut, grâce à une convention de signes, se mettre sous la forme 

CA D.V 

"Ob' ■ Ub' 

CA, CB, DA, UB désignant les mesures algébriques des cordes du cercle. J'ai montré aussi ((ue, si on 
rapporte la liiiure à deux axes de coordonnées directement rectangulaires quelconques, ce rapport 
anharmoniqueest égal à celui des aftixes des quatre points. 

Je vais appliquer ces résultats à l'élude d'une figure de g.'oinétrio particulière que l'on rencontre 
dans divers problèmes. 

Soient un cercle et deux cordes conjuguées AB et CD, c'est-à-dire telles que l'une passe par le pôle 
de l'autre par rapport au cercle. Les points A et B sont, sur le cercle, conjugués 
iiarmoniques par rapport aux deux points C et D, et inversement. On a, en 

grandeur et en signe, 

CA _ DA 

"cir ~ ~ W 

Gela posé, prenons deux axes directement rectangulaires ayant pour origine 
le milieu I de la corde AB el liésiu-nons par a, b. c, d les aflixes des quatre 
points A, B, G, D. Il est clair qu'on a 

« = — b. 




SUR UNE APl^LlCATiUN DES IMAGINAIRES A LA GEOMETRIE llîi 

En outre, le rapport anhunnonuiue des quatre nombres a, b, c, d est égal à — 1. Tar suite, eu 
égard à la relation précédente, on a 



d'où l'on lire la relation 

cd — a'''. 

Ce résultat s'interprète immédiatement. Le produit des modules de c et de d est égal au carré du 
module de a et la somme des arguments de c et de rf est égale au double de l'argument di,' a. Géomé- 
triquement, cela \eut dire que : 1° AB est bissectiice intérieure des deux demi-droites iC et ID ; 'z" 

ïa"' = îh' = IC.U). 

Itéciprociuement, soit un segin >nt AB ; [lar le milieu 1 de ce segment, menons deux demi-droites 
symétriques pai- rapport à AB et ()renons respectivement sur ces demi-droites deux points C et D tels 
que l'on ait IC.ID = lA" = IB . En rapportant la figure à deux axes de coordonnées directement rec- 
tangulaires issus de 1 et en désignant par a, b, c, d les aflixes des points A, B, C, D, on a a — — b et 
cd = a% ce qui exprime que le rapport anliarmonique des quatre nombres o, b, c, d est égal à — 1. 
Comme il est réel, il s'ensuit que les quatre points A, B, C, L) sont situes sur un même cercle; les cor- 
des AB et CD sont d'ailleurs conjuguées par rapport à ce cercle. 

.Mais alors, CD est bissectrice intérieure des demi-droites qui vont du milieu J de CD aux points 

A et B et Jc' = Jd' = JA.JB, 

Ainsi, on a le théorème suivant : 

Si diuix segments .\B et CD, aijanl respeclivemenl pour milieu. c I cl J, sont Ic/s (juo AB soil bisscc- 
Iricc intérieure des demi-droites \Vj et ID et que l'on ait lA' = IB" = IC.ID, inversement, CD eil bis- 
sectrice intérieure des demi-droiles J.\ et JB et ton a JC" = JD =JA..IB. /.es (/uulre points .\,B,C, D 
sont sur un cercle et les cordes AB et CD sont conjuguées par rapport à ce cercle. 

On peut déduire ce théorème de ce fait que la relation cd = a- peut se mettre sous la forme 
1 c + d \/c-hd \ / c - d ~ 

,, , . . . c ^ d r- t- (/ , C — (/ 

Or, les imaginaires ■ a, 1-«, sont represenlees par ces vecteurs 

issus de l'origine des coordonnées et équipoUonts respectivement aux vecteurs A.l, li,l, lU. 

Théorème. — L tant données deux cordes AB et CD d'un cercle, conjuguées par rapport à ce cercle, 
si l et i sont respectivement les milieux de ces cordes, on a 

JA4-JB = IC +IU. 



En effet, on a 



JA = mod. ( - — r « |! J 11 = nicid. ( h a 



J 



JA + JB ~ mod. ( — a J-^ luuil. I — \-u ■ 



11 s'agit de montrer que l'on a 

mod. ( ■ " )"+" mod. / — h (n = inod. e-H mod. d. 

Or, a est une racine carrée de cd que nous représenterons par \cd et c'est aussi le produit d'une 
racine carrée de c que nous représenterons par ^c et d'une racine carrée de d que nous représente- 



116 SUR UNE APPLICATION DES IMAGINAIRES A LA GÉOMÉTRIE 



ronspar ^d. Dès lors, on a 



d 1 ,- ,- c-hd 1 , ,- ,.j,. 



2 
La relation à établir s'écrit donc 

— mod. (Vc — /rf)-H mod. (v'c + ^df = mod. c -4-mod. rf. 

Posons 

y^ = )-(COS a -+- i sin a), v'tî = r' (cos a' -)- i sin a'). 

r et )•' étant les modules. On a 

mod. (\'c — V d)^ — (r cos a — ;•' cos a')^ -h [r sin 2 — ;■' sin a')- 

_,.»_!_ ,^2 — 2rî-'cos(a — l'i, 
mod. (v'c + /rf)- = (r cos a ^ >■' cos »')- + (c sin a 4- '■' sin a')- 

Par suite, 

1 _ 1 . _ 

— mod. (v'c — \dy- -h -— mod. {\c -i- v'rfy" = r- -h- >•'- = mod. c -i- mod. rf. 

ce qu'il fallait démontrer. 

C'est un résultat qui s'établit du reste facilement par la géométrie. Dans le triangle J.\B, JI est 

médiane, et l'on a _ _ . 

J.V^4- JR- = -2(IJ-^ iA=); 

par suite _ 

JÂ- -+- JB- H- :2.).\ JR = (JA + JB)- = i(U--^~f- H- — ] : 

or, par symétrie, on trouve la même valeur pour (IC -+- 10,-. 

Théorème. — On n les égalités 

val. abs. (JA — JB = ABcos -^^ et val. abs. (ID — IC) = CD cos ^^-^^ 

JA — JB = — mod. {\c — v'S/ mod. (\c ^- ^d)- — — irr cos 11 — 1). 



En effet. 



-, _. AB 

Or, )- = IC, /■- = ID; donc îV = IC.ID = lA = IB", donc rr' = —^ ■ Duulreparl, a' - i 

est la moitié de la différence entre l'argument de d et l'argum nt di! c ; c'est donc égal à l'angle — — ^ 
en grandeur et en signe, à un multiple de r près. On a par suite 

CM) 

val. abs. (JA - .IR) — ARcos — ^• 

De même, 

AJB 

val. abs. (IC — ID) = CD cos -^- • 

Applications. — !• Supposons que, les points .\ et B restant lixes, le point J décrive une ellipse 
ayant pour foyers A et B. Alors la droite CD reste normale à cette ellipse au point vaiiable J. D'autre 
pari, on a 

le + ID = JA -t- JB = const. = 2i, 
î}i étant la longueur du grand axe de l'ellipse, et 

IC.ID = II- = FB- = f« 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 117 



Y étant la demi-dislance focale de Tellipse. On en déduit que IC et ID sont constants. Les points C et D 
décrivent deux cercles ayant pour centre le point I. Les rayons de ces deux cercles sont racines de 
l'équation 

'/ - 22: -+- Y — 0, 
d'où 

p = a dz v/a- — y' =^ " — ?' 

P étant le demi-petit axe de l'ellipse. On retombe sur des résultats qu'on rencontre dans la construc- 
tion, due à Chasles, des axes d'une ellipse dont on donne deux diamètres conjugués en grandeur et en 
position. 

2° Supposons que, les points A et B reslant fixes, le point J décrive une hyperbole ayant pour 
foyers A et B. Alors la droite CD reste tangente à cette hyperbole au point variable J. D'autre part, on a 

val. abs.(JA-.JB; = ABcos -^ = const. 

Donc l'angle CID est constant, autrement dil. les points C et D décrivent deux droites fixes partant 
de I. D'ailleurs on a 

OU 1 
ces = — , 

a désignant le demi-axe focal de l'hyperbole et •; désignant la demi-distance focale. Cela montre que les 
droites décrites par les points C et D sont les asymptotes de l'hyperbole. 
L'aire du triangle variable CID est égale h 

i 

— IC.lDsin CIO. 

On reconnaît que cette aire est constante et égale à aS, 2 désignant le demi-axe non transverse. 

3" Supposons que, les droites IG et ID reslant fixes, la droite CD varie de manière que l'aire du 
triangle CID soit constante. Il s'ensuit que IC et ID ont un produit constant. Donc, les points A et B, 
situés sur la bissectrice intérieure des demi-droites IC et ID, sonl fixes. D'ailleurs, on a 

val. abs. ( JA — JB^ = AB cos = const. 

2 

Donc le milieu J de CD décrit une hyperbole ayant pour foyers A et 8 et la droite CD est tangente 

en J à cette hyperbole. Ainsi, l'enveloppe des droites qui déterminent avec deux droites fixes un triangle 

d'aire constante est une hyperbole asymptote à ces deux droites. 



GEOMETRIE ANALYTIOUE 



1681. — On considère toutes les hypocycloides à (rois rebroussements trois fois tangentes à une ellipse 
donnée. 

1° Déterminer ces hypocycloides et montrer quelles se partuyent en deux familles. 7'outes les hypocy- 
cloides d'une même famille sont égales entre elles et ont leurs centres sur une viême circonférence. 

2° Les triangles formés par les trois tangentes communes soiil inscrits dans une même circonférence. 

3° Les normales aux trois points de contact sonl concourantes et leur point de concours décrit une cir- 
conférence. 

4° Trouver, pour une des deux familles, l'enveloppe des tangentes de rebroussement des hypocycloides 
de la famille. 



118 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



5° Démontrer que le mouvement épicycloidal des courbes d'une des deux familles admet pour base et 
pour rou'etle deux cercle-. 

1° Soit 

(E) l>^x^-^a-;f^-n^-^ = 

l'équation de Tellipse donnée, rapportée à ses axes. 

Une hypocycloïde à trois rebroussemenls, de centre x,,, j/o, est l'enveloppe des droites dont l'équa- 
tion est de la forme 

{x — x^] cos ? -i-(i/ — !/(,! sin o — jlcos (3 =. -+- ?„), 

où ç est un angle variable. 

La grandeur de la courbe est déterminée par la valeur de R. Son orientation est déterminée par la 
valeur de 9,,. 

Posons -l'-i-'.V = ^- j' — ^y — '.• 

L'équation langentielle de l'ellipse dans ce système de coardonaées est 

(E') c-(i(- + «2) -I- 2(«' -\-'b-^)nv = H•^ 

L'équation de la tangente à l'hypocycloide est 

"■'""'"' ' T' 

où / = e"-?, X = Re'"^», }j. = Re-'>o. 

Les coordonnées de la tangente mobile peuvent donc èire [irises égales à 

u — t. V = /-, V — — 1/./' -H T,j,(- -+- i^t -H (x). 

Substituons ces valeurs dans l'équation (E'). Nous obtenons une équation du sixième degré qui 
fournit les six tangentes communes à l'hypocyclo'ide et à l'ellipse. 

Cette é(]uation doit avoir trois racines doubles. Son premier membre doit donc être un carré de la 
forme 

(/»-H»r--i-3?-K,')-. 

L'identification conduit aux relations suivantes : 

,3 _ "/.T.o _ ■'•/i + '?'• ;^ — c- _ V,o-^-">■.m — («- + &-) _ ;,-; -h -J.'JtTjo — f- _ u-p _ xx.- 

La comparaison des deux premiers termes et des deux derniers donne 

aX — r,o = pu — '(\o = ; 
la comparaison du premier et du dernier terme donne y'- — :^ = "■ 
Examinons d'abord lasolntion correspondant ausigne - . 
Llle donne 

T,ii ^ ço ;J- 

Substituons ces valeurs dans les équations (1) : nous obtenons, après suppression du facteur X-, 

c- n^ -\- lA c- 

= 



+ 2X:n ;„r,o-|-X[Ji ;3 -M'(jit,„ 

équations dépourvues de solutions finies, et qu'à ce titre nous rejetons. 
La solution qui correspond au signe -+- donne 

d'où, en substituant dans les équations {V}. 

_ T,« -+- 2X« - c- _ ;/■, -t- Xu - («2 -+- b-) _ ;= + 2ut, — c' 
~ Tj2 — tll ■" — ($fj -+- >u) ;- — -J;JLT, 

OU encore 

(r") X = — • l^ = - — 2(^T, -H ).ix) = a'- -f- bK 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE H9 



L'élimination de ).,|x entre ces trois équations est immédiate, et donne pour lieu du centre (;, »)) 

16;^ri^ — 8(a2 -h b-)bi + C^ = 0. 

Soit bt — X- -+- y- = f. 

Notre équation s'écrit 

I \W' — 8(fl- -t- h- 9- -+- c' = ", 
ou [i,:/' — (a -t- l>)-\\'i'r - (« - l>)-\ = 0. 

Elle se décompose donc en deux autres : 
(C.) ! 

équations de deux cercles de centre 0. 

Nous voyons ainsi que les courbes proposées fe partagent en deux familles. Les unes ont leur 
centre sur le cercle (Ci) et les autres sur le cercle (Ca). 

La grandeur de la courbe est déterminée par 

R2 ^ >,^ := _fl_ ^ _iL ou H = — • 

"" ''"^ I6--Ï, Ifip- 'lo ' 

pour la première famille 

c- n — h 



« 


-^- 


h 




"1 




a 


- 


h 



-s(,, -\-b) ± ' 

pour la deuxième 

c- n -h h 



\U 



Le-; courbes d'une même famille sunldonc bien de grandeur invariable. 

2° Considérons par exemple la première famille, où 

/ a-+- b Y 
^.■% = (-^- ) • 

Colle équation et les équations (r"j permettent de poser 

a -h b , _ c- _ a — b 

1 a -I- // 1 J c"i a — h 



' 'i'ii-^b) 



Les équations (r') donnent alors 

■r, a -h h „ — ; a -i- b 



ir- -. ^_J1. = _0^ 



). a — b '/' a —_ b 

L'équation aux l des tangentes communes, 

devient alors 

^ ' n — b a — h 

Soient (, I'. t" ses trois racines. 

(/ -i b a-hb , ,. ^ > 

r-Hr-t-/" = s = . If ^ II" ^t'r = T = r 0-, tit =p = i)-. 

a — b a — b 

Cherchons le [loint de rencontre des deux tangentes (' et i". Ce point est donné par les équations 



120 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



d'où 

il -.) 
L'équalion [ly 
donne, en divisant par Pt, 



l'i' " ' \ l' i / t 



>.(«' + l") 



t't" 



Ms-0- 



(3_s/2 + Tr-P = 0, 

T 1 St — f 



d'où, en substituant dans les équations (;, t.), en tennnl comple des équations ,(:„, t^, a, tx) et toutes 
réductions faites, 



^ = (6-a)_, 



= (b-a)-. 



d'où l'on déduit 

't, = ^2 ^^ ,^s = (a _ 6)^ 

Donc les sommets du triangle foi'mé par les troi-s tangentes aux points de contact sont sur un cercle 
fixe de centre et de rayon {a — b). 

Nous allons profiter des équations précédentes pour établir une autre propriété. 

Soient G, H, uj le centre de gravité, l'orliiocentre et le centre du cercle des neuf points du triangle 
en question, 

ÔFl = 2(J^ = 3(5g. 
Cherchons G, d'après les valeurs trouvées ci-dessus pour ;, t,, 



3;g = (* 



(4 



(*-rt)0. 



3v.= (/>-a)^(« + r-^r) = (6-a)-|- = 



4-6 



' ' "■' "' I) 

d'où l'on déduit que les points G, H, (» décrivent chacun un cercle de centre 0. Mais ce n'est pas là 
la propriété que nous avons en vue. 

Des valeurs trouvées pour i^, lo, on déduit 



c — __ t _ 



= ?n 



Ainsi dans chacun des triangles considérés le centre du cercle des neuf points coïncide avec celui 
de riiypocycloïde correspondante, ou encore : 

Chacune des hjpoctjcloides considérées est l'enoeloppe des droites de Simson du triangle correspondant, 
c'esl-à-dire l'hijpocijcloide minimum inscrite à ce iri'inrjle. 

Z" Nous allons déduire de là que les trois normales aux points de contact sont concourantes. 
^ Soient en edet .\B(^ le triangle considéré. A', B', C les milieux des 

côtés. Al, Bi, Ci les pieds des hauteurs. Les points de contact avec les 
côtés de l'hypocycloïde, enveloppe des droites de Simson, sont les symé- 
triques a, p, Y de A,, B,, C, respectivement par rapport à A', B', C. Les 
normales aux côtés en ces points sont manifestement concourantes au 
point K, symétrique de H par rapport à 0. 

Nous ne nous arrêterons pas à la vérificalit)n par le calcul de cette pro- 
priété. 

On déduit de ce qui i)récède 



V" 


\ 


A 








.^^V^"^ 






r^<| 



A, 



$»= — ?«=— 3;g — —{a -h by>, 



lu = fin 



■ 'Ma — 



a -h b 





GÉOMÉTRIE AiNALVriQLE 



121 



d'où OK = Ur.K = {(l^bjK 

Le point K décrit donc un cercle de centre et de rayon {a-^b), ainsi qu'il était annoncé. 

4° Enveloppe dei tangentes de rebi-oifsement. — La tangente 

sera de rebroussement si elle passe au centre ;o, ic d'oii >./' -h jji = 0, 
ou, d'après les valeurs trouvées pour /• et ■j', 

p -(- 65 = 0. 

Son équation devient 

, , a-r- b , a->r h 
; -T- /t, = :o -(- iTfi = — - l — - . 

La relation (^ -+- '>- = permet de poser 

-1 -1 . 



l'équation de la droite considérée devient ainsi 



a-^h 1 



vn -, = ■ 



ou, en posant 

ou, toutes réductions faites. 



a + Il 






= rt -t- b. 



COS ç SIU ç> 

équation d'après laquelle l'enveloppe est celle des droites qui joignent les projections sur les axes d'un 
point du cercle de centre et de rayon a-^h. C'est une. hi/pocijcloïde à quatre rehroussements, projec- 
tion d'une développée d'ellipse. 

5» Base et roulette. — Le point K est le point de concours des normales à l'iiypocycloïde de gran- 
deur constante aux points où celle-ci touche son enveloppe. Ce point 
K est donc le centre instantané de rotation de la figure. 

Il décrit dans la figure fixe, ainsi que nous l'avons vu, le cercle 
de centre et de rayon (a -t-i). Puisque w est le milieu de OH 
et que est le milieu de HK, on a 

„.K=3o.0 = 3^. 

Donc dans la figure mobile le lieu du point K est un cercle de 

, a+b 
centre tu et a<i rayon •> — ^ 




Posons 



a-hé 



R. Il résulte de là que la base étant le cercle 



de rayon 2R, la roulette est un cercle de rayon 3R qui reste constamment tangent intérieurement au 
précédent. 

L'épicycloide ainsi définie peut être représentée par les coordonnées d'un de ses points sous l'une 
ou l'autre des formes suivantes : 



a = R(3cos< — cos3(), 
1/ = R(3sinf — sin30, 



: = R(3<— <'), 



122 



(.EOMETRIE ANALYTIQUE 



ou par l'équation de ses tangentes 

; -r.c ^ ïRit — l"). 

Ces équations montrent que la courbe est du sixième ordre et de la quatrième classe. 

L'équation de la tangente peut encore se mettre, après une rotation d'axes, sous la forme suivante : 

X ces w -4- j/ sin 10 = 2(a -h b) ces — • 

C'est l'enveloppe des droites qui joignent sur un cercle les points d'arguments ■^', o satisfaisant à la 
relation o' = 3^'. 

Remarque. — Sur les hypocycloides semblables et concentriques aux proposées . 

Soit J6o = A". "' "'' ^0' 'lO' \ \^) — ^ l'équation tangentielle de l'une des hypocycloïdes de la question. 
KaisoDs-la tourner autour de son centre et prenons ensuite rtioinothétique de la nouvelle courbe obtenue 
par rapport à ce centre dans un rapport quelconque. La courbe obtenue ainsi sera une nouvelle hypocycloide 
à trois rebroussements, semblable à la première et ■< orientée » par rapport à celle-ci. Pour en obtenir l'équa- 
tion, il sufiira de remplacer l'angle ço par un autre angle àj et le module R par un autre module R', tels que 

oj = ç, + 6, R' = rtiR, 

m étant le rapport de similitude et définissant l'orientation relative des deux courbes. 
X et <j. se trouveront donc remplacés par deux paramètres À' et a' tels que 

/,' = R'e'ïi = ?«Re'''o+"i — me'"'/., 
■jl' = R'e-'<= mRe-'i*'+'" = nie-'V ; 



1 



1 

K = — e"> 



posons H = — «-'•', 

l'équation de la nouvelle courbe devient 

fyu, V, w, ;(,. '.u, HÀ, Ktji; =^ 0. 
-Nous allons ctudier cette nouvelle courbe, et à cet eH'el, expliciter l'équalion /'= 0. 
Les équations 



( ~ «- ~ >.!^ -I- r o<- + lo' + [Ji 
donnent par élimination de t l'équation /" = sous la forme 

;jLu ' -+- Àt;^ + MB(;o" + '■jO" + 'c) = P- 
L'équation de la nouvelle bypocycloïde, que nous désignerons par Je' sera donc, d'après ce qui précède, 

^' — Kjjtw^ + HÀf' -(- M»(;ou -1- T,oiJ -(- ic) = 0. 
Remplaçons dans celte équation )., k. Ço- ''.o P*"" '^s valeurs précédemment trouvées 



_ P 



;i = g'). 



p 


= 


a + b 
2 


? 


= 


a — b 
2 



ré(|uation 3(5' = devient, en ordonnant par rapport à 0, 

(KjK +pc)i«-6'- + ttt:if') +{pu-+- Mqv)v- = 0. 
Un en déduit immédiatement l'équation de l'enveloppe de la courbe J^' après suppression du facteu 
M^e^ = 0^ qui représente deux fois les points cycliques. 
L'équation de cette enveloppe est 

4(pu + Wqt}{}Lqu +pi") =■ ic', 
équation d une conique. Donc la courbe ^' reste, comme la courbe 3é trois fois tangente à uiie conique fixe. 
On trouve par un calcul facile que l'équation de celte conique est, en coordonnées cartésiennes, 

\2 



(S) 
avec 



/ . \^ / . \2 

( xcosy+i/sin — 1 (xsin — — 1/ cos — j 



= 1 



/ g-H& y ^ (3a- 



■ b)(a - b) 



^'^=(^T- 



(a + ib](a — b) 



4m^ " \ % I km- 

On en déduit que la conique enveloppe est concentrique à la proposée. Ses axes font avec les axes de la 



CiEOMEïRIB ANALYTIQUE 123 



proposée l'angle -5- ; la longueur de ses axes ne dépend que du rapport de similitude »i des deux hypocycloides. 

Entre les axes o'^ et 6'^ existe d'ailleurs une relation indépendante de ô et de m. On l'obtient facilement 
en éliminant m- entre les deux dernières relations, et on peut la mettre sous la forme 
(a -+■ 3i)(a's _ (,2) _,_ ( j _^ 3a)( j'2 _ ji) _ 0. 

Si la grandeur de l'hypocycloïde ^' ne varie pas, la conique S reste de grandeur constante et tourne 
autour de son centre pendant que ^' tourne autour du sien dans la figure mobile. 

Si au contraire c'est l'orientation de 3ê' qui reste invariable, celle des axes de la conique S reste également 
invariable, et nous allons voir que toutes ces coniques S restent inscrites k quatre droites qui forment un 
losange. 

En effet, prenons leurs axes pour axes de coordonnées. Leur équation tangenticlle sera 

a'-v- ■+■ b'V =^ 10- 

, a — b 
ou, en posant / ^= —7 — 2—. 

( "^ \'(u--hv-) — ic-+X[(3a-l-6)i«'- — (a + 36)c-] = 0, 
équation des coniques d'un faisceau tangentiel. 1,'une de ces coniques (pour >. = 0) est le cercle 

une autre (pour /. infini) est 

{Za -h b it- — (a + 3b)v- = 0, 
équation d'un système de deux points à l'infini. 

[.es droites qui coupent rhypocycloïde K^o sous un angle donné V enveloppent une hypocycloïde 3^, sem- 
blable et concentrique. Tout ce que nous venons de dire s'applique donc à ces hypijcyclo'ides Jfgv, et en particu- 
lier à la développée, dont les caractéristiques sont 6 = ■;;, m ^ 3. 

D'une façon générale, les caractéristiques des hypocyclo'ides ^v sont données par 

m- — cos- V -h 9 siii-V, tg [0 + 3V; = 3 tg V. 

Nous ne donnerons pas le détail du calcul facile qui amène à ces équations. Elles permettraient d'étudier 
les variations de la conique S en fonction de celles de rhypocyclo'i'de Jfiv. 

Note. — Nous énoncerons, sans les démontrer, les propriétés suivantes de la ligure: 
L'hypocycloïde Jfjo considérée coupe l'ellipse donnée en huit points dont six sont confondus deux à deux ; 
les deux derniers sont distincts ; les valeurs de t sont constantes et données par l'équation 

(a -+- b)t' + 2(a — *)«-(- (a-hb) — 0, 
la droite qui les joint enveloppe une courbe de la quatrième classe. Son équation peut être mise sous la forme 

6a; cos o -I- au sin o — a6 = -7— cos 2o — 2a6( t-\ • 

8 ' \ a-\rb ] 

Cette courbe est homographique k une courbe parallèle k une développée d'ellipse. 

En chacun des deux points considérés, la tangente à l'hypocycloïde est parallèle k une droite fixe. Les deux 

directions ainsi définies sont données par 

— ± -^ = 0. 

D'une façon générale, le lieu des points d'une quelconque des hypocycloides ^io, Ji^' ou ^(iy on la tangente est 
parallèle à une direction donnée est une conique concentrique ù la proposée. 

La démonstration de ce qui précède se d(>dnit sans difficulté des équations que nous avons obtenues. 

L. BICKART. 



1687. - Soil le paraholoide P 1- ^^ ii = 0. 

P H 

i" On prendsur lui un poit}t M cariahte sur la parabole principale du plan des zx. 'froucer les centres 
de courbure principaux en M. Trovver leurs lieux et déterminer les points comnitins à ces deux courbes ; on 
en discutera la réalité. 

2° L'une de ces deux courbes du plan rf»'.? z.r est une parabole. On vérifiera qu'elle est ta polaire réci- 
proque de la parabole principale du paruboloide P par rapport à sa parabole focale. 



lâl 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



3° On prend sur le paraboloïde P un point M quelconque. Calculer les rayons de courbure principaux 
en ce point. Démontrer que les centres de courbure principaux sont les pôles du plan tangent en M au para- 
boloïde P par rapport aux deur paraboloïdes qui lui sont komo focaux et qui passent en .M. 

i. L'une des sections normales principales en M est la parabole du plan des zt. Le centre de 
courbure correspondant esl le centre de courbure C, de cette parabole. 

L'autre section principale est celle parallèle à oy et passant par la nor- 
male MC,. Pour avoir le centre de courbure en M à cette section, appliquons 
le théorème de Meusnier. Prenons une section passant par la tangente en M 
qui est parallèle à oy ; la plus simple est celle qui est parallèle au plan yoz. 
Celte section est une parabole égale à la parabole du plan des ;/;, n'en diffé- 
rant que par translation. Donc le centre de courbure est en ■( tel que 
M-; = q. Le point C, de MC,, dont la projection sur .My est en --, est le 
second centre de courbure principal en >L 

Cherchons les lieux des points Ci et C,. Le point C, décrit la développée 




de la parabole x- — ipz = 0. 



ou, en remplaçant : par _^— , 



soient [x, z) les coordonnées de M. La normale en M s'écrit 

(X -i)p-h(Z — :)r = 



p[\ — x)-^x(z-^) = 



ou encore 



2pjr(Z - 



■•àp'-X = 0. 



La développée esl donc 

(1) - 

Les coordonnées du point C^ sont 



~p\- = 8('/. — py. 



\ = 



Son lieu est donc, on portant x et : dans la relation i- —■2/3; = 0. 

(2) p\' =^iip-qy-(Z-^l). 

Remarquons, ce qui est évident géométriquement, que si le paraboloïde est de révolution, c'est-à- 
dire si p = ?, le lieu du point Co est l'axe de révolution. 

Cherchons les points communs aux courbes (1) et (à). Il y en a 6. Ils sont deux à deux symétriques 
par rapport à o:. Cherchons leurs : qui sont racines de l'équation 
8(Z - pj' 



= ^p-q)HZ -q) 



4(Z — pY — Ti{p — q)\V. -q)= 0. 



.Nous allons discuter les solutions. Nous avons supposé le paraboloïde elliptique, donc p et 9 posi- 
tifs. Toute racine de l'équation en : donnera deux points réels si elle est supérieure à p, deux points 
imaginaires si elle lui esl inférieure. 

Posons Z = p -(- "■ L'équation deviendra 



--T^P- 



■ (p- qy = o. 



Le discriminant de cette équation est nul. Elle a donc une racine double qu'on obtient en la consi- 
dérant comme racine de la dérivée prise par rapport à la variable d'homogénéité. Elle est donc 

Comme la somme des trois racines en u est nulle, la racine simple est .'t(p — q). 
Les deux courbes sont donc tiingentes en deux points et se coupent on deux autres points. 
Si p > </, ce sont les points à tangentes différentes qui sont réels ; si p < </ ce sont les points de 



GEOMETMIE ANALYTIQUE 125 



Une remarque inléressante est que les points C, et C, peuvent être confondus soit en appartenant 
à la même normale — alors le point M est un ombilic — soit en appartenant à deux normales différentes. 
On pourrait facilement, en se plaçant à ce point de vue, rechercher de quelle sorte sont les points 
d'interseclion que nous avons obtenu = . 

2. Cherchons d'abord l'équation générale des paraboloïdes homofocaux au paraboloide donné. 
L'équation tans:entielle de ce paraboloide est 

pu'^ -i-qv- — 2tvr = 0. 
L'équation cherchée est donc, eu coordonnées tangonliellos, 

{p -h A)ii- H- (q ^l)v- -h )./(•- — iirr = 0. 
La focale du plan des ;.i' s'obtient en faisant X = — q. On obtient ainsi 

(p _ q)H^ — qi,}^ — tin- = 0. 
Il s'agit de vérilitM- que par rapport à cette conique directrice, les deux paraboles x- — ipz = 
et px- = 2(p — q)-{z — q) sont polaires réciproques. 

Pour cela, partons d'une tangente .c = mz -+- -^ — à la première parabole. Son pôle par rapport 

à la parabole directrice est, en coordonnées homogènes, 

-(p—q), 

donc c'est le point ( x = -, ; = ^ -t- ' 




(p- 
La vérification est failo. 

3. Les rayons de courbure principaux on un puiiU quelconque du paraboloide s'obtiennent par la 
méthode classique. Soient a, ^, y les cosinus directeurs de la tangente à une section normale du para- 
boloide, ï'j ^', '/ les cosinus directeurs de la normale principale qui sont ceux de la normale et sont 

par suite proportionnels à —5 ^— . — I. On a 
p q 

p q 

ou, en différentiani, d-r = — ■ i/x + — t/â -1 + -^ — — . 

P 'l ' l' 1 

Appelons ds et da les différentielles des arcs de la courbe et de son indicatrice sphérique. On aura 
(/y X dx y di ds f ol dx ^ (/// '1 

rfî p rfi 7 iIg dG L /' t'»' '/ ds J 



OU bien 
Or 

Donc, on peut écrire 



'/ 



421. il]. 



1. • ^1+4+11 

7 p- 1 



s/ 



>r 



p' q- _ , P 



K p q a^ + p-^v. ^..^a^^/ffl^^ 

L'étude de la variation du rayon de courbure pour une section normale variable est donc ramenée 



126 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



à la variation de la fraction rationnelle dont les termes sont du second degré, par rapport à la variable 

— m. 

1 

It 

Poi?ons 



Nnns aurons à chercher lo maximum et le minimum de 

X w \' 

1 -H m2 ^ -m ^-) 

,^ ^ P <i__ 

■"^ 1 7/1- 



P 

Ecrivons pour cela que l'équation du second degré 

_ ^ _^ ^ _ ±S\ ^ .„, , 

V~^ g- 7 / "'" pg ' p- P 
a une racine double. Nous obtenons 






jj-<j- \ p- ,, \ q- q I 



ou bien, après développement, en tenant compte dt^ la relation i = 2ï, 

P 9 

(a) r — :jL'2:-hp-hç)4--^ -(-^?^-^P7 = U. 

Les rayons de courbure principaux sont donc obtenus. 

Occupons-nous maintenant des pôles du plan tangent en M par rapport aux paraboloïdes lionio- 
focaux au paraboloïde donné et passant en M. 

L'équation ponctuelle des paraboloïdes 

(p H- X)u2 +(q -\- ),)u2 -H lii--^ — 'iirr = 

s'obtient de suite par les relations 

a- y z 1 : -I- X 

(p -+-/■)« i'/ + X)u '/ir — r — w ■ — )• 

Elle est 

CO ^\ +-^-t>: — X = n. 

/J -h A 9 -)- X 

Par un point du plan, il passe trois de ces paraboloïdes. Par le point M, il en |)asse deux en dehors 

du paraboloïde proposé. Le plan langent en .M à ce dernier paraboloïde a pour équation 

\i- Y-/ . _ 

p ^ q 

Le pôle de ce plan par rapport aux deux premiers paraboloïdes est donné par les équations 

.\ Y Z . 



/' 7 

d'oii on tire 

X — X Y — V Z — : 



= X, 



X y — 1 

/' '/ 

X étant l'une ou l'autre des racines non nulles do ri'i|uation (4). Nous vérifions ainsi que ces pôles sont 
<*{ir la normale eu M au paraboloïde proposé, l'i une distance d comptée avec son signe sur la demi- 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 15:7 



normale — i — ^ — 1 et donnée par 

X = 



V y qi 

Le calcul se trouve ainsi ramené puisque nous avons trouvé 

R étant compté positivement sur la demi-normale î '- — . +1, à vérilier que les équations 

p q 

(3) et (4j en [x et > ont leurs racines égales et de signes contraires, ce qui est prosque immédiat. 
Bonnes solutions : MM. L. Sire, à Lyon : Bkos, à AIbi ; J.-D. Dlfaut, à Poitiers: H. Jauois, à .Nantes. 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1766. — On donne la fonction y = e 
d"y 






W. Mérigot, à Paris. 



1767. On considère nn cercle, deux diamètres rectangulaires lises de ce cercle et, sur chacun d'eux, im 
point, A et B. 

1° Trouver l'équation générale des coniques inscrites dans le quadrilatère formé par les tangentes au cercle 
issues des points A et B, le lieu de leurs centres et le lieu des points du pl;in où se coupent deux coniques 
orthogonales en ce point. 

2° Oans le faisceau ainsi furuié il y a une pirabole. Enveloppe de l'axe, de la tangente au sommet et lieu 
du sommet quand le point B varie sur le diamètre lise qui le porte. 

3° Dans les mêmes conditions, trouver le lieu des pieds des normales abaissées de l'origine sur ces para- 
boles et le lieu du centre du cercle passant aux pieds de ces normales. 

E. H. 



DEUXIÈME PARTIE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1685. — Soit une circonférence de diamètre AB = -IW et la tangente eu B ; par un point mobile sur 
la circonférence. M, on mène la tangente qui rencontre la première tangente en I. 

1° Construire le lieu du centre de gravité du triangle MIB. 

2° Démontrer que les droiies qui joignent aux points d'inflexion de la courbe forment un carré avec 
les tangentes en ces points. 



128 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



3° Calculer l'aire comprise entre la courbe cl le cercle et démontrer que l'aire comprise entre la cou 'be 
et l'asymptote est égale nu — de celle du cercle. 

1'^ En posant xUÏ = w, et en désignant par G le centre de gravité du triangle MIB, on voit de 

suite que 




3 = OG = OK -+- KG = OK -i- 


Kl . 


d'autre part, 




OK = Rcosto, KF = 01 


-OK 






COS 10 




donc 




, , ^ R 1 -f- d COS- to 





Telle est l'équaiion du lieu en coordonnées polaires. 
En coordonnées cartésiennes, ce lieu a pour équation 
(2) 3x'(a;2 +1/2) _ R{3x'-+y'') = U. 

On voit donc que ce lieu est une cubique circulaire, symé- 
trique par rapport à Ox, ayant un point double isolé à l'origine, 

et une asymptote parallèle à Oy ; celle-ci a pour équation 



3 



D'ailleurs, on a 



3x'{x — R) 
R-3x 



et ceci montre que x doit être compris entre — et R. La forme de la courbe est dès lors évidente. 

Pour achever de la placer par rapport au cercle, étudions les variations de p. Nous avons successi- 
vement 

-)■ ■ 

OSCJ / 



2 ces u 



3 \ cos< 

R/ sinu) \ , Rsinioll — 2cos- (o) 

p = -— ( — 2 sm to H — , p = ; 

■^ 3 V cos^o/ 3CUS-W 

En se bornant à étudier la portion de la courbe qui est au-dessus de Ox, c'est-à-dire eu faisant 
varier w de à -^^ i on voit que p décroît depuis (o = jusqu'à "> = -- et ensuite que p croît. Le 
point G est donc d'abord intérieur au cercle, puis extérieur. Il est le plus près du point pour m— —■ 
Alors p = ^^^! — La courbe rencontre le cercle pour :- = R, c'est-à-lirc 

'2 COS- 10 — 3 COS (0 + 1=0, 

1 - 

ce qui donne la solution évidente cos(o=i, puis cosio = — , w = -—■ 

2» Soit L le point le plus rapproché du point 0, OL est la promière bissectrice do l'angle des axes, 
la tangente en L est parallèle à la seconde bissectrice ; donc la figure formée par OL, la tangente en L 
et les éléments symétriques par rapport à Ox est un carré. Il nous suflil donc de montrer justement 
que les points d'inflexion sont L et L'. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 129 



Or la tangente en L a pour é(iuation 

p COS I <u — j = 



en la coupant par la courbe proposée, on a 

2 COS- m -^ 1 



-(ces to -H sin lo) — 4 = 0, 



COS w 

ou, en posant tg lo = (, 

{t — \y = 0, 
Cette droite coupe donc la courbe en trois points confondus avec L, ce qui prouve que ce point est 
un point d'inflexion. 

3° L'aire comprise entre la courbe et le cercle est éif.ib^ à 
celle qui est comprise entre la courbe et l'asymptote est 

--IL-).,,.. 

9 COS- 10 .' 
Calculons d'abord la seconde ; nous avons 



R- iR- , . 2R'- ., , 

(COS- M -h II = —-— I 3 + COS 2'u) 



9 COS- (o 'j 9 

l'intégrale indéfinie est 

2R- / sin 2cu 

—(3- + -^- 

et, en prenant pour limites et — nous oblenons 

2H-^ :^- _ -R- 
i) "2~ ~ 3 
ce qui démontre la propriété annoncée. 
La première intéfçrale est 

W- n2cos^o.-4-l)2_9cos5w R-^ r , .. 11= r rfu 



r(2cos^o.-4- 1,2-9 cos^w , R-^ r, , .. J II' r 

I ai», ou -—— I (4cos-(o — .}]do> -r — / - 

J cos-w 9 J y J ( 

ou -^ I (2 COS 2w — 3)(fto -i tgi>). 



finalement 



— isin2« — dw)^— t^ 



En prenant les limites 0, -^i nous avons de suite 






En valeur absolue, cette aire est donc 

R i- _ hl 
9 V" 2 

Bonnes solutions: MM. R. Bocvaist ; Ch. Guilikrmr : Kebocillat, à Villerseiel ; Bros ; L. Siiiov, à Chàlons : G. Foccby, 
;i Roanne ; H. Janois, à Nantes; H. .Mocssi.v, à Saint-Etienne ; G. Lach, à Denain ; .Moz2ico.\*cci, à Nemours; BonLLOv, a 
Auch ; G. DiNAY. 



130 PHYSIQUE 



PHYSIQUE 



1678. — Un calorimètre de capacité calorifique négligeable contient une disfolution de m = 175 
grammes de sel marin dans M = 500 grammes d'eau, dont ta température initiale est I = iâ° . On y 
dirige de la vapeur d'eau bouillante à T — 100° et sous la pression normale, et on suppose le calorimètre 
soustrait à toute autre cause d'échange de chaleur avec le milieu ambiant. 

Expliquer d'abord saiis calculs comment variera la température dans le calorimètre en supposant qu'on 
puisse prolonger l'expérience aussi longtemps qu'on le voudra. 

Calculer ensuite la température maximum i/u'il sera possible d'obtenir et le poids a de vapeur d'eau 
qu'on aura alors employé. 

On admettra que la capacité calorifique de l'eau salée est la somme de la capacité calorifique de l'eau 
pure et de la capacité calorifique du sel dent la chaleur spécifique est y = 0,2-i. 

On prendra pour chaleur de condensation de la vapeur d'eau l = 537. 

On supposera la variation du point d'ébullition de Veau salée proportionnelle à la variation de la pro- 
portion de sel, et de 0°,2 par gramme dissous dans 100 ,7/-. d'eau. 

I.a condensation de la vapeur dans l'eau salée produit une élévalion de température. En même temps 
la dilution de la dissolution détermine un abaissement du point d"ébullition. 11 arrivera ainsi un moiiienl 
où la température sera égale au point d'ébullition correspondant à la concentration alors réalisée; ce 
sera la température- maximum 6, nécessairement supérieure à 100°. 

La vapeur continuant d'arriver, elle ne peut plus se condenser toute entière, car la température 
deviendrait alors supérieure au point d'ébullition, ce qui n'est pas possible. Elle ne peut pas non plus 
traverser toute entière le liquide sans se condenser mais en passant de 100° à 0, car il en résulterait un 
abaissement de température sans changement de concentration, la température redeviendrait ainsi infé- 
rieure au point d'ébullition ce qui est incompatible avec la non-condensation. Donc la vapeur se condense 
partiellement, en petite quantité, la dilution augmentant et la température sabaissant lentement de telle 
sorte qu'à chaque instant la vapeur non condensée soit en équilibre avec le liquide. Par exemple, au 
début de cette phase, la fraction x condensée est telle que la quantité de chaleur o37x porte de 100 à 

'' X d'eau et 1 — x de vapeur; on trouve x = ——^ • Puis la fraction condensée ira en diminuant, 

1 jb 

à mesure que la température se rapprochera indéfiniment de 100". 

Ceci dit, calculons 0. 

La capacité calorifique du sel marin est 175x0,22 = 38,3. et celle du mélange initial 
500 -H 38,5 = 538,5. 

Ecrivons que la chaleur de condensation du poids a de vapeur, diminuée de la chaleur nécessaire 

pour élever l'eau condensée de 100 à 6 a porté de 15 à le mélange primitif: 

a:j7 „ _ (0 — lUOja = 538,3 (0 — 13 . 

8077,5 -t- 637 a 

d'où l'on tire " = — zrrrrr. 

o.^o.o -+- a 

D'autre part, après l'addition de a grammes d'eau, le point d'ihullition du mélange est devenu 

,oo-.lîii^^^^-^ = ioo- '''' 



5Uil-f-« itOO ^ a 

Rgalons cette expression à « i-l nous trouv.ions, pour déterminer a, l'équation du second degré 
537a=-t-2l92-'7,5« -24771000 = 0. 



ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 131 



[,a racine négative est a rejeti r ; la racine positive est 

a =92,1. 

On en déduit, a l'aide de la seconde expression de 'i, 

3S00 

= 100 H = 105°,91 . 

o02, 1 



BRIZARD. 



ECOLE CENTRALE (1908) 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX {Pin.) 

4549. — Faire tourner un point autour, d'un axe vertical de manière à l'amener dans un plan donné. 

4550. — Faire tourner unipoint autour d'un axe vertical, jusqu'à ce qu'il soit à une distance donnée d'un plan donné. 

4551. — Sur une horizontale d'un plan, on prend un segment ab qui est le côté d'un triangle équilatéral situé dans 
le plan : déterminer le troisième sommet. 

4552. — On donne un plan par son écliPlle de pente; deux points en dehors du plan sont deux sommets d'un 
triangle équilatéral ; trouver le troisième sommet de ce triangle, sachant ([u'il est situé dans le plan donné. 

4553. — On demande de construire un carré situé dans un plan donné, connaissant le centre du carré, ainsi que 
la longueur et la pente de l'une des diagonales. 

4554. — On donne dans un plan le centre d'un triangle équilatéral et la longueur du oùlé ; ce triangle a de plus un 
cùté horizontal. Construire le tétraèdre régulier qui a ce Iriangle comme base. 

4555. — Construire un tétraèdre régulier dont la base est située dans un plan donné par sa ligne de pente, et dont un 
côté est le segment ab d'une horizontale du plan. 

4556. — Projections d'une pyramide quadrangulaire convexe. — Trouver un plan coupant cette pyramide suivant un 
parallélogramme. 

4557. — Représenter un cube suspendu par sa diagonale verticale et ayant quatre arêtes latérales parallèles au plan 
vertical. 

4558. — On donne les projections d'une arête d'un cube et la direction de la projection horizontale d'une arête con- 
tigue ; déterminer les projections du cube. 

4559. — On donne les projections dune arête d'un parallélépipède rectangle, la projection horizontale d'une arête 
contiguè et la longueur de la troisième arête. — Construire le parallélépipède. 

4560. — A, li, C étant les traces horizontales d'un trièdre trireclangle, déterminer le sommet. 

4561. — On donne un trièdre SABC ; mener par un point .M de l'une des arêtes un plan coupant le trièdre suivant 
un triangle de périmètre minimum. 

4562. — Par un point d'une arête d'une pyramide triangulaire faire passer un plan coupant la pyramide suivant un 
triangle isocèle. — Trouver sur la pyramide le plus court chemin d'uri point à un autre. 

4563. — Etant donnée une face d'un dodécaèdre régulier dans le plan horizontal, trouver les projections de ce dodé- 
caèdre. 

4564. — Ombre d un triangle horizontal sur une pyramide triangulaire reposant sur le plan horizontal. 

4565. — Un point d'un plan est le centre d'un cercle de rayon donné ; déterminer les axes de chaque projection de ce 
cercle. Mener à la courbe une tangente de profjl. 

4566. — Réduire un angle à l'horizon. 

4567. — Angle de deux plans donnés parleurs échelles de pente. 

4568. — l'onnaissant les traces horizontales de deux droites, leurs projections horizontales et leur angle, trouver les 
projections verticales. 

4569. — Mener par un point d'un plan une droite de pente donnée. 

4570. — .Mener par un point donné un plan également incliné sur les plans de projection. 

4571 . — Mener par un point donné un plan faisant le même angle avec les deux plans de projeclion et dont les traces 
fassent entre elles (dans l'espace) un angle donné. 

4572.— Inscrire entre les traces d'un plan une droite de longueur donnée faisant avec le plan horizontal un angle 
donné. 



132 ECOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 

4573. — Trouver une droite d'un plan qui fasse a\ec le plnn \erlical un angle donné et dont la distance des traces soit 
donnée. 

4574. — Mener par un point un plan qui coupe les trois faces d'un trièdre sous le même angle. 

4575. — On donne trois droites et on demande de trouver un plan faisant avec ces trois droites des angles égaux. 

4576. — Jlener par un point une droite faisant avec le plan horizontal un angle donné et telle que la cote de sa trace 
verticale soit égale à deux fois i'éloignement de sa trace horizontale. 

4577. — On donne la trace horizontale d'un plan et l'angle qu'il fait avec xy: trouver la trace verticale. 

4578. — Trouver sur une droite donnée les points tels que la somme du carré de la cote et du carré de I'éloignement 
soit égale à k'. 

4579. — Déterminer dans un plan donné par ses traces, le lieu des points tels que la somme des carrés de la cote et 
de I'éloignement soit égale a k-. 

4580. — .Mener une droite rencontrant deux droites données et faisant avec elles deux angles donnés. 

4581. — Trouver dans un plan les droites faisant avec .r.v un angle donné. 

4582. — Mener une droite dans un plan faisant avec le plan vertical un angle donné et h une distance donnée de xy. 

4583. — Déterminer une droite passant par un point donné, à une distance a d'une droite donnée et à une distance 6 
d'un point donné. 

4584. — On donne un plan par ses traces et deux verticales. — On demande de trouver une droite du plan qui soit à 
une distance i de la première et à une distance p de la seconde. 

4585. — Déterminer une droite passant à des distances données de deux droites données et parallèle à un 
plan donné. 

4586. — Mener par un point des plans faisant l'nngle a avec un plan de bout et l'angle p avec le plan horizontal. 

4587. — Trouver sur le plan vertical des points à une distance a d'un point A et à une distance ^ d'un autre point B. 
4588 — Contours apparents d'un cône ayant pour dirtctrice un cercle dans un plan de bout. 

4589. — Contours apparents d'un cùne de sommet donné avant comme base un cercle situé dans un plan parallèle h 
xy. 

4590. — Contours apparents d'un cône ayaiit pour sommet un des sommets d'un tétraèdre régulier et pour directrice 
la circonférence inscrite dans la face opposée. 

4591. — Contours apparents d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à une direction donnée et qui a pour 
directrice un corele .--itué dans un plan donné par son échelle de pente. 

4592. — On donne dans le plan de deux droites parallèles un cercle par son centre et son rayon. — Contours appa- 
rents du cylindre ajant ce cercle pour directrice et ses génératrices paiallèlcs à une direction donnée. 

4593. — Contours apparents d'un cône de révolution de sommet s, s', dont l'axe est perpendiculaire à un plan paral- 
lèle à la ligne de terre et dont on donne en outre une génératrice. 

4594. — Contours apparents d'un cône de révolution, tangent aux deux plans de projection, connaissant la génératrice 
de contact avec le plan horizontal. 

4595. — On donne deux cônes droits ayant comme bases deux cercles l'un dans le plan horizontal, l'autre dans le plan 
vertical, et de hauteur égale au diamètre du cercle de base. Mener par un point donné une droite tangente aux 
deux cônes. 

4596. — .Mme T un plan langent parallèle à luie direction donnée à un cône de révolution d'axe quelconque, dont on 
donne l'axe, le sommet ainsi que l'angle au sommet. 

4597. — rian tangent commun ?i une sphère et à un cône de révolution donné par son axe (quelconque), son sommet 
et son angle au sommet. 

4598. — .Mener par un point s, s' un plan faisant des angles donnés avec le plan PaP' et un plan vertical QiQ'. — 
Cas où le plan l'iP' serait de bout. 

4509. — Mener à un cône un plan tangent parallèle à un plan donné. 

4600. — On (loime un cercle dans le plan vertical, directrice d'un cylindre à génératrices horizontales ; puis un cercle 
dans le plan horizontal, directrice d'un autre cylindre dont on donne la projection horizontale des génératrices. Déterminer 
leur projection verticale de manière que les deux cylindres aient un plan tangent commun. 

4601. — Constniiri' un cylindre de révolution tangent au plan horizontal et à un autre cylindre de révolution donné. 

4602. — On donne un cylindre de révolution d'axe quelconque et de rayon r. Placer sous ce cylindre un autre cylindre 
de révolution tangent au premier et au plan horizontal et dont les géiiératiires soient parallèles à une horizontale donnée. 

^603. — .Normales communes à deux cônes de sommet» s, s', I, t' ayant pour bases deux cercles donnés dans un 
mi'-uie plan de profd. 

4604. — Normales communes à un cône et à un cylinilre lou à deux cylindres) dont les bases sont deux cercles donnés 
ilans un niénic plan de hout ; — dans un plan quelconque. 

4605. — On donne dans un plan un point o, <i', rentre li'iui cercle de layon donné etsitué dans le plan ; ce cercle est 
la directrice duii cône ,le sommet .<, s'. Ombres h 15" de ce cùne. 

4606. — Ombres d'un cône ayant son sommet sur xy cl pour base un cercle donné dans un plan horizontal. 

4607. — Dans un plan de bout, on trace un cercle, directrice d'un c;lindre dont les génératrices sont perpendiculaires 
à ce plan de bout — Ombres de ce cylindre quand il est éclairé par des ravons lumineux dont les projections font un angle 
de 45° avec la ligne de terre. 



ECOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



133 




4608. — Ombres «l'un cône île révolution dont lei base est il.iis un (jlan Je piulil, éclairé par des rayons kimiiieiis 
parallèles à nne direction donnée. 

4009. — Ombre portée par une sphère sur le plan horizontal, le point lumineux s, .s' étant dans le plan tangent 
horizontal supérieur .î la sphère. 

4010. — Mener par un point d'un plan de bout les tangentes à la section d'un cône quelconque par ce plan. 
4*ill. — On considère un cube adossé aux deux plans de projection et la sphère inscrite. — Intersection du cube 

avec le cône de révolution ayant pour sommet S le point de contact de la sphère avec le plan borizonlal, pour axe la 
droite S.4 joignant le point S à un sommet A de la face supérieure du cube, ce cône étant d'ailleurs tangent au plan 
horizontal. 

4612. — Section d'un cône de révolution par un plan de bout. — Développement de la section. — langente en un 
point de la développée. 

4613. — l'oints d'inflexion de la développée d'une courbe tracée sur un cylindre. 

4614. — On enroule le secteur OMN de manière à former un cône de révolution à axe vertical. — On demande les 
projections du cône et celles de la courbe transformée de la droite AB. 

4615. — Inscrire une circonférence dans un secteur circulaire. — On enroule ce secteur 
de façon à obtenir un cône ; on demande de représenter sur ce cône la transformée de la circon- 
férence précédente. 

4616. — On inscrit une ellipse dans un rectangle ; on enroule ce rectangle de façon à 
obtenir un cylindre de révolution à axe Tertical. On demande les projections d'un point de la 
courbe transformée de l'ellipse et de la tangente en ce point. 

4617. — On donne un axe vertical et un cercle de front tournant autour de cet axe ; connaissant la projection ver- 
ticale d'un point de la surface, trouver l'autre projection et déterminer le plan tangent en ce point. 

4618. — Etant donnée la projection verticale d'un point d'une suxface de révolulion à axe de front dont on donne une 
génératrice quelconque, trouver l'autre projection ; plan tangent en ce point. 

4619. — Déterminer la méridienne d'une surface de révolution à axe Tertical engendrée par une ellipse située dans un 
plan de bout et se projetant suiv.int un cercle ; le pied de l'axe vertical se trouve au point du cercle le plus près du plan 
vertical. 

4620. — Etant donnée une surface de révolution à axe vertical, trouver sur un parallèle donné, ou sur un méridien 
donné un point de la courbe de contact du cône circonscrit de sommet s, s'; — ou du cylindre circonscrit parallèle à une 
direction donnée. 

■4621. — Mener par une droite donnée un plan tangent à un paraboloide de révolution d'axe vertical. 

4622. — Section plane d'un ellipsoïde de révolution !i axe vertical. — Trouver le sommet du cône qui toucherait la 
surface tout le long de cette courbe plane. 

4623. — On donne une sphère de centre o, o' . — Couper cette sphère par un plan tel que la section soit un cercle 
de rayon donné. 

4624. — Faire passer par la ligne de terre un plan coupant une sphère suivant un cercle de rayon donné. 

4625. — Intersection de la surface engendrée par un cercle tournant autour d'un axe horizontal, avec un plan donné 
par sa trace horizontale et faisant avec le plan horizontal un angle donné. 

4626. — Points de rencontre d'une droite avec un ellipsoïde de révolution à axe vertical. 

4627. — Intersection d'une droite et d'un paraboloide de révolution à axe vertical. 

4628. — Intersection d'une droite et d'un paraboloide de révolution ayant son axe de front . 

4629. — Intersection d'uiie droite et d'un hyperboloide de révolution à axe vertical, dans le cas où la droite rencontre 
l'axe. 

4630. — Intersection d'une droite et d'un tore à axe vertical. 

4631. — Intersection de deux cylindres ayant comme directrices deux cercles dans le plan horizontal. — Points limi- 
tes ; points à tangente horizontale ; points doubles en projection. 

4632. — Intersection de deux cônes ayant pour bases dans le plan horizontal deux cercles concentriques et pour 
sommets deux points s,s', t,l' sur une même verticale. 

4633. — Intersection de deux cônes ayant pour directrices deux cercles concentriques dans 
le plan horizontal et pour sommets les points s,s', t,l'.— Étudier la na- y 
ture de la projection verticale de l'intersection. ( 

4634. — Intersection de deux cônes ayant pour bases les deux I 
cercles ci-dessus dans le plan horizontal et pour sommets les points | 
s.s', t,t' dans un même plan horizontal. 

4635. — On donne un cercle dans le plan horizontal. — Intersec- 
tion de deux cônes ayant ce cercle pour base et dont les sommets 
sont les points s, s', t,l' projetés horizontalement aux extrémités du 
diamètre du cercle parallèle à xy. 

4636. — Intersection de deux cylindres ayant même directrice 
dans un plan de front ; l'un a ses génératrices horizontales, l'autre a 
ses génératrices parallèles à une direction donnée. 





134 ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



4637. — Intersection de deux cônes ayant pour sommets les points s,s\ t,t' et pour directrices deux cercles 
situés dans un même plan de bout 

4638. — Intersection du cône de révolution i,i' et du cylindre hyperbolique vertical, ayant pour directrice une 
hyperbole équilatère dont les asymptotes sont à 4S° sur xy . 

4539 Intersection d'un cylindre de révolution à axe vertical et d'un cône ayant son sommet s,s' sur l'axe du cylin- 
dre et comme base l'hyperbole tracée dans le plan horizontal. — Forme de la projection verticale. 

4640. — Intersection du cône aynnt pour sommet .«,s' et pour directrice le cercle dans le plan horizontal avec le 
cylindre vertical ayant pour directrice l'hyperbole équilatère bitargente et concentrique au cercle. 

4g4^ On donne un cône de révolution à axe vertical ; dans la section principale du cône on inscrit une circonfé- 
rence qui est la directrice d'un cylindre de bout. Intersection des deux surfaces. 

4642. — Intersection d'un cône de révolution à ase vertical et dun cylindre de révolution ayant son axe dans le même 
plan de front que celui du cylindre. — Étudier la projection verticale de l'intersection. 

4g43 Intersection d'un cône de révolution à axe vertical avec un cylindre de révolution à axe de front. 

4g44 On donne un cylindre de révolution ayant son axe parallèle à xy et langent au plan horizontal et un cône 

de révolution dont l'axe est horizontal et dont l'angle au sommet est donné. Intersection. 

4g45, Contours apparents d'un cône de révolution tangent au plan horizontal et ayant comme axe une droite du 

plan vertical. — Intersection de ce cône avec un cylindre de révolution horizontal^ tangent aussi au plan horizonliil. 

4g4(i_ Intersection d'un cône de révolution et d'un cjlindre a^ant ses génératrices de front et faisant avec le plan 

horizontal le même angle que celles du cône. 

4g47. Intersection d'un cylindre de révolution parallèle à xy et d'un cône de révolution à axe horizontal ayant son 

sommet sur le cylindre. 

4g4fj. _ Intersection d'un cylindre circonscrit à une sphère et parallèle à xy avec un autre cOindre dont les généra- 
trices sont parallèles a une direction donnée et qui a pour directrice la section de la sphère par le plan déterminé par son 
centre et la ligne de terre. 

4g49 Ombre d'un cercle situé dans un plan horizontal sur un cône de révolution à axe vertical, les rayons lumi- 
neux étant parallèles à une direction donnée. 

4g50. Intersection de deux cylindres ayant leurs bases (circulaires) dans deux plans de bout. 

4g5l On considère deux cônes; l'un de sommet s, s' a pour directrice dans le plan de bout PiQ' une courbe pro- 
jetée horizontalement suivant un cercle, l'autre de sommet (, (' a pour directrice dans le plan de bout PaK' une courbe projetée 
horizontalement suivant un autre cercle. — Intersection des deux cônes. 

4g52. On donne un plan par sa trace P et son angle a avec le plan horizontal, et dans ce plan un cercle tangent à 

P • on donne un second plan pai- sa trace Q et son angle ji avec le plan horizontal, et dans ce plan une courbe qui se pro- 
jette suivant un cercle. — Intersection de deux cyhndres ayant ces deux courbes pour directrices et leurs génératrices paral- 
lèles à deux directions données. 

4653. — On donne comme base d'un cône un cercle de centre o. o' dans le plan vertical, le sommet étant un point s, s' 
du plan horizontal dans le plan de profll du point o, o' ; un second cône a pour base un cercle de centre c, c' du plan hori- 
zontal et pour sommet un point I. t' du plan vertical, les points c, <.', «, l' étant également dans le plan de profll du point 
0, o'. — Intersection de ces deux cônes. 

4654. — On donne un plan K, K' parallèle .^ xy, et ab. a'b' une droite de ce plan. On considère le cylindre ayant 
comme directrice ilans le plan vertical un cercle 0' tangent a 1!' au point n' et au-dessous de H' et ab, a'b' comme génératrice; 
puis dans un plan de proBl P, P', un cercle tangent au plan KH' ; ce cercle estladirectrice d'un cylindre dont les génératjices 
sont parallèles .i xy. — Intersection des deux cylindres. 

4655. — Le tétraèdre SABC reposant par sa base sur le plan horizontal, intersection du cône ayant pour sommet B 
et pour directrice le cercle inscrit dans la face SAC, avec le cône ayant pour sommet et pour directrice le cercle cir- 
conscrit à la face SAB. 

4656. — Intersection d'un cône ayant pour sommet le sommet A d'un tétraèdre SAliC et pour directrice la circon- 
férence inscrite dans la face SBC avec un cylindre de révolution d'axe SC et de rayon c. 

4657. — On donne un tétraèdre SVBC reposant sur le pinn du tableau par sa base ABC — Intersection du cOne de 
sommet A ayant connue directrice le cercle circonscrit à l,i face SBC avec le cylindre de révolution d'axe SC 
passant par A. 

4658. — On considère un cube, adossé par deux de ses laces aux deux plans de projection, et deux cônes, l'un de 
sommet s, s' ayant pour directrice le cercle inscrit dans la lace de gauche, l'autre de sommet t, t' ayant pour directrice le 
cercle inscrit dans la face opposée. — Intersection de ces ileux cônes. 

46Ô9. — On considère un cube, adossé par deux de ses faces aux deux plans de projection, et deux cylindres, l'un 
a pour axe la droite joignant les centres des faces horizontales du cub^' et pour base la circonférence inscrite dans la face 
inférieure, l'autre a comme axe la droite joignant les centres des faces tie profll et comme base le cercle circonscrit à l'une 
des faces de profll. — Intersection de ces deux cylindres. 

4660. — On consiilèrc un cube adossé aux deux plans de projection : le point s, s' situé sur l'une des arêtes supé- 
rieures du cube est le sommet d'un cône ayant pour directrice le cercle inscrit dans la face opposée ; un cylindre 
de génératrices parallèles a xy d pour directrice le cercle inscrit dans l'une des faces de profll. Intersection du cône 
et du cylindre. 



ÉCOLE CENTRALE (EXAMENS ORAUX, 1908) 



135 





46GI . — On lionne un cube adossé aux ileiit plans de projection ; on considère un cône ayant son sonmot sur la 
ligne de tune et comme base le cercle inscrit ilans la face supérieure, d'autre part le cylindre ayant comme base le cercle 
insciit J.iiis une face de prolil et ses génératrices parullèles à xt). — Intersection des deux surfaces, 

4G62. — On considère un cube adossé aux deux plans de projection et la sphère inscrite ; un cône de révolution a 
g/ pour axe oa, o'a' et est tangent au plan horizontal. — Intersection des deux surfaces. 

4C63. — Etant donné un cône de révolution par son axe et l'angle au sommet, déterminer: 
1° ses contours apparents; 2° son intersection avec une sphère donnée. 

4664. — Intersection d'une sphère et d'un cône de 
révolution ayant son axe dans le plan de front, passant 
par le centre de la sphère et dont l'une des génératrices 
de section par ce plan de front est tangente au contour 
apparent de la sphère. 

1^' 4665. — Intersection de la sphère o, o' avec le cône 

de sommet s. s ayant pour directrice le contour apparent horizontal en pro- 
jet (ion de la sphère. — Vue de proûl de l'intersection. Tangentes au point 
double 

461J0. — Intersection de la sphère c, c' avec le cylindre vertical aviint 
comme directrice le cercle o dont le diamètre est égal au rayon de la 
sphère. 

4G67. — Ombre d'un cercle horizontal sur une sphère, les rayons lumineux venant de gauche à droite, de hiut en bas 
et d'arrière en avant. 

4668. — Ombre de l'écuelle (demi-sphère creuse). 

4669. — Ombres du cône de révolution de sommet s.s' et du cylindre de même axe compris entre deux plans horizon- 

taux a'b' et c'd', le cylindre ayant même rayon que la trace du cône sur le plan 
horizontal. 

4670. — Intersection de deux surfaces de révolution engemlrées par l.i rotation de 
deux cercles autour de deux axes situés dans le plan horizontal et se coupant en o. 

4671. — Intersection de deux tores engendrés l'un par 
le cercle c' tournant autour de la verticale oa, o'a', l'autre 
par le cercle o' autour de l'horizontale ca, c'a' ; les deux 
axes sont dans le même plan de front et o'a = (l'c . 

4672. — Intersection d'une sphère et d'un cylindre 
ayant pour base une ellipse donnée dans le plan d'équateur 
de la sphère. 

467o. — Intersection d'un tore à axe vertical avec un 
cône ayant son sommet sur l'axe du tore, la directrice étant 
la section du tore par le plan de profil qui passe par le 









centre du cercle méridien. 

4674. — Mener à un hyperboloiie de révolution à axe vertical un plan tangent parallèle : 1° i 



une droite donnée 



un plan donné. 

4675. — Intersection d'un hyperboloide de révolution à axe vertical donné par une de ses génératrices principales 
avec une droite rencontrant cette génératrice. 

4676. — Méthode de M. liouché pour trouver l'intersection d'une droite et d'un hyperboloide de révolution. 

4677. — Couper un hyperboloide de révolution par un plan tel que la section soit une ellipse et déterminer les 



sommets. 
4678 



Intersection d'un hyperboloide de révolution à axe vertical et d'une sphère. 

4679. — Intersection d'un hyperboloide de révolution à une nappe et à axe vertical avec un cône ayant son sommet 
sur une génératrice de l'hyperboloide et dont la base sur le plan horizontal contient la trace horizontale de cette généra- 
trice. 

4680. — On considère un hyperboloide de révolution à axe vertical donné par sa méridienne principale et la sphère 
inscrite suivant un parallèle donné. — Intersection de l'hyperboloide avec un cylindre de front circonscrit à cette 
sphère. 

4681 . — On donne un hyperboloide de lévolution à une nappe à axe vertical par sa méridienne principale ; on consi- 
dère au-dessus du centre de l'hyperbole méridienne un cercle bitangent à cette hyperbole ayant son centre sur l'axe non 
transverse de l'hyperbole. Intersection de l'hyperboloide avec la surface engendrée par ce cercle en tournant autour de l'axe 
transverse de l'hyperbole. 

4682. — Intersection d'un hyperboloide de révolution à axe vertical avec une surface de révolution à axe de front 
donnée par une généralrice. 

468'3. — Trace horizontale de la surface engendrée par une droite horizontale s'appuyant sur deux droites données, 
de front. Trouver aussi la trace verticale. 

4684. — Trace horizontale de la surface engendrée par une droile de proDl s'appuyant sur deux droites de front. 



136 



QUESTIONS PROPOSEES 



4685. — Tiiice lioi-izontale de la siii l'ace engendrée par une droite qui s'appuie sur deux droites données dont les 
projections horizontales sont paralliiles et qui reste parallèle à un plan de proûl. 

4686. — Plan tangent en un point du paraboloide In (lerbolique. 

4687. — Plan tangent à un paraboloide hyperbolique par un point donné. 

4688. — Plan tangent à un paraboloide hyperbolique parallèle à une droite donnée. 

4689. — Mener h un paraboloide hyperbolique un plan tangent parallèle à un plan donné. 

4690. — Section plane d'un paraboloide hyperbolique. 

4691. — Intersection d'un cône et d'un parabolo'ide hyperbolique ayant une génératrice commune. 



QUESTIONS PROPOSEES 



1768. 



1" fin considère la fonction 



y = A^) 



Calcu'.er la dérivée n'^ de celte fonction, donner sa valeur pour a; z= i et donner aussi le développement 
de /■(! -t- x) en série. 

2° Etudier les variations de la fonction y, quand .)■ varie de — œ à + ce . 

3° Montrer que de k -H», l'équation y = i\.r) définit une fonction de ;/, a- = f/(i/), continue et 
décroissante. Trouver la dérivée et la fonclion priniitiM' de cette fonction et les exprimer à l'aide de y et 
de 9(y)- 

4° iMème question pour l'intégrale 



g{y)' dy- 



E. H. 



1769. — Le cadre d'une boussole d'inclinaison etaiil dans le méridien mui^nétique. on mesure l'inclinai- 



son 1 pour laquelle on trouve sin I 



On fait osciller l'aiguille ; on trouve 10 oscillations par minute. 



On fait tourner le cadre d'un angle a tel que l'on ait sin « =— • On demande la nouvelle inclinaison appa- 
rente et le nouveau nombre d'oscillations par minute. 



BAR-IS-I>UC. 



UHTrWACQUBT. 



Le Hédacleur-Gémnt : H. VUIBERT. 



19» Année. N" 6. Mars 1909. 

REVUE DE MATIIÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



SUR LES TRAJECTOIRES SOUS U.N ANGLE CONSTANT DE CERTALNES 
FAMILLES DE COURBES 

par M. J. Haag, professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Douai. 



Je me propose d'indiquer dans celte note un certain nombre de problèmes qui se ramènent à des 
quadratures, et dont plusieurs cas particuliers ont été déjà étudiés dans la Revue. 

^ei- Problème. — Trajecloires sous un angle donné d'une famille de courbes (C), se déduisant de l'une 
d'entre elles par des translations rectilignes parallèles. 

Prenons pour axe des a; une parallèle à la direction commune de toutes les translations. Soit r 
l'une quelconque des trajectoires considérées. Si on lui fait subir une translation quelconque parallèle 
à Qx, il est bien clair qu'elle va demeurer dans la famille des courbes r. 

On en conclut que si x = f(y) désigne l'équation d'une courbe r, les autres uurout pour équation 

générale 

X — x^ 4- /■((/), (x„ = c'« arbitraire). 

L'équation ditlérentielle de ces courbes sera donc 

fi^: = f\y)dij; 
autrement dit, les variables seront séparées. 

2* Problème. — Même problème en supposant que les courbes C se déduisent de l'une d'elles par des 
rotations autour d'un point fixe 0. 

Un raisonnement analogue au précèdent montre que les variables seront séparées dans léquation 
du problème si l'on prend des coordonnée.s polaires Me pôle 0. On arrivera à une équation de la forme 

d.o=f[p)dp. 

3" Problème. — Même question eu suppos'inl que les courbes G se déduisent de l'une d'elles par une 

komothétie de centre fixe 0. 

Si l'on prend des coordonnées polaires de pôle 0, on arrivera à une équation de la forme 

d: . ,^ 

— '— = /(<") a(u, 

qui s'intègre encore par une quadratui-e. On pourrait aussi prendre des coordonnées cartésiennes 

d'origine 0. On arriverait alors à une équation homogène en x et ij. qui se raméneiait à la forme 

dx . . , 
= f[Odt, 

X 

en posant ~T ~ '• 

Ceci explique pourquoi les questions 1595 et 1635 de la Revue se ramenaient à des cjuadralures. 



138 MECANIQUE 



Remarque. — Les trois problénios que nous venons d'iudiquer rapidement sont des applications 
jjarticulières d'une théorie très générale due à Sophus Lie; c'est la théorie des groupes de transforma- 
lions, qui permet d'intégrer par des quadratures certaines équations différentielles. Je ne veux pas 
entrer dans les détails de celte théorie. Je me ijornerai à l'appliquer ii la généralisation des trois pro- 
blèmes précédents. 

Supposons que les courbes C soient telles qu'elles se déduisent toutes de l'une d'elles par des 
transformations iT) dépendant d'un paramètre et formant ce qu'on appelle z/n (/j'ou/ie. Ceci veut dire 
que si l'on applique à une courbe G l'une quelconque des transformations (T), puis à la courbe C 
obtenue une autre Iransforinalion (T), on doit pouvoir arriver à la courbe finale C" par une seule trans- 
formation (T). 

Supposons de plus que les transformations (T) conservent les angles. Dans ce cas, les courbes V 
s'obtiendront par une quadrature. On démontre en effet que tout groupe de transformations (ï) satisfaisant 
aux conditions précédentes peut être défini de la manière suivante : 

Soil /■(:) une fonction quelconque de la variable comple.xc :■ = x-{-yi. Séparons la partie réelle 
et la partie imaginaire. Nous aurons 

/■(2) = P(.r, y)-^iQi.x,y), 

V et Q désignant deux fonctions réelles des variables réelles x et y. 

Considérons alors les formules suivantes : 

P(x, y) = P(X, Y) -t--/, 0(x, y) - Q(X, Y), 

(Ml a désigne un paramètre variable. Pour une valeur donnée de «, ces formules définissent évidemment 
une transformation dans le plan. Quand a varie, on obtient visiblement un groupe de transformations. 
Enfin, c'est une propriété connue qu'une telle transformation conserve les angles, ce qui est d'ailleurs 
très facile à démontrer. 

Ceci étant, soit !"„ l'une des trajectoires des courbes C. Si l'on elleclue sur elle une transformation 

(T) quelconque, on retombe sur une autre courbe r. 11 en résulte que, si l'on fait le changement de 

variables 

P(a-, j/) = u, Q{x, y) = v 

et si u = f(v) désigne l'équation de \\, celle de toute courbe r sera de la forme 

u-^a = /'(y), 

où a désigne une constante quelcunque. Par suite l'équation dilférentielle des courbes 1' sera de la forme 

(1) du = y(v) do ; 

autrement dit les rarinhles sei'ont séparées. 

Dans les trois problèmes traités au début de cette note, les fonctions P sont respectivement égaies à 

.T, — arctg— ' \og \ix- -i- y'^ et les fonctions Q sont ;/, log /<■- H-;/"-, arc tg 

Mais il faut bien remarquer ijue pour la détermination des courbes r, il n'est pas nécessaire de 
prendre pour variables les fonctions P et Q elles-mêmes, car l'équation (1) continue a être à variables 
séparées si l'on y fait le changement de variables 

H I F(m)-)-G(i>,. V 1 \\{o). 

V, (î, II étani des fonctions (iiieb'onques d'une seule variable. 



MÉCAiMtjUE 



1688. On donne dans un plan deux droites [X), (B) et une ligne quelconque (C). 
fil peint (t décrit (A) uniformément, un point c décrit (C) uniformément ; enfin, un point b décrit ta 
droite (H) de tidlr faron i/n'd chaque instnnl son iiceélération ail même mesure yue l'accélération du point c. 



MECANigUE 



139 




iJémonlrev que ihodographe relatif au mûuvemenl du centre de gravité du triangle abc est une cycloïde, 
cl que l'on obtient ainsi tous les mouvemenls à hodographe cycloUlnl. 

Construisons l'hodographe qui correspond au mouvement d'un point M. Pour cela, un point 
ayant été choisi comme origine et Om étant équipoUeiil à la vitesse 
du point M, cette courbe est le lieu du point m. 

Pour que le point m décrive une cycloïde, il faut et il suffit qu'il 
soit l'extréniité d'un segment lum, de longueur constante R, se dépla- 
çant comme suit : w décrit une droite (A) et t^m tourne autour de lu 
de façon qu'à chaque instant la vitesse de m due à la rotation ait même 
mesuré que la vitesse de o). 

Or, en vertu de l'équipollence 

(0)w) = -^ I (30a) H- (3a(uj + (.'((um) j, (a étant un point fixe de A), 

le point M peut être considéré comme le centre de gravité d'un triangle abc : 

1» Le point a, ayant sa vitesse équipollente à 30a, c'est-k-dire décrivant une droite quelconque (A) 
parallèle à Oi avec la vitesse constante 30» ; 

2° Le point b, ayant sa vitesse équipollente a 3a(o, c'est-à-dire décrivant une droite quelconque (B) 
parallèle à (A) avec la vitesse 3ï(u ; 

3° Le point c. ayant sa vitesse équipollente à wm, c'est-à-dire décrivant une courbe quelconque (C) 
avec la vitesse constante R. 

En outre, comme la vitesse de w et la vitesse de m dans la rotation autour de w sont égales, les 
points 6 et c ont des accélérations qui ont même mesure algébrique. 

En résumé, tous les mouvements à hodographe cycloïdal peuvent être déduis coninie 1 indique 
l'énoncé. 

Bonne solution : M. i;roscolas, h liesiini;ou. 



1692. — Faire voir que les formules 

d-x d'u 



■ -T— =)■-!- c"0, 



oii désigne une fonction du l'')nps, définissent un imiuoeuienl hélicoïdal pour des valeurs convenables des 

constantes de l'intégration. 

Exprimer les composantes de la vitesse en fonction de la vitesse angulaire lo et de x, y, z. 

dw 
Exprimer les composantes de l'accélération en fonction de Met —j— , dé ./■, y, z et des coordonnées X, Y, 

Z de la projection du mobile sur l'axe, de manière à faire apjaraltre les coniposantes de l'accélération iun- 
gentielle et celles de l'accélération centripète. 

[En faisant 6 z= ujt, on voit que la projection sur un axe xx d'un mouvement hélicoïdal uni forme est 
un mouvement périodiquement uniforme: cela est évident a pru)ri.\ 

1" Il est visible que la première équation admet la solution j, = «"0-I-/J, puis(iue la dérivée 
seconde de cette fonction est nulle. Si alors nous posons x =:x,-f-u, nous voyons que la fonction 
a satisfait à l'équation différentielle 



d-u 



-+- w = 0, 



dont la solution générale est 



u = a cos -+- a' sin '). 



uo 



MÉCANIOUK 



La solution ;:énéiale de lu première équation dilleieatielle est donc 
X = p-ha ces -H a' sin 6 -t- a"8 ; 

celles des autres sont 

y — tj-^b cos 0-^ h' sin 6 -t- A"fJ, : = r -l- c cos 6 -i- c' sin 6 -+- c"B ; 

dans ces trois expressions générales de x, y, z, a, h. c, a\ b', c sont six constantes arbitraires. 

Or si on envisage un mouvement hélicoïdal quelconque autour d'un axe quelconque 0':', il est 
facile de représenter analyliquement ce mouvement dans un système 
d'axes O'x', O'tj', O'z' rectangulaires et formé par 0':' et deux autres 
axes perpendiculaires entre eux et à celui-ci. Soit M le mobile; il se 
meut sur un cercle <u ayant son centre sur O'z' et situé dans un plan 
perpendiculaire pendant que celui-ci est entraîné parallèlement à lui- 
même, de façon que le déplacement rectiligne dans le sens 0':' soit 
proportionnel au déplacement angulaire du rayon <dM; O'x' est l'une des 
positions du rayon mobile wM, choisie, O'y' est perpendiculaire à OV, 



cx:'p','y 




parallèle au plan du cercle et fait l'angle 



avec OV, dans le sens 



du mouvement ; les axes O'x'y'z' sont alors bien définis. Soient main- 
tenant p la longueur du rayon wM, 6 l'angle qu'il fait avec OV et 
x', 1/', ;' les coordonnées du point M dans le système ainsi formé ; 



nous aurons 



= p cos 0, 



y' =:: p sin 0, 



en désignant par /( le pas de l'hélice. Si p, q, r désignent les coordonnées du point 0' par rapport au 
système primitif Oxyz ; a, fi, v les cosinus directeurs de OV, a', i', ■/ ceux de O'y' et ï", p", -/' ceux de 
0':', les coordonnées x, //, : du mobile seront 



X — p-+- p(a cos 

1/ = (/ H- p(f> COS H- 'p' sin 



a' sin 0) + a — - tt, 



- p(y cos H- -;' sin 0) ^ y" __ 



Ces formules peuveni être idontiliées avec les prcinièrps à condiliou qur les constantes d'intégralion 
vérifient les relations 

a- -+- b- H- c- = a'- -+- b'' -+- c'-, a'a -i- b'b" -\- c'r' = 0, «"« + V'b -f- c"'.- = 0, «a' + bb' + ce' = 0, 
et nous trouverons ainsi 



2" lin dérivant x. i/. 
nous aurons 



df) 



3 = ^a- H- 6* -f- c», -^r = ^'""' + ^'^ "*" '^^ 

par rapport à / et a[i|ielant w la vitesse angulaire de rotation, lu = "TT' 

117 



dx r , . , , ^ In" '] 

— r- = I p( — « Sin -i- a' cos 0) H — w, 

di L ^'^ J 

-± = p(-!i sin + 'ç.' cos 0) -h-^ |<.,, 

dz r , /iv" 1 

_^|p(_^smO-i-v cos 6)-^-^ Jeu. 



PHYSIQUE lil 

M - 
Or en éliminant — — entre )/ et r. nous obtenons 

p"(: _ »•) — v"(y - q] = p cos fJ(v^' — 3v")H- o sin Ofy'i" — V-f). 
Si alors nous supposons qu'on ait choisi le trièdre Oryz de façon que les deux trièdres aient la 
même orientation, nous aurons 

et, par suite, 

en délinitive. 



de même 



;i"(; _ r) — fiy — q) = ?(«' cos 'i — 7 sin ; 



3° Les composantes de raccélération sont de même 






fa cos -H a' sin 0"». etc. . . 

dp ■-■■•• 



Représentons alors par \, Y. Z les coordonnées du point •■>, centre du cercle sur lequel se trouve 
le point M ; nous aurons 

d-y ^ 
di' ' ' 

d^z _ 

IF ~ "■■ 

et les composantes de raccélération tangenlielle et de raccélération centripète sont visibles sur ces 
formules. 

4° Pour ft = 10^, cas dans lequel le mouvement est uniforme, la valeur de x devient 

; = n cos Mt -h a' sin tat -4- (.\"/ -î- p) ; 
elle définit un mouvement périodiquement uniforme sur Or [Appell, Cours de Mécantquf, p. 70). La 
fonction linéaire correspond à la translation dans le sens de l'a.xe du mouvement hélicoïdal, et la fonction 
périodique à la rotation. 

li. F. 



PHYSIQUE 



1693. — Un pendule est mobile autour d'un are horizontal représenté par l'arête d'un contenu repo- 
sant sur un plan. Bans le prolongement de cet axe et de part et d'autre du couteau, on a fixé au pendule 
deux fils métalliques, AB et CD, de même nature, de même longueur et de même section d'ailleurs négli- 
geable, qui reposent simplement sur des plans d'appui horizontaux, ce qui éciti: leur flexion. 



142 QUESTIONS PROPOSÉES 



On fait osciller le pendule et on compte p = 80 petites oscillations simples par minute. 

On immobilise ensuite les extrémités B e( D des fils en les serrant d'im des pinces fixes ; on fait oscil- 
ler de nouveau et on compte ^ = 90 petites oscillations par minute. 

On fait tourner les deuc pinces de la même quantité dans le même sens autour de l'are BD, de manière 
que le pendule, dans sa nouvelle position d'équilibre, fas^e avec la verticale un anrfle a. Déterminer la nou- 
velle durée d'une petite oscillation. Faire en particulier le calcul pour a = 60°. 

Que trouverait-on si on avait fait tourner les deux pinces de la même quantité, mais en sens inverses ? 



La première expérience nous donne, en adoptant les notations usuelles. 



Mga 

Dans la deuxième expérience, la torsion s'ajoute à l'action de la pesanteur et, en désignant par R 
le moment de torsinn pour l'unité d'angle, on a 

q ~ '^ R-^Mva 

Quand le pendule fait l'angle a avec la verticale, la variation du moment du poids par rapport à 
l'axe de rotation, pour un petit écart rfi de la position d'équilibre, est M(/rtcosarfa. La variation du 
moment de torsion est toujours Rrfa. Par suite, le nouveau moment statique est R-i-Mgacosa et 
la nouvelle durée d'oscillation est 

Il > R -h Mgn cos » 

Élevons au carré ces trois équations, il vient 

Moa ^ R-i-M(/a R -i- Moa cos a 



d'où l'on tire 

n- = (/^ — p'{l — cos o). 
Pour I = 60°, n = 70. 

Si l'on avait fait tourner les deux pinces de la même quantité, mais en sens inverse, le pendule, 
dans sa position d'équilibre, resterait vertical. Les petites variations du moment par rapport à l'axe, 
pour de petits écarts du pendule, seraient encore proportionnelles aux écarts. Les actions des deux fils 
s'ajouteraient comme dans la deuxiècne expérience et il y aurait encore 90 oscillations par minute, 
comme si la torsion initiale était nulle. 

R. TELLIER. 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1770. — l)n considère la courbe (C) dontles équations sont 

X =z a(ch <f H- cil ç.'), y =: a(ch ç — ch o'|, 

? et o' étant deux paramètres liés par la relation 

sh 2o — sh 2o' = 2o — 2ç' + a, 
et a, a, deux constantes. 

1» Former l'équation cartésienne de cette courlie. 

20 En supprisant que a varie, former l'équation dilTi'rentielle des courbes (C). 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 143 



3° Soient M un point qnrlcoïKinc de celle courbe, P le pied rte l'ordonnée du point M,T et N les points 
derenconlre avec Ox de la langente el de la normale en M, et T' le symétrique de T piu- rapport au point P ; 
montrer que l'on a la relation 

ON.OT'= iaK 
i" Trouver toutes les courbes qui jouissent de celte propriété. Il y en a deux famillos: la famille (C) et la 
famille d") dont les équations sont 

X = a(co.s 9 -l-cos o'i 1/ = a(cos o — coso'), 

u et q' étant deux paramètres liés par la relation 

sin io — sin -lo' = 2o — 2-j' + /. 
et [i une nouvelle constante arbitraire. 

5° Trouver les trajectoires orthogonales des courbes (C), celles des courbes (f) el montrer que leurensem- 
ble constitue toutes les coniques ayant mêmes axes en position el un même cercle orllioptique 

x- + y'- = ici-. 

Albert liAïET, à Douai. 

l"??!. — On considère une ellipse dont l'un des axes est double de l'autre. Soil .\IP la dislance d'un point 

M variable de l'ellipse au petit axe. Le cercle décrit sur MP comme diamètre enveloppe une épicycloïde à deux 

rebroussements. Solution analytique et géométrique. 

■ E. N. Babisie.n. 

1772. — Dans un milieu oii un mouvement vibratoire se propage avec une vitesse V, la source origine 
de ce mouvement se déplace avec une vitesse v et l'observateur se déplace en sens inverse avec une vitesse v'. 
Quel sera le mouvement perçu par l'observateur? 

Application acoustique. — Avec quelle vitesse une locomotive doit-elle s'approcher d'un observateur fixe 
jiour quela note de son sifflet paraisse élevée d'un demi-ton tempéré, c'est-à-dire d'un intervalle égal à d,OG 
environ? 

Application optique. — Quelle doit être la vitesse radiale relative d'ime étoile pour quela raie D de son 

spectre paraisse déplacée de -r- de l'intervalle qui sépare les deux éléments de celte raie dont les longueurs 
d'onde sont respectivement 0^b896 et 0^5890? 



DEUXIEME PARTIE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1683. — On considère l'hyperbole ij(y — mx) -f- binx -h ^i/ — abni = 0, 

et on demande : 

1° les équations des asymptotes : 

2° iéijuation générale des courbes homothéliques et celle des courbes semblables; 

3° la valeur de l'intégrale dé/inie 1 ydx quireprésenle l'aire compi'ise entre Ox, les deux ordon- 
nées X\, X-, et la branche de courbe située entre Ox et l'asymptote hoiizontale. 

i" Il y a deux asymplotes : l'une, parallèle ;i O.r, est le diamètre conjuguti des cortics parallèles à 
cet axe, /'; = 0; l'autre, parallèle à la direction y = mx, est le diamètre conjugué de cette direc- 
tion, /x + mf',, = 0. Ces deux droites ont donc pour équations respectives 
y — b =0 el y — mx -i- b -+- ^ = ; 



144 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



elles ?e coupenl au centre, qui a pour coordonnées 



= h. 



2" L'équation ïénerale des courbes liomolhétiques à cette hyperbole est 
1/(1/ — mx) -\- 2ux -+- 2î/u + )i' = 0, 
M V, ,r étant trois constantes arbitraires. Les courbes semblables sont toutes les hyperboles dans les- 
quelles les deux asymptotes font entre elles un angle dont la tangente e>t égale ;i m. Soit >i — >.r = 

'■ -1- '" 
la première direction asymptotique : la seconde sera y : — i = 0. el lequalion générale des 

hyperbole? semblables à celle de l'énoncé sera 

(i/ — IxyH — hn]y — (l -^ m)x] ->- "iux -+- Ivy -+- ir — 0. 

3' Pour Ikurer la courbe, supposons par exemple, n, b et m positif, et plaçons-nous dans le cas 

particulier oii i= — 2b. L'aire demandée peut se 
calculer facilement en fonction de y ou de y — h. 

On a en effet 

j/- -+- iy — nhm 

"'(;/ — '') 
et, si l'on pose y — /» = ;■, 




par suite 



^, = ±_^ 



/)3 — nhm 



et l'on a de suite 






L'intégrale | i/dr devient donc 

/(- -i- /)3 — nhm , . 






/,:_C62_^/o. 



ahm)(Lz — ~)^-hO-. 



Il n'y a plus qu'à y remplacer : par y — /*. puis prendre l'intégrale entre les limites y, et 1/2 pour 
avoir le résultat demandé. 

Maintenant si on veut le résultat en fonction de x, et x,, il faudra calculer, pour x, et r^ la 
plus petite valeur de y à chaque fois et mettre ce résultat à la place de y, et de i/o. 

(',. FOrCDY, à Roanne, 
lioiiiirs snliilions: MM. Bro> : I.. Simon, h Cli.'ilons-siii-M.irne : J. VRnnxs :i l.yon. 



1686. — /,'•.< nnmmPts d'n» tri/inyln .\Rf; dArrivfni nn<'. parabole P à Inqiiellfi Ifs côtrs \C et BC sont 
uitrmnur en .\ pl B. "S pM le p6le du d'île AB el NN'.N" le Iriangte nonnnl circonscril correspondant ù C. 

On demande le lien des points d'intersection M ri N du cercle circon^rrit nu trinnyle .\BC et du 
cercle 0' circonscrit au triangle NiN'N". 

Démontrer que : 

i" In rnbique circulaire unicnrsnle, lieu du point M, cit l'enveloppe du cercle O : 

2° In droite, lieu du point N. enveloppe le cercle 0' ; 



GÉOMËTRIE ANALYTIQUE 145 



:{• riii/perbole équilatère de .j« ordre, lieu dvi sommets N' el N" est t'envelopiie de l'hyperbole d'Apollo- 
nius relative à C ; 

4" /" directrice de V est le lieu du point de rencontre d" N'.N" et de l'ave radical des cercles el 0' ; 

5" cet aie radical enveloppe une ellipse : 

Ct" le point de concours des hauteurs du iriamile ABC est sur le diamètre Je I* mené par N. 

1" Si NN'.V est le triaugle normal circonscrit correspondant au ])oiut C qui décrit ia parabole P el 
si on désigne par a. i les coordonnées d'un des sommets .\ de ce triangle, celles du point C étant dési- 
gnées par Xi, y,, on a les relations 

iS^ — Ua -r I)- -ïj 

(1) '■' = ^—^ -' ''^) !/'=--r' .'/;-%'•. = 0. 

Kn portant les valeurs de x, et de '/, dans la dernière équation, on obtient 

4 -^-^ — Vi' -;- ^J)ï — "2/r ^ on a — ^j i2(a ^- ;j)!i- -+■ jr' = 0. 

Donc, lorsque le point C décrit la parabole I', un des souunets N(o<, 3) du triangle normal circons- 
crit se meut sur la perpendiculaire x ~ p = à l'axe : et les deux autres N', N" sur l'hyperbole équi- 
lalère du troisième ordre 

•iix -^ p)ij- -h P' = 0. 

Un sait que l'equatiou du cercle circonscrit au trian^'le ABC est 

x'^-hif- — ix,^p)x |î-v = 0. 

La relation ï — p = montre ([ue les coordonoées a-j et j/i du point C. tirées des relations (I) 

et (i), deviennent ji = — — et '/, = — 2fl. 
P 
Introduisant ces valeurs de x, el de î/i dans l'équation du cercle U, on oblienl 

(3) 1 p{x' -h y^) — iW -t- P"-)x -^ p'P'.l = 0. 

En faisant la même substitution dans l'équation générale d'un cercle 0' circonscrit au triangle nor- 
mal circonscrit correspondant à un point C (x,, i/,) 

{^—p){x -4-x, — p) H- 2,v(»/-i- '/,) = !2(a-^ +- y-') -h -Jx, — 'Spc + 2i/,;/ -i-p{p — .c,) = 0. 
on obtient 

(4) , ) p^x' + y', - i4?- -'.ip')x - ipiiy - p^-— rfih = U. 

L'équation de l'axe radical des cercles et 0' est donc 

(o) (8:^- — p^)x — r^piij — /j(2.i^ — //- 1 = 0. 

Les coordonnées des deux points d'intersection M el N des deux cercles et U' s'obtiennent en 
réiîolvant les équations simultanées (3j et [o). Le sommet N (p, ^) du triangle normal circonscrit corres- 
pondant au point G se trouve à la fois sur les deux cercles : on connaît donc à l'avauce les coordonnées 
(p,â) d'an des points d'intersection. 

De l'équation (3) on tire 

_ 8^- — p-)x -+- p{p- — i't- \ 

Ou porte celle valeur de y dans l'équation du cercle et on obtient une équation du second degré 
en X, dans laquelle le coefficient de x- est 

p : \e,'^'^p%ï'i'-^p'') 



Ii6 GEOMÉTHIt ANALYTIQUE 



et le leruie tout connu -^—^ -r )(/^ +-*. ^^ produit des deux racines de l'équation en x- est 



donc 



V'V'-^ 



L ne des racines étant égale à p, l'autre, qui e>t l'abscisse du point M, est égale à 

La \aleur corresijondanle di' y est l'ordonnée de ce point : 

4^1/;- -2fl^') 



Y = 



KiS'-'-t-;/ 

Le point d'intei section N décrit, ainsi que nous l'avons démontré, la droite x — p — i). Pour 
avoir l'équation du lieu décrit par le point d'intersection M, remarquons que des relations précédentes 

on déduit -^ = — • 11 suffit de porter la valeur de p tirée de cette dernière relation dans l'expres- 
sion trouvée pour X et on a l'équation du lieu rherché décrit par le point M : 

[8X-+-PjY-h-8(X — p)-V = 0. 
Sous la forme 

8X(X-^ -f- Y^. -p(8X^ - Y^) =r 0, 

on voit que celte équation leprésenle une cubique circulaire, symétriiiue par rapport à l'axe de la para- 
bole, ayant un point double à l'origine et comprise entre les droites X— p — 0, 8X-h/j = 0, cette 
dernière étant asymptote à la courbe. On voit également que les tangentes au point double sont repré- 
sentées par l'équation Y = rt 2\/2X. 

Si on considère la lelation 4fJX — pY = ti, il est apparent que le premier membre de ré(iuatiun 
de celte droite est la dérivée jiar rapport à ^ de la fonction Xi- — /)Yp -i- /'(X, Y) — 0, c'est-à-dire de 
l'équalion du cercle ordonné par rapport à i : 

— 2x3^ -\- pif^ -H p{x- -+- y-) = 0. 

l^a cubique circulaire obtenue précédemment est donc l'enveloppe du cercle 0. Ce cercle est 
<l(''crit sur la droite XC comme diamètre ; car les coordonnées du |)oint N sont (/), ^), celles du point 

/ -r' \ 

C sont ( , — 2i I et les coordonnées du centre du cercle (' sont chacune la demi-somme des 

coordonnées de ces deux points IS et C, situés tous deux sur ce cercle. Le point de contact de l'enve- 
loppe et de l'enveloppée pour chaque position du point N(;j, (i) sur la droite x — j) = que ce point 
décrit est le point de rencontre, autre que l'origine de la droite 4JlX — //Y = u et du cercle 
correspondant à la valeur p de l'ordonnée du point X. Cette remar(|ue donne le tracé de la tangente 
en chaque point de la rnbique circulaire. 

2" La droite X — jt = reste tangente au cercle ()', quelle que soit la position du point .X sur 
la droite X — p =0, car le point X' situé sur le cercle U' et le centre de ce cercle ont toujours la même 
ordonnée p, quel que soit p. Si on cherche directement l'équation de l'enveloppe du cercle 0' en 
exprimant que le premier membre de l'équation de ce cercle, ordonnée i)ar rapport à \i, a deux racines 
égales, on trouve le lieu suivant : 

(X — /j)[(-2.r — ;yf -+-4;/'-] =0. 



GËOMKTRIE ANALYTIQUE 



l'i7 



Oulro réquation r _ p = de la perpendiculaire a l'axe décrite par le point N, on obtient éga- 
lement une équation qui 
représente le foyer de la 
parabole P, parce que 
tous les cercles 0' pas- 
sent par ce point. (Ils 
sont donc tangents à un 
cercle de rayon nul 
ayant son centre au 
foyer Fi. 

3° L'hyperbole d'A- 
pollonius qui passe par 
les points d'incidence 
des normales menées 
du point G 

k la parabole P est 
représentée par l'équa- 
tion 
pxy -i ip- — 'i?-)]l 

-+-2p'^ = 0. 
Ordonnant par rapport à 3 , on a 

2i/S- — 2p-^ — ;j(.r -^ p)ij = 0. 
r,a condition pour que l'équation en i ait ses deux racines égalesdonne l'équation de l'enveloppe 
cherchée : 

2(.c + p)i/2-4-?3^ = "• 
qui est celle d'une hyperbole équilalère du troisième ordre, bien connun. 

/ 2i- 
4° Le côté N'N' du triangle normal circonscrit correspondant au point ('. ( — ^— 

gente en G représentée par l'équation 

(6) /jx-H2ai/-H2^^ = 0. 

L'axe radical des cercles et 0' est représenté par l'équation ^5). 

Si on cherche l'ordonnée du point de rencontre de chacune des deux droites (o) e( (6) et de la direc- 
trice, on trouve que chacune des deux droites rencontre la directrice en un point dont l'ordonnée est 

. l'- — '>T 




— 2a 



est la tan- 



'*"? 



Pour chaque valeur différente de &, les deux droites (3) et (6) se coupent sur la 



directrice qui est donc le lieu de leur point de rencontre. 

5° Si on ordonne par rapport à ^ l'équation de l'axe radical des deux cercles et , cette équation 

devient 

(8.r — 2p)^* - 6/31/^ — f{x — -p) = 0. 

L'enveloppe de cette droite est donc l'ellipse 8x- -+■ 9i/- — iùpx -h ip' = . 

Cette ellipse, rapportée à son centre et à ses axes, est représentée par l'équation 

^' ^ y- 



m 



(JL 



= 4, 



ii2. 



I'i8 rtflOMÉTRIE ANALYTIQUl-: 



6° L'équation de la droite AB est 'lij = p(x ^- p] . Les coordonnées (x',}/'), (r .7 ) des points 
d'inferfeclion A et B de cette droite et de la parabole P sont 

P P ' 

La hauteur dn triangle ABC issue du sommet A sera représentée par l'ériualion 

en clinssant les dénominateurs, on obtient l'équation 

— \ i2 _ ^,^,2(y — S^ -!- 3^/ — ^p5 — ;7.T H- p- i^ 

On obtient l'équalion rie la hauteur issue du sommet B en changeant le signe dn radical : 

-^^/'i^ — -2pHy - 3) - ji!/ - 2p' = p.r -L p-^ - i-'. 

Reiranchant membre à membre, on a y = /, ordonnée du point de rencontre des hauteurs. Kn 

23- 
remplaçant y par cette valeur dans l'une ou l'autre des équations précédentes, on trouve r = — '■ • 3p. 

Ces coordonnées .r et y véritient bien l'équation de la troisième hauteur, qui est la perpendiculaire 
abaissée du sommet C sur AB et qui est représentée i)ar l'équation 

3 , 532 \ 

V-H23 = — — a- ^ . 

/' V /' / 

Ainsi l'iibscisso du point de concours des hauteurs est égale à celle du point C diminuée do Ap, et 
l'ordonnée est égale à celle du sommet N du triangle iNN'N'. Lorsque C se déplace sur la parabole P, 
ce point de concours décrit la parabole "2'/- —p.r — :]p'- = 0. en restant toujours sur le diamètre de P 
qui passe par N. 

Remarque. — (hilre les six propositions dcmontiies, un peut facilement déduire de ic qui iirérède trois 
autres propriétés de la ligure et une construction très simple qui permet lorsqu'on a pris sur la droite 
a; — ;) = un point .\ (p, 3| quelconque d'obtenir immédiatement les deux autres sommets N', N" du 
triangle normal circonscrit, les trois sommets A, K. C du second triangle et les centres des deux cercles 
cirronserits à ces triangles, ainsi que les rayons de ces révèles. 

Ces trois [M-opriétes sont les suivantes : 

1° Lorsque le point N se déplace sur x — p =0, lu (In)ile .\B touiiie anlour du puinl ti.xe (— p, 0). 
Cela résulte de l'équation py = p{3>+p] de celte droite. 

20 Le cercle circonscrit au iriangle ABC et dont les points de rencontre avec la parabole P douueul les 
pieds A, B, C des normales issues de C rencontre la tangente au sommet à l'origine et en un point E. Si 
on joint E et C, on a la tangente en C qui est le côté N'N" du triangle normal circonscrit correspondant à C. 
I. équation de celte tangente est pa;H-2pi/ -t-2^- = 0. 

.30 Ce côté N'N" quand N se déplace sur la droite x- /< = rencontre loujoins en un point de la 
droite a: + 2/) = la tangente menée en N au cercle (). 

Si on se donne le point .\ (;), 3 , la construction qui détermine tous les autres éli>ments de la figure est la 
suivante : 

^ (■■t.iut cotmu, on trace le diamètre de P représenté par l'eipiation : i/ + 22 = 0. Ce diamètre rencontre 
P au sommet C du triangle ABC. Sur i\C comme diamètre on décrit le cercle 0. (Celle construction a déjà 
été indiquée plus haut). Il suflit de joindre le point N aux deux points d'intersection A et B du cercle et 
de JR paraf)ole P pour avoir les deux tangentes NA et i\B k la parabole; ces deux tangentes sont les côtés 
NN", .N.N' (lu Iriangle normal circonscrit correspondant à C. Nous avons indiqué comment on obtient le côté 
N'.N". Si on joint C au foyer I'" de la parabole P, et si on prend sur le prolongement de CK une longueur 
Fil = CF, le cercle décrit sur Fil comme diamètre est le cercle 0'. Celle construction du cercle 0' circon.s- 
crit au triangle normal circonscrit correspondant au point C subsiste, même quand le point C n'est pas sur la 
parabole P. 

C^^MLIl MASSINC. 

Honnes solutions : ^IW. I,. Si«ii.\,n <'.li.i|r>ns-sur-Marne ; ('iniisions ; II. .Umii- ; IIros ; ("■. Koi'cnv. :i Uoanne. 



GEOMRTFUE ANALYTIQUE 



149 



1689. — On considère un cercle (C) tangent à Oy en et une tangente variable à ce cercle. AR. 

1" /,?>?( des centres des cercle.i inscrit et e.cinscrits dans le tiiangle AOB; construire ces lieuv. 

2° Lieu du centre et enveloppe du cercle (I") conjugué au même triangle. Lieu des points de rencontre de 
ce cercle avec son diamètre passant en B. 

Construire ces Heur. 

'.i" L'enveloppe du cercle iV) est une qunrtique hicircnlairr. On cherchera ses anallagmalies et les cercle'! 
directeurs correspondants . 

1. Nous déterminerons les centres w, w,, m, et wj des cercles inscrit et exinscrils dans le triangle 
OAB en prenant les points communs aux bissectrices de l'angle BOA 
et à celles de l'angle OB \ . 

Soit o l'angle de O.r avec OA, l'équation de la droite OA peut 
s'écrire x sin o — ly cos -f = 0, et par suite l'ensemble des bis- 
sectrices de l'angle BOA a pour équalion 

•r- — (,(■ sin o — // cos o)- = U, 
ou encore ^^(cos^ (p-4-sin= o) — (w sin ç — y cos »)- = U, ou enlin 
(1) .T- — !/2+l'.ry tgç = 0. 

Soient G le centre du cercle (G) et R le rayon de ce cercle. I/une 
des bissectrices de l'angle OBA est la droite BG, qui a pour équalion 

x — R 




(i) 



igo 



Nous aurons donc le lieu des points w et w, en éliminant fgo entre les équations (1) et (2). Gette 
élimination est fort simple, elle nous donne pour équation du lieu 

J.--I- y' — 2K.T = 0, 
qui est préciseiucut l'équalion du cercle (G). 

Donc le lieu des poinis w et w, est le cercle (C), ce (|iii est facile à apercevoir géométriquement. 

D 

L'autre bissectrice de l'angle OBA passe par le point B. (jui a pour ordonnée , el est 

parallèle à 0.\. Son équalion est donc >/ • = r Ig-^, ou 

T Ig't?— //IgoH-B = 0. 

le lieu (les points :■>, ol <o, s'obtiendra en remplaçant dans cette ('qualion Ig-i par la valeur 
?/' — •'•' 



tirée de l'équation ( 1 1 



^xy 
Nous obtenons ainsi 



(?/' — ■''-)' y'- — x^ 



'..r.v- 



-(- 1\ = 0, 



ou, en cbassanl les dénominateurs. 

;/'• — J.' —AiUg- = 0. 
Gelte équation représente une courbe du quatrième degré, sj'métrique par rapporta Cr et ayant 
un poinl triple à l'origine. Elle est donc unicursale, et pour la construire, nous la couperons parla 
droite y = tx. Nous obtenons ainsi les coordonnées d'un point de la courbe en fonclion rationnelle 
de /, 

4B/2 4B/' 

(• - l ^ /' — I 

A des valeurs de t égales et de signes contraires correspondent des poinis de la courbe symétriques 



par rapport à ( l.r : il suffira donc de faire varier ^ de à -;- x. Gomme 



dx 



(t'-~ 1)» 



450 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



toujours négatif, les varialions de x sont les suivantes 
/ I croit 1 



croit 







décroît — X -f- X 



(Iccroit 



Nous obtenons ainsi les branches de courbe OL et OL . 

La direction asymptotique a pour coeflicient angulaire I ; 
pour avoir l'asymptote, nous cherchons la limite de y — x. 
ou de tï—x, ou (I — l)x-. 

Nous avons 

dont la limite est R pour t = \. 

L'équation de l'asymptote est donc 
Y - j- = R, 
et la dillérence y — Y entre l'ordonnée d'un point de la 
courbe et du point de l'asymptote qui a même abscisse est 




y-Y- 



4R«2 



— R 



R 



(t- !)(<*— 2/ — 1; 



Pour t = l —t, y — Y < 0, et pour t = i-^-t, 
y — Y > 0. La branche OL est au-dessous de l'asymptote 
et la branche OL' au-dessus. De plus l'asymptote rencontre la 
courbe en deux points dont les ( sont racines de l'équation 
t' — il—l - I), / = 1 it /2 . A la valeur 1 -f- ^2 corres- 
pond le point H sur OL', et à 1 — y'^ correspond le point 
K situé sur la branche syméirique de OL par rapport à Or. Les droites OH et OK sont rectangulaires. 

2. Le cercle (P) conjugué par rapport au triangle OAB a pour centre le point de concours I des 
hauteurs du triangle, et le rayon p est donné par la relation f- = ÏÂ-ID. Ce cercle n'est réel que 
si l'angle OBA est obtus. 

Le point A, intersection du cercle (C) (a;-— j/^ — 2R.r = Ui et de la droite OA (.V=rtgç.) a 
pour ordonnée R sin 29. En remplaçant y par cette valeur dans Téqualion de la droite BC 
(1/ tg s + af — R = 0), on voit que les coordonnées du point I sont r = R cos iç, 1/ = R sin lo, 
ce qui montre que le lieu du point 1 est le cercle a;--f- y- — R^ = 0. 

D'autre part, le raj'on du cercle (r) est délini par 
-/- = ÏÂ.ÎD = ïïï lIÏÏ - ÛÂ). 

i<r Ul = R cos 2ç., et DA . abscisse du point A. est égal à 2Rcos'-<?; 
on a donc 

;- = — R2 cos i=>. 
L'équation du cercle (r) est donc 

(X — R cos iof -h (y — R sin 2=/- -1- R- cos 2? = 0, 

•' ■ + .V* -H B- — R(2.r — R) cos 2o — 2Rj/ sin 2cp = 0. 

On en conclut qui' l'enveloppe de ce cercle a pour equalion 

(a-» -H ,y= U. R2)t _ R2(2a- - R)2 — iR2|yS = 0, 




ou, en simplilianl. 



(x- -t- y*Y — 2R-(x= H- ./') -(- 4R'x = 0. 



GÉOMETHIE ANALYTHjUE 



loi 



C'est ré([iialion d'une iiuailiijue biciiculaire, syinéliique par rapport à Ox et tangente à l'origine à 



<-'!/. 



Cour la construire, ordonnons re(|ualiun [lar rapport à ij, nous avons 

/\,/-) = ;/' -+- <2,/{x- — R-) H- .rU-' — 2R-a,- -h 4K^j = 0, 
et formons l'équation résolvante 

/■(u)= M--+-2«(x-^- R-) + ^(a-' — 2R-^i- + 4l{^) := 0. 

Pour que cette équation ait des racines, il faut qu'on ait 

[x^ - R»)-- - x-(a-' - 2R'a- -t- 4R') > 0, 
R 
ou •'• < 1~ • 

Pour étudier le signe de ces racines, il suffit d'appliquer le théorème de Descartes en remarquant 
que le terme indépendant de (/, a(j' — "JR-'j; -t- 4R') peut s'écrire .ïf.r -i- ^R/x- — ^Jlir -t- 2R-). On voit 
alors aisément que si a,' est plus petit que — 2R, l'équation /(») = () admet deux racines négatives; 
si X est compris entre — "2R et 0, elle admet une racine positive et une racine négative; enfin si x est 

R „ , 
comprisenlre et — , elle a deux racmes positives. 

A chaque valeur positive de u correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires ; 
nous ne considérerons que la valeur positive. Ces valeurs de y seront délinies par le tableau ci-contre 

qui nous donne l'arc de courbe ARGO. 11 n'y a 
plus qu'à achever par symétrie par rapport à Ox. 
Le diamètre du cercle (r) qui passe par le point 
R est la droite RG, qui a pour équation 
j: — R+j/tg?=0. 
X R 



X 


-2R 









R 

4 


y^ 





+ 


RV2 


+ 


R1Î5 
4 


\ 




^WM. 


^^0 


-t- 


RvTs 

4 



COS 2cs 



y- — {x — R)- 



Nous eu tirons Ig » = 
. , %\i(x-\\) 



.'/ 



y'-+-(a:-Rf 



y- -H {X — RV- 

et, en portant ces valeurs dans l'équation du cercle (r), nous obtenons, toutes réductions faites, 

(x^ -T- ^^ - - R-'(3j;- + y-) -+- 2R-^x = 0. 
C'est encore l'équation d'une quartique biciiculaire, qui se construit 
comme la précédente et qui a une forme analogue. 

3. Reprenons l'équation du cercle (!') sous la forme 

a- -h !/- i- R2 — R(2.i' — R.) cos 2o - 2Ui/ sin 2--. = 
et ditférentions celle équation par rapport à n ; nous obtenons l'équation 

(ix — R) sin if — y cos 2-i. — 0, 

([ui représente lu droite joignant les deux points de contact du cercle avec 

son enveloppe. Or cette droite passe par le point fixe i-^ > 0), et il 

est aisé de vérifier que la puissance de ce point par rapport au cercle (r) 

H en résulte que le cercle 1" coupe orthogonalement le cercle qui a 




est constante et égale a 



oR^ 



R 



îiR- 



pour centre le point (^^, 0) et pour rayon — ;— ; c'est l'un des cercles directeurs et son centre 

est l'un des pôles d'anallagmatie. 

Puisque la quartique est symétrique par rapport à O.i', nous aurons une deuxième série de cercles 



1S2 MÉCAMQUt 

bilangents ayant leurs centres sur O.r. L'équation générale de ces cercles est 

, ^ K(a-R)- 
j:- + i/- - 2-j.r H = 0. 

Le pôle d'anallagmatie est dans ce cas rejeté à l'intini. 

Les autres pôles sont situés sur l'axe de symélrie Or. Soil " l'abscisse de l'un d'eux ; transportons 
l'oritrine en ce point, l'équation de la (|iiartique devient 

(X- -i-y-j-+'K:ti(x--^y-'j-h->{x--+-if}{u^''-'R-)-i- Wi-x- -h ij;(R' — aR- H- a') + a' — 2a=R- -h aR' = 0. 

Faisons une inversion, le pôle étant la nouvelle origine et la puissance d'inversion étant égale à "a. 

1 '•■'-' ^-v 
Il laut remplacer .1- par — ; et )/ |)ar '■ Léquatiun devient 

{x- -h y-)\a'' — ^a=R2 _^ aR') -i- 4Xa-i;.r-^ -i- i/-)(R^ — nli^ ■+- a'') 

L ianH'- + 2/,^(a2 — tt-'')(a--: -h xf) + AaVx -f^ a' = 0. 
écrivons maintenant que ces deux équations représentent la même courbe, nous avons 
.R^ — aR--H«^ ,7/. /.• 



o- — ia-[V-i-aR^ = 



" R' — aR''-^a' a' — ianV-^iaU' 

d'où nous tirons 

(3) > = -- (U^ — aR- 4- a'). i>i' — am -+- -inK' — il^ = 0. 

Cette dernière équation peut encore s'éCTire 

i-2a — RV/;--hR2) = 0. 

Klle admet la racine réelle — > à laquelle correspond le pôle déjà mentionné, et deux racines 

imaginaires rb R'- 

Les deux autres pôles sont donc imaginaires. 

La puissance relative à chaque pôle est donnée par la formule (3). Ln particulier, pour n = —- 

5R2 
on a > = — ; — • 
4 

G. UAtlBE, 1 i' régiment d'artillerie, à Bordeaux. 

Bonnes solutions |Mr MM. Uros ; H. Bouvaist ; II. Janois. ,'i .N;intes ; L. Simom, section iioimiile ;« Clu'iloiissin ■Maiiie ; 
Louis SniE, à l.yoïi. 



MÉCANIQUE 



1690. — On considère deux axes rectangulatrvs, ijx ni Oi/ : l'un, Ox, kurizontal, figure Ifi sol ; l'autre, 
Oij, rsl vertical el ascendant. On lance en un point pesant M avec une vitesse i\, qui fait un angle aigu et 
positif o ucec Ox. 

1° Montrer que la trajectoire du point M e^t une parabole, que toutes les paraboles (P) qui coiTespondenl 
à une même vitesse t)„ ont une même directrice, la parallèle à Ox menée par le point le plus haut que le point 
M puinse fiHe'tndre S4tm l'impulsion initiale w„. Trouver géométriquement le foyer, le sommet ci k point de 
rencontre avec le sol de laparabole F qui correspond à un angle donne ■:,. 

2° béterminer géométriquement les deux paraboles 1' qui passent en un point donné \ du plan des xy, 



MÉCANIQUE 



153 



ainsi que l'enveloppe des paraboles P. On fait alors varier à la foix v„ et o : il y a une infinité fh paraboles 
(k) qui passent au point A. Trouver le lieu des sommets et le lieu des foyers des paraboles {-) 

'V Trouver le lieu de l'erlrëmilè du vecteur vitesse sur la p/irnhole T. du point M quand il arrive en A. 

Un chaque point de rencontre d'une parabole ~ avec Oxon élève une ordonnée égale à — — < v étant la vitesse 

en ce point. Trouver le lieu de l'extrémité de cette ordonnée. 

i. Lps équation^ ditrérontielles du mouvement du point M ^nnt 
d-x . r/'y 



dr- 



= 0. 



dt- 



g désignant l'intensité de la pesanteur au lieu considéré. 

Intégrons ces équations deux fois de suite en remarquant qu'à l'instant initial \c mobile est en et 
que les composantes de sa vitesse sont r„ cos^ et Wosin = : il vient les relations 

' dx 

ivcoso, t r^r„/C0S9. 



dt 

dq 

—:- = — qt-h r„ sin 
dt ■' 



»=-4? 



L'élimination de t entre les deux dernières donne l'équation cartésienne de la trajectoire, c'est-à-dire 

9^- 



^ 2rl cos2 = 

Pour simplifier l'écriture, posons tsr ^ = »n. h — 



-^a-tg=. 



•ig 



et remarquons que h est la hauteur 



uiaximiim à laquelle s'élève le mobile sous l'impul-ion initiale v„, l'équation delà Irajectoire devient 

.j.2(i_H,„2;i 



y 



Ml 



C'est une parabole qui tourne sa concavité vers le bas et dont l'axe est parallèle à 0»/. 

•Imh m- h 

L axe de la parabole a pour équation r = -; et la lansente au sommet, i/ = 



1 -H Hl - 



I -^JH- 



Le paramètre a pour valeur- 



■2li 



1 -f- m- 
On déduit facilement de ces résultats l'équation de la directrice .A. qui est 

m-h h 

1 -+- m'^ 1 -^ m- 

La directrice ne dépend donc que de l'impulsion initiale i'„. Lorsque = est donné, on détermine 
|y facilement les éléments remarquables d'une parabole P de la façon sui- 

^ vante. 

La vitesse initiale est tangente à la parabole en 0: elle coupe la direc- 
trice en G; le foyer F s'obtient en abaissant du point C une perpendicu- 
laire sur la droite symétrique de Oy par rapport à OC. 

Soit Q le pied de la parpendiculaire abaissée du point F sur la direc- 




B -^ trice, cette droite est l'axe de la parabole ; le sommet S est équidistant 
des points F et Q. 

Le second point de rencontre avec le sol de la parabole P est le point 



B symétrique de par rapport à l'axe ON. 



154 MÉCANIQUE 



2. Le problème revient au suivant : Construin^ les foyers des paraboles qui ndmetlent même direc- 
trice A et passent par deux points fixes O et A. 

Il suflit de tracer les cercles de centres et A tangents à A. Ces deux cercles se rencontrent en 
général en deux points F et F, qui achèvent de déterminer les deux paraboles P considérées. 

Lorsque les cercles de centres et A sont tangents, les deux paraboles P sont confondues ; l'enve- 
loppe des paraboles P est donc le lieu des points A. centres des cercles tangents à la directrice A et 
aussi au cercle de centre qui est tangent à A. Ce lien est une parabole de foyer et dont la direc- 
trice est la symétrique de Ox par rapport à A ; A est d'ailleurs la tangente au sommet de cette parabole 
dite parabole de sûreté : îjo étant donné, le mobile M n'atteindra jamais que les points A intérieurs ou 
ceux situés sur la courbe. 

Lorsque Vo et o varient à la fois, les paraboles - qui passent par le point A (2, ?) dépendent de deux 

a^C { -t-m^) 

paramètres variables h et m. liés par la relation 3 = — — ^^ — 7 ^ m» : on tire de là 

in 

4A= ^^^^+'"^) 



Les coordonnées du sommet d'une parabole - ont été calculées dans la première partie ; elles de- 
viennenten remplaçant h par cette valeur 



.'/ = 



Ce sont les équations paramétriques du lieu des sommets en fonction du paramètre variable m. 
L'équation cartésienne s'obtient sans difficulté, c'est 

^ Pj^ _ p{'2x -t- g) »P 

^ ~ a(2a; — a) ~ 4a "^ 4(2a; — a) ' 

tUe représente une hyperbole passant par les points et A et dont les asymptotes sont 

2r — a := 0, 2Sa- — 4at/ -+- aS = 0. 

Le lieu des foyers s'obtient en remarquant que ce point est sur l'axe et que son ordonnée est égale 

a celle du sommet diminuée de qui reitrésente le demi-paramètre. 

1 -h m- 

Les équations paramétriques du lieu sont donr 

t^m^ — ^) 



Son équation cartésienne est 



2(ma-?)' ^ 4(»iï — 



iPx- — !x.^(2x — a)^ a"B2 

*'h = — 5—5 = 2.r(^--> - a^) -+- a(a^ + p^i ^ _-L_ . 

-X — a tx — a 

Ce lieu est donc aussi une hyperbole dont les asymptotes sont 

2j — ï = 0, 2x(p* — Ï-) — 4ap,y -I- a(a- -4- p=) = 0. 

3. Désignons par ( le temps employé par le mobile pour arriver en A ; les composantes de la vitesse 
en A sont donc (t)„coso, u^sincp— ç^), les coordonnées x et y de l'extrémité du vecteur vitesse 
en A sur la parabole - sont par suite 

■f = a -H «>,, cos ?, j/ = p H- v„ sin 'f — ;// ; 

on a d'ailleurs 

fit' 
!«=u„<cos9, ft = — -^-- — hi'„<smo. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTI\ K 



155 



Les deux premières équations donnent r,, coso et î'„sin'-?; en portant ces valeurs dans les deux 
dernières, on a les équations paramétriques du lieu, c'est-à-dire 



.v = -{l-^t), ?/=y(l + — Y" 



L'équation cartésienne est 



<y - P) = K^ - ') - 



ou bien ai/ = 3r — 



.9' 



Elle représente une hyperbole dont les asymptotes sont 

X — a = 0, xy — jix = 0. 

Le point A est le centre de cette courbe. 

Le dernier lieu n'est autre que le lien du point de rencontre de la directrice y = /( et do la paral- 

imh , , ,, . , • r. 

lèie X — ~ — ;p = al axe menée par le point n. 



1 -f- m 
Le lieu s'obtient en éliminant m et h entre les trois équations 



= h. 



(l -+-m-)a- 



1 + m' 

Les équations paramétriques du lieu sont 



Ah 



moi. — ^ 



!/ = 



i'mx—P) 



L'équation cartésienne est 



i^r^ -H a-(x — =t)i , ., ,,, , ., ,.,, »-â- 



.r — a ■ a- — ï 

C'est encore une hyperbole dont les asymptotes sont 

.r — a = 0, X(a- -+- P) —A^^y— «(a^ — 3^) = 0. 

Ca. GUILLERME et BROS. 

Bonnes solutions; MM. C. Lacit. fi Deiiain ; Groscolas. à Besancon ; L. Sire, ii Lyon: R. Bodvaist ; G. Foicnv, h Roanne. 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



1731 . — Par rapport aux axes Ox et Oi/ de la feuille [qui n'auront pax <'té pasxr's à l'encre), lex points {s, s') 
fl (s,, s\) sont définis par le croquis ci-joint. 

On considère la sphère ï;, de 6"" de rayon, tangente à la droite (ssi, s's\) en 
son milieu, et dont le centre est sitiu! dans le plan rerticnl contenant cette droite et 
* M'""5 \ au-dessus d'elle. 

On demande de représenter l'ensemble des portions des surfaces des cônes de 
sommets {s, s') et (x,,''î) circonscrits à la sphère S, q<n sont limitt'es d'une part 
(p-^i aux cercles de contact de Ces cônes et de cette sphère, de l'autre à la courbe com- 

mune à ces deux cônes, la sphère étant supposée enlevée. 
\ La surface ainsi définte {supposée opaque bien que sans épiisseur) sera d'ail- 

^Y~, ^ leurs représentée avec les ombres produites par des rayons lumineux parallèles à 

'g ' la direction (R, R') dont les projections sont inclinées à 45° sur Ox. 

Les lignes de contour du solide représenté seront dessinées en noir {trait plein 

pour les parties vues, ponctué pour tes parties cachées) ; les lignes de construction en 

rouge; les lignes d'ombre en bleu Uf'iit plein pour les parties vues, ponctué pour les 

parties cachées, interrompu pour les parties parasites utiles à tracer en vue de faire 

comprendre la construction). Les parties de .lurface vues dans l'ombre seront recouvertes de hncliures bleues, fines 

et largement espacées. 



1S6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



On indiquera la cnnfilrnclion (Vun pohil courant nrer la tayigeyite l'u ce point pour fliacuiir des lignes clc 
contour. 

{Ecole nalionnle des Punt^ et C.haiissçe.i. cours préparatoires, cniicours de 1908 ) 

l.os deux rones étant circonscrits k une même sphère se coupent suivant deux courbes planes. Comme ils 
ont en commun toute la génératrice SS, et ont mênio plan langent le long de cette génératrice, l'une des 
courbes planes se réduit à celte génératrice qui compte pour une droite double, en sorte qu'il ne reste qu'une 
seule courbe plane à déterminer. Les deux cônes admettent pour plan de symétrie le plan de front qui contient 
leurs sommets et leur génératrice commune; la courbe plane cherchée admet donc ce plan comme plan de 
symétrie : elle est par snile dans un plan de bont qui |)asse par rintcrsection des doux génératrices tangentes 
au contour apparent vertical de la sphère et qui ne rnïncident pas. Si maintenant l'on remarque que la figure 
formT'e par l'ensemble des deux cônes a pour plan de symétrie le plan passant par le contre de la sphère et per- 
pendirnlaire à la génératrice commune, on voit que la ronrbe plane cherchée ne peut otrc contenue que dans ce 
plan. 

n'est donc l'ellipse section de chacun des deux cônes par le plan de bout o'b' ('). 

Les deux cercles de contact de la sphère avec chacun des cônes sont aussi dans les plans de bout menés 
par le point (a. «') perpendiculairement à leur axe, en sorte que le solide commun défini dans l'énoncé se pro- 
jette verticalement à rintoriour du quadrilatère a'h'c'd' . 

Sur le plan horizontal le cône S a pour contour apparent les deux tangentes menées {\\\ point >■ au conlnur 
apparent de la sphère, tandis que le second cône dont le sommet se projette U l'intérieur de ce contour ap])areiil 
n'a aucune génératrice do contour apparent horizontal. 

La projection hori/.onlale du solide commun limite comme l'indique l'énoncé se compose des deux ellipses, 
projections des cercles de contact AC et AD, qui lui servent en quelque sorte de bases, des portions de généra- 
trices du cône S comprises entre son plan de contact et l'ellipse commune aux deux cônes et de cette ellipse 
elle-même. 

Nous avons immédiatement les deux axes des deux premières ellipses. Ainsi pour la projection du cercle 
A(^ il suffit de considérer son diamètre horizontal, dirigé suivant la ligne de rappel du centre qui donne le demi- 
grand ,axe '/', puis de projeter son diamotro de front en ac pour avoir les sommets de l'ellipse. Construction 
analogui^ pour le cercle de contact du second cône. 

L'ellipse commune aux deux cônes étant symétrique par rapport au plan de front SSi a l'un do ses axo-- 
dans ce plan et par suite la pi'ojection horizontale do cet axe est l'un des axes de sa projection : c'est la droite 
ab. L'autre axe lui est perpendiculaire en son milieu G. Nous aurons sa longueur en construisant la corde du 
cercle section droite du cône passant par C et projetée verticalement au point g'. A cet effet, rabattons cette sec- 
tion droite sur le plan do front mené par son centre et menons dans ce rabattement la corde perpendiculaire à 
la charnière au point ;/'. Sa longueur g'g" nous donne la vraie grandeur du second axe de l'ellipse projection 
horizontale dirigé suivant le diamètre de bout gh. 

Points remacqnables. — Nous devons déterminer ilirectement les points où chacune dos ellipses touche le 
contour apparent horizontal du cône S. Celle qui est la projection du cercle de contact AC touche le contour 
a|)parent aux points où sa tangente est dans un plan vertical tangent au cône, ou, ce qui revient au même, tan- 
gent à la sphère; c'est donc aux points où elle traverse le plan de contour apparent horizontal de la sphère : on 
a de suite la projection verticale de ces points en l' et on en déduit leurs projections horizontales /|, /j. 

Quant à l'ellipse AI!, nous pouvons déterminer les jujints où elle touche les génératrices de contour appa- 
rent horizontal en projetant hori/.oiitalement les points p' où ces génératrices traversent son plan. 

La projection horizontale du solide commun se trouve ainsi bien déterminée. On en découvre toute l'el- 
lipse alicli, la portion pikbpi de l'ellipse section plane commune, ces deux courbes étant reliées par les 
génératrices ^i;)! et hpï. Toute la troisième ellipse est cachée. 

Oui hre propre il" sohile. — Nous chercherons séparément les génératrices d'ombre propre sur chaque C(')ne 
en lui menant des plans tangents parallèles à la direction des rayons lumineux. A col elfet, menons par ,<, .s' la 
parallèle à cette direction et prenons sa trace t, a' sur un plan de base du cône, par exemple le plan de bout 
i'fj' . ICn rabattant cette base autour de son dianu'>tre do front, en mémo temps que le point i:, nous n'avons 
qu'à mener de 7" les tatigentes au cercle rabattu et relover les points de contact pour avoir les génératrices de 
contact des plans tangents cherchés, s'o'. .0, .«'•:', .«-. I. a portion do surface éclaii'éo est celle qui tourne sa 



(1) On pourrait construire cette conrlie par points; en donnnnt :\ rlincun des càni's la base de Menue di^finie par le rvlindre 
vertical circonscrit à la sphère donnée. 



:^^-r^~-.___ 




X-v"c ^ ~ ~ ~ ■ — 




^ "x ^"^ ^ ~~ ^ -^ 


" ■ - . 


\x-^-^ 


' ~~^ ■ — . 






V^ ^v^^ 




. \ s ^ 




\ \ -^-. 


"^ - ^ 






"^'\ "- ^ 


^ - 


\ \ ^ 


^ ^ ^ ' ' 


\ \.' 


^ ^ ^ / 


,''V ^^ 




"V ~^^ 




\". V 


' ". 




'^ \ ' 


\ ^ ^ - 


^■^ ^j 


\ 'V 


•\ ■* 


\ 


^ \ '^ 


\ 


'^v. r\-- 


\ 


^^-J» ^^ 




^ V»^. 




158 PHYSIQUE 

concavité vers la parallèle aux rayons lumineux menée parle somniel du cône, et qui correspond a 
l'arc du cercle de base qui tourne .sa concavité vers le point S. Toute la portion de surface vue en projection 
verticale est donc éclairée tandis qu'en projection horizontale la portion de surface iipippi est dans 
l'ombre. 

Pour le second cône, la même construction, en lui donnant pour base le cercle AD, nous donne la trace 
(ouj' de la parallèle aux rayons lumineux que nous rabaltons en w" en même temps que le cercle AD. Les tan- 
gentes telles que <«"<-•" donnent les génératrices de contact <',»'«',, sivi et s\m\, si'mi, dont nous ne conservons 
que les portions limitées par les deux ellipses ad et ab. Ici la partie éclairée est celle qui tourne sa convexité 
vers la parallèle à la direction opposée à celle des rayons lumineux sioi, s[tD', en sorte que sur la projection 
verticale on en découvre ce qui se projette à l'intérieur du triangle a'o'v[, tandis que la portion v'd'b'v', est dans 
l'ombre. En projection horizontale toute la surface conique Si est cachée. 

Les portions de surface qui se projettent verticalement entre le point a et les deux fragments de généra- 
trice d'ombre qui en sont très voisins sur les deux cùnes sont éclairées mais cachées toutes deux. 

Tout ce qui précède s'applique à la surface convexe c[iii limite le solide commun ; mais si Ion suppose le 
solide creux et ouvert par ses deux bases, on découvre une partie de la surface concave intérieure au solide et la 
région de cette surface qui est dans l'ombre correspond ;i la surface convexe éclairée et réciproquement. On a 
ainsi la représentation figurée sur l'épure. 

Ilv a lieu de remarquer que l'ombre propre du solide ne comporte aucune autre région provenant de l'ombre 
portée par l'un des cônes sur l'autre. En effet, il n'y a que le cône supérieur S qui pourrait porter une ombre 
sur l'autre. Or, chacun des plans tangents qui détermine la séparation de l'espace éclairé de celui qui est dans 
l'ombre coupe le cône inférieur S, suivant une courbe tangente à la base .^B. mais située par rapporta cette 
base de l'autre côté que lesommel S, puisque cette courbe passe parle point S qui est sur la même nappe de la 
surface conique et par suite n'entame pas notre solide. 

D'autre part le cylindre d'ombre formé parles rayons lumineux qui s'appuient sur l'ellipse AB, ayant même 
base plane que le cône Si, le coupe suivant une seconde courbe plane, qui traverse l'ellipse aux points où les 
deux surfaces ont le même plan tangent, c'est-à-dire aux points Vj et Wi, pieds des génératrices d'ombre pro- 
pre. Comme le s.omniel Si est extérieur au c\ lindre, pui.sque la parallèle aux génératrices perce le plan de base à 
l'extérieur de l'ellipse AB, il en est de même de chacune des génératrices SVi et SWi, et par suite la courbe 
d'ombre portée par la base AB est située dans la l'égion de l'ombre propre du cône Si. 



PHYSIQUE 



1691. — Une horlogn dont le balancier, qui esl homogène, est formé d'une matière dont la densiti' 
rst i,5 el le coef/îcient de dilatation linéaire 0,000 018, a été refilée à O" et ô la pression 7fi0"". La lem- 
pérnture peut varier entre — 10° et -j- .'10°, la pression entre "liO fl 780. Dans ijuclles limites peut varier 
l'avance ou le retard de l'horloc/e ? 

On supposera l'air toujours sec et on pourra laisser de côté les quantités pratiqncmcnl néçiligrabli's. 

Qu'y aurait-il de changé si le balancier n'était pas homogène, par exemple si, tout en ayant son centre 
de gravité à une certaine dislance de l'axe de suspension, il avait une forme extérieure symétrique par 
rapport à cet axe? 

étudions d'abord la variation de la durée d'oscillation ( du balancier. 
Si '/' désigne la gravité apparente, on a d'abord 

Désignons par g la gravité réelle, par o et |ji les masses spéciliques de l'air et de la inalière du 
pendule, par « el X les cooflicienls de dilatation de l'air et du pendule, par ;) la pression et par la 



PHYSIQUE 150 

température; on a 



/ = /„(l-l-).'),i 






I +3/0) 






p.. I -+- y" * 
Hemplaçons et négligeons d'abord les termes du second ordre en — ^ : 



Négligeons maintenant les ternies qui contiennent le produit À — : 



/ L I Oo p 1 



iVégligeons enûn les termes du second ordre en À, 
En particulier, dans les conditions du réglage, on a 

Des variations de 6 et de p produiront une variation de / donnée par l'expression 

2 V ^ I ;VJ„ll^-.9 (1-^,0)-^;) 

En particulier, à partir des conditions du réglage, où 6=0 et p = p„, 

Faisons l'application numérique : 

X = 0,000018. ^="2^' "» = W' 

— a = 0.000001. ■/. — -^ a = 0,OOU01T. -^ = 0,00000378, 

la pression étant évaluée en centimètres de mercure. 

Calculons la variation relative — '- en réduisant U à son premier terme ; il vient 

-il =: — (0,000017rfOH-0,00000378rfp'j. 

Les deux termes étant de même signe, associons la température la plus élevée à la pression la plus 
forte : 

dh = ^30. dp = -^t et !—^= 0,000259. 

Associons de même la température la plus basse à la pression la plus faible : 
rfe = — 10, rf» = — 3 et i^ ^ —0,000091. 



KiU 



QUESTIONS PROPOSÉES 



Etudions mainlenanl la marche de l'horloge eu lonction de la durée de roscillation. 

Soil, d'une manière générale, i la durée d'oscillation d'une horloj,'e réglée, n le nombre d'oscilla- 
tions que le balancier l'ail alors en un jour, t' la durée d'oscillalion ut n' le nombre d'oscillations quand 
l'horloge n'est pas l'églée, 

ni = /t't'. 

Quand, par exemple, l'horloge retarde et qu'au bout d'un jour le balancier a lait n' oscillations, il 
en manque n — u' et l'horloge retarde de (n — n')t, c'est-à-dire d'une fraction de jour égale à 

(// — n')t n — II' t' — / 



t' 



Appliquons au cas actuel; le retard aura pour expression — 



dr, 



■dt., 



dt„ 
ou sensiblement — - 1 soil, 



en secondes, -^-^x 86400. 

Le retard maximum sera donc U,0U0259 X 8b4U0 = -22*^0^38. 

L'avance maximum sera 0,000091 X 86400 = 7»ec,86. 

Si le balancier n'est pas homogène, l'intluence de la poussée change, et s'il est symétrique par 
rapport à l'axe de suspension, l'influence de la poussée se trouve complètement é'iminée, celle-ci étant 
appliquée sur l'axe. 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1773. — Si la série 1(71 à termes tous positifs est convergente, il en est de même delà série 

v„ = n{ît^, — u„+i), 
et ces deux séries ont la même somme. 

La même Iransfornialidn s'applique à une série h,, à termes i[uelconques, quand lim nu„ z= 0. 

Appliquer .uix séries 

1 n 

((,, := X", M„ = — > Un — 



n- — 1 



71 -t l 



G . V.iLE.\Sl . 




1774. — Trouver une courbe telle que le cercle décrit sur la tangente MT 
comme diamètre soit orthogonal à un ceicle fixe de centre 0, et que le rap- 
port unharmoniquo M((JTOP) = — 1, M<J étant une tangente au cercle 0, 
et MP l'ordonnée du point M. 

BtWOlT-GOMliN . 



BAn-LK-nnc. — imk. cciarc-JACaunT. 



J.e Héducleur-Gérunt : H. VUIBEKT. 



19« Année. 



N" 7. 



Avril 1909. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



SUR l.E RAYON DE COI RBLIP.E DES COERBES PEANES 

|Kir M. Louis Sire, i Lyon. 



Rayons de courbure d'une courbe et de sa podaire. 



1. — Considérons une roiirlic pUmc 




:i; preniiiissa poii.iiie ii;ir ivippuit à un point 0. Soient M, M' deux 
points iiiliniracnt voisins de la courbe; P, P' les points corrcs- 
l)ondantsde la podaire, C le point de rencontre des normales en 
ces deux derniers points. 
Po.-ons 

MÔM' = w, PUT = mrnT = w', 

MOP = ï, PCF = o. 

Désignons par R, H,, les rayons de courbure des deux courbes 
aux points M, P. 

La normale au point P passe parle milieu B de O.M, donc 

CBA = 2x. 
Les triangle^ CBA et OAP' nous donnent 

Q + 2a ^ (ï + tu'j + (a H- oi' — ai), 
c'cst-à dire 

= it.v — (0. 
D":iulre part, nous avons 



cr ((ue nous poux uns écrire 



liin 



liiij 



smc-'' 



■=lim 



sin2<., 



-ïï7 = '""( 



pp. 

•2sino/ sinoj MM' 



sin -^tn siniu \ 

PP' PP' j' 



IM' snio/ \ 
no/ • PP' j' 



PP' MM' sir 

Soient i',v les rayons des cercles circonscrits aux triangles npp', OALM' ; nous avons 

I MM' 1 \ 



1 ,. / I 

— - = lim — 



2o sin tu zu I 
Désignons par p, p,, les rayons des cercles passant par et tangents en M, P à la courbe (C) el à sa 
podaiie; il viendra finalement 

J_ -_L _ " 

H„ ■" c„ 4:;,, ' 



ou encore 

ee sera notre formule V\. 






162 



SUR LE RAYON DE COURBURE DES COURBES FLANES 



Rayons de courburâ d'une courb? et de sa quasi-podaire. 

2. — Je vais étendre le résuUat précédent au cas où le point P est le pied d'une oblique issue du point 
ù la tangente en M à la courbe (C), tel que MPO = V ;= constante. Le point 
P décrit une courbe (P) que j'appellerai jui^î-porfair? de la courbe (C) par rap- 
port au point U el coirespondant k l'angle V; inversement la courbe (Cj sera 
une quasi pod'iire )i''(;n(ife de la courbe (P). 
Wi Considérons la transformation qui, k un point P de la courbe (P) associe la 

droite PM telle que ÛPM = V ; c'est une transformation de contact. Par 
suite, le point M oii la droite PM touche son enveloppe ne dépend que de la 
tangente en P k la courbe (P); il ne changera pas si nous remplaçons cette 
courbe par le cercle w qui passe par et qui lui est tangent en P. Dans ce cas 
la droite PM passe par le point fixe M du cercle. Donc M est le point limitecher- 
ché ; de sorte que si nous faisons varier V, tous les jioints limites seront sur 
Soit Ml le point limite correspondant à l'angle V, : iioii> avons 
mIom = V, — V 
OM _ .sin V . 
OM, ~ sinV, 
par suilr ; 

Det'3- ijiiasi-pndaires négatives, relali 
une liomothétie suivie rl'itne rolaiion. 




le cercle w 



cl 



au même point ci à la même courbe, se déduisent l'une de ianlre par 



En particulier, si V, = -^, nous voyons que : 

Une quasi-podaire néjative correspondant à l'ongle V se déduit de la podairc négative par i Itoniothétie sin V 
suivie de la rotation — - — \ . 




3.^py'ous sommes donc conduits à calculer le l'avon de courbure en un point de riiomothétique d'une courbe 
plane (C) par rapport à nn point 0. 

Soient M, M' deux poinis infiniment voisins de (C), II, H' les points 
correspondants de Thomothetique (H). Posons 

ilKH' = 5ml' = o ; 

nous avons 

,. Hir ^ ,. MM- 

\\n — iim -. — ^, = k. Iim —. = A.R. 

sinU sinû 

h. —Prenons la quasi-podaire négative d'une courbe (P) par rapport à 

un point 0, correspondant à l'angle V. Soit A le point correspondant de la podaire négative. Si R, R,, sont 

les rayons de courbure aux points A, P, la formule l"s nous donne 

0;, U 

~Tr + - 1=0. 

R;, 4p 

D'autre part, les courbes (A) et (M) sont bomolhéti(iues dans le rapport sin V, 
il'iiii, pour le rayon de courbure Ri au point M, 

n, =11 sin V ; 
d'un autre côté, si pi e>t le rayon du ceicle qui passe par O et qui est langent en 
.M à la droite MP, nous avons îi =psin V, d'où 

J. _ l!i 
par suite : 

Le rapport — exl m h'pendant de l'angle V ; il est le tnême aux points homolo- 
gues d'une liomothétie. 

Notre formule Fs devient donc 




R, i: 
c'est la généralisatiiin de la formule l's ; nous l'apiicUerons Iv. 



SUIl LE RAYON DE COURBURIi DES COURBES PLANES 



163 



5. — Nous avons vu ijih 



[{ 



de sorte que si C est le centre de courbure de hi quasi-podaire négative en M, I) sa projection sur OM, 0, le 
centre du cercle de rayon pi, E le point où ce cercle coupe a nouveau la normale MP', nous a\ons 

MC = /t.MO,, 
d'où EC = (A — 2)MUi, 



par suite 



OD = — - 1 OM. 




Le lieu du point 1» est donc un cercle lionioLlicliquc du cercle w par rapport ii 0, le rapport dhomothétie 

h 
étant — 1, lorsqu'on l'ait varier V. 

Par suite, la droite CD passe par un point tixe P» de la droite ojO el, comme P'GP' = UMP = const. lorsque 
M décrit le cercle w, le lieu du point C est un cercle passant par P', P"; c'est-à-dire que : 

Le lieu des centres de courbure des guusi-podairts négatives d'une courbe (P) far rajq-ort à un point et cor- 
respondant il un même point P est un cercle. 

Identité du cercle de courbure et du cercle osculateur. 

podaire négative d'une courbo (P) par rupporl à un de ses points et supposons que le point 
P se rapproche indéfiniment de U. Le cercle Oi de ravon o,, tend vers un cercle 
ayant li'ois points communs en avec lu courbe, c'est-à-dire vers le cercle oscula- 
teur en II à la courlie. I.e lavon p do cercle <•_> devient inliiiiet la formule Ks nous 
donne 

,'/■ = '"•;. 
c'est-à-dire que ; 

Le raijon du cercle osculateur ett èijal au raijon de courbure. 

Rayon de courbure de la parabole. 

7. —Prenons la podaire iiéf;ati\i' d'une droite A )iar rappoid à un point 0; c'est 
une parabole de loyer (J el de tangente au sommet i. La l'ormule Es, dans laquelle 
nous faisons n^, =z », nous donne I! =:: 4p, 

c'est-à-dire : 

Le rayon de courbure en un point d'une parabole est éyal « 4 fois le ruyon du cercle passant par son foyer et 
lanijent à la parabole au point consiiliré . 

Points d'inflexion et de rebroussemenl dans les quasi podaires. 
8. —Nous ne supposerons pas que le point M soit l'un des points de contact des tangentes issues du point 
à la courbe (C), auquel cas pr = » et la formule l'V se réduit à p,, = H;„ c'est-à-dire à une identité, 
d'après 6, en supposant toutefois U tini en ce pi)inl, sinon la formule est indéterminée. De même, nous ne 
considérerons pas les points P de (P; pour les(|uels p,, = jo. Los homologues de ces points sont soit le 
point U, soit des points à l'infini. 

La formule Fs', dans la(|uelle nous faisons I!,, = v: . nous donne Pu = 4pi, c'est-à-dire, en tenant 
compte de 7 : 

Dans la transformation par quasi-podaire, aujc points M de la courbe (C), tels que la parabole de foyer et 
tangente en l'un de ses points à (C) ait un contact du seco)id ordre avec (C), correspondent des points d'inflexion. 
Soit M l'un de ces points. Le rayon de courbure de la courbe en ce point étant égal à 4pi, son centre de 
courbure est en C tel que CM' = .\t.\l'. 

Supposons alors que le point (i décrive le cercle a; dans la transformation 
considérée, au point .M correspondra loujo-rs un point d'inllexion, puisque pi 
reste le même. Autrement dit. la parabole de foyer O et ayant un contact du 
second ordre avec (G) en .M conservera ce contact; par suite, en prenant >1 quel- 
conque sur la courbe (C) et convenablement, nous voyons que : 

Le lieu des foyers dt s parabole^, qui oni, en un point donna, un coiUuct du stcond 

ordre acco une courbe donnée, est un cercle homothétiqne, dans te rapport -r' du 
cercle de courbure de la courbe, par rapport au point donné. 




16 i 



ÉCOLE i\ATIONALE SUPËRIEURE DES MINES 



La formule l"s- dans laquelle nous faisons Ri =: nous donne o^ = U^,, c'est-à-dire que : 

Dj.ns la transformalion par quasi-po liire négativi, aux points de contact des cercles osculateiirs passant par 

ispondeiil des points de rebroitssement. 



(A suivre.) 



ÉCOLE XATlUXALt: SUPERIEURE DES MINES 



Concours de 1908. 



1696. — On considère les hijperholcs équilalvres qui ont pour sommet un point dmné ei qui passent 
par un autre point donné A. 

1° Trouver et construire la courbe lieu de leurs centres. 

2° Calculer l'aire de la portion de plan comprise dans la boucle de cette courbe. 
3° Trouver l'enveloppe des ates non Iraniverses des hyperboles considérées, 
i" Prenons pour a.ve Ox la droite OA et désignons par 2a l'abscisse du point X. 
L'équation générale des hyperboles équilatères qui passent par les points et A est 
.1- -h 'iBxij — y- — 2ax + 2Ej/ = 0. 

Le coefficient angulaire de la tangente à l'origine est -— • 

Le diamètre conjugué de cette direction a pour équation 



(x + By- a)-f--tRx-y + E) = 0, 



et son coeflicient angulaire est 



aB 



BE 



nous exprimerons que U est un sommet en écrivant que — 

Posons E = — ), nous tirons de cette équation 

■2al 



BE -« 



(C^ — A2 

d j sorte que l'équation générale des hyperboles équilatères devient 

•l'M-— — rrxy — y- 




2((X — Ihi = u 



Les équations (jui déterminent le centre sont 
X H ; r-T y — (( = u, —j- 



elles nous donnent immédiatement 

(a' - '■') 

X — a ; r-r ' 

a- + /■' 

et celles-ci : 



= X 



î_X=) 



a- -\- X- 



:/ 



de sorte que l'élimination de X nous conduit à l'équation de la stro- 
phoido droite que voici : 

a-(x'-+-!/2)-«,a2— y2) = 0. 
L'é()ualion deson asymptiilecsl x \ <i = 0; elle a la forme indiquée. 



ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES MINE^ 



165 



2° L'équalion en coordonnées polaires est 



l'aire de la Ijoucle est égale à 



c'est-à-dire à 



ou encore 



/ ' ' (2 cos- o) — 1 - 



2 cos 2u> — 2 



'■■J. 

a- j Ia cos- to — 't + - 
V'"- = a=>in2ou 



IS- '■> I 



2.0-+- lK<oL 



K-i]^ 



c-\ * ( ' 
3° L'axe non transverse passant par le centre et étant parallèle à la tangente à l'origine a pour 

équation 

'n.i-—'r- a r (i' — '-)"! 

•' a- -f- /.- ). L "' — '■ J 

c'esl-à-dire "-r -f- '/■;/ -!-^^ — «- = '^ '■ 

il enveloppe la parabole y' — 'i"{x — a) — 0, 

qui admet pour axe la droite Or, dont le sommet est le point x = a et le paramètre égal à 2a. 

Solution géométrique. ~ 1° Soit C le centre d'une des hyperboles équilalères considérées, P le milieu 

de OA. 
Prenons le symétrique R de A par rapport à la droite OC. 
Le triangle isocèle AOR a pour orlliorontre le point Oi second 
sommet de l'hyperbole; de là 

ROC = CÛÀ = [hÀT., 
or QCO = St^C- 

d'aulre part 

Soie a pour complément i>iAH, 
"Que a pour complément COA , 
de là QCO = ^ÔC , 

QC = QO. 
Le lieu de C est donc une strophoide droite ayant pour 
point double et P pour sommet. 

3» L'axe non transverse est perpendiculaire en C à la 
droite OC. Il enveloppe donc la podaire négative de la strophoide 
par rapport à son point double 0, c'est-à-dire une parabole 
daxe OP, dont la directrice passe par et dont le foyer est le symétrique de par rapport à P. 

Louis SIRE, à Lyon. 

Bonne solution, parles coordonnées polaires et la ïéométrie, de M. Besoit-Goxis. 

Bonnes solutions analytiques : MM. E. Berthelot. à Cholet ; G. L»ch, à Denain : H. J»xois, a Nantes ; Bros ; L. .■tto.NTACT, 
à Alger ; A. Ddbv, lycée de Dijon ; M. Pblisso.x.mkb, à Dijon ; J.-D. Dufalt, à Poitiers ; C. Foccbï ; AMBLABh: J. I.ixt. 
Autre solution géométrique de MM. G. Girbb ; J. Bist. 

Autre solution. — Soient i/— mx = l'axe qui passe à l'origine et my + x + ~t. — Q l'axe per- 
pendiculaire; l'équation de l'hyperbole équilatère indiquée dans l'énoncé est évidemment 

(y — mx)-— (tny -\- x -\- AI'--!-).- = 0. 
11 n'y a plus qu'à exprimer qu'elle passe au point A (x := ia, i/=0); ceci donne 

a{m- — 1)— >. = 0, À =ai)n- — Ij. 

Le lieu du centre s'obtient alors en éliminant m entre les deux équations 
y — ma: = 0, my -)- a; -(- ni-/)' — I ) = 0, 




16Pi 



ECOI.i: NATIOXALK SITERIEURE DKS MINES 



et Tonveloppe de l'axe non transverse en exprinnanl que l'équation 

/>!!/+ a; -h a( m' — 1) = 
a nne racine double en m. Les calculs sont immédiats. 



Solution géométrique. — Dans une hyperbole éqiillatère, on a 

x- ^ y- -+- a-, 
ce qni vent dire qno la distance d'un point à l'axe imaginaire est égale à celle du sommet à la projection de ce 
point sur l'axe imaginaire, .•\iitrenient : soient A nn sommet et M un point de l'hyper- 
bole; la perpendiculaire an milieu de AM passe au pied de la perpendiculaire abaissée 
du point M sur l'axe non transverse. 

Dans le cas actuel, estun sommet, A un point de la courbe, la perpendiculaire 
(D) au milieu de OA passe au pied de la perpendiculaire abaissée du point A sur l'axe 
imaginaire (A). Nous aurons donc cet axe en menant par A une droite quelconque AM 
qui rencontre (D) en M et en élevant (A) perpendiculaire à AM en M. La droite (A) 
enveloppe donc une parabole ayant pour fover le point A et pour tangente au sommet la 
droite (D). 

Le lieu du centre est la podaire'de cette parabole par rapport au point 0. Ce point 
est un point de la directrice; donc la podaire est une slrophoïde. 




1697. — Un point M décru la cardioïde représentée par l'équation r = a(l -h ces 6). 

// se meut de telle façon que son accélération totale soit dirigée constamment vers le point de rebrousse- 
ment A. Calculer, en fonction du rayon vecteur AM = r, la vitesse, l'accélération totale et la composante 
normale de l'accélération totale. Déduire de là le rayon de courbure. Former l'équation de l'Iiodograpbe et 
construire celte courbe. 

rfO d'i 



L'inléirrale des aires nous donne r^ 



dt 



dt 



I) autre part, v = y — 

par suite ,- = _ + ^ _ ) (^_ j , 

Or, dans le cas actuel, on a 

r = ai 1 ^- cns 0) 

la formule qui donne v- devient donc 

sin-O "I 






■—— = — '( sin fl ; 
f/0 



-5[ 

on délinilivp, on a 

(I) 



1 -H 



(I -^ CCS 0)2. 



r\ I + ces ) 



-— 2(l+cosfO: 



L'é'iualion des forces vives nous donne 



= ?dr 



F désignant la force (|ui sollicite le mobile. L'accélération lolale ';»• qui dans le cas actuel, s'exerce sui- 
vant le rayon vecteur, est donc fournie par l'équation 



cette relation nous donne immédiatement 
(2) 



rf— =V»rf'' 



_ _ 3oc» _ 



ÉCOLK NATIONALE SUPÉRIEURE DES MINES 



Enfin l'accéléralion tangentiellc. ■;,, est donnén par 

_ do _ dv dr d<) 

^' ~ ir ~ ~dT- ~dn ~dT ' 

dv ^ . ,,.,.,. (Iv :](ir- dr . , d» c 

—r- est fourme par 1 ej^alite *' — — =■ -. — i -7— par — a sin 'i, et -;— par — •; nous avons donc 

dr ^ dr »■• du * c// ' /- 

(inalemenl 

y; = — n- sin'' ') — 

r c- r' 

et, comme «-sin- fJ = a-(l — cos- ')), ou <i'^ siir (1 = a^ — (r — n)-, nous avons 

■/r = (far — r-\ 

(3) V?=— V 

Nous avons dune finalemenl 

.ll^f-.;^=-—(ia-ia+r), ï^ = ^^TT ' 

D'ailleurs nous avons, en fonction du rayon de courbure et de la vitesse, 

•■=— • donc o=— , 'J = — , 

? ' Y" Y" 
et, par suite, 

^ ia^à 2r'' _ Hnr 

'' ^ V' ' "îkc * ÎT ' 

(4) ? - Af- s/m: 

Cette formule est bien connue. 

L'angle V ([ue fait la tangente avec le rayon vecteur est donné par la formule classique 

r 1 +cosO , ,. . '* , / '^ *• 

T. 

l'anale V estdoncéealà \ 

2 i 

L'angle que fait cette direction avec la perpendiculaire au rayon vecteur orientée dans le sens -1- — > 



6 
esterai à -— ^ donc on a 

rfO c ... C 

?•— — = V cos — = — . et ensuite y = — 

dl 2 r " 

r cos -^ 

en grandeur et en signe. 

En outre, les coordonnées polaires d'un point de l'hodographe sont 

r. 30 

,•, =: r. 0, = + V = — -H ^5- : 

il suffit d'éliminer v et entre ces relations et l'équation 



,, - „ e 

a(l + ces " 1 cos — 2a ces- — 

pour avoir l'équation polaire de l'hodographe. On trouve ainsi 



1C8 



KCOLE NATIONALE SUPÉtllEURR DES MINES 



/( désignant la constante — — 



Faisons tourner l'axe polaire de l'angle —• c'est-à-dire changeons 'i en — -H^*, nous aurons 
(inalement l'équation que voici : 



Les coordonnées cartésiennes «ont .r = r cos 'J, )/=rsinO, ou .t = 6(l— 3/-), ij — b{^t — P) 

(I 
en désignant par t le paramètre tg — • 

Pour revenir aux anciens axos, il faut cliangiM' r en y et )/ en — .i ; on a ainsi 

./• = — i;3/ — r-j, y = b{i — 31'-). 

On peut construire cette courbe soit avec les équations précédentes, soit avec l'équation polaire 

h 



ros^ 



cl faire ensuite tourner la figure de l'angle — autour du pùle. 

11 faut faire varier dans un intervalle d'éti^ndue G-. Si on change ') en — 0, r ne change pas : 

donc il y a une symétrie par rapport à l'axe polaire et il suflit 
de faire varier de à 3-. Si on change 6 en 3-— 9, r se 
change en — )•, et on retrouve la symétrie par rapport à 
l'axe polaire. 11 suffit donc finalement de faire varier de 
3- 



Dans crt intervalle — croit de à — ? cos dé- 
3 2 



J/ 


l 






~^ 




I ^ 




jr 



croit de 1 ;i et :- croit de é ii -h 
Si on forme la quantité 

S = j'sini 0— -^ ] on o : 



in("+^)> 



3- 



on constate qu'elle devient infinie et négative, quand 6 tend 
3- 



vers —^ par valeurs plus petites que ; la branche infinie est donc parabolique et l'on a la figure 

ci-contre. 

Bonnes solution^ : MM. !.. Sibk, 4 Lyon : Bnos ; A. Dcnv. ii Dijon ; G. Koccnv, à Roann<- ; J Biw. 



1698. — On considrrc Irnh foi'rps applùjui^es suivant trois droites dannées, rectnnijiilairfs Pt non con- 
courantes. 

Calculer, pour un point quelconque de l'espace, le moment résultant de ces trois forces. Déterminer 
l'nxe central, c'est-à-dire le lieu des points pour lesquels le moment résultant G a la même direction que la 



ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES MINES 



169 



ri'sultaiile de trmislalioii R. Trouver la surface oigendréc par l'axe central quand les forces varient de 
telle manière que G et R eonserrent des valeurs données. Examiner en particulier le cas où G est nul. 

Prenons pour axes des parallèles aux l'orces et soient a et h les coordonnées de la trace sur le 
plan des xtj de la force parallèle à 0;, a' et c' celles de la trace sur le plan des zx de la force paral- 
lèle à Oy et b", c", celles de la trace sur le plan des yz de la force parallèle à O.c. Les composantes 
de ces forces et les coordonnées de leurs points d'application forment les systèmes suivants : 

0, 0, Z; 0, Y, 0; X, 0, 0; 

a, b, a', 0, c' 0, b", c". 

La résultante générale a donc pour composantes X, Y, '/.. Les composantes des moments par rap- 
port au point x, y, z sont 

[b — ij)Z, —(a — x)Z, 0, 

— (c'—z)Y, 0, (a' — x)Y, 

0, {c" — z)X, —{b"—y)\. 

Le moment résultant a donc pour composantes 

L = {b - y)/ - (-■' - z)\. U = —{a- x)Z + (c" - :)X, N = («' - x)\ — [b" — y)X. 

Les équations do l'axe central sont alors 

L _ M_ _^ 

X ~ Y ~ y 

D'autre part 

LX + MY -H NZ 

est constant et égal au produit géométrique des vecteurs OR et OG; c'est donc G.R, en appelant G 
le moment résultant par rapport à un point de l'axe central : par suite, on a 

L _ ^ _ N _ GR _ G 

Appelons A cette valeur constante du rapport —■> nous aurons 

(b — ?/)Z — (c' — :)Y — /.-X = 0, 
— kY — ia — x)Z + (c" — ;)X = 0, 
{a' — x)Y — (4" — y)\ — /,Z = 0. 
Le lieu engendré par l'axe central s'obtient on élinninanl X, Y, Z entre ces équations et est repié- 
senlé par 

-A-, z-C, -(!/-*) 

— (:— c"), ~ k, x—a = 0. 
y — //', — (.(■ — n'), — A 

Cette équation développée est 

_ k[k'' + (x - a)[x - a')] H- (î - c')[{x - a)(y- b") — A'(: - c") \ - (y - b)[(x-a')iz - c") h- A(j/ - b")] = 0. 

Les termes du troisième degré disparaissent et l'on voit de suite que cette équation représente une 
quadri(iuo réglée. 

On peut encore simplilier cette équation en prenant pour axe des : la ligne d'action de la force Z 
et en plaçant la force Y dans le plan des xy ; ceci donne « = 0, b — et c' = et l'équation 
devient 

k\x{x — a') + yiy —b'') -h :(: — c")] -+- A' -|- l/'xz — a'yz — c"xy + a'c"y = 0. 



170 KCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES 

Quand (1 esl nul, /. ost nul, Pl on a l'Iiyperboloïiio 

//'.r: — n'yz — r' .ry -*- a'c'y =: 0, 

qui admet Ips (rois droilrs données pour directrices. 

Le lieu trouvé reste le même quand G et R varient en gardant un rapport constant. 

BROS. 

Bonne solution de MM. A. Dubv, à Dijon ; J. lii.vv. 



1699. — fj»e boulrillr de Leyde cylindrique, d'un dinmrire extérieur de 20''"', esl chargée au moyen 
d'une machine à influence. Lest armatures intérieure et extérieure de la bouteille sont constituées par 2 feuilles 
de papier d'éla in collées sur la paroi latérale sur une hauteur de UO'"". L'épaisseur du verre séparant les 
deux armatures est de 1""". Son pouvoir inducteur spécifinue est de 3- 

1° Evaluer en microfarads la capacité de la houteille. On assimilera pour ce calcul la houteille à un 
condensateur plan ayant même surface d'armatures (1 microfarad esl la capacité d'une sphère de 9 l;m. de 
rayon). 

2° Evaluer en coulombs la charge de la houteille hnsque la différence de potentiel entre les deux arma- 
tures esl de 10 000 volts. 

3" Evaluer le nombre de hilugrammètres nécessaires pour actionner la machiae à influence pendant la 
charge de la bouteille sous \0 000 volts. On ne tiendra pas compte des déperdilinns d'électricité ni du travail 
absorbé par les frottements. 

4° On veut faire partir un détonateur électrique mt moyeu d'une batterie de bouteilles identiques à la 
bouteille étudiée, et chargées dans les mêmes conditinns. Dans ce délon'tteur, le feu est mis à l'explosif par 
un fil 1res fin de cuivre qui est traversé par la décharge de la batterie et par suite s'échauffe. On admet que 
toute l'énei'gie électrique esl transformée, sans aucune perte, en chaleur servant à échauffer le fil. Il fiut que 
celui-ci s'élève à une température de AOO" au-dessus de la température ambiante pour amener sûrement l'in- 
flammation. 

On demande le nombre de bouteilles, associées en quantité, dont doit se composer la batterie, /.nugueur 
du fil fin de cuivre, 10'"' ; diamètre, O"'",! ," masse spécifique du cuivre, 9 ; chaleur spécifique, 0,09. 

■\° On décharge la même batterie en faisant jaillir une étincelle entre deux sphères conductrices enfer- 
mées Il l'intérieur d'une ampoule en verre de lOOf'" ' de capacité. Cette ampoule a été remplie d'air à la pres- 
sion atmosphérique normale et à la température de 20". On demande d'évaluer eu centimètres de mercure 
l'augmentation de pression consécutive ii l'étincelle en supposant que celle-ci n'échauffe que l'air. Il faut 
0,17 petites calories pour échauffer de i" un gramme d'air dans les conditions de l'expérience. 

ti° On considère une bouteille de Leyde identique aux précédentes sauf que l'épaisseur du verre est de 
1"'. On demande l'erreur commise dans l'évaluation de la capacité, lorsque l'on assimile la bouteille èi un 
condensateur plan ayant pour surface la surface île l'ariUiilure extérieure. On dminera cette erreur eu tout 
pour cent de la valeur réelle de la capacité. 

Aote. — Ou ne demande dans tous ces calculs que l'approxi^uation que donne la règle ordinaire à calculs 
de 2G''"', soit iiiu 'A chiffres e.vacts. 

1° En unités éleclroslaliques (;. G. S. et en néiiligeanl, comnu' l'inilique l'énoni'o, la ilill'éronce de 
surface des drux armatures, la cai)acilé est donnée par la formule 

2v:rh _ 10x30 _ 9000 ^ 
~ ' 4ne ~" ■ 2 X 0,1 "~ 2 



ECOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES MLNES 171 

Ur un microlarad vaut 900 000 unités (]. G. S. ; donc 

1 r . 

200 

2° La charge est liée à la capacité et à la diirérence de potentiel par la formule générale 

Q = CV. 
Nous aurons Q en coulombs en évaluant la capacité en farads, c'est-k-rliro avec une unité un 
million de fois plus grande que le microfarad, et la différence de potentiel en volts : 

*ÛOOO ,. ,„ . , , 

Q^ 200000000 ^^X'"-'^""'"'"»^- 
3° L'énergie d'un condensateur est donnée par la formule 

w=1qv. 

En évaluant Q en coulombs et V en volts, nous aurons d'abord l'énergie en joules : 

W = — -XoX 10"^ X 10* = — de joule. 
2 4 

Or un joule vaut -^r-^j- de kilogrammètre ; donc 
"581 

W = — X -J7TTT- = 0,0254 kilogrammètre. 

i" Un joule équivaut à une fraction de petite calorie -p— ; x bouteilles fournissent donc une quantité 

de chaleur c x — X ■ Ecrivons que cette chaleur échauffe de 400° le (il de cuivre, dont la capa- 

4 4,2 

cité calorUique est égale a - •r—l,'-'' '■ 

■fx-r-x-r^ = 7:X*^^^X 10x9x0,09x400. 
4 1,2 4 

On trouve x = 4,27 ; il faudra donc bouteilles pour produire l'efTel voulu. 

o" Ecrivons que la chaleur dégagée par la décharge de ces o bouteilles échauffe de 6° la masse d'air 

donnée : 

3X-JX ï^= '^^x^x — L__xO,17xe. 

D'autre part réchauffement 6 et l'augmentation de pression 7 sont liés par la relation 

76 + y _ l+a(20-)-9) 

76 "" l-i-a.20 

1 

■'-'^- — ït"^- 

'+27^ 
L'élimination de 6 donne 

./ 3= 76 X -^p- X 5 X — X -7-^ X -^ — 3'"',8 = — d'atmosphère. 

6" L'épaisseur étant 10 fois plus grande que la première, la capacité du condensateur plan de même 
surface extérieure est 10 fois plus petite, soit 450 G.G.S. 

La capacité du condensateur cylindrique est exacteim-nt — - = 427 et l'erreur est d'en- 



R 

log. nép. 



viron 5% 



172 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Remarque. — La capacité d'un condensateur plan ayant pour surface la surface de l'armature inté- 
rieure est 405 et la moyenne entre iOo et ioO représente presque exactement la capacité vraie. 

Bonne solution de M. Jean Biny. 

Assez bonne solution de M. okBazillac, d Angei-s, mais une erreur commise au début dans l'éYaluation de la surface fausse 
malheureusement tous les résultats numériiiues, qui devaient être simples. 



QUESTIONS PROPOSEES 



4775. — On considère tin cercle fixe dont le rayon est égal à 3 et rapporté k deux diamètres rectangulaires 
Qx et Oy. Sur Ox et sur le cercle glissent les extrémités d'un segment AB dont la longueur est aussi cons- 
tamment égale à 3. 

i" Trouver le lieu du milieu de AB et l'équation tangentielle de l'enveloppe de la droite AB. 

2° Sur AB comme diamètre on décrit un cercle. Trouvei- et construire l'enveloppe de l'axe radical desdeux 
cercles. 

3° Trouver la développée de cette enveloppe, la rectitierel la construire. 

R. .Ma>e>. il Albi. 

1776. — Ln corps solide étant en mouvement, trouver, à un instant donné, les courbes (C) telles que lu 
vitesse en l'un iiuolconque de ieiu-s points soit dirigée suivant la hinorniale. 

Ces courbes, dont les éipialions dépondent d'un paramètre unique, comprennent des hélices tracées sur de.s 
cylindres de révolution. 

Lieu des axes de ces cylindres a l'instant i. 

Lieu de ces mêmes axes dans le corps, lorsque celui-ci est en mouvement. 

Démontrer que les plans osculateurs aux points d'intersection de toutes les courbes {C^ avec une surface 
donnée (S) d'ordre p, enveloppent une surface (S) de classe p. Cas oii S est un plan. 

Dans quel cas les plans osculateurs auront-ils une droite lixe ? 

X. G. 



DEUXIEME PARTIE 



GÉOMÉTRIK ANALYTIQUE 



1694. — On donne deux axes rectangulaires Or et Oy et deux pohils, k et A!, pris sur ces axes, tels 
que 0\ = OA' — a. On considère en outre deux cercles variables [V) et (l"), de centres C et C, tangents 
respectivement aux axes en A et \' et tangents entre eux en T. 

1» Enveloppe de CC' et lieu de son milieu. 

2° La droite CC coupe les deux cercles (l')e< (T) en deu.r antres points U et D'. Lieux de ces points. 

3" Les parallèles aux axes menées pari coupent Al) et AD' en des points M, N, .M', .N'. Lieux de ces 
points. Lieux des points I, II, I', 11' oit ces mêmes parallèles coupent OC et OC 

4° La droite AT coupe (V) en E' et la droite A'T coM/)e (I') en E. Enveloppe de la droite EE'. 

o" Lieu du point de concours des droites .KO et A'C. 

6* Lieu du milieu de UL)'. Construire ce lieu. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



m 



Soient X l'ordonnée du point C, [x l'abscisse du point C ; les rayons des cercles (r) et (r) sont respec- 
tivement égaux aux valeurs absolues de )> et de fx, et 
pour que ces deux cercles soient tangents, il faut que 
la distance des centres soit égale à la somme ou à la 
dill'érence des rayons. On doit donc avoir 
0- — a)- -+- (u — a)- = (X ± jji)-', 
ou a- — a(X -+- (jl) = zh Xiji. 

Si X et 1^ sont de même signe, le signe -j- dans 
le second membre correspond à un contact extérieur, 
et le signe — à un contact intérieur. C'est l'inverse 
si X et fx sont de signes contraires. 

Si l'on prend le signe — la relation précédente 
s'écrit 
(X — «)(hi — a) = U; 
elle est vérifiée pour l = a, [Jt étant arbitraire, ou pour ;^ = o, X étant arbitraire. Dans le premier 
cas les deux cercles sont tangents au point A', le cercle (i) est fixe, et dans le deuxième, le point de 
contact est A, c'est le cercle (!'') (jui est lixe. 

Ces deux hypothèses ne présentent aucun intérêt; nous pouvons donc nous borner à envisager 
seulement la relation 

(1) Xa+rt(X-f-u) — (î- = 0, 




qui détermine jx en fonction de X : 



rt+X 



Nous ferons varier X de — oo à4- oc. Si X est plus petit que —a ou compris entre et 
o, X et ,Ji sont de même signe, les cercles sont tangents extérieurement ; si i^ est compris entre —n 
et 1) ou supérieur à a, les cercles sont tangents intérieurement. 

D'ailleurs, étant donné X, le cercle (I') est bien déterminé. Pour construire le cercle (l"') correspon- 
dant, on mènera du point la (anuente OT à (l), et le cercle (r) sera tangent à 0;/ en A' et à OT 
au point T. 

1. On en conclut immédiatcinent que le cercle qui a pour centre le point et i>our rayon a est à 
la fois le lieu du point T et l'enveloppe de CC. C'est ce iju'on peut vérifier analytiiiuemenf ; en efiet, 
l'équation de CC est 



— X 



o— X 



x — a II — a 

ou, en remplaçant :jl par sa valeur (2), 

.r{a^ — X2) -+- •2ahj — a{a- -f- X-) = 0, 
et l'enveloppe de cette droite est le cercle x- -\- y- — n' = 0. 

Pour avoir les coordonnées du point T, remarquons que ce point est sur CC et que l'on a 

TC _ _ X 

TG' "~ ~ 

|ji{a-i-X) 
pour tous les cas de ligure ; par suite, les coordonncesdu point f sont x — -^ 

A + (J. 

ou, en remplaçant \>. par sa valeur (2), 

a(à- — X-) 2a'X 



!/ 



X(o -H fi) 



(3) 



;/ 



et en faisant la somme des carrés on a bien ,r- -^y- = a' 



174 GEOMETRIE ANALYTIQUE 



Les coordonnées du milieu de CC sont 



a -i- <x n -H ). 

c ' ' '/ = — ET— 



nous en lirons > = 1y — a, \x — 2.i- — a, el nous renijilarons "/. et \>. par ces valeurs dans la rela- 
lion (1:. Nous trouvons ainsi que le lieu du milieu de CC'est l'hyperbole équilatère xrj ~ — . 

DC >. 
Nous avons r = -^r , donc les coordonnées du point D sont 

ne -^ + !^ 

^_ _ a(2X + jji) — l^x _^ ).(2). -+- jji — a) 



ou, en tenant compte de la relation (2 . 

_ a(3À2 -H «2) _ 2X' 



X^-l-a- ' 
Ce sont les équations paraniétriiiues du lieu du point L). 

La première nous donne ).' = — , et, en remplaçant >.- par celte valeur dans la seconde 

élevée au carré, nous avons 



r 



3a — X 

Si l'on transporte l'orig^ine au point A, cette équation devient .i\x- -\-]f-) — -«-ir =0. 

Elle représente une cissoide ayant le point A jwur point de rebroussement et la droite x = la 
pour asymptote. 

Le lieu du point U' est évidemment symétrique du lieu du point L) par rapport à la bissectrice 
]j — a- = des axes de coordonnées. 

3. ('unnaissant les coordoimées des points A et C, on calcule aisément le coefticient angulaire de 

"/, , ;. 

la droite AU ; on trouve — ; par suite 1 eiination de cette droite est i; = — [x — a). 

(i a 

Le point M. inlerseclioii de AD et delà parallèle à Ox menée jiar le point 1, est déliiii par les deux 
é<iuations 

X "lan 

et l'élimination de X entre ces deux équations donne le cercle 

{x — 2«)- -+- ;/■-' = a', 
(jui est le lieu du point M. 

Un trouvera de même le lieu du point X en l'iiminant X entre les équations 
X a(a- — X-) 

a n- -f- X- 

Ce lieu a pour équation 

[x — a)[{x — rt)- -t- y"] -h ârt./-^ = 0, 

"U, en transportant l'origine au point A, 

v(x- -\- '/- -t- iiiy- ~ 0. 

("ettc é<|ualion représente une cissoïdc synuUrique du lieu du point 1) par rapport au {loinl A. 

Les lieux des points M' el N' sont respectivemeul syniétri(iues des lieux des points M et N par 
rapport à la bissectrice des axes y — .r = 0. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



173 



]ai droite OC ayant pour éi|ualioii ;/ = — x, los points 1 et 11 où cetlf droite ri-ncontre les 
parallèles à Ox et Oy menées par le point T seront délinis par les équations 

(I) y = â •'■• y = TTT^ '• 

À- -)- a- 
'■2ax = et celui du point H est la stroplioïde droite 



(H) y = - r, 

Le lieu du point I est le cercle x--hy- 
(.1-2 -4- y-)x — aix- — rf) = . 




Ces divers résultats peuvent s'obtenir aisément par des considérations géomi'triques fort élémentaires. 
Figurons le cercle (0) lieu du point T : comme AU est perpendiculaire à TA, la ligure A,TMA est 

un parallélogramme, TM = A A, = 2f/; 

y 

,G 
_I VL 



donc le lieu du point M est un cercle 
obtenu en imprimant au cercle (G) 
une translation parallèle à Or et égale 
à 2a. Si nous menons MF perpendi- 
culaire à AM, nous avons AF = 2a, 
et si nous traçons F(i perpendiculaire 
à Oa-, les deux triangles MFG et ADT 
sont égaux. Donc AD = MG, le lieu 
du point D est la cissoïde droite qui a 
le point A pour point de rebrousse- 
ment et la droite FG pour asymptote. 
De plus, I est le milieu de TM, 
donc le lieu de I est encore un cercle 
égal aucercle (0), et comme AD = AN, le lieu du p(»int N est symétrique du lieu de D par rapport au 
point A. 

Enlin, prolongeons AH jusqu'à sa rencontre K avec Oy ; le point H est le point de concours des 
hauteurs du triangle OAT,T(^,AII est un parallélogramme, AH = TG = CA = '/ ; le triangle ACH étant 
isocèle, le triangle OHK l'est aussi. On a donc OK = KH, et par suite le lieu du point H est une 
stroplioïde droite qui a le point A pour sommet et le point pour point double. 

4. l.e puint T est centre d'honiotliétie des cercles (Pj et \") ; donc AT rencontre (li en un point 
E' où la tangente est parallèle à Ox. Les comdonnéi's de ce point sont 
u et a-h'JL-. de même, les coordonnées liu point E sont a-hX 
et À. L'é(inatioti do la droite EE' est donc 

1/ — fl — g _ ~A- (i — ji 
X — ut rt -+- À — fJt 

ou, en remplaçant [x par sa valeur (2), 

/.'-((/ — X — a)-\-fi'>.{3y — x — (i) — 2a-:>/ — :i) = 0. 
En écrivant que celte équation admet une racine double en À, nous 
obtenons l'équation de l'enveloppe de la droite EE' : 

(3î/ — r— (/)-■ 4-8(1/ — x — a){a — x) — 0. 
Elle représente une conique tangente aux droites y — x — « = 0, 
X — a = 0, les points de contact étant sur la droite 7ty — a- — a = 0. 




Son équation peut s'écrire 



yar'^ — 14x1/ -H 9;y2 -h 2a(a + J/) - 7rt= = 0. 



176 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Celte conique est une ellipse syniélrique par rapport à la bissectrice des axes ;/ — a- = ; l'un 
de ses sommets est le point A,( — a. Oi, puisqu'on ce point la tangente a pour équation y — a- — a = 0. 
Le sommet opposé est snr Oî/ et a pour ordonm-e — ". Toutes ces données permettent de construire 
facilement celte ellipse. 

5. f.es équations des droites AG et A'C sont resi)ectivenient 



y _ Cl y — " 



1 



X — a II — a .T (/ 

nous en tirons 

!/= — (■'■ + ?/ — fl), ,'J' = — (-l'-t-?/ — ")' 

•' ■ y ' 

et nous portons ces valeurs dans la relation (â). Nous obtenons ainsi l'équation 

(x-hy — a)(2a; -h 2j/ — a) — xy = 
ou 

2.c2 -(- 3x1/ -+- 2î/- — 'in{x 4- 1/) 4- fi- = 0, 

qui représente encore une ellipse symétrique par rapport ;i la bissectrice des axes y — x = 0. La pre- 
mière forme deléqualion nnusmonire que cette courbe est circonscrite au trapèze formé par les axes de 
coordonnées et par les droites x-t-i/ — n =0, 2x' + 2j/ — a = 0. 
6. Nous avons trouvé pour coordonnées du point D 

(7(2). + a) — Àa _ ).(2À -h IX — a) 

'~ À -I- |Jt ' •' X -i- ,a 

Transportons l'origine des coordonnées au pdint ('(, <i) ; ces formules deviennent 

_ /(a — fi) _ ('' ~ "X^^ -^ f^) 

~ ' X -t- ,u ■'"" X-t-jji 

Les coordonnées du point D' s'en déduisent en permutant x et i/, X et a ; nous avons ainsi 

(ix — rt)(2u+X) ii{a -l) 

X = ^ r— : > V — 

Les coordonnées du milieu de F)D' sont donc 

^ - ^i^ — ") „ _ 

X = ; 5 V = 

on, en rem plaçant a par sa valeur (2), 

_ 2a^X(X — g) 

^'^ -^ ~ (X-+-n)(X2 + «^,' ^" X--ha^ 

Ce sont les équations paramétriques du lieu clicrclié ; elles représentent une courbe unicursale du 
quatrième degré. 

La détinition géométrique de celte courbe montre imméilialement qu'elle est symétrifiue par rapport 
à la bissectrice des axes do coordonnées. 

D'ailleurs, si on avait conservé le paramètre u, en remj)la(,-ant partout X par sa valeur tirée de la 
relalion (1), on aurait obtenu pour équation du lieu 

(S) '/ — -; T-, ^' *' = ^~' 

(fh-";!!^ +« ) ^--\-a- 

ttn peut le vérifier très simplement en remi)laianl X par sa valeui' en fonction de a dans les éipia- 
tions (S;, on oblient les équalions (S). 

On concliil de lii que si dans les écpialions (S) on donne à X deux valeurs X, et X_, véiiliant la 
relalion 

X,X, -hn(X,-{-X,i— a^ = 0, 

à ces valeurs correspondenl des points de la courbe symélri(pies par rapport à la bissectrice. 



x+ 


a 


X(X - a) 




X-H ,a 




X(X^ - 


-or-) 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



177 



Cette relation peut s'écrire 

(),,-f-a)()., + «) = 2a-; 

posons /-+-'/ = ni, X = a(t — 1) ; les coordonnées d'un point de la courbe s'écrivent 

2i<— IX< — 2) _ t[t — {){t—-2) 



/((- — 2<-t-ï!) 



r- — 'it- 



Et si l'on change / en — > x se change en y el y en x. Par suite, pour avoir toute la courbe, il 

suffira défaire varier t de — vi à -^\^, et d'achever par symél rie par rapporta la bissectrice 
des axes. 

Les valeurs remarquables et les signes de r et de ;/ sont indiqués parle tableau suivant : 



- s -2 




( 


) 




1 




-^-^2 




- 


— X 


-hx. 


- 


II 


- 


-"■'-i) 


-i'-^^ 


- 




) 


4- 


II 


- 


-C-i' 




iXous obtenons ainsi les branches de courbe 
AB et COD. 

Comme ^— = — -• la tansente àl'orieine 
r 2 

a pour coel'licient angulaire — Les branches 

infinies sont asymptotes à O.r. Il n'y a plus 
ensuite qu'à achever par symétrie par rapport à 
la bissectrice OA. Les tangentes aux points D 
et A sont évidemment perpendiculaires à OA. 
On peut avoir aisément l'équation de la 
courbe en coordonnées rectilignes. Nous avons 

en effet /-' = Partons de la valeur de x 

.r 

qu'on peut écrire, en mettant en évidence les 

puissances paires de t, 

_ 2a(r'^2 - 30 
^~ /(«--+- 2)— "2/- 
ou /[((■- -K2)x-f- 6a) = •î[t^(x-ha)-hia]. 



Hemplaçons maintenant /'- par 



'-y . 



nous avons 



(a- ^ y _H .3«) 
puis, en élevant au carré et en ordonnant. 



V 



■iy 



xij -H a(x -+- y) 



xij(:i- -t- y-) 4- 2rtxi/(.r -h y) — a-{ti- -H 2'/- — oxy) — 0. 

Henbi BERTHIOT, lycée d'Orléans. 

Bonnes solutions par MM. Besoit-Gonix ; (1. I). el J. 0., à Poitiers ; r,. Fodcby, à Reims; 0. Gahre, à Bordeaux ; G. Lach. 
à Denain ; Marcel Pklisson.nier ; L. Simon, à Chàlons-sur-.Marne. 



178 



MÉCANIQUE 



MECANIQUE 



1695. — In mohile parcourt avec une vitesse angulaire égale à I la courbe ayant pour rquation 

(S) (a-^ + y^)- — a^ix- — y^). 

\° Calculer en chaque point la vitesse et l'accélération totale. Construire Vhodographe. 

2° Calculer la composante normale de l'accéléralion en chaque point et construire le cercle osculateur. 

3° Soit M un point de la courbe (S), le cercle osculateur en M coupe la courbe en un nouveau point 
M, : le cercle osculaleur en M, coupe la courbe en Mo, et ainsi de suite. Trouver la limite vers laquelle ten- 
dent les points M. 

L'équation de la courbe (ï en coordonnées polaires est 

)■ = fl^'eos ;2Ô ", 
et, comme la vitesse angulaire est égale à i, l'angle polaire est égal à /-^C. Si nous prenons 
comme instant initial l'instant où le point mobile M est au sommet k{a, 0) de la courbe, laconstanie 
C est nulle, et les coordonnées polaires du point M sont 

r = a\'cosit, = /. 

1. Les projections de la vitesse v sur le rayon vecleur et sur la perpendiculaire à ce rayon sont 
dr __ «sin2< (/O 

(/' ~ . ncÔsTc' dt 

. dr \ - / t/8 \- a- 

P^'-^"**^ " =\lâ} -^''A77J =^^^ 



= a\'cos '21, 



v'cos it r 

Les projection de l'accélération totale -y sur les mêmes axes sont 

rf-Y / doy- „ dr dD rf^O 

— ^ — r — ) et 2 -TT -r- 

rf/- \ dt I 



dt dt 



dC- 



,lh- 
~dF 



On trouve aisément 
d^r 
'dC- 



\ H-2cos»2/ 



(cos 2/) - 
On en déduit l'expression de l'accéléralion totale 



dr 




dt 






^ dr -la sin 2/ 




<lt v'cos ït 




«;-(l-l-8cos'20 



cos'2< 



a\/lH-8cos''2/ 



(cos 20 - 
Clierchonslbodographe. Nous supposerons que t variede à — '■ le point M décrit alors l'arc 

AO dans le sens de la flèche, et le vecteur vitesse MV dirigé 

n 
dans ce sens a pour valeur - , — ^,--- • 
"^ v'cos 2/ 

Menons le vecteur ON équipoUent à MV ; l'hodographe 

est le lieu du point N. 

Les coordonnées polaires de ce point sont 




= ON = MV = 



\!co%tt 



= (Ox.ON). 



MÉCANinrE 



179 



rrfO 
L'angle du rayon vecteur OM avec la langenlc MV a pour tangente — — = — cotg 2/ = 



g2/ = Ighi-h ^j; 



donc l'angle HMV e^t égal ;i 2l-\-~^ et par suite a;T.M = ^Oj-, O.V) = 3/ -h 
Donc les coordonnées polaires du point N sont 



v^cos "il 



et l'équalion polaire de l'hoilographe est 



/ 5... 



Comme / varie de à 



3- 



varie de — à 1 ; et 

2 2 4 3 



de il — •• Dans 




ces conditions ; croît de " à -i- x et nous obtenons la branche de 

courbe BL qui rencontre 0' au point C situé aune distance du point 

égale à a^Jï. 

- 3- 
Ladirection asymptotiquecorrespond à l'angle polaire w= > — — • 

3- 



ô y Pour avoir l'asymptote, cherchons la limite de p sin ( '" — -r ^1' 



ou de 






2co — 



pour 



~-j—< ou, en posant 



Tt 3- 



o) = -— ^ — ; a, nous sommes conduits à clierclier kl limite de — ^ pour a = 0. Or 

2 4 / ^ 

ce rapport a même limite que ^^ - el cette limite est nulle. Donc l'asvaiptole passe par l'oriirine. 



2. Soient ■,•, el -,-„ les composantes tangentielle et normale de l'accélération totale •;. Nous avons 
vS =r Y7 H- •,',;. d'où 

Or nous avons trouvé 



ï" ■ 



a-(l+8cos^2/) 



ces' tl 



do sin2< 
(I autre part ■, = — ,— ^ a > donc 

dl ■' 



(cos 2/) - 
2 _ a'^lH-Scos^ ±t) «2 si„s 2< 9a3 cos' 2r 9ia^ 



et 



cos' 2< ces' il cos' "il eus 2/ 

_ 3a _ 3^2 
v/côsâi r 



18U MECAMQUb; 



Si on désigne par R le rayon de courbure, on a 

v- _ 3a'- _ v-r 

a- à- 

et en remplaçant v par sa valeur — , on obtient R = — • 

Pour construire le centre de courbure, on mènera la normale au point M qui fait avec O.r l'angle 

'it, puis sur cette normale on prendra la longueur MC = — - ■ Le cercle osculateur a pour centre le 

point C et pour rayon CM. 

3. Pour résoudre la troisième partie, nous exprimerons les coordonnées d'un point de la lemnis- 

cale 

en fonction rationnelle d'un paramètre. 

Coupons celte courbe par un cercle passant par l'origine et tangent en ce point à la droite r — y = 0. 
L'équation de ce cercle peut s'écrire 

(C) X- + J/- = au{x — ij) ; 

il renconlie la lemniscaleen trois points confondus à l'origine, en deux points confondus en chaque point 

cyclique, et en un Imilième point .M, dont les coordonnées sont fonctions rationnelles de «. 

L'équation de l'ensemble des droites joignant l'origine aux points de rencontre des deux courbes 
est 

(•!■' + >f)%'e- y)[u\x — y) — {x-h y)] = 0, 
et, en prenant l'intersection du cercle et de la droite %i-(x — y) — [x -{- y) = 0, nous obtenons les 
coordonnées du point M en fonction rationnelle de v : 

au(u- H- 1) fm(u- — d) 

X — — i '-, ,, = — :^ L. 

W* + 1 ■ !(' -K 1 

Cherchons maintenant la relation qui doit exister entre les u de quatre points de la lemniscate 
pour que ces points soient sur un cercle. 
Considérons un cercle quelconque 

,1-' + ,f + A.c + Hî/ ^^ C = : 
il rencontre la lemniscate en quatre points dont les u sont racines de l'équation 
a-ii-[(ir -h 1)2 -+- {u- — 1)2] Afiuiu' -1-1) naii(u- — 1) 



{là -(- iY u' +1 h' 4- 1 

'iu'-u- .\au[u'- -1- 1) -4- Bau(u- — 1 



+ G = 0, 



, C = 0, 

!('-+- l II' -h I 

ou enfin 

2ahi- -+- au[{A + BW^ -I- A - B| + C{i/' + 1) = 0. 
Quels que soient A, B, C, le produit des racines de cette équation est égal à 1 ; par suite, pour que 
quatre points «,, u,, m,, Uj de la lemniscate soient sur un cercle il faut qu'on ait 

î(|i/,i/ j»., = l. 
Cela posé, le cercle osculateur au point M„ »„) rencontre la courbe en trois points confondus 
en M„ et en un quatrième point M, (k,) qui sera défini par la relation «Su, = 1, ou », — 



GÉOMÉTRIE UESCKIPTIN t; 



KSI 



I 

Le cercle oscuUteur au point M, Ci reiicontreia la courbe au point u. = — p = «;, . . .Nous aurons 

"i 

ainsi la suite de points 

vl, uz% vl ... «'7""'", 

Supposons (uo)< 1. les valeurs de rang impair ont pour limite 0, et les points correspondants 

se rapprochent indéliniment de l'origine sur ta branche qui est tangente ii la droite x-hy — 0, car 

^ =z Les valeurs de rauir pair augmentent indéliniment. et les points correspondants se 

.;• u- -^1 

rapprochent aussi de l'origine, mais, sur la branche de courbe qui est tangente k la droite x — 'j = 0. 

C'est le contraire si (u„ > 1. 

Jacques FAPliLILH. lycée d'Orléans. 

lionne solution par M. Folcrï, h Hcims. 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



X'i/O""". Placer la ligne de terre xy parallèle aux petits cOtéx du cadre et à 140'""' du 

On donne un plan de bout P'aP tel que xP est ii 45™'" du (jrand côté droit 
du cadre ; l'angle P'a» = 45°. 

10 Dans ce plan on considère une circonférence de ijO""'" de rayon et dont le 
centre o,o' a pour cote -t-oO™"' et pour éloignement +-170™™. Cette circonfé- 
rence tourne autour d'un a:i:e vertical passant ptr le foyer F de la p-rojection 
horizontale de la circonférence le plus voiiin de xy, et emjendre une surface M . 

20 Dans le même plan, on considère une ellipse dont la projection horizontale 
est une circonférence de 55""" de rayon tangente ti aP ; le centre C de cette 
circonférence est à gauche de aP et h l'O™"" au-defsous de xy. Celte ellipse, en 
tournant autour d'un axe vertical passant par son point le plus élevé a, a', 
engendre une surface N. 

Après avoir déterminé les contours apparents de ces deux surfaces, et les 
projections de leur intersection, on représentera le solide limité à la surface 
N et au plan horizontal, avec la cacilé produite par le solide limité à la surface M 
qu'on supposera entièrement cnlerc. 

Dan^ la mise '' l'encre, on indiquera les constructions d'un point quelconque 
de l intersection, de la tangente en ce point, ainsi que les constructions des points 
rt droites remarquables. 

Titre extérieur : (jéométrie drscriptice. — Titre intérieur : Intersection de 
deitJ: surfaces de révolution. 

{Ecole centrale, concours de 1908.) 

Détermination des méridiennes principales. — Considérons d'abord la surface M engendrée par la circon- 
férence de centre o, o'. La projection de celte circonférence est une ellipse dont le grand axe est de bout et le 
petit axe de front, la longueur de celui-ci étant la projection horizontale du diamètre de front b,b2. On a les 
foyers de cette ellipse en coupant son grand axe par un arc de cercle qui a pour centre un des sommets du 
petit axe et pour rayon le rayon de la circonférence donnée. Soit /' le foyer qui est le pied de l'axe de la 
surface M. On sait que cette surface est un tore dont la méridienne se compose de deux circonférences égales. 
Voici la démonstration que donne M. Caron de cette proposition : Soit ;j., }i' un point de la circonférence, 
m, -m' le point correspondant de la méridienne principale ; déterminons la normale en ce point. Pour cela, 
cherchons la normale à la surface au point [j., ■/ : cette normale a pour projection horizontale i^f. D'ailleurs 
elle est contenue dans le plan normal à la circonférence au point u, a'. Ce plan normal contient le rayon 
■1.0, \i'o' et il est perpendiculaire sur la tangente uO, fi'9'; il a donc pour trace sur le plan horizontal o' la 




183 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 




perpendiculaire op abaissée de o sur ;jlO. 11 en lesiille que la normale au point \x a pour trace sur le plan 
horizontal o' le point p. Si nous prenons le point K, >ymétrique du loyer /"i par rapport à la tangente jj^O. la 
longueur /K est égale au grand axe de l'ellijjse; or fp est la moitié de /"K, dont fp est constant. 

Par la rotation ce point p vient en -, -' et par suite >«'-' est la normale à la méridienne principale. Le 
point -, -' élant fixe, il en résulte que la méridienne principale comprend une circonférence. On obtient une 
autre circonférence symétrique de celle-ci par rapport k l'axe de la surface et qui complète la méridienne. La 
surface M est donc le tore engendré par la révolution de cette circonférence. 

La surface N a pour méridienne une parabole et nous en donnerons aussi la démonstration. Soit \i, \j.' un 
point quelconque de l'ellipse génératrice, */', m' le point correspondant 
de la méridienne principale. Cherchons la normale en ce point. Pour cela 
construisons le plan normal à l'ellipse au point \x, ;j', il est déterminé 
par l'horizontale ;jl/(, ;ji7/' et par la ligne de front ,i-l*', u'/'. Le plan de front 
aw coupe ce plan normal suivant une parallèle à \j.f, ^1' mené par lih' 
et qui va couper l'axe au point M.\e «, n'. On a donc en tn'n' la normale 
à la méridienne principale. 

Mais si on répèle la môme construction pour lou> les points de la 
courbe, tous les triangles analogues à n'h'p' sont égaux entre eux et par 
suite la sous-normale n'p' est constante. La méridienne cherchée est donc 
la parabole (pii a pour paramètre p'n'. Son sommet étant au point a', 
nous en déduisons son foyer et pai- suite nous pouvons la construire par 
points, en nous servant de la sous-normale pour avoir la tangente en un 
point quelconque. Sur l'épure cette sous-normale a 55°"". 

Contours apparents. — Le contour apparent de la surface M se com- 
pose en projection verticale des deux demi-ojrconférences méridiennes 
principales et de leurs tangentes communes horizontales, en projection 

~~"~ '' horizontale des deux parallèles décrits par les extrémités du diamètre 

horizontal du cercle donné, de rayons fd et fg. Le contour apparent de la surface N est la parabole méridienne 
sur le plan vertical, et sur le plan horizontal le cercle de section de la surface par le plan horizontal de projection. 

Intersection dts deiu: surfaces. — Les axes des deux surfaces étant parallèles, il suffit de les couper par des 
plans horizontaux ; chacun d'eux nous donne sur le tore deux parallèles et sur le paraboloide une circonférence 
qui coupe les deux premièi'es en quatre points de la ligne d'inler.section cherchée. Nous avons fait les construc- 
tions pour le point k, h' et determmé la tangente en ce point. A cet effet nous avons construit une horizontale 
et une ligne de front du plan des normales en ce point k chaque surface. Chacune de ces normales a été déler- 
uiinée en cherchant le point de rencontre de l'axe de la surface avec la normale à la méridienne au point situé' 
sur le même pirallèle et en joignant ce point au point de la courbe considéré. On a ainsi les normales hui, fc'n,', 
el ktii, k'n.^ et la tangente ht, h't'. 

Points remarquables. — La courbe d'intersection est symétrique par rapport au plan des axes des drux sur- 
faces La projection horizontale est donc .symétrique par rapport k la trace horizontale af de ce plan et l'on 
peut déterminer directement les points où elle traverse af en amenant par une rotation autour de l'axe du 
pai-aboloïde ce plan k coïncider avec le plan méridien pi-incipal de cette surface. 

Le centre g,</' du cercle méridien du tore vient alors en 71,9', et si nous décrivons de ce point la circonférence 
égale k celte méridienne, elle coupe la iiarabole aux deux points >■', et rj, qu'il suffit de ramener par une rota- 
tion inverse dans le plan vertical af pour avoir les points /■ cherchés. Ces points sont fournis par des parallèles 
limites. 

On peut aussi trouver directement les points où la courbe traverse le contour apparent horizontal du tore 
en prenant les plans auxiliaires (|ui contiennent les parallèles de contour apparent et leur appliquant la 
construction ordinaire d'un point courant. On peut aussi trouver par la même constrviction les points où la 
projection verticale de la courbe touche les parallèles le plus haut et le plus bas du tore. 

Pour déterminer les points de contact de la couibe et des méridiennes princi|>ales, on de\ra simplement 
rappeler les points où sa projection horizontale traverse chacun des plans méridiens principaux. 

Déierminatian dif solide N cntaiii'' par le solide M. Puisqu'on enlève le solide M, c'esl-k-dii'e le tore, il 
faut représenter en trait mixte ses contours apparents : la méridienne principale du paraboloide subsiste sauf 
l'are compris entre les points de contact c',,r!, de celte parabole avec la courbe d'intersection. Quant à la courbe 
elle-même, elle est entièrement vue en projection horizontale, et sa visibilité en projection verticale n'oft're 
aucune difficulté. 



181 



QUESTIONS PROPOSÊKS 



— On peut démontrer par le calcul que la méridienne de la surface -M est une circonférence. 
Soient en effet Oa = 03 = w'g' = w'h = a, 

Oy = 0/( = /.-/ = /.'(' = O)'o = 6, 
if = c-; = w'/. — c = OF, 
a =^ Vli ;= F/ii ^ /.'», = (u'i, 
i)x =r ar, im ^ m'ç ^ '/. 

a- b- 




On suit II'" 



I. 



1 I I I 
vtl I a\ ]7n. 
\-\^-\—r-- 



ex 






"'1, 




A„„. = ii = e,-.;. 



Le point m', étant un point quelconque de la méridienne, zm\ est 
constant. 

En efiVt. I^,' = 'J»*;- + Tir = — ^ -t- ^', 



d'où 



eA' =; 3^7 ' 



Le lieu de »i| est donc la circonférence de centre t et de rayon c 
Cette circonférence est tangente à h'g'. Menons en eflet --k' perpendi- 
culaire à g'h' ; les deux triangles rectangles égaux lui'k' et to'ig' donnent 
— c. D'ailleurs k' et k sont sur une même ligne de rappel 



Vk = 



i.'t' 






bib 



car w'A' =: b. 



Cette démonstration nous est communiquée l'ar M. .MALi.ui/ti.. 



QUESTIONS PROPOSÉliS 



1777. _ L'n point matériel non pesant M avant une niasse égale à 1 est assujetti à glisser sans frottement 
sur la courbe 



(C) 



^=t^'' ' = ''' 



t. 



sous l'acliondune force variable constamment tangente à la Irajectoire, de telle sorte que les équations du mou- 
vement soient justement les équations (C). 

1° Déterminer cette force tangentielle ainsi que la réaction nurniule MN de la courbe (C) sur le point .M. 

■2° Trouver le lieu engendré pur la ligne d'action de lu force M>. Ce lieu est une surface réglée, unicursale 
et à plan directeur; donner ses équations en fonction de deux paramètres. 

3° Trouver le lieu de l'extrémité .N du vecteur M.N et construire lu projectjon de ce lieu sur le plan des ;/;. 

4» Trouver le lieu du centre de courbure de la courbe (C). 

E. Il . 

1778. I. Soient y, et ■;„ l'accélération tangentielle et l'accélération normale d'un point mobile dans le 
plan des deux axes rectangulaires Ox, Oy, V^ et V,, les projections de la vitesse du point sur ces deux axes. 

1° Sacbanl que -^ = ± -^ < trouver l'hodugraplie. 

2' Sacliaiit in outre que — '!— est constant, trouver la trajectoire et la loi du mouvement. 

It. VlMtJOlX. 



■AR-LR-POC. — IMP. COMTE-MCOUrr. 



Le liédacieur-Géruni : 11. VUIBERT. 



19« Année. N" 8. Mai 1909. 

REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 

PREMIÈRE PARTIE 



SUR LE RAYON DE COURBURE DES COURBES PLANES {Suile ') 
par M. Louis Sire, ù Lyon. 



1. — lleprenons la formule F; 



Podaires d'ordre infiai. 



et posons A = -^, ^J, = — '- ; 

A est en géni'i-al, pour un point d'une courbe, une fonction de .<;, y, y', y"; nous l'appellerons le delta du 
point considéré de la courbe par rapport au point 0. 

Le delta est nul en un point de rebroussement et aux points de contact des tangentes issues du point à 
la courbe (C) ; il est infini en un point d'inflexion ; il est égal à l'unilé pour le point lorsque la courbe (C) 
passe par ce point ; il est indéterminé pour un point d'inflexion dont la tangente passe par 0. 
Avec ces notations, la formule Fs s'écrit 

AA,, -4{V-1) = 0. 
La relation entre les A des points correspondants d'une courbe et de sa podaire, par rapport à 0, est donc 
liomographique. 

Les points doubles de celle liomographie nous sont donnés par 

(A — 2)^ = 0. 
Ils sont donc confondus au point 0' d'abscisse 2. Transportons l'origine en ce point, c'est-k-dire posons 

A = A' + -2, A,, = A', + 2 ; 

nous aurons entre A', Aj, la relation plus symétrique 

-«--O' , , „ .. i'A;,-2(A;,-A') = 0. 

de laquelle nous tirons 

_ 2A' 



2 — A' 

Désignons par A* le A^, en un point de la /i-'"'- podaire de la courbe (C) par rapport à 0; nous aurons 
successivement 

y. ^ 2A;, ^ ?A' y._ -^K? _ 2A' . 

^ 2 — a;, 2 — 2a' ''' 2 — A^ 2 — 3A' ' 

nous sommes donc conduit à poser 

2A' Oj'/.-i .7.. 

^,. ' = "i 71 T-TT^ et nous en déduisons 



('' — 1).^ ' 2 — a;,'-i 2 — AA' ' 

de sorte qu'en revenant aux delta, nous aNons 

■"^ -+ 2-A(A-2) • 
c'est la relation entre le delta en un point d'une courbe et celui du point correspondant de sa ft"*'"^ podaire par 
rapport à 0. 



1. Voir n° d'avril 19011, de la Revue, p. 161. 



186 SUR LE R.WON DE COURBURE DES COURBES PLANES 



2. — De la relation a'a;, — 2(a;, — A') = 0, 

lirons A - Y+Y;- 

en désignant par A^- le delta de la A"""' poJaire négative de la cuiirbe A;,; nous oldiendrons comme précé- 
demment 

a;-^=T^' de sorte que V-^+ ^'X-^) ' 

(■"est la relation entre le delta en un point dune courlje et celui du point correspondant de sa k''"" podaire 
négative par rapport à U. 

Les formules Aj;, A/ diffèrent par le changement de A en A^„ mais on obtiendrait une formule analogue 
pour A-*-, si on était parti de la courbe (C) au lieu de sa podaire; puis par le changement de A en — h. Dès lors, 
nous ne ferons plus aucune distinction entre les podaires et lespodaires négatives d'une courbe par rapporta un 
point ; nous désignerons la h' podaire ou la k' podaire négative par podaire d'ordre k, h étant un entier positif 
ou négatif. 

3. _ Nous conserverons donc seulement la fonniile A^',. Il en résulte que : 

1» Si le delta de tom les points d'une courbe (C) piy rapport à un point est constan', il en est de même pour 
chacune de ses podaires par rapport à (). 

Ainsi, le delta de tous les points d'un cercle par rapport k un point de ce cercle est égal à 1 ; la podaire 

de ce cercle par rapporta est une cardioïde dont est le point de rebroussemenl. La formule Aj;, dans 

4 
laquelle A= I, /( = t nous donne a/, = — > de sorte que le delta d'un point quelconque d'une cardioïde 

1 
dans la Revue (mai 1908). 

Nous en donnerons d'autres exemples plus loin. 

2° Pour /( = ± 00, nous obtenons Aj? = 2, de sorte que : 

La podaire d'ordre infini positif ou nc(/ati/' d'une courbe plane quelconque pari-apport à un jioinl est telle 
que le delta d'un quelconque de ses pjoints par rapport à est égala 2. 

En remarquant que le delta d'un point d'une courbe ne change pas par une honiothétie de centre U suivie 
d'une rotation autour de 0, nous voyons que les podaires d'ordre infini de toutes les courbes planes par rapport 
à un point sont des courbes semblables. Nous dé'erminerons également la nature de ces courbes limites et 
nous obtiendrons ainsi un résultat assez intéressant. 

Quasi-podaires d'ordre inflDi. 

4. _ Nous avons obtenu pour la (luasi-podaire d'une courbe (C) par rapi)ort à un point une formule !■', , 
analogue à la formule F, ; de sorte que si Af; est le delta d'un point (|uelcunque de la ([uasi-podaire d'ordi'e A, 
correspondant à l'angle V, par rapport à 0, nous aurons 

■^'' - ^ 2 - A (A - 2) 
h étant un entier positif ou négatif. 

D'une manière plus générale, prenons k fois la ([uasi-podaire de la courbe (C) correspondant à l'angle V, 
par ra]>port à 0; puis h' fois la quasi-podaire de la courbe obtenue correspondant à l'angle V — , k"" fois la 
quasi-podaire de la courbe obtenue correspondant à l'angle V""; nous obtiendrons 

A'^ + '"-- •'■;!, i (A - 2) 

2 - (A + /(' + ... + A "0(A- 2)' 
soit 

s = h-\-h' + ... + h'". 
La courbe obtenue est une combe .semblable à la podaire d'ordre .v de la courbe (C) par rapport ;i 0. En 
particulier, si i = 0, on retombe sur une courbe semblable à la courbe (C), 

Supposons maintenant que n augmente indélininu^nt de façon que .v augmente indelinimenf. nous aurons 

•iî = 2, 
de sorte que : 

Les quasi-podaires successives d'une courbe (C), correspondant à des angles qttelconjues par rapport à un point 
0, coni-ergeni également vers une courbe telle que le delta d'un quelconque de ses points par rapport à soit égal 



sua LK KAYU.N DE COLRIiUHE DES COURBES PLANES 187 

Les quasi-podaires d'ordre intini drs courlies planes sont donc des courbes senililables aux poJaires d'ordre 
intini. 

Les courbes à delta constant. 

5. — Nous allons éludier les courbes dont le delta est le même pour chacun de leurs [xAnli par rapport 
à ; ce sera le delta de la courbe considérée. Toute propriété des A qui s'applique à un point de ces courbes a 
lieu pour tous les points ; nous les appellerons les courbes (A). 

Cherchons leur équation difTérentielle. Connaissant R, il nous reste à calculer o. 

Prenons deux axes de coordonnées rectangulaires passant par Û et soient x, ij les coordonnées d'un point .M 
d'une courbe (A). Le centre G du cercle de rayon ? est à l'intersection des deux droites représentées par les 
équations 

qui, résolues, nous donnent 

ll'ix^ — !/-) — 2ar(/ ,, x- — //- -+- ixt/tf' 



X = 



2'>.'/ — .'/» ^[x'j'—U) 

[x^- + il-f-{\ -f- if"-) 



de sorte que p- = \--\-\- — 

et l'équation différentielle des courbes (a) s'écrit 

1 -+- .'/"^ _ A X- -+- if- 

.'/" "~ ^ 2 ij — x>/ 
Transformée en coordonnées polaires, elle devient, en faisant rentrer le signe — dans A, 

0- + ?"' _ _A_ 

Posons 

1 i' , 2o'- — os" 



l'équation devient 



ce que nous pouvons écrire 



en intégrant une première fois, nous avons 

4 }_ 

log (z- + z'-) = log ;-^-t- log A, c'est-à-dire z' -t- a" = A;-^ , 



VJZ. 



d'où c' ^ V Az^ — :- , par suite 



f.\/J-. 



Nous avons ainsi ramené l'intégration de l'équation dillérentielle à une quadrature. 

Les courbes qui correspondent à une valeur donnée de A forment donc une famille à deux paramètres ; 
mais nous savons que l'un de ces paramètres A correspond à une homothétie de centre U, l'autre (u„ a une 
rotation autour de ; de sorte que les courbes obtenues sont semblables entre elles. 



6. — Faisons A = 2, nous avons 

M — Wû = I — ^ , a{h> — o>o) — log z, 

d'où p = e'"'"^''! 

Nous obtenons toutes les spirales logarithmiques ayant comme point asymptote, de sorte que nous pou- 
vons énoncer le résultat suivant : 

Etant donnce une courbe plane qmlcoiique (C), ses podaires o«, ses quasi-po laires smccisives par rapport à 
v.n point convergent vers une spirale logarithmique ayant comme point asymptote. 

Lorsque la courbe plane (C) varie, la spirale logarithmique tourne autour de son point asymptote en restant 
hoiriothétique à elle-même. 

D'autre part, si dans la formule F, nous faisons A =: 2, nous obtenons A,, = 2, de là : 

La podaire d'une spirale logarithmique par rapport à son point asymiitotc est une spirale loijarilhmigue ayant 
même point asymptote. 



ISS SLR LE RAYON DE COURBURE DES COURBES PLANES 



Ensembles dénombrables de fonctions. 

7. — Soit F{m, tj, ic) = l'équation tangenlielle de la courbe (C) rapportée au point 0; on sait que sa 

podaire par rapport à a pour équation ponctuelle F[{x, y, — (x'-^y^)] = 0. 

Soient donc 

Fi u, v, xjcj — 0, Fi(M. u, lo) = 0, . . . , F„(m, r, ic) = 0, 

les équations tangeotit-lles des podaires successives de la courbe (C) par rapport à 0, les équations ponctuelles 
de ces courbes seront respectivement 

(I) F>, y, — (x= + 1/=)] = 0, F, = 0, ..., F,. = 0, ...; 

nous pouvons alors énoncer le résultat précédent par le théorème général suivant, sans en étudier la rigueur 
dans le cas des fonctions multiformes : 

L'ensemble démtnhrable des fonctions y de x définies par les iqualions de la suite (1) : 
<li{x]. i,î(x), ..., . W^)- 

admet une fotiction limite y = ^{X, a, coo) définissant une spirale logarithmique ayant comme point asymptote. 

Lorsqui les fondions implicitei (I) vxrient tout en représentant les polaires d'une même courbe, la fonction 
limite *(x, a, (o„) ne change que par les nouvelles vileurs que prennent les constantes a, lOo. 

Lorsque la courbe (C) est al^'ébrique, les fonctions l„{x) sont toutes algébriques eU convergent vers une 
fonction transcendante renfermant des logarithmes et des arc tg; lorsque la courbe (G) est transcendante, 
toutes les fonctions ialx. sont transcendantes. 

Soient de même 

c ^ loi (t^), ? =^ <"2I<»). - • •) p =^ tjl)„,(o) 

les équations en coordonnées polaires des podaires de la courbe (G) par rapport au point 0, nous voyons que : 
L'ensemble dénonbrable des fonctions 

tui (lo), (D»'io n>„(a;) 

almet comme fonction limite la transcendante entière c"l" "■"»'. 

Courbas i réductibles Fune à l'autre. 

8. — Considérons deux familles de courbes (A) semblables, les centres d'homolhétie et de rotation étant 
le point 0, et cherchons dans quels cas, en prenant la podaire d'ordre Ar d'une courbe quelconque de la pre- 
mière famiUe par rapport à 0, on obtiendra une courbe de la seconde- famille. Soient (C) et (C) deux telles 
courbes, A et A' leurs delta par rapport a ; nous devrons avoir 

a'' = 2 + ■ =^^ ^ — = A', 

égalité de laquelle nous tiions 

Or, pour que l'opération puisse se l'aire, il faut et il suflil que A soit un nombre entier; par suite : 

La condition nécessaire et suffisante cherchée est que l'expression 2 ^^:t; y_2 ^°'' '^•9<''« ^ «" 

entier, positif ou m'u/atif, n; il suffira de prendre n fois la podaire d: toute courbe (C) pour obtenir une courbe (C). 

Ainsi, considérons les paraboles (P) ayant pour foyer le point et les cardio'ides (C) ayant le point 

pour point de rebroussement : ce sont deux familles de courbes semblables. Pour les paraboles (P) nous avons 

4 
A = 4, et pour les cardioïdcs (G) A' = - , de sorte que 

-'_ -_J_=o 

A— 2 A' — 2 " 

par suite : 

En prenant la poiaire d'ordre 4 de toute parabole (P) par rapport ù 0, on oblienl une cardioiJe (C). 
On sait dans ce cas que les courbes inlermédiaiies que l'on trouve sont la droite, le point et le cercle. 

(A suivre.) 



ECOLE POLYTECHNIQUE 



189 



ECOLE POLYTECHNIQUE 



Concours de 1908. 



1700. — 1" Construire la courhc qui représente la fonction 




,j = 'le 



(log x'f 

2" Soit [C] l'arc de cette courbe qni a pour origine le point A où elle traverse 

l'axe des x et pour extrémité le point 6 qui correspond au ynaximum de y. 

Calcule?' l'aire [-] comjmse entre l'arc [C), l'axe des x et l'ordonnée BD de B. 

.3° Soit M un point quelconque de [C]. Menons la perpendiculaire PM à 

l'axe des x ; soit N le point où elle rencontre la corde AB. Menons par N la parallèle à l'axe des x qui 

coupe en R l'arc [C] et en Q la parallèle à l'axe des y menée par A. Portons sur le prolongement de PM 

une longueur MS égale à QR. 

Lorsqtie M décrit [GJ, S décrit un arc de courbe [C] : cet arc passe au point A. Calculer à un cen- 
tième près, le coefficient angulaire de la tangente à cet arc [Cl au point A. 

i" Soit l'Z'] l'aire balayée par le segment de droite MS lorsque M décrit [CJ. Montrer qu'il existe entre 
[S] et [S'] une relation numérique qui subsiste lorsqu''on remplace dans les constructions précédentes 
l'arc [C] par un autre arc de courbe quelconque ayant les mêmes extrémités A et B, pourvu toutefois que 
ce nouvel arc soit situé au-dessus de AB, et ne soit pas rencontré en plus d'un point par une parallèle quel- 
conque à l'un ou à l'autre des axes de coordonnées. 

Nota. — I^e signe log représente des logarithmes népériens dont la lettre e représente la base. 



Les axes de coordonnées sont supposés rectangulaires. 

1. Il est naturel de désigner log x par : ; alors, en remarquant que log e 

, =-1 

y=ie —^^^ ■ 



1, on peut écrire 



D'autre part, comme -7^ = — , 
dx X 



on a successivement 



4e 



y' = 4e 



'2 I \ 1 

Rien n'est plus facile que d'étudier maintenant les variations de y et de construire la courbe repré- 
sentée par l'équation donnée : d'abord, pour que la fonc- 
tion soit définie, il faut que log .r existe, c'est-à-dire que x 
soit positif; or, tant que x est plus petit que 1, ; est né- 
gatif, donc y' est négatif aussi : ensuite : devient positif, y' 
est donc positif jusqu'à ce que c atteigne la valeur 2, c'est- 
<à-dire a; la valeur e-; après cela : est positif et plus grand 




nul et y égal à — oc 



que 2, y' est donc toujours négatif. 

Il en résulte que de à 1 y décroît ; de 1 à e-, y croit, 
et ensuite il décroit constamment. 

Pour a: = H- £, : est infini et négatif, donc y est 
nul et négatif : pour x = 1, ou plutôt 1 — :, : devient 
au delà, pour x = 1 -|- s, y reste égala — x, puis il croit, atteint la 



190 ËCOLE POLYTECHNIQUE 



i: 



valeur n pour .r = e. passe par un maximum égal à c pour x = e-, et enfin décroît indéfiniment et 
atteint la valeur pourx = -i- ce . La tangente à l'origine est fournie par la valeur de »/' pour .r = -t- s ; 
or on sait que .T(log xf tend vers zéro avec x, donc y' devient infini et la première tangente est Oj/. 
Il est dès lors facile de construire la courbe qui a la forme ci-dessus. 

2. L'aire S a pour expression 

ydx 

Or, la fonction sous le signe | est visiblement la dérivée de - — : par conséquent, l'aire s a 
pour valeur 

3. Revenons maintenant à la figure de l'énoncé; désignons par a et ^ les coordonnées du point N, 
par y l'ordonnée du point M et par t l'abscisse du point R. Nous avons y = /"(a), en appelant f{x) 
la fonction donnée, et MS = QR = x— e = tp(3) — c, en appelant o(x) la fonction inverse de f[x) ; 
donc l'ordonnée du point S est donnée par 

?/ = A^) -»-?(?) — «; 

donc le coefficient angulaire du lieu de S est fourni par 

, _ (//■ do rf? _ 
'■'''' Ih '^ ~dï lu ' 

d'autre part -~ est le coefficient angulaire de la corde AB ; par conséquent 

c/§ (> 1 



Si maintenant l'on fait tendre le point N vers le point A, les points M, R, Q et S tendent aussi 
vers le point A, -y- devient le coefficient angulaire de la tangente à la courbe proposée au point A; 

lia 

—7^. qui est la dérivée de la fonction inverse, devient l'inverse de ce nombre, et l'on a finalement : 

4. L'aire engendrée par MS est une somme d'éléments de la forme MS.rfï, où l'on fait varier a, 
c'est-à-dire x, de e jusqu'à e- ; l'aire engendrée par le segment QR est une somme analogue d'élé- 
ments de la forme QR rf^; or QR = MS et MS.rfi = MS.rf^ -t^- ; par conséquent l'aire S' est égale 

rfp 

à l'aire S, engendrée par QR, miillipliée par -r— , c'est-à-dire par l'inverse du coefficient angulaire de 

d'f. 
AB, e—\. 

D'autre part S, h- - est égal à l'aire du rectangle construit sur Al) et Bl) ; donc 

ï, -H ï = eie" - e) ; 
1 S' 

Or S, = S' ; on a donc finalement la relation Sh = eHe — 1). 

e — 1 — 1 

Il est visible i]ue la nature particulière de la courbe A n'intervient en rien dans ce raisonnement 
el que le résultat trouvé serait absolument le même pour toute autre courbe AH passant aux points A 
et B et représentée par une fonction y = l-'^r), bien définie dans l'intervalle (c, e-) et croissante 
dans cet intervalle. 11 est même inutile, comim^ l'énoncé le mentionne à tort, de sujqjoser l'arc AB au- 
dessus de la corde AB. 

Bonnes solutions : MM. G. GAnoE; G. Fohcby, à Roanne ; M. de PniNGV ; L. SinK, à l.yon ; .1. IliNv. 

Assez bonnes solutions : M.M. .1. Skuag, jt Tunis ; J. Mounnur, lycée de Marseille ; G. Lach, à Denain ; L. Simon ; AMni.Ann, 
h Ruines. 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE 



191 



1701. — On cnnsidirre un plan P el un système (S) de forces appliquées à un solide invariable ; ce 
système, par hypothèse, n'est équivalent ni à une force unique, ni à un couple, ni à zéro. 

1» Démontrer sans calcul que le système (S) peut être en général remplacé par deux forces, l'une F, 
normale au plan P, l'autre Fj située dans ce plan. 

Indiquer les conditions de possibilité du problème. 

2» Soient Ox, Oy, Oz troi% axes de coordonnées rectangulaires ; X, Y, Z, L, M, N les six coordonnées 
du système (S), c'est-à-dire les projections sur les axes de la résultante générale et du moment résultant 
relatif au point 0. 

Soit enfin ux + vy -hwz -\- h = l'équation du plan P. 

On demande de calculer les coordonnées x,, j/i, Si du point de rencontre A de la force Fi avec le 
plan P, ainsi que l'équation du plan r. mené perpendiculairement au plan P par la droite D qui porte Fa. 

3" On assujettit le plan P à passer par une droite fixe donnée A. 

Trouver le lieu géométrique (G) du point A el le lieu géométrique (S) de la droite D, quand le 
plan P pivote autour de la droite donnée A. 

4o Former l'équation réduite de la surface (S), et discuter la nature de cette surface suivant les posi- 
tions diverses de lu droite donnée A. 




1. Supposons que le système (S) soit équivalent à une force AF, perpendiculaire au plan P au 
point A et à une force BF^ située clans le plan P. La force RFs ne peut passer par le point A, car si 
elle y passait, le système (S) serait équivalent à une force unique, ce qui est contraire à l'hypothèse. 
Faisons la réduction pour le point A. Nous menons la force AF'o équipoUente à BFo, nous compo- 
sons AI% et AF,, ce qui nous donne la résultante de translation AR, et 
celte résultante n'est ni parallèle, ni perpendiculaire au plan P. Quant au 
moment résultant relatif au point A, il se réduit au moment AG de la 
force BFo. Donc ce moment est perpendiculaire au plan P. 

Inversement, supposons qu'il e.tiste un point A du plan P tel que 
la réduction du système (S) par rapport à ce point fournisse une résul- 
tante de translation AR, oblique au plan P, et un moment résultant 
AG perpendiculaire à ce plan, je dis que le système (S) est équivalent 
à une force AF, perpendiculaire au plan P et à une force BFo située dans le plan P. 

Décomposons en effet la force AR en deux forces. Tune AF, normale au plan et l'autre AF., 
située dans le plan. Nous pouvons considérer AG comme l'axe du 
couple résultant, et prendre pour l'une des forces de ce couple une 
force AF' égale et opposée à AF'o. L'autre force du couple, BFo, sera 
située dans le plan P, et comme AF' et AF'o se détruisent, le sys- 
tème (S) sera équivalent aux deux forces F, et Fo. 

Donc pour que le problème soit possible, il faut que la résultante 
de translation du système (S) ne soit ni parallèle ni perpendiculaire au plan P; et nous allons établir 
que cette condition est suffisante en montrant que, si elle est remplie, 
on peut trouver un point .\ du plan P pour lequel le moment résul- 
tant du système (S) est perpendiculaire à ce plan. 

Soit A l'axe central du système, ar et ag la résultante de transla- 
tion et le couple résultant relatifs au point a de cette droite. Décompo- 
sons le couple ag en un couple ag' perpendiculaire au plan P et en un 
couple ag" perpendiculaire à i^ el situé dans le plan g'aA. La force ar et 
le couple ag" sont équivalents à une force unique AR équipoUente à ar 
(on peut supposer que le point A est dans le plan P). Le couple ag' peut se transporter parallèlement en 





J!>2 ÉCOLE POLYTECHNIQUE 



AG. Le système (S) est alors équivalent à la force AR oblique au plan P et au couple AG normal à ce 
plan. Le problème est résolu. 

Et Ton voit immédiatement que la solution est unique, car si l'on fait la réduction pour un autre 
point du plan P, on obtiendra un couple résultant qui ne sera pas perpendiculaire au plan P. 

2. Pour déterminer les coordonnées x,, y„ ;, du point A, nous écrirons que ce point est dans le 
plan P et que le moment résultant du système par rapport au point A est perpeadieulaire au plan P. 
Nous obtenons ainsi les équations 

uXi -+- i'i/i + irzt -V- /( = 0, 

L — yiZ4-:,Y _ M — :,\ -^ r.Z _ N — .r,Y -+- v,X 
Il r w 

qu'on peut écrire, en désignant par À la valeur commune de ces trois rapports, 

— ;/,Z -h :,Y — u). -p L = 0, 

— :,X -t- Xi'Z — a -H M = 0, 

— a-jY -h ytX — tel + N = 0, 
uxt -+- u!/i + wz, -^ h =0. 

Multiplions les trois dernières de ces équations respectivement par ir. —v, X, et ajoutons-les 
membre à membre, nous obtenons 

Xt{u\ -+- «Y -I- wZ) -+- h\ -+- Mw — Nu = 0. 

et comme «X-i-i'Y'h-«'Z n'est pas nul, puisque la résultante de translation n'est pas parallèle au 

plan P, nous avons 

Ni- — Mh'— AX 

Xi = • 

v\ -h vY -h k7. 

On a de même 

Lm' — N« — /iY \\u — Lr - /iZ 



!/X -h t)Y -1- wZ mXh-»Y-j-?/Z 

Pour avoir l'équation du plan - nous remarquons que ce plan est le lieu du point tel que le moment 
résultant du système (S) par rapport à ce point soit parallèle au plan P. Par suite, l'équation du 
plan r. est 

w(L — J/Z -h --Y) -H u(M — :X -^ xZ) -+- !i'(N — ïY ^ j/X) = 0, 
ou 

x(uZ — w\) H- y(;''X — wZi — iîhY — rX) + Lî/ -h My -\- N?/' = 0. 
On vérifie aisément qu'il est perpendiculairo au plan P. 

3. Soient 

A.r + By -t- C: -f- D = 0. A'x + B'y -t-C; -h D' r= 

les équations de la droite A. 

Le plan P a une équation de la forme 

(A -1- XA')x -f- (B -f- >B')i/ + (G -h ).C'): -i- D h- ).D' = 0. 
Les coordonnées du point A sont alors 

N(B H- XB') — M(C -)- ÀC) - X(D -t- ÀD') 

^' ~ X(A -f- XA') + Y(B -h XB') -»- Z(G H- XC) ' 

_ L(C -H XC) - N( A -t- XA') - Y(D + XD') 

•'' ~ X(A + XAO • Y(IJ H- XB') -H Z(C -H XC) ' 

_ M(A -H XA') - Li B -t- XB') — Z(D -\- XD') . 

-' ~ X(A -\- XA') -(- Y(B -»- XB') -f- Z(C-+- XC) ' 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE 193 



les deux teraies de chaque fraction sont des fonctions linéaires du paramètre À, et les trois dénomina- 
teurs sont identiques. Il en résulte que le point A décrit une droite. 

D'autre part, la droite D, intersection des plans P et -, est délinie par les équations 

{.\ -+- >.A> -h (B -(- ).B')// + (C -h lC')z -h D + XD' = 0, 
(A+).A'j(L — j/Z^-:Y)-t- (B -I- ÀB')(.M - sX -t- xZ) -t- (G-I-XC')(N — xY -i- y\) = 0. 
L'équation du lieu de cette droite s'obtient en éliminant > entre ces deux équations. Nous obtenons 
ainsi 

A(L— î/Z-i-:Vj-hBiM - cX ^xZj -h C(.N — .cV -^ .'/X; _ A'(L — j/Z + :Y) H 

Aa- -+- Bi/ + Cz -4- U " X'x -hti'y -h C'z -\- ly ' 

c'est l'équation d'une quadrique (Sj, passant par la droite A. 

4. Prenons pour axe des : l'axe central et pour axe des .r la perpendiculaire commune à l'axe 
central et à la droite A. 

Nous avons alors X = Y = L = M = 0, et les équations de A peuvent s'écrire 
X — rt = 0, mij — ; = 0, 

car cette droite ne peut être parallèle h. 0;. 

Dans l'équalion de la surface (-) trouvée plus haut, nuus ferons A = l. B = 0, C = 0. D = a 

A' = 0, B' — lit, C = — 1, D' = 0, et l'équation devient 

— yZ wuZ — N 

.(■ — (/ »! 1/ — a- 

ou, en posant — — k, 

m(.t- -r- y-) — ;/- — ("'" -*~ ^'j-'' ^ nl^' = 0. 
Four former l'équation réduite de celte quadrique, calculons l'équation en S : 
[m — S)-(— S) — — (m — Sj = 



(m — Sjfs- — mS — ^~j = 0. 



PiŒMiEH CAS. î/i = 0. La droite A n'est pas perpendiculaire à 0;. 

L'équation en S a trois racines distinctes non nulles : d'abord la racine m, puis les deux racines 

de l'équation S- — mS — — = 0, qui sont de signes contraires, 

m — <Jin- ■+- î ,. m -+- si m- -f- 1 
m' = :^ j m = 



nm -i- k 
La surface admet un centre unique, ayant pour coordonnées — , 0, 0; si nous transpor- 



tons l'origine en ce point, l'équation devient 

r 
Par suite l'équation réduite est 



m{x- -f- y^) — !/: — -i = 0. 



mx " -+- mu - -(- m z' — ^^^ ; = 0. 

■" 4m 

Si am — A' == 0, elle représente un hyperbolo'ide à une nappe ; si am — k = 0, un cône réel. 
Deuxième cas. m = 0. La droite A est perpendiculaire à. 0:. 
L'équation de la surface se réduit à 

yz — kix — a) = : 



194 ÉCOLE POIA'TECHNlQUIi; 



elle représente un paraboloïde hyperbolique. Pour avoir son équation réduite, nous transportons d'abord 
l'origine au point x — a, y = 0, ; = U; puis, nous prenons pour axes des y' et des z' les bissec- 
trices de l'angle yU:, l'axe des x ne changeant pas. Les formules de transformation sont alors 

y - "' . _ y' + ~ 

y = - — ^ — » ; = = — ' 

et l'équation réduite est 

y^—z'- — ikx = 0. 

DANBON, élève au lycée Louis-le-Grand. 
Honne solution de M. .^mblarp, à ftuines. 



1703. — Un condensateur a nne surface de 37G'"-,992; l'épaisseur de sa lame isolante est de 1 cenli- 
nuHre et son pouvoir inducteur spécifique est 3. On le charge au potentiel de lOOOO volts; on le décharge 

à travers un fil métallique de "i mètres de longueur cl de -— de millimétré de rayon, dont la chaleur 

'10 

spécifique est 0,1 et la densité a. On demande : 

1° Les valeurs numériques, dans le système électrostatique C. G. S. et dans le systinne électromagné- 
tique pratique, de la capacité du condensateur et de son énergie quand il est chargé: 

i" Le nombre de degrés dont s'élèvera la température du fil par suite de la décharge; 

3-' Le poids d'eau, prise à zéro, qui pourrait être Irans/'ormé en vapeur sous la pression normule, avec 
la chaleur dégagée pendant la décharge. 

,\..ii. — On prendra pour chaleur latente de vaporisation de l'eau 537, et on supposera constante et 
égale à l'unité sa chaleur spécifique entre Q" et lUO". 

1° D'après une formule connue, on a, dans le système électrostatique, 

i-e 
Exprimons s et e en unités C. Ci. S. ; il vient 

G = A>^Z^=900 000. 
4x3, uie 

Comme le microfarad vaut précisément 900000 umtés électrostatiques C. G. S., la capacité du même con- 
densateur vaut exactement 1 nnicrofarad. 

L'énergie est donnée, dans les deux systèmes, par la formule 

U = — CV-. 
Le volt vaut d'unité électrostatique C. G. S ; on a donc, dans ce système, 

U = 4 X '"^^ "°° X i -m y "" ■' ^ *"' ^^^^' 

Dans le système pratique, C vaut 1 millionième et l'on a 

U = 4" X 10-' >< 10" = 50 joules. 

50 . 

2» La pelile calorie équivaut h 4, ^ jouli's. La chaleur do la décharge vaut donc —r- petites calories. 

D'autre part, la chaleur nécessaire pour échaufl'er un corps de /" s'exprime par le produit mrl, m dési- 
gnant sa masse en grammes et c sa chaleur spécilique. Nous devons doni- avoir, on exprimant ui à 
l'aide des dimensions et de la densité, 

50 
r. X 10-' X 200 X o X 0, I X ' = -7-r , 

d'où t = 381». 



ÉCOLE POLYTECHNIOUR l9o 



3° La chaleur nécessaire pour vaporiser un poids d'eau p dans les conditions de renoncé est évi- 
demment (Î37 p. On doil donc avoir 

637 n = — -, d'où p = 0^ 0187. 

4, 2 

ESTEBEN, à Bordeaux. 

Honnc solution de M. .1. Ili.vï. 

Solutions en partie exactes île MM Ambljhh et Me Dazeluc 



1704. — On ajoute, une solution d'un iodurc alcalin à une solution étendue de sulfate de cuivre en 
excès. Il se fait un précipité qui, après lavage et dessiccation, est introduit dans un petit tube de verre; 
l'augmentation du poids du tube montre qu'il y a été placé |s,3io de précipité. 

Un chauffe le tube au rouge sombre, en même temps qu'on y fait passer lentement un courant 
d'otygèn" ; il se dégage de l'iode qu'on recueille dans un tube qui fait suite au premier. L" lube 
laboratoire a perdu 08,7858 rfe son poids: il contient maintenant de l'oxyde de cuivre CuO pur. L'iode 
qui a pris naissance est redissous dans une dissolution d'iodure de potassium qu'on étend ensuite à 100"'"^. 
On introduit celte solution dans une burette et on la fait tomber goutte à goutte dans 10"^'"' d'une solution 
d'hyposulfite de sodium additionnée d'empois d'amidon: il en faut 10'="i^,4 pour faire apparaître la colo- 
ration bleue. On vérifie d'autre part qu'il faut 13^,,,^, 6 de celle solution d'iii/posulfile pour décnlorer lO^ms 
d'une solution décinormale d'iode. 

On demande : la composition et la formule du précipité ; l'équation de la réaction de l'iodure sur le 
sulfate de cuivre ; peut-on, en additionnant la solution cuprique d'un réactif très usité, précipiter tout l'iode 
de l'iodure alcalin ? 

A'.-B. — Poids atomiques donnés : Cu = 63, I = 127, = 16, S = 3:2, \a = 23. 

I.e tube laboratoire ayant reçu 1^^,340. perdu De, 7858 et ne contenant maintenant que de l'o.xyde de 
cuivre. le nombre a; de molécules de cet oxyde est tel que l'on ait 

463 + 16) = 1,345 — 0,7838, d'où x = 0.00708. 

Le précipité contenait donc 7 milliatomes de cuivre. 

Les lO"^"!' de solution décinormale d'iode en contiennent un milliatome. Donc 13'^"i\6 de la 

solution d'hyposulfite correspondent à I milliatome d'iode ; 10<=™^ correspondent à de millia- 

\o, b 

tome ; ce poids d'iode étant contenu dans 10'''™\'i de solution, les 100'="i^ qui contiennent la totalité en 

représentent x — ^ttt = 7,07. Le précipité contenait donc exactement le même nombre d'atome= 

i0,4 13,6 

de cuivre et d'iode. 

Contenait-il autre chose .' Le départ de l'iode a été cause d'une perte de poids égale à 0, 00707 X 127. 
La fixation d'un nombre égal d'atomes d'oxygène produit une augmentation de poids égale à 
0.00707x16. La différence 0,00707 127 — 16) = 0,78477 représente presque exactement la perte 
de poids donnée. Don". In précipité ne contenait que du cuivre et de l'iode et sa formule est Cul. 
L'idée la plus simple au sujet de la réaction est de la représenter par l'équation 
SO* Cu + 2KI = SO*K- -I- Cul -i- I, 
l'iode libre disparaissant dans les opérations de lavage et de dessiccation. Il convient toutefois d'observer 
que la réalité de cette réaction est contestable, surtout si le sulfate de cuivre est, comme l'indique 
l'énoncé, en excès. 

On sait d'ailleurs qu'en additionnant la liqueur cuprique de sullile acide de sodium, on précipite 
tout l'iode à l'état d'iodure cuivreux : 

2SO'Cu-f-2KI-t-SO^\all • H^O = 2S0'KH + SQ-NaH -1- 2Cul. 
Bonne solution de .M. J. Bi.vv. 



I9fi CONCOURS DE 1909 



CONCOURS DE 1909 

POCR L-EMPLOI DE 

COMMISSAIRE-CONTROLEUR DES SOCIÉTÉS D'ASSURANCES SUR LA VIE. 

(10 février 1909.) 



ÉPBECVES ÉLIMINATOIRES 

Mathématiques. 



I. — Calculer l'intégrale indéfinie 

f(^'iT^^ - x) 7^'l~+^' +x)Tdx. 
U. — On considère la suite des polynômes 

P. = l-i-^.-, 

P„= xP„_i — (n— 1)P„_,. 

Démontrer que l'équation P„ = a tontes ses racines réelles. 

Résoudre l'équation P^ =^ 0. 

Calculer la plus grande racine positive de celte équation à 0,001 près. 

III — Etant données 9 urnes identiques, qui renferment, la première 9 boules blanches et une boule noire, 
la ?e 8 houles blanches et 2 houles noires, etc., la 0* I houle blanche et 9 houles noires, on tire, de l'une de 
ces urnes prise au hasard, ime boule trois fois de suite, en remettant chaque fois la houle dans l'urne. Quelle 
est la prohahilité de tirer ainsi deux boules blanches et une boule noire fahslraction faite de l'ordre du tirage) ? 

Cet événement s'élant réalisé, quelle est la probabilité pour que le tirase provienne de la troisième urne"? 

On exprimera les résultats en fractions décimales. 

ÉPREUVES DÉFINITIVES 

Composition de Comptahilit^ . 

Une société, ayant emprunté, en janvier 1909, un capital de 15.000 fr., s'engage à l'avoir remboursé en 
décembre 1911. 

Présenter et expliquer quelles sont les écritures auxquelles donne lieu cette opération dans les inventaires 
arrêtés au 31 décembre de chacime des années 1900, 10 10 et 191 1 et les articles devant figurer à ces trois bilans : 

1° Dans l'hypothèse où la société peut effectivement rembourser sur ses bénéfices un tiers de sa dette 
chaque année ; 

2*Dan« l'hvpothèse où la société amortit chaque année 1/3 de la dette, qui ne sera remboursée effective- 
ment qu'en une fois dans le courant de décembre 1911. 

Composition financière. 

I. — Une société a émis le f janvier 1890, moyennant une prime annuelle, p.iyable d'avance, de 3ifr.93, 
des bons de 1.000 fr. chacun, remboursables au plus lard le 31 décembre 1910, cl, par aniicipalinn, au moyen 
de tirages au sort ayant lieu .'i la fin de chaque année. On amortit à chaque tirage 3 bons sur 100 bons'émisà 
l'origine. Après amortissement d'un bon, la prime annuelle correspondante cesse d'être due. Calculer la 
réserve malhém itiqiie d'un bon, au 31 décembre 1901, immédiatement après le tirage "?Taux d'intérôts 3 1 '2 "'o. 

II. — Etablir les formules des primes pures de l'assurance d'un capital payable au décès d'une tète d'.ige 
X, à la condition qu'elle ait survécu k une tète d'âge ;/. 

IH. — Sachint qu'un capital de 100 fr., versé îi 50 ans, donne une rente viagère immédiate de 7 fr., 13, que le 
même cipitil proluit à 60 ans n ne rente viagère de 58 fr.. 6ï s'il est versé à 20 ans, et une rente de 15 fr., 98 s'il est 
versé à 50 an<, trouver le moulant de la rente prodiiile à 50 ans par le capital de 100 fr. versé à 20 ans. 



FCOLE CENTIiALE 197 



QUESTIONS PROPOSEES 



1779. — On considéio une coni(ine (', de centre et I:i conique K qui ;i pour sommets les rebroussements 
«le la développée de C 

1° Soit M im point variable de la conique K ; sur OM comme di.imétre, on décrit un cercle I' qui coupe les 
axes en P et Q. Enveloppe de PQ. 

2° Le cercle r rencontre la conique K en trois points Pi, P... P., autres que M. Enveloppe des côtés du 
triangle P1P2P3. 

3» Le triangle P1P2P3 est conjuiiné par rapport à l'hyperbole équilatére dont les sommets sont les foyers 
de la conique C. 

4° A chaque point M de la conique K, ou fait correspondre la droite ;ji qui joint les centres de courbure en 
M aux deux coniques qui y passent et qui sont homofocales à la conique C. Enveloppe des droites a. 

/D'après Lac.cebre.) 

1780. — On sait que le lieu des projections d'un point A sur les génératrices d'un cylindroïde 

2kx;/ ki\^ — \i) 

" "" 'x--\-y-' " ~ X- -(- Y- ' 

est une courbe plane dont le plan P passe par une génératrice G du cylindroïde fime conique). L'abscisse et 
l'ordonnée du point A étant x, et y, (sa cote est indifférentel, la génératrice G est celle qui correspond à 

-^ = —, et le point de contact K du plan P avec la surface est In pi-ojection du point A sur cette 

génératrice. 

Si le point A se déplace sur un cylindre d'axe Oj (ou simplement sur une section droite d'un tel cylindre), 
les axes \'0\ et Y'OY, qui sont les bissectrices des axes primitifs x'Ox et i/'Oy, interceptent sur la droite "b, 
projection de AR. une longueur constante 2a, a étant le ravon du cylindre; le lieu du point B est l'intersec- 
tion du cylindroïde et d'une quadrique de révolution : examiner les prniections de cette courbe sur les plans 
XOY, ;0Y, rOX ; montrer que le plan de l'infini est doublement osculateur à la courbe. 

(G. F.) 



DEUXIÈME PARTIE 



ÉCOLE CENTR.\LE 



Concours de 1908. 

1705. — Mouvement avec frottement d'un point matériel pesant sur un plan incliné d'un angle 1 sur 
l'horizon. Le mobile est lancé d'un point .\ du plan avec une vitesse initiale V„ dirigée suivant la ligne de 
plus grande pente de ce plan et de bas en haut. Le plan incliné est supposé illitnité. 

Donner sans démonstration : 

1° la condition à laquelle doit satisfaire le coefficient f de frottement pour que le mobile redescende ilu 
point le plus haut B qu'il peut atteindre ; 

i° dans le mouvement ascendant et dans le mouvement descendant, les expressions en fonction du temps ^ 
de l'espace parco)iru et de la vitesse. 

.Application. — On a observé qw le mobile emploie pour descendre de B à \ un leynps double de celui 
qu'il a mis pour monter de A à B; en faisant a — 4o*, calculer: 

1° le coefficient f de frottement ; 2° la vitesse avec laquelle le mobile rerient en .\, V, étant supposée 
donnée. 



198 



ÉCOLE CENTRALE 



1° La condition pour que le mobile redescende du point B où il arrive sans vitesse est que l'angle » 
soit supérieur ou au moins égal à l'angle o du frottement: 

^ ■ ^^ d où. en remarquant que / = tgo, 

2" '() Mouvement ascendant. — Prenant les axes iiiilii|iiés sur la 
figure, on a pour équation du mouvement 

i d-x ._ „ ■„ (^'y 




dt- 



■ mg sin a — R sin o, 



dl- 



— — mg cos ï -H R cos o = 0. 



Or ij — 0, ~ = 0, donc R = — ^ Portant dans la première équation, il vient 



d'.i 



d'oîi, en intégrant. 



d.r 

— =v,-gl 



cos o 

- g sin a — g cos a tg r. 
sin (a +0) 



sin (a -;- o). 



dt ' " cos o 

Le mobile arrive en B au temps 



1 sin (a -h o) 



et l'espace parcouru est 



AB 



g sin (a + 0) 

1 v^ cos o 
2" ,ysin(a-r-o) 



b) Mouvement descendant. — Les équations du mouvement deviennent 



d-.r . „ . 

m = — mn sm î -+- R sm o, 

dt- 



d^j 
dt^ 



= — mg cos a -+- 1) cos s = 11, 



d'où R = 



mg cos a 



et 



d^x 



= — '/ sin a + f/ cos a tg o 



cos o dt 

Soit t' le temps compté à partir du passage au point B. On aura 

dx _ , sin (a — ?) 1 U5COS0 1 ^,,3 sin (g — o) 

1/7 ~ "' 



sin (a — =1. 



= -9t' 



X = 



cos a 2 7sin((x-+-o) 2 

Quand le mobile arrive en A, c'est que x = 0. donc 

l'.i cos o 



ô?'" 



t, = 



et sa vitesse est 



7. sin (« — o) 



coso 

elle est inférieure à v„ en valeur absolue. 
Applkalion : a = 45°. I\ = 2^, 

On a 
c'est donc que 
l)e plus 



g\/sin (a -H ?) . sin (a — ç) 

l'„ cos (0 _ /sin (a — o) _ 

.7v/siir(ï^ 'f)Tiin7a^?) "' sin(«-f-9) ' 



t.K _ / sin (a -H?) 
77" V sin(a-o)" 



Sin o -+- cos o 
sin V — coso 



d'où 



tg !? = /■ = — 



./sin 
oy sm 



(a + 9) 



P. L. 



Solutions de MM : C.liarles r.uiLLEKMB, ly.éc He Itourg ; (".. l.»i;ii, ;i l)«iiaia ; L. Micinci., au 126» dinlanleiie à Urive ; l.oois 
Sing, h Lyon; J. Vkhots, école des Anglais, à Lyon ; J. Binv. 



ECOLE CENTRALE 



199 



1706. — I" Co)islruii-e la courbe (G) dont l'équation en coordonnées polaires est 

p = on — Âa cos t» — '6a siii i». 
a est une longueur positive donnée. 

2» En un point M de (G), on lui mène la normale, et au pôle U, on élève la perpendiculaire à OM ; 
ces deux droites se coupent en .\. Par M, on mène le vecteur MQ équipollent au vecteur ON (ious-normale 
en M). Trouver soit en coordonnées cartésiennes {ou linéaires), soit en coordonnées polaires l'équation du lieu 
{A) du point Q; le conslruire ainsi que sa tangente en Q. 

S" Pour une position donnée de Q sur [A) construire le point correspondant M de (G) et la tangente 
à (G) en M. Dans l'hypothèse où le point Q décrit {A) d'un moucement uniforme avec une vitesse ba diri- 
gée de manière à ce que le vecteur OU tourne dans le sens jJOiilif de l'angle polaire <a, calculer la vitesse 
angulaire de rotation du vecteur O.M et construire le vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire (G). 

1" Le rayon vecteur (lu point M rjui décrit la courbe s'obtient en augmentant de ba le rayon vecteur 

du point m qui décrirait le cercle d'équation 
r = — 4a cos w — 3a sin m. 
Ce cercle passe par le pôle et rencontre les axes ox, 
oy aux points a d'abscisse x = — 4a, b d'ordonnée 
y = — 3f/ ; son diamètre est égal à u^,42~4- 3^ = 5a. 
Donc la courbe (G) est une cardioïde ayant le p61e 
pour point de rebroussement et pour tangente en ce 
point le diamètre Od du cercle, dont la direction fait 
avec l'axe polaire l'angle a défini par l'équation 

tg a = — , d ou 




cos a =: — , 



sm oL — —-. 



Si on introduit cet angle x dans l'équation de la 
courbe (G), on obtient 

.. r . 1 ■' - » 

p = oa I 1 — cos((D — ='. = 'Ua sm- . 

On fera varier <ude a — - à ^-H-; on obtient 
ainsi deux branches de courbe symétriques l'une de 
l'autre par rapport à la droite UD. La variation du rayon vecteur est évidente, p décroit de 10a à et 
croit ensuite de à lOa en reprenant les mêmes valeurs pour des valeurs de w équidistantes de a. 
2° Le vecteur MQ étant équipollent au vecteur ON, on a 

(OQ) = (OM) -h (MQ) = (OM) -- ,0N). 
OrOMest un vecteur dont la direction positive est donnée par l'angle «et la valeur algébrique est ? ; 
ON (sous-normale) a pour direction positive la direction w -1- — et pour valeur algébrique ?'. Si on 
veut les coordonnées cartésiennes du point Q, il suffit de projeter sur les axes Ox et Oy. On aura ainsi 



X = p cos tu + 0' cos 



— 1= p cos (o — p'sin (o, y = p sin uj -H p' sin( 10 h — -y. 



-p C0S(.) 



O"" ?' = 4a sin 'o — 3^ cos 1», 

X = (pa — ia cos w — 3a sin u) cos w — ^ia sin w — 3a cos 10) sin a. = on cos «> — 4a, 
y = (oa — ia cos w — 3a sin w) sin to H- (4a sin oj — 3a cos u) cos ^ = 3a sin " — 3a. 
Le lieu [A) du point Q est le cercle 

(j — 4a)^ -I- (1/ -t- 3o)- = 2oa'-, 
qui a pour centre le point d (— ia, — 3a 1 et pour rayon 3a = dO. Ce cercle passe donc par le pôle ; sa 



^QO ÉCOLE CENTRALE 



tangente en U esl perpendiculaire ii (^J. Un recoiiaait aisément que c'esLla droite MQ ; en effet 

dx .. . di/ 

— = — aa sin a>, —-- = oa cos w ; 

dvi «ai 

le coellicienl angulaire de la tangente est 

^=-cot,.o = tg^.^J); 

c'est bien la direction commune à ON et à MQ. 

On peut remarquer que le= coordonnées de (J sont de la forme 

lo — -x w -(- ï 1.0 — a <o -I- a -I- ~ 
X = 5u(cos w — cos =t) = — lOc sin — ^ sm — - — = \0a sm — cos , 



y = ou(.sinco — sin a) = lOrt sin — - — eus -^^ — 

Les coordonnées polau-es {r et 0) du point tj sont donc 

ai — a 

j- = lUasin — 1 ti = 

d'où l'équation du lieu (A) en coordonnées polaires : 



r = Ma sin/ — a ^ j= — lOacos (0 — ot). 

Géométriquement ces résultats sont presque évidents. Soit m un point du cercle C, JN le point dia- 
métralement opposé; c'est l'extrémité de la sous-normale en M à la courbe (G). La tigure OMQ.N est 
un rectangle, également Om(/i\ ; donc mM = dn et comme mSl = oa, dQ = oa, le lieu [A) du 
point (J est le cercle décrit de d comme centre avec un rayon égal à ot/ et par suite à t/0. La tangente 
en O est bien la droite QM perpendiculaire k dQ. 

3° Inversement soit un point pris sur le lieu (Aj; enjoignant ce point au point d, on aura le 
rayon Q(/ qui va rencontrer le cercle c au point N. Un aura le point M en construisant le rectangle 
(JNUM ; iN est l'extrémité de la sous-normale en AI, donc NM est la normale et la tangente s'en déduit. 

Reprenons les expressions des coordonnées du point Q en l'onction de l'angle w : 
X = 5a cos 10 — 4a, y = 3a sin '•> - '.ia. 

La vitesse du point Q a pour composantes 

dx . c/oj du „ d'u 

= — oa sin o) > — '— = ou cos '" — -—i 

dt dt dt dt 

^^ J dui \- ^ „ dio 

d'Où v^^-îoa-[-^y ,^±,a — . 

Oron ventque >0 (OQ devant tourner dans le sens positif de l'angle polaire ai); d'autre 

dl 

(u-|-a-+-- c/O i dw t/"J , (/(.) , . .... 

part étant égal a ; -, —r-= ^ a le signe de — — '. donc -7— doit être positit 

^ ° "2 dt 2 dl " dt dt 

et pour que v = Tja, il faut que —r- = ^ ■ Telle est la vitesse angulaire de rolatiou du vecteur OM. 

Quant à la vitesse du point M, ses composantes sont : 
1» suivant le rayon vecteur (direction <u) 

do dp t/(i) 



'^'=-^=rfi:-^ = ?' = ^^ = «^'' 



2° suivant la perpendiculaire au rayon vecteur / direction 



Vi= P--7r = P = OM. 



ÉCOLE CENTRALE 



201 



On l'obtiendra en faisant tourner le vecteur MN d'un angle égal à — autour du point M. 

P. L. 

Solutions de MM. A. Dubv, lycée de Dijon ; G. Lacii, à Denain ; L. Moxtact, lycée d'Alger : L. Sire, à Lyon ; J. Bi.vr. 



1711. — Calculer, soit en grades, soit en degrés, les trois angles A, B, C d'un triangle sachant gu'ih 
vérifient les équations 



CCS A = 



:5 -H v/2 



B 


— C 




^ 


13 


— C 



/:i23i8 sin A 



Calccl en grades (Tables à cinq décimales) 



1° Calcul de A. 



y/i = 1,41421 
3-hy2 = 4,41421 

4,414 0,64483 

21 2,1 



log (3 + v'2 ) = 0,64483, 1 



log 2 = 0,30103 
colog (3 -i- y/â) = î,3ool 4,9 



logcos A = 1,63617,9 
70^O7 1 



— 0,00o 6.9 

A = 70'\06o0 
B— C = 129'>,93o0 

— ^— = 64«.967o 



Calcul de log sin A. 



70«,06 1,93009 
o 1,5 



log sin A = l,9oOI0.3 



log 22348 = 4,34924 
log 8982o = 4,93339,0 



-^ = 10 



A = 13 



-i = 3 



2'' Calcul des angles B et C. 

R — î— C 

Calcul do los t 



64°,96 0,21207 
7 10,0 

5 0,73 



loglgl:iL2= 0,21218,3 



Calcul de log tg 



B— C 



— lo2 22348 = 2,1746-2 
1 



log sin A = 1 ,97aOo,2o 



4- colog 89823 = 3,32330,23 



à = \o 



log tg 5—-^ = 1,88313,8 



41 ■■.67 



03 



9 



12,8 



B— C 



= 41 «,6790 



B-hC 



Résultats 



= 64'^,9673 

B = 106»,6463 
C = 23'-,288o 

A = 70'-,06oO 
B = 10G<^,646a 
G = 23s288o 



A = 14 



202 



ECOLE CENTRALE 



1° Calcul de A. 




s/2= 1,4142136 




3+^/2 = 4,il42l3fi 




4.41i2 


0,6448520 


l 


9,8 


3 


2,94 


6 


0,588 



CaI-Cui- f.\ degrés Tables à sept déi-imales) 

t" Calcul des angles B et C. 
B-f-C 



^ = 98 



log (3 H- ^R.) = 0,6448533,3 

log2 = 0,3010300 
colog (3 + v/î) = 1,3351466,7 



log cos A = 1,0561766,7 



63''3'40" 



365 



A = 414 





401,7 


— 9" 


372,6 




29,1 


— 0",7 


28,98 


A = 63° 3'30",3 




B-hC = ucse'^G',? 




B-hC 

— — = 58»28'14".8S 





Calcul de log sin A. 



63°3'30" 1.9501039 

0",3 3,21 



A = 107 



logsin A = 1.9301062,21 

log 22348 = 4,3492387 

log 89825 = 4,9533972 

colog 89823 = 5,0466028 



Calcul de log ts 
58°28'10 



0,2121609 -i 

4" 189,2 
0",8 37,84 
0",05 2.365 

log tg ^4^ = 0,2121838,4 



473 



Calcul de log t^ 



— C 



log tg 



B 



= 0,2121838,4 



-1- log 22348 = 2,1746193,3 



— log sin A 



1,9750531,1 



2 


colog8982o 
♦ B-C 

Ogtg-;j— 


= 3,3233014 


1 


= 1.8851 


i77 




37o30'40" 




48 






29 




0",6 


— 


26,16 
2,84 




G",06 




2,616 




B — C 


37°30'40' 


.66 




B + C 
2 

B = 


38°28'14' 


,85 










go-uS'oo' 


,31 




C = 


20°o7'34' 


,19 


Résultai? 


: A = 


63° 3'30' 


,3 



63» 70'- 

3' 0,0o33C> 

30" 0,00920 

0",3 0,00009 

A = 70-,06491 



Conversion des degrés en grades. 

95° I0o'"-,o335() 

58' 1,07407 

55" 0,01698 

0",5 0,00015 

B ^ I06',64676 



û = 436 



A 


= 63° 3'30" 


3 


B 


= 93"38'o5' 


,5 


C 


= 20''o7'34' 


,2 




20» 


22'"-, 22222 




57' 


1,05556 




34" 


0,01049 




0",2 


0,00006 



C = 23>',:28833 
P I,. 
Ont envoyé des calculs exacts : MM. (".. Lach, à Den.iin ; L. Simon, section normule de Cli:'ilons-sui-Mariie. 



ÉCOLE CEiNTRALE 203 



1707. — Les armatures d'un condensateur sont des sphères concentriques de rayons n = od'" et 
1-, = bb"" chargées à une différence de potentiel de 10 unités C. G. S. électroslatiriues ; évaluer l'intensité 
H du champ électrique au milieu de la distance qui sépare les armatures. 

Calculer la valeur numérique de il en unités électrostatiques et en grammes par jnicrocoulomh. Etabhr 
la formule algébrique définitive avant tout calcul numérique. 

O 

Si Q désigne la charge de la sphère intérieure, le champ à une distance x du centre est — . 

Pour '■ = . on a 

t 



D'autre part, la charge Q est liée à la dilTéronce de potentiel V par la relation 



X 



-^d.v = V, d'oii 



Portons cette valeur de Q dans l'expression de H, il vient 

,I=V ^ -=l,9fl. 

Si l'on admet, comme première approximation, que les deux sphères sont assez rapprochées pour 
que le champ, dans l'intervalle qui les sépare, puisse être regardé comme constant, on a simplement 

/•i — ;-., 
Le nombre trouvé pour le champ représente, en dynes, la force qui sollicite une unité électrosta- 
tique C. G. S.. Un microcoulomb vaut 3000 unités C. G. S. ; il subira une action de 5970 dynes. D'autre 

part, le gramme-poids vaut 981 dynes ; le nombre cherché sera donc , soit environ 6 grammes 

par microcoulomb. 

Solution incomplète de M. de Bazillac. 



1708. — Dant une bombe calorimétrique, on introduit un certain volume d'élhyléne. On ajoute la 
quantité d'oxygène pur nécessaire pour assurer une combustion complète et on enflamme. 

On recueille 3<^,9'4: d'anhydride carbonique, li^'.Gl d'eau et on constate que la chaleur dégagée est égale 
à 13.3 calories. 

On demandede calculer : i" le rolwnr d'élhylèae introduit dans la bombe ; 2° la chaleur de formation de 
cet hydrocarbure . 

La réaction C H-O- = CO- dégagedicalories. 

La réaction H^ -)- = H^O liquide dégage Q9 calories. 

Le poids moléculaire de l'anhydride carbonique, COS est égal à 12 + 2 x !•• = 4'*- Donc dans 

3s, 94 de ce gaz, il y a un poids de carbone 

3 94 • 
-47— X 12 = 1^,0745. 
ti 

Le poids moléculaire de l'eau, H-Û, est égal à 2-i- 16 = 18. Donc dans l'--,61 d'eau, il y a un poids 

d'hydrogène 

*'^* X2 = 0M788. 



18 
Le poids d'éthylène brillé est donc 1,0745 + 0,1788 = 1,2533. 



20't 



KCOLE CENTRALE 



Or le poids moléculaire de l'éthylène, C-H*, est égal à 24 h- 4 = 28 ; le volume moléculaire com- 
mun à tous les gnz, est 22', 4. Le volume d'élhylène employé est donc 

1,2333 



28 



i . 



La chaleur dégagée par la combustion d'une molécule serait 22,4 fois plus grande que la chaleur 
dégagée par la combustion d'un litre; ce «erait donc 

22,4 X lo,3 = 342<:»'-. 
Or la formule de la réaction est 

C2H*+ 30'- = 2C0= -h2H^0. 
La chaleur dégagée se compose de la chaleur de formation de 2 molécules de gaz carbonique et de 
2 molécules d'eau diminuée de la chaleur de formation de l'éthylène. Donc 

2x9i-h2x69 — aj = 342, 
X = — 16. 



R. MANEN, à Albi. 



Bonnes solutions de MM. r,. Lach; L. Simon: ,1. Vèrots. 
Assez bonnes solutions de .MM. C. CciLLEnsiE ; Fi. Tkllieh. 



1710. — Soit CAR un triangle rectangle m dans lequel on donne les côtés de l'angle droit 
OA = a, OB = h. 

On considère un point M variable sur In bissectrice OZ de l'angle droit AOB ou sur 
z son prolongement OZ' ; on désigne l'angle OAM par x, et l'angle OBM par y. 

p^ y\ 1° Evaluer tg y en fonction de tg x et des longueurs données a et b. 

2° Connaissant a et h calculer igx de façon que y = 2x. — Indiquer dans 
quels cas le problème est possihle, combien il y a de points M répondant à la question 
sur la bissectrice OZ et combien il y en a sur son prolongement OZ'. 

3° Dans le cas où il y a deux positions M' et Al" du point M répondant à la question 
précédente, on demande de calculer en fonction dç a et de h les cosinus des angles 
^l'AM", M'BM" et le produit des cosinus des angles AM B et AM'B. 

l. Distinguons suivant que le point M se trouve sur la demi-droite OZ ou sur son prolongement. 
1" Dans le triangle OAM on a la relation 

OM n 

sin X 




in(.r4-^) 



de même dans le triangle OBM, 



d'où, en éliminant OM, 



OM 

sin )/ 



/) sin y 



n(.r+^) sin(^?/ + -) 

ile OZ, X variera de à — 
2" Supposons mainlonant le point M sur OZ ; nous désignerons par x' et y' les angles OAA[, OBM, 



:]tz 3 

Le point M décrivant la demi-droite OZ, x variera de à — et ?/ variera également do à — 



ECOLE CENTRALE 



20b 



et nous aurons 

et, en éliminant OM, 
'Z 



OM 



-(t-^') 



u\i 

sin »/■ 



in(^-î/' 





h sin '/' 



5111 --XJ 



sin (^- -,<•■) 

Eu posant x — 
aura encore l'équation 

a sin X' A sin y 



'/ = — I, 



V, on 



sin h X 



trouvée dans le premier cas. Lorsque le point M décrit la demi-droite OZ', a,' et y' varient de à 

par suite a- et y de à — -7- • Finalement on a dans tous les cas la relation 

a sin X h sin 1/ 



sin { X ^ — 
\ 1 



sin \y 



4 y 



3- 



X et y étant des angles de même signe, qui varient de an — — lorsque le point M décrit la 

droite Z'Z. 

Cette relation peut s'écrire 

« sin .r 4 sin y atgx ^'S!/ 



ou encore 
(( tu- .(■ 



sinx + cos.f sin I/-+- cos 1/ 

on en déduit tg '/ = , 

° •' h — {a — 6 tg X 

IL — Pour que y — 2x, il est nécessaire que 
tg y = tg 2.r : 

d'où l'équation du problème : 



1 -4- ts X 



1 -+- tg y ' 



2 ts x 



1 — tg -X 
2tKx 



6 — (a — 6) tg X 1 — tg -x 
ou, en supprimant la solution tg r = 0, qui est sans intérêt, 

aig-x — 'i{a — b) Igx -i-20 — a = 0. 
Discutons d'abord cette équation. La condition de réalité 

(,, _ by — a{U — a) > 
ou b- — 4a6-f-2^'- ^ 

exige que le rapport — = //( soit compris entre et 2 — ^'2 ou supérieur à 2 -h ^'2. 

Une valeur réelle de tg a- correspondra à un point sur OZ si cette valeur est comprise entre et 
-+- 30 OU entre — 00 et — 1 ( (J < a- < — — ); h un point situé sur OZ' si la valeur est comprise 



entre — 1 etO ( '-<^x<iO]- Nous devons donc comparer les racines de l'équation aux nom- 
bres — 1 et : 

/■(- 1) = 2a > 0, 

/■(O) = 26 — a. 
/'(O) sera ^0 suivant ([ue m sera ^"g" 



206 ECOLE CENTRALE 



i" 0<m<— ! on a /"^— 1 1 > 0, /"(O) < 0, /'(-+- se )>■ 0. L'étiuation a une racine réelle 

tgi' comprise enlre — 1 et correspondant à un point M' sur OZ' et une autre racine réelle positive 

1 
Igx" correspondant a un point M sur OZ. — Pour m — — . tijx' = 0. Igi' — i. 

2" — < m <; 2 — ^ 3; tous les résultats de substitution sont positifs : la demi-somme des racines 

. = 1 — »i est positive, donc les deux racines sont positives, et on a deux points M' et M" placés 



tous deux sur OZ. 

3° 2-f-^/2<OT, la demi-somme des racines est négative, elle est plus petite ([ue —1, les deux 
racines sont plus petites que — i el les deux points M' et .M" sont encore sur UZ. 

Ces points conviennent-ils à la question proposée ? 

De ce que tg </ = tg ix . 

résulte que Ton a 

'ix=y- l,r.. 

L'angle y étant compris entre '- et -^> pour que l'angle 2.c, qui a même tangente, lui soit égal, 

- 3_ 

il faut et il suflit que 2a; soit également compris entre — y ^t -y-' autrement dit, 

— ■r-< •!■ < — ' 
8 8 

1 - v'2 < tg X < 1 + ,/2. 

Or on a /"(l =f v'2) = ^^6(2 rc ^f2) > 0. 

Reprenons la discussion précédente : 

1 

1° < m < -^ ) on a 

f\\~y'l)>0. rO)<0, /•^l + ,/i)>0; 

les deux racines sont comprises entre 1 — \'-2 et 1 4-^2. Les deux points M et M' conviennent. 

2° — < m. Tous les résultats de substitution ont le même signe. Pour que les deux racines 

soient comprises entre 1 — ^/2 et I-h/ï, il fiiut et il suffit ([ue leur demi-somme l—m soit 
elle-même comprise entre 1 — /2 et l-(-v'2: 

1 _ ^/2 < 1 — „i < 1 -h ^/2, 
ce qui exige m < yi; cette condition ne sera remplie que pour m < 2 — v^. 

Pour )H > 2 -H V 2, les points M' et 51" ne conviennent donc pas. On a vu que les deux racines 

sont plus petites que — 1 : elles correspondent à des angles x' et x" compris enlre — et — ^ ; l'an- 
gle 2x étant alors compris enlre - et -^j la relalion entre les arcs serait de la forme 

2x = ;/ -^ -. 
m. _ Soient M' et M' les doux positions du point .\l répondant à la question, on a 

.nFÂM" = x" — x'. 

/Z STÏÏM'' = ij" — y' = iix" — x') . 

bL / Calculons d'abord 

^^^■X, , tgx"-tg.r' _ \',a-bf- „{-il,~,n 

4. X '°'^ ""'- t-4-lgx'tsx' - !> 

A dou 1 -t-tg»{x' — x"^ = 7^ > 



ECOLE CENTRALE 



207 



et par suite 



js i\l AM" = 



h 



s./i{a — h) 



- 3- b , 

l'angle M'AM", dillerence de deux angles compris entre — et -i —, est aigu etona m = — <! 1. 



On en déduit 



D'autre part. 



cos M'BM " = 



1,"- 



[u — hy- 



■ - 1 = 



a{ih — a) 






AM 



d'où 



Or on a 



"B = AM^-+-0ÎrB= i-^ —x"\^i^—y''\ = ^ 3x", 

COB AM'B.cos AM"b = sin 3.1- .siri3a.'. 

2 sin 3x' sin 2x' = cos 3{x' — w') — cos 3(0."' -+- x'), 

— b(b- —<ôah -haa'-"! 



cos 3(x" — .1-') = cos"{a ' - x')[i — 3 tg- [x" — x')\ 
Calculons maintenant 



f>{a-bf 



Ig (!"-(- a-') = 



2(rt -b) 



tg a" -H Ig x' 



1 — tga'.tg x' a — (26 —a] 



d'où 



x" H- x' = -f-y cos 3(a" + x') — cos — — = 



On a donc 



2 cos AM'B.cos aM'B 



[ a — b\^ — b[b'- — 6(//' -+- 3a-) 

v'2(a — 6)' 
a' — 6a-b ■+- 9ab- — 2b' 



v/5{« - by 

Le numérateur se décompose en [a — 26j(a- — Aab + b'^\. On a donc 

! fl — 'ibya- — iab -+- b- 1 



cos AiW'B.cos AM"B — 



^/■îia — by 



\>. L. 



Construction ijéomrlriquc des points M' et M". — Supposons le problème résolu. Soit M un point 
répondant à la question, BI la bissectrice de l'angle OBM. Le triangle 
OBI est semblable au triangle OAM et par suite 
OB _ 0\_ 

ôÂ ~ M"' 

d'où 

OB _ 01 _ 01 . 
OA — OB ~ OM — 01 ~ lÏÏ" 
d'autre part 

01 _ 0B_. 

îm" ~ bF" 

on a donc BM = OA — OB = a — b. 




208 



QUESTIONS PROPOSÉES 



On aura les points M' et M" en décrivant un cercle de B comme centre avec un rayon égal à 
a —b. Pour que ce cercle coupe Z'Z, il faudra que 



h 



d'où 



= ïK < 2 — v'2. 



Soient M' et M" les deux points obtenus; le triangle BM'M" est un triangle isocèle ; BM', BM'' sont 
symétriques par rapport à la perpendiculaire menée de B sur OZ et on a 



:= .i -H a- = 



C'est la relation rencontrée plus haut. 

Solution exactes de MM. Bros ; G. L\ch, à Denain ; li. Mânes, i» Albi ; L. SinE, ;i Lyon. 
Solutions géométriques : M.M. Pierre Dheyfus etLÊvr Kaoul, collège Chaptal. 



P. L. 



QUESTIONS PROPOSEES 



1781. — Ldnialion du 6' degré 

.c\ax- -+- [x — a)\ — (x — a)'' — 

se réduit au 5" degré. Montrer qu'elle a pour racine x = — et que les quatre autres racines sont imagi- 
naires. E.-N. Barisien. 

1782. — On considère un segment de droite AB de longueur constante 2a dont les deux extrémités glissent 
sur deux axes rectangulaires 0.r et Oy et un système d'axes mobiles OV, O'y', 
ayant pour origine le milieu de AB, orientés dans le même sens que le système 
Oxy, et tel que OV soit dirigé suivant OA; on considère en outre un plan mobile 
invariablement lié aux axes OV, O'y' et glissant sur le plan fixe ([ui contient les 
axes Ox et Oy. Le mouvement de ce plan est lel que la vitesse angulaire de AB 
soit constante et égale à I. 

1° Etudier le mouvement des points A, B et 0'. 

2° Former les équatiotis du mouvement d'un point quelconque du plan OV;/' 
dont les coordonnées sont a;' = a, y'^^. Trouver la trajectoire, la vitesse, 
l'accélération de ce nmuvcnient. Trouver le point dcvitesse nulle au temps (, lelieu de ce point dans le plan fixe 
et son lieu dans le plan mobile. Montrer que le second ruule sans glissement sur le premier. 

3" Trouver les trajectoires singulières des points du plan mobile et le lieu des sommets de celles qui corres- 
pondent aux jioints d'une droite passant jjar le point U'. 

■k" Construire le centre de courbure qui correspond à un point M du plan mobile. Trouver le point qui a 
pour centre de courbure le symétrique de A par rapport à et le lieu de ce point quand ( varie. 

E. H. 




tAn-LK-UOC. — IMP. coaTE-McgUiit. 



Le Hédacleur-Gémnl : H. VUlBEllT. 



49* Année. 



No 9. 



Juin 1909. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



SUR LE RAYON DE COURBURE DES COURBES PLANES [Fin') 
par M. Louis Sire, à Lyon. 



Courbes (àj réductibles à un point- 

9. — Supposons que l'une des deux familles de courbes (A semblables se réduise au point et cherchons 
dans quels cas toute courbe (C) de l'autre famille peut se réduire à un point. Pour cela, il faut et il suflit que 

, 4 — 2(A — OC-i — 2) 



d'où nous lirons 



■A(A- 



= 0, 



c'est-à-dire 



4 — 2(A— 1)(A — 2) = 0. 



A = 1 + ■ 



suit égale à vn nombre entier n, posi- 



et, en outre, que la valeur de h obtenue soil entière ; par suite : 

La condition nécessaire et suffisante cherchée est que l'expression -r 

tif ou négatif ; il suffira de prendre n + 1 fois la podaire de toute courbe (C) pour obtenir un point. Si n est 
positif, la podaire d'ordre n di (C) sera une droite; si n est négatif ce sera un cercle. 

Ainsi, si les paraboles (Pj se réduisent au fover 0, pour les cardioïdcs nous aurons " .-, = — 3, par 

suite  = — 2. Donc, si nous prenons la podaire d'ordre — 2 de toute cardioïde par rapport à 0, nous 
aurons un point; la courbe intermédiaire est alors un cercle. 

Remarquons que la condition trouvée précédemment exprime également la condition nécessaire et suffi- 
sante pour qu'un point d'une courbe plane quelconque devienne un point de rebroussement pour sa podaire 
d'ordre h par rapport k ; si n est positif le point correspondant de la podaire d'ordre n sera un point d'in- 
flexion ; si n est négatif ce sera le point correspondant de la podaire d'ordre n — 2. Pour une courbe !i) la 
propriété s'applique à tous les points ; par suite, comme nous l'avons vu, la courbe cslréductiblesoit à un point, 
courbe dont tous les points sont de rebroussement, soit à une droite, courbe dont tous les points sont d'in- 
tlexion. 

10. — Inversement, en prenant les podaires successives d'un point 0' d'ordre positif ou négatif, nous 
aurons toutes les courbes (A) réductibles à ce point ; nous obtiiMidrons ainsi les principales courbes (a) remar- 
quables et les valeurs des delta de ces courbes. 

Considérons d'abord les podaires d'ordre positif du [loinl 0' cl api'liquons la formule A^', oii nous faisons 
i = 0, puis successivement h =. i,2 . . . . n, 



Ordre des 


podaires 


A des courbes obtenues 



1 




point 

1 cercle 


2 




--- curdioide 


3 




-— poJaire de cardioïde 


4 




8 


n 


2(1 
)( — 1 


-+- 


2 spirale logarillimique. 



Le delta de la podaire d'ordre n d'un point 0' a donc 

pour expression r- = 2 — ■ On voit ainsi 

que la série dus A obtenus, dont le premier terme est 0, 
est à termes positifs croissants et que le terme général 

— ^ — — tend vers 2 lorsque n augmente indéfiniment. 



1. Voir n" d'avril et mai 19U'.) de la Revue, p. liil et 185. 



âio 



SUR LE RAYON DE COURBURE DES COURBES PLANES 



Considérons maintenant les podaires d'ordre négatit'dii point 0' et appliquons, demème, la formule A^ oii 
nous faisons a = 0, puis successivement A = — I , — 2 — n : 



Ordre des podaires 


A des courbes obtenues 


— 1 

— 2 

— 3 

— 4 


oc droile 
i parabole 

3 podaire négative de parabole. 
8 
T 


— H 


2n 
11— 1 


— 00 


2 spirale logarithmique. 



Le delta de la podaire d'ordre — w d'un point 0' a 



donc pour expression 



par suite 



H — 1 n — 1 

la série des A obtenus dont le premier terme est infini est 
à termes positifs décroissants et le terme général tend vers 
2 lorsque n augmente indéiiniment. 



11. — iNous terminerons ce chapitre par la résolution du problème suivant : 

Déterminer une courbe plane (G) dont les podaires ou les quisi-podaires successives, d'ordre positif ou n/'gatif, 
pif rapport à un point 0, sii'tnt semblables à la courbe (C), les centres d'homothétie et de rotation étant le 
point . 

Le delta de tout point de la podaire d'ordre k, par rapporta 0, devra être égal au delta du point homolo- 
gue de la courbe (C), quel que soit h. Par suite, pour tout point de la courbe (C), nous devrons avoir, quel que 
soit h, 

,.^3^ 2(A-2) 
'' ^ 2 — Â(A-2) 

ce qui nous donne a = 2; par suite: 

La courbe cltcrchce est une spirale logarithmique aifinl comme point asijiiiplote, et toutes les courhes répon- 
dant à la question sont les spirales semblables à la pn-ccdcnle, par rapport à U. 

On obtient les mêmes courbes lorsqu'on considère seulement une podaire d'ordre k. 

Rayon de courbure d'une conique. 

1. _ Considérons la podaire d'ordre — 1 d'un cercle co par rapport à un point ; c'est une conique de 
foyer dont w est le cercle principal. Soit a son rayon ; la formule Fs 
nous donne 

P,. . R 




— 1 



0. 



Soit r = O.A ; nous avons p,, = psina; 

par suite, la l'orniule précédente devient 
psina li 



4? 



— 1 = 0. 



Si nous cDUsidérons le second foyer de la conique, nous aurons de 
même 

pi sin a R 



-Pi 



0, 



d'où, en retranchant membre à membre, nous avons 



sin a 






c'est-à-dire 



R = 



izpi sin a 



Or r -t- ri :^ 2a, (p ± pi) sin a := a, 

de là, selon que la conii|ue est une ellipse ou une hyperbole, 

R ~ P ~ Pi ' 
enfin, si noii> remarquons (]ue 

J__^ 1 _ 2 sin a 
r —V ~ MN ' 
MN désignant la longueur de la noruiile, il viendra linalcmenl 



ce qui nousdi)nni' une coiistruclion connue du rayon de cnurluire. 



SUR LE RAYON DE COURBURE DES COURBES PLANES 211 



2. Reprenons Tespression 

p - ■^'>" _ MN^ ^ MN' ^ MN^ 
' ~ sin^a ~ MNsina- MH^ p- 

elle montre que : 

Le lûi/on de courbure en un point d'une conique est égal au cube de la normale divisé par le carré du para- 
mètre. 

3. — Nous avons 

cjp =«sin a, MX = : , d'oii MN. (op = b', 

a sin a 

par suite R = ^^. 




op 

c'est-à-dire : 

Le rayon de courbure en un point d'une conique est inversement proportionnel 
au cube de la distance de son centre à la tangente au point considéré. 

i. — Considérons deux points Mi. Mo d'une conique (C) ; soient Ri, R» les 
valeurs du rayon de courbure en ces points; di. d^ les distances du centre aux tangentes correspondantes, nous 
aurons 

R2 \dj 

R, _ / d', y 
pour une seconde conique (C ), W ~ \~dr] ' 

'<h _ d\ 
Supposons que -^ — -^' 

Ri r; 

c'est-à-dire que la droite joignant les centres des deux coniques passe par un ombilic ; nous aurons — = -^ 

el réciproquement. 

P;ir suite : 

La condition nécessaire et suffisante pour que les rayons de courbure de deux coniques aux points de contact 
de deux tingentes communes forment une proportion est que la droite joignant leurs centres passe par l'ombilic 
correspondant. 

5 . — Soient deux coniques concentriques ; la droite joignant leur centre est indéterminée et peut être consi- 
dérée comme passant par l'un quelconque des ombilics ; par suite : 

Lorsque deux coniques sont concentriques, les rayons de courbure a"x points de contact de deux tangentes 
communes forment une proportion . 

Cette propriété devient évidente pour deux paraboles qui ont leurs axes parallèles, car elles sont homothé- 
tiques. 

6. — Considérons deux coniques bitangentes en deux points A, t! ; la droite joignant le milieu de AB à son 
pôle est un diamètre pour chacune de ces coniques, de sorte que : 

Lorsque deux coniques sont bitangentes, tes rayons de courbure aux points de contact forment une proportion. 
De là, la corde des contacts de tout cercle bitangent à une conique est parallèle à l'un des axes de cette 
conique. 

7. Soient une conique et un cercle tels que la droite joignant les centres passe par un ombilic à distance 
finie. Les rayons de courbure aux points de contact avec le cercle étant égaux, il en sera de môme pour la 
conique, de sorte que : 

Le lieu des centres des cercles tels qu'enjoignant leur centre à celui d'une conique la droite obtenue passe p^r 
un ombilic à distance finie, se compose des axes de cette conique. 

8. Considérons une conique inscrite dans un quadrilatère inscriptib!e et dont le centre se trouve sur la cir- 
conférence circonscrite à ce quadrilatère. .Soient A, B, C, D les points de contact de la conique avec les cotes 
du quadrilatère ; Ra, Rb, Rc, Rd les rayons de courbure en ces points ; d^, ds, de, rfo les distances du centre aux 
tangentes correspondantes ; un théorème de géométrie élémentaire nous donne d^dc = rfs^D, par suite, 

Ra ^ Rp 

Ra Rc ' 

c'esl-à-dire: 

Si oyi considère une coniqw. inscrite dans un quadrilatère inscriptible et dont le centre se trouve sur la circon- 
férence circonscrite à ce quadrilatère, les rayons de courbure de la conique aux quatre points de contact avec les 
côtés du quadrilatère forment une proportion. 



212 



SUR LE K.\YÛN DE COURBURE DES COURBES PLANES 



L'ne telle conique est évidemment une hyperbole, et comme la droite de Newton, qui est le lieu des centres 
des coniques inscrites dans le quadrilatère, rencontre la circonférence circonscrite en deux points, il existe pour 
tout quadrilatère inscriplible deux telles hyperboles. 

9. — -N étant le milieu de AB, 0, le centre, AR et BS étant perpendiculaires à MO, nous avons AR = BS ; 

par siiito les triangles AOM et BOM ont même aire, d'où 
0K_ _ AM^ 
OH ~ RÎT' 

par suite, 

Rî ~ \ MB ) ' 
c'est-à-dire : 

Le rapjiort des rayons de courbure en deux points d'une conique 
estéijal au, cube du rapport des longueurs des tangentes en ces points. 

10. — Considérons deux coniques, M un de leurs ombilics; 

A, B, C, D étant les points de contact des tangentes issues de cet 

ombilic, nous avons pour chaque conique 

Ri _ / MA y 

R. ~\ MB / ' 




Ri _ / MC \^ 
l\, " \ MD / ■ 



Supposons que 
R. 



MA 

MB 

r; 



Ml) 



= ^ , c'est-à-dire que les quatre points A, B, C, D soient sur un cercle, 



nous aurons ~ — "n"' et réciproquement. 

Par suite : 

La condUion nécessaire et suffisante pour que les rayons de courbure de deux coniques ai'x points de contact 
de deux tangentes communes forment une proportion inverse est que ces quatre points soient sin- un cercle. 



Rayons de courbure d une courbe et de son inverse. 

1. — Considérons une courbe plane (C) ; prenons son inverse par rapport à un point G. Soient .M, M' deux 
points infiniment voisins de la courbe (C; ; »», m' les points correspondants de la ligure inverse. Les tan- 
gentes aux points correspondants M, »i font dos anirles égaux avec le ravon vecteur O.Vl. 

Posons 

mCm' = U, MRM' = T.— X, 

om=z- — ^. OMTr=--ç'. 

Les triangles Cmp et Om'p nous donnent 

c'est-à-dire 

Q — o) = 9 H-?' — -, 
D'autro part, le quadrilatère O.MRM' donne 




d'oii, en retranchant nicmlire à membre, < 

I ,. sin Q ,. sin (2(o— ï 

-T— = lim — I"" ^ — 

R, m 



2to — a. 



par suite, 



lim 



, .... I ,. / 2 sin M sin a \ 

c est-a-dire -rr- — lim • ; . — — ,- ), 

II, V mm 1,11)1 I 



I ,■ / 1 sin ï MM' sin <o \ ,, , . 1 I ? 

ou encore -rr- — Imi I r^rr ■ —r- — ■ , linalement -jj- = -i^ — . 

M, \u .MM sin u> mm ] \\, p, lip, 

c'est-à-dire "iT~~'~-R" — ' = ; ce sera notre formule F,. 

, , .. It R, la formule r, s'écrit Ai, — (A-H A,) = 0, 

2. — Si nous reprenons les notations A =: — , A, = -j-, 

de sorte que : 

La relation en'.re les A des points correspondants d'une courbe et de son inrerse est incotutive. 



SUR LE RAYON DE COURBURE DES COURBES PLANES 213 

Les points doubles de celte involution nous sont donnés par 

^2 — 2a = 0, c'est-à-dire a = 0, A = 2. 

Le point central est le point A = 1 . 
En transportant l'origine en ce point, c'esl-à-dire en posant 

A = A'+ I, A, = A, + l, 

la relation obtenue s'écrit A'aI = 1 . 

3. — Considérons la figure inverse d'un cenle par rapport à un de ses points ; pour chaque point du cercle 
nous avons o = R, d'où R, = c» . 

La tigure inverse est donc une droite. 

4. — La figure inverse d'un cercle par rapport à un point quelconque est un autre cercle. Soient ïi,, Rs 
les rayons de ces cercles ; nous aurons pour chaque couple de points antihomologues 



5. — Prenons l'inverse d'une parabole par rapport à son foyer; pour la parabole, nous avons A = 4 
d'où pour son inverse A, = — ; c'est donc une cardioïde. 

6. — Prenons l'inverse d'une spirale logarilhmique par rapport à son point asymptote ; pour la spirale 
nous avons A = 2, doii pour son inverse A, = 2 ; c'est donc une autre spirale. 



111 

Rayons de courbure d'une courbe et de sa polaire réciproque. 

1. — La polaire réciproque d'une courbe étant inverse de sa podaire, nous aurons, en lui appliquant la 
formule F,, 

Or, la formule F^ nous donne 



R,, 



d'où, par soustraction, -^ = - — , c'est-à-dire RR, = 4go, ; 

'^ n, 4p ' • 

c'est notre formule F,.. 

2. — En posant, comme précédemment, A = — , A,. = — ^i la formule F,i s'écrit Aa,- = 4 ; 

par suite : 

La relation entre les A des points correspondants d'une courlic et de sa polaire réciproque est involulice. 

Le point central de cette involution est le point A = et les points a = ± 2 en sont les points doubles. 

3. — Cherchons une relation entre les rayons de courbure de la figure inverse d'une courbe et de la 
podaire de cette courbe. La formule F, nous donne 

J 1_ _ _p_ 

?, Il; ~ Rp,- ■ 

La formule F., nous donne 

J 1_ _ R 

]\, - 4pp, ' 
d'où, en multipliant membre à membre, 

(i-i)(i-,t) = w^ 

ce sera notre lormule Fk. 

4. — Pour A = 0, nous avons ir = oo ; de sorte que : 

La polaire réciproque d'un point de rcbrcussement est une tarxjevte d'inflexion. 



214 SUR LE RAYON DE COURBURE DES COURBES PLANES 

5. — Prenons la polaire réciproque d'un cercle par rapport à un de ses points ; nous avons A = 1, d'où 
Ar = 4 ; c'est donc une parabole ayant pour foyer le centre du cercle directeur. 

6. — Prenons la polaire réciproque d'une conique par rapport à un de ses foyers ; c'est un cercle de rayon r ; 
de sorte que 

>• 
c'est-à-dire : 

Le rayon de courbure en un point d'une conique est proportianiel au produit des rai/ois des cercles passant 
par un de ses foyers et tanyanls, l'un à la conique au point considéré, l'autre au point correspond ml du cercle 
polaire réciproque de la conique par rapport au foyer considéré. 

Considérons, en particulier, les coniques ayant un foyer commun F et qui sont tangentes à une droite A en 
un point M ; nous aurons, pour les rayons de courbure en M de ces deux coniques, 

ri >-2 

par suite -^ — ^' 

c'est-à-dire : 

Veux coniques qui ont un foyer commun F et qui sont tangentes en un point M ont leurs rayons de courbure 
en ce point ini-erse>nent proportionnels aux rayons de leurs cercles polaires réciproques par rapport à F. 

7. — Prenons la polaire réciproque d'une cardioïde par rapport à son point de rebroussement ; nous avons 
i=— -, d'où dr = 3, c'est-à-dire: 

Le rayon de courbure en un point d'une polaire réciproque de cardioide est égal ii trois fois le rayon du 
cercle passant par son point de rebroussement et tangent à cette courbe au point considéré. 

8. — Prenons la polaire réciproque d'une spirale logarithmique par rapport à son point asymptote ; nous 
avons A = 2, d'où A,- = 2; c'est donc une autre spirale. 

9. — Comme application, nous résoudrons le problème suivant : 

Déterminer une courbe plane (C) dont les podaires successives, d'ordre positif ou négatif, par rapport à un 
point 0, soient semblables à la polaire réciproque de (C) par rapport à un cercle de centre 0, les centres d'homo- 
thétie et de rotation étant le point 0. 

Pour tout point de (C) nous devrons avoir, quel que soit k : 

2(i - 2) 4 . , . , 

2 H ï — ; — =: — . ce qui nous donne A = 2. 

^ 2- ^(A — 2) A '■ 

La courbe cherchée est donc une spirale logarithmique ayant comme, point asymptote. 

On obtient également une spirale logarithmique lorsqu'on remplace la polaire réciproque de (C) par son 
inverse par rapport à 0, ou lorsqu'on cherche une courbe dont la polaire réciproque soit semblable à son 
inverse par rapport à 0. 

40. — b'une manière plus générale, proposons-nous de : 

Déterminer une courbe plane (G) dont la podaire ou la quasi-podaire, d'ordre détermina k, positif ou négatif, 
par rapport à un point 0, soit semblable à sa polaire réciproque par rapport à un cercle de centre 0, les centres 
d'homothétie et de rotation étant le point 0. 

9 _ (^ 2) 4 

Pour tout point de la courbe (C), nous devrons avoir 2 -h J"_ ^,^^ _ g. = y c'est-à-dire 

A'2(i _ /,)+ r,7iA — 4(1 -+- 2A) = 0, 

_3A±(ft-^2) 
équation de laquelle nous tirons A = -— -^ 

De là. une première solution : a = 2, à laquelle correspondent les spirales logarithmiques ayant pour 

. 44 -(- 2 , , 

point asymptote; cette solution se retrouve quel que soit h; puis une seconde solution : -^ = ^ _ , '• '«^ 

courbes correspondantes sont alors déterminées par l'équation 

f' ''- - — ^ 
M — to„ = / = avec — • 

J : y Ai2''> —^■^ 

Enfin, cherchons pour quelles v'aleurs de k les courbes de la seconde solution sont réductibles à un point. 
L'expression -^ = i^ devra être égale à un entier n, de sorte que h sera un entier de la forme 



SUR LE RAYON DE COURBURE DES COURBES PLANES 21c 



=>-,-, -+- i 



=-b-~^]' 



n — 1 

par suite, les valeurs de a qui rendent h entier sont — 2, 0, I, 2 pour 

>i= — 2, h ^ — ^, 1 = i : cercle; 

>!^0, A = l, s = X : droite ; 

,( =z \. k =z X , A = 4: parabole; 

n — 2, A = — 5, A = 3 : polaire réciproque de cardioïde. 

11. — Résolvons la même question lorsqu'on remplace la polaire réciproque de la courbe (G) par une de 
ses inverses par rapport k 0. Dans ce cas, on devra avoir pour tout point de la courbe (C): 

2(i— 2) A c'est-k-dire A''(2 — A; + 4'A — l)A — 4* = 0. 



de là 



— 2! A — t ; d= 2 



" 2 — À 

Une première solution, a = 2, nous donne les spirales logarithmiques ayant pour point asymptote. 
A la seconde solution correspondent les courbes déterminées par leur delta : 

2h 



h-2 

2 k 2 

Ces courbes seront réductibles à un point, lorsque ~ = — - — = /i, d'oii h = 2 + 2/i ; c'est-à- 
dire lorsque k sera un nombre pair. 



ECOLE NORMALE SUPÉRIEURE UT BOURSES DU LICENCE 



Concours de i 908. 



Groupe I. 



1712. — 1° On considère trois axes rectangulaires oxijz et, dans le plan oiij, deux hyperboles (H) et 
(H') et une droite (D) définies respectivement par les équations 

Soient M et M' deux points dit plaît oxy satisfaisant aux trois conditions suivantes : ils sont conjugués 
par rapport à (H) et à (H';,' le milieu de la droite qui les joint est situé sur i D). 

Montrer que M décrit une courbe i C) et M' une courbe (C) qui coïncide avec (C). 

2° On désigne par o,x,î/i3i un trièdre coïncidant avec le Irièdre oxyz ; ou suppose que ce trièdre peut se 
déplacer en entraînant avec lui la courbe (C); on désigne par 'C,) et par M, les positions que prennent dans 
ce déplacement la courbe (C) et le point W; le trirdre oxyz reste fixe ainsi que la courbe (C). 

On supposera dorénavant que le trièdre molnle OiX,»/,;, est toujours dans une position telle que l'angle 
des deux directions oz, o,;, soit égal à deux droits ; dès lors^ la position de ce trièdre est définie par les 
coordonnées a, b, c du sommet o,, par rapport aux axes oxyz, et l'angle ç des directions ox, OiJ-,. 

3° On demande d'écrire les relations qui doivent exister entre a, b, c, ç pour que le Irièdre o,.c,!/,;, soit 
symétrique du trièdre oxyz par rapport à une droite du plan oxy, étant entendu que o,j,, o,»/i, o,:i doivent 
être respectivement les symétriques de ox, oy, oz . Une pareille position du trièdre o,X|i/,:i est définie si l'on 
se donne les valeurs a», b» des coordonnées a, b : on demande alors d'exprimer les coordonnées X, Y, Z du 
point M|, par rapport aux axes oxyz, en fonction des coordonnées du point M et de o,, bg. 

4° On suppose que le trièdre OiX,y\Zi se déplace en partant de la position qu'on vient de définir; mon- 
trer que l'on peut faire varier a, b, c, o de telle manière que, dans ce déplacement, la distance MM, d'un 
point quelconqueil de la courbe (C) au point correspondant M, de la courbe (Ci) reste invariable. 



216 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE ET BOURSES DE LICENCE 



1. Entre les coordonnées x, y et .<', y' des points M et M', on a les trois relations 

[ xx' — yy' — "'■ = 0, 
(1) j xy' -h yx' - n-- = 0, 

Eliminons x' et y' entre ces trois équations nous obtiendrons l'équation de la courbe Ci décrite 

par le point M. 

Pour cela, il suffit de multiplier la première 
équation par x, la seconde par y, et la troisième 
par — (x- -r- y-), puis d'ajouter membre à mem- 
bre. On trouve ainsi l'équation 
(C) (x'-hy-){p — x) — m^x — try = Û, 

qui représente une cubique circulaire, tangente à 
l'origine à la droite m-x -h n-y — 0, et asymp- 
tote à la droite x — p = 0. 

Comme les équations (1) ne changent pas si on 
permute x et x', y et y', le lieu du point M' est une 
courbe C qui coïncide avec G. 

2. D'après les données, les angles des directions Ox, 0'/, 0: avec les directions OiT,, 0,)/,. 0,:, 
sont indiqués dans le tableau ci-dessus. 

Par suite, les formules de transformation de coordonnées sont 





0,.r, 


U,'/. 


0.:, 


O-r 


'r 


^ ï 


"2" 


Oy 


' î" 


'i-^- 


~5" 


0: 


"5" 


Y 


- 











(2) 



X = a-h a-, cos o -h yi sm o, 
y — b-i-XfSin a — !/, cos o, 



3. A l'instant initial, quand le trièdre OiXiy,:, est symétrique du triédre Oxyz par rapport à 
une droite D du plan des xy, le point 0, est dans ce plan, et la droite D est perpendiculaire au milieu 
de 00,. Si on désigne par i l'angle de Ox avec 00,, on a 



tg a = -i- 



, =0 _ Oo 

Les formules (2) donnent alors 



2a„6„ 



"i -I- f'I 

X = <j, -I- a' cos <p, + 1/' sin f „, 
Y = b„-h x' -sin 'fo — j/'cos oj, 
Z =0. 



Maisdes 


équations 


(') 


on t 


re 

a' 


= p—x 




r 


n déduit 




















X 


= «0 


-+- 


''?. — «s 


-ip- 


r\ 




(if, -+- ùf, 








Y 


= l>„ 




ia,K 


iP- 


■r) 






< + l>l 






7. 


= 











y = 



"- — v(j— p) 



l>l — ol 



^y — P'j - "' 

X 

xy — py — »' 



A Supposons maintenant qu'on déplace le triiMlre 0,.r,)/,:, ; la distance du point M,(X, Y, Z; au 
point M(x, y, 0) est donnée parla formule 

m' = {\-x'f-i-^\-y)- + ZK 



ÉCOLE iNORMALE SUPÉRIEURE ET BOURSES DE LICENCE 217 



Mais on a 

X — X = x' cos to -t- y' sin -i h- n — a;, 
Y — ij = x' sin => — i/' cos 9 + A — 1/ ; 
on en déduit 

MM," = [x' cos 9 + ;/' sin 9 -i- a — xf + (a' sin o — y' coso -^ A — y;- +- 1^ 

= -r'-H-?/'- + (a — x)-4-(/) — y)- -\- lia — x){x' zos o H-.y' sino) + 2(A — y)(x'sin o — y' cos o) -+-c-, 
= •^■" -I- V''-^{" — *)- + (i — y)' -t- 2 cos if{ax' —by' ~xx'-\- yy')-his\n -^{ay' + bj;' — yx' — xy') -\- c- , 

ou, en tenant compte des formules (1). 

MM,' = x'^ + y" + x^ -^ y- -{- cr- -h b^ -ir c- — 2a{p —x') -'ihy + 2 cos o(aj;' — iy' — m-) 

+ 2 sin ^(rt.'/' -+- bx' — n^). 
Ecrivons que cette quantité est égale à la quantité analogue correspondant à l'instant initial, 
x"-\-y'- -H X- + i/- -h (l'i H- 65 — 2fl„(/j — X-') — 26o;y -t- 2 cos 'fo'a^.x' — b,,y' — m^) -+- 2 sin <?„(rt„7' 4- box' — n-), 
nous obtenons 
a- -h b' + c- — 2a(;> — x') — 2ii/ + 2 cos ç(ax' — 6i/' — m^) -h 2 sin o{ay' -+- ftx' — n^j 

= «5 + Ao — 2a/p — x')— 26„?/ + 2cosO|,(aor' — Aoy' — m-)-h^ s'm o„{a^y' 4- M' — «"j ; 
et celle relation doit être vérifiée par les coordonnées (x', y') de tout point de la courbe G'. 

Si b n'était pas égal à b„, on tirerait de cette équation y en fonction linéaire de x' et y' ; or, cela 
est impossible d'après les formules (1). Donc, on doit avoir b — h„. De plus, la relation précédente, 
étant linéaire en x' et y', doit être vérifiée identiquement, ce qui donne 

a -\-a cos -i -t- A sin o = a^^-i-a^ cos tp„ -t- b„ sin ç-^,, 
— b cos çi-i-a sin o = — b„ cos9„ + a^ sin ts,,, 
a- -hb'' ~i-c- — 2np — 2m'- cos ? — 2/i- sin ? — ai -h bi — 2a„/3 — 2m^ cos 00 — 2n- sin o„. 

Remplaçons dans les deux premières cos ç,, par —, -^ et sin C5 par ^-^i elles se 

"û + or, ' al -h bo 

réduisent à une seule a(I -t- cos ») h- A sin- = 0, ou « cos-;- + i sin -^ = 0, ou enfin 

Il a 

t§ T = ~ 'ï • 

Il en résulte que pour que la distance MM, soit invariable, il faut faire varier a, b, c, 9 de façon 
que ces quantités vérifient les relations 

h = b^. lg'=--, 

= 2 b 

a^ + c^ - 2«p — a„- - 2a„;) — 2m= -^ — - --- — f -+- 4«M „ "., - - — ".-^ = "• 

L "- -I- *" «5 + Aj J \_a^-i- bô a'o-hblji 

En particulier, le point Oi décrit une courbe du quatrième degré dans le plan b = b„. 

Louis CARRIER, lycée Louis-le-Grand. 
Bonne solution par M. Amdlaro, con.iucteur dti ponts et chaussées à liuines (Cantal). 



1713. — On considère Irois axes rectangulaires el la surface ayant pour équation 

!/' -t- xy- -t- Xx^ 
y + X 
À élanl une conslantc. 

Etudier la variation de la courbure ù l'origine des sections de cette surface par les plans y = nlx 
lorsque le paramétre m varie. 

4 4 

On examinera particulièrement les cas suivants : 1° À = -^ ; 2° X = 



2i8 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE ET BOURSES DE LICENCE 



Soient Ox' la trace du plan ;/ = me sur le plan xOy et Oy' la perpendiculaire menée par 0. 

Prenons comme nouveau système d'axes le trièdre Ox'y'z ; les for- 
mules de transformation, où tsi = m. nous donnent 



1 



^ [x' — my'). 



1 




de sorte que réquation de la surface devient 

{mx' -^ y')- l{x' — my'f 



{mx' -h y') ; 



i — m- (1 -i- w-)[j-' 1 -+■ m) -+- y'(l — ni)] ' 

sa section parle plan y' = se compose de la parabole 



1 + »( ,' ' 



1 -+- m- 

Le point G étant le sommet de cette parabole, son rayon de courbure en ce point est égal à son 
paramètre, c'est-à-dire que 

(l-rm^)(l+m) 



R = 



z()/i' -¥- m' 



Faisons varier m de — x à -f- x et étudions les variations de R. 
Nous avons d'abord 

_ — 2m '■ -!- ;>i^(3/. — 4) -t- 2ni(). — 1) -^ ). 
~ 2(nr — m2 4-),)2 

K' s'annule pour les racines de l'équation 

(1) 2)»' — m^(3X - i) - 2ni(À - 1 ) — À = 0. 

Considérons léquation dérivée, 

3»r^ — m[3l - 4) — (). — 1) = 0, 

laquelle admet pour racines À — 1 cl ? et formons la suite de RoUe avec les signes des résul- 
tats de substitution dans l'équation (1). 

2 
i" ^>> -! nous avons la suite : 



À étant positif, nous avons une racine réelle positive. 
2" À < -^. nous avons la suite 



X-1 



— ). 



de là résulte : 
0<À< 



- (9X -+- 4) 



-y<>.<0 

4 



une racine réelle positive ; 
trois racines réelles négatives ; 
une racine réelle négative. 



+ 



Considérons maintenant les valeurs de m ((ui rendent R inlini : les plans correspondants coupent 
al'jrs la surface suivant une droite du plan des .17 et une droite à Tinlini. Ce> valeurs de m sont racines 
de 1 équation 

(2j „,3_,_„,î_l-), = 0. 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE ET BOURSES DE LICENCE 



219 



L'équation dérivée 3m- -t- 2m = admet les racines et — ^ > la suite de Rolle est alors 



— X 4-x) 

— -4— hX X -+- 

27 

de sorte que, si : 

/ > une racine réelle négative ; 

4 
— -^ '<'-<;0 trois racines réelles dont une positive et deux négatives; 



'< 



une racine réelle positive. 



D'autre part, R = pour m = — 1 ; pour m = 0, nous avons R = —r- • 

Considérons R et m comme les coordonnées d'un point et construisons la courbe représentant les 
variations de R. 

Cette courbe admet une asymptote parallèle à Om, d'équation R = — ; le point de rencontre à 

distance finie de la courbe avec cette asymptote a pour abscisse m = '• — 1. 

1° X>0. L'équation (1) a une racine réelle positive et l'équation {i) une racine réelle négative 
plus petite que — 1. Nous avons une même forme de courbe que nous pouvons diviser en trois cas 

selon que >. — l ^ 0, c'est-à-dire selon que le point de rencontre de la courbe avec l'asymptote R = — - 
a une abscisse positive, nulle ou négative. 




; 




R 


— 


■ — 




/ 






/ -1 


in 



Lorsque ) = -^. lacourbe a la forme, lii;urée ci-contre, du l*" cas. L'abscisse du maximumest égaleà I . 

la valeiirde cemaximum 

est égale à -^ > le point 

de rencontre avec 0'/ a 

pour ordonnée '— et le 
8 

point de rencontre avec 

l'asymptote pour abs- 



L'équation (1) a trois racines négatives dont une plus petite que —1; l'équation [i) a deux 
racines négatives plus grandes que —1 et une racine positive. 




01 1 

2X 



220 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE ET BOURSES DE LICENCE 



La courbe a la forme indiquée ci-dessus, à droite. 
R 





, 


V^ 






\-, 


1 




V 
^ 


1 

Z), 

\ 





— ^<>< 



27 



L'équation 
(l) a toujours 
trois racines 
réelles négali- 
ves tandis que 
l'équation (2\ 
n"a plus qu'une 
racine réelle po- 
sitive : 4'où l3 
courbe ci-con- 
tre, à i:auclie. 



'<-¥• 





R 


v^ 


' -•**^ 





\v -1 






\ <l 


\ 





L'équation (1) a une racine réelle négative plus petite que — i et l'équation (2) une racine 
réelle positive; d'où la courbe ci-dessus, à droite. 

4 1 

Dans le cas particulier où À = —> l'équation (1) admet la racine double — dont nous 



9 





^ 






V. 






9 


\ 








is; 




s;2 


Z 






IS 


\ ' 


(1 


i /" 




9 




9 





pouvons faire abstraction, et la racine simple — 2 à la- 

9 
quelle correspond le maximum — -— • 

Le point de rencontre de la courbe avec l'asymptote 
I 13 



R = ^P a pour abscisse 
avec Oij pour ordonnée 



et le point de rencontre 



eiilin l'éciuation (2) a dans 



ce cas une racine réelle positive plus petite que 1, d'où la 
courbe ci-contre. 



Pour m — —> il y a un point d'inllexion à tangente horizontale. 



Louis SIRE, à Lyon. 



Bonnes solutions: MM. G. Lacii, à Denain ; L. Simon, ii Cli;ilons-sur-Marne ; A. I>uuv, à Dijon; Amklard, à Ruines; X 
(copie non signée). 



1714. — On veut ulilisi'r u» baromùlre, Inrn qu'on m' connaisse pas la valeur p de son rayon intérieur. 
On décide de mesurer p et de calculer la dépression capillaire du baromètre connaissant la tension superfi- 
cielle A du mercure, l'ançile de raccordement 2 du mercure et du verre et la donnée expérimentale p. 

.4 cet effet, d'un point G, défini par sa dist'ince OC = D à l'axe du tube, on mesure le diamètre appa- 
rent 2c du canal intérieur. 

1° Trouver l'expression de p en fonction de D, de 9 et de l'indic n du verre du baromètre 
{indice moyen pour la lumière blanche). Cette relation sera désignée dans ce qui suit sous le 
nom de relation (I). 

2» La di'.lance U étant souvent difficile à évaluer exactement, il est plus commode de 
mesurer en même temps le diamètre apparent lif' du contour extérieur du tube vu du point G. 
Trouver la relation (2) 71*1 donne p en fonction de n, tp, <f' et du raijon extérieur II du tube barométrique. 
[i étant directement mesurable, il suffit donc de déterminer les angles <f et 'i' pour pouvoir calculer p. 




ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE ET BOURSES DE LICENCE 



221 



3" Les angles o et o' étant petits dés que D atteint quelques décimètres, montrer qu'on peut se dispenser 
de les mesurer en opérant comme il suit : 

Plaçant l'œil au point C et le tube barométrique vertical étant convenablement éclairé, on applique 
horizontalement contre lui une règle graduée en demi-millimétres . Il suffit délire directement sur cette 
règle [en estimant à l'œil les dixiéiiies de millimètre) les largeurs apparentes a de l'enveloppe extérieure et 
b du canal central. 

Montrer ce que devient la relation (2) quand on y introduit u et b au lieu de 9 et z,' et qu'on prend 
« = 1,0. La nouvelle relation sera la relation (3). 

4° Discuter la relation primitive (2) et montrer que la méthode précédente ti'esl applicable qu'aux baro- 
mètres à paroi épaisse ; pour la plupart des baromètres, qui sont it paroi mince, la colonne mercurielle 
semble remplir complètement le tube. 

0° Pour rendre possible l'observation du canal intérieur dans ce dernier cas, imaqinons que l'on entoure 
le baromètre d'un second tube (rayon intérieur p,, ratjon extérieur R,) parfaitement cylindrique et concen- 
trique au premier, et que l'on remplisse d'eau le canal annulaire ainsi constitué: soit toujours 2? le diamètre 
apparent du canal intérieur vu avec ce dispositif du point C. Montrer que la relation (4) qui lie p, ii, D, ^ 
n'est autre que la relation (1) et ne dépend nullement de l'eau, ni du tube extérieur, les enveloppes concen- 
triques que l'on a introduites n'ayant d'autre rôle que de rendre visibles les bords du canal intérieur. 

Comme dans le paragraphe 2", on peut éliminer la distance D soit à l'aide de la relation (2), soit à l'aide 

de la relation analogue obtenue en mesurant le diamètre apparent 2^,, sous lequel du point G on voit le tube 

extérieur de rayon R,. 

2 1 

6" .applications numériques. On an — l,n, 2= = 2" 46' 



2c' = S" 13' 



R= 1' 



3 • ' ■ 3 

On fera les calculs sans table de logarithmes, en faisant les approximations habituelles relatives aux 
petits angles. 

.Ayant calculé p et D, on calculera aussi a et b. On déduira de la relation (3) l'erreur relative commise 

sur p, connaissant les erreurs relatives de n, a, h, et l'on démontrera que p peut être connu à -j-pr- de milli- 
mètre près. [On supposera l'incertitude sur l'indice égale en valeur absolue à 0,01). 

7" Cela étant, on calculera la dépression capillaire du baromètre, sachant que l'on a 

A = ô'iO ^^tSp = densité du mercure = 13, 6: n = accélération de la pesanteur = 981 — -. ; 

a = angle de raccordement du mercure et du verre = 43°. 

On vérifiera qu'une erreur d'un dixième de millimètre sur le rayon intérieur p, superposée à une erreur 
d'! 2° sur 1, donne une variation de la dépression capillaire inférieure au dixième de millimètre. 

1 . Soit E le point du canal qu'on voit à l'e-xlrémité d'un diaoïètre apparent, EIG le rayon visuel, 
tangent en E au cercle de rayon z, r et / ses angles d'incidence et d'émergence 
en I, R le rayon extérieur du tube. On peut écrire les relations 

. . . R D 

sin ) = )i sin r, —-. = —, — -> ? = ^ sin r. 




d"où l'on tire 

(1) 



D sin 3 



2. On peut remplacer D à l'aide de la relation évidente 

R 



D = 



d'où 



(2) 



sino' ' 


R 


sin ç. 


)i 


sin s' 



222 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE ET BOURSES DE LICENCE 



3. Lorsque le point C est éloigné du tube, les angles o et o' sont petits et le rapport de leurs 
sinus peut être remplacé par celui de leurs tangentes, de telle sorte que la relation (2) devient 

R b 

(3) 



1,0 a 



4. L'angle « doit être nécessairement inférieur à d ; (2) indique alors que l'on doit avoir p 



R 



D'ailleurs, pour émerger, un rayon tel que El doit arriver en I sous un angle inférieur à l'angle limite, 

ce qui exige que — ^ soit inférieur à La relation (1) n'est donc applicable que dans cette hypo- 

2 
thèse. Si )i = 1,5, cela suppose p<— R ou l'épaisseur du tube supérieure au tiers du rayon exté- 
rieur. 

5. Soit EIKLC le rayon visuel déterminant le diamètre apparent du canal intérieur, r, i,^, y, 3, i, 
ses angles successifs d'incidence et de réfraction, n' l'indice de l'eau et «" l'indice du manchon. On a 

successivement : 
dans le triangle OEI 
au point I 

dans le triangle OIK 

au point K 

dans le triangle OKL 

au point L 

dans le triangle OLC 



(4) 

C'est la relation (1), maintenant applicable même quand on a p > ^^ 

L'angle i est toujours donné par sin ç,' = — - et l'on peut écrire la relation (2) ; mais l'angle o 
n'est pas nécessairement inférieur à ç , c'est-à-dire que le canal, vu avec le manchon, peut paraître plus 
gros que le tube sans manchon. On peut aussi introduire sin &, à l'aide de la relation sin ï, = — ^ 

R, sinif 

et l'on a ,' = : — ' 

>i sinç, 

(f étant nécessairement inférieur à <?, . 

6. L'angle o donné étant supérieur à o', on se trouve dans le cas p > Remplaçons, dans la 

relation (2), les sinus par les angles <? = i°23'20" =5000", 

ç' = i%'W = 4000", 




p 


= Rsinr, 


n sin r 


= n'sin a, 


sin a 


sinp 


?i 


"" R ' 


n'sin^ 


= n" sin Y, 


sin-c 


sin S 


Ri 


Pi 


î?"sin8 


= sin î, 


sini 


sin 9 


D 


R. 


alités membre à m 




Dsinf 



1,2 5 
l,o 4 



1. 



Le tube a 2<="' de diamètre intérieur et G''"', 2 d'épaisseur. 

-> oii l'on peut remplacer sin<p par 9 en l'évaluant en radians: 



D'autre part, (4) donne D = 



sm<p 

1.5X10800X60 _^g^,„ 
SOOOXTt 







1 


sine 


de 


200 


rf= 




1 





— 


doO ' 



ECOLK NORMALE SUPÉRIEUIU': ET BOURSES DE LICENCE 223 

La longueur a est donnée par l'égalité a = 2(D — R) tga' = 2'^™,36. La largeur apparente b du 
canal central est identique à a, puisqu'on est dans le cas où 9 > o' et la relation (3j n'est pas applicable. 
Si a et * sont mesurés en dehors du manchon, la relation (3) est applicable sous la forme 

— IlA 

n II 

On en déduit A ^ i^ '^" , '"' '^" 

R, n II II 

Les longueurs a et 6 seront voisines do 2"" et chacune des erreurs possibles - — et — voi- 

l'erreur possible - — vaut — -I en suiiposant R, connu exactement, on a donc 
n 150 

-7—— et, comme -, vaut 1"", on en déduit 
100 

cl'. — — ou — de millimètre. 
60 6 

7. Si l'on désigne par S le rayon de courbure au sommet du ménisque, la dépression est donnée 

2A 

par la formule // = — 7— • 

SÎ3 

Si l'on pouvait admettre que le ménisque eût partout la même courbure, on aurait 

S = — : — , d où /i = , ! 

cos y. poij 

expression dont la différentielle permet de calculer facilement l'erreur possible. L'application numé- 
rique donne pour li : h = O"'", Û.o. 

F. MIQUEL 

Remarque. — En réalité, le calcul de la dépression capillaire dans un tube de 2'° de diamètre ne 
peut se faire d'une façon élémentaire. On ne pourrait calculer que la dépression moyenne par la formule 
-p-^j[5g = 2-p.\ cos a, qui donne ici x = 0"",0o7. 

L'évaluation de l'erreur possible donne 

dx , rf? 2 1 

X ° p .l7 100 

soit environ . ^ . d'où ilx — 0,0028. Mais ce calcul n'est d'aucune utilité pratique. En réalité, la 

100 
dépression au sommet du ménisque dans un tube de cette largeur n'est guère que C^iOOS. 

Ail surplus, la difficullé que présente la solution complète et raisonnable du problème proposé, 

ainsi que les obscurités que l'énoncé laisse subsister sur les quantités a et h, proviennent de fautes 

d'impression dans le texte qui fut distribué aux candidats, que nous avons reproduit tel quel et dont les 

épreuves n'avaient pas été soumises au professeur, auteur de l'énoncé. 



Groupe II. 



1716. — Un cnllimaleiir et iinr liuiclle, tous deux ncltromaliqucs, ont rcspechvement pour distnnces 
focales de leurs objectifs, 15 centimètres et 30 centimètres. La fente a une hauteur de 3 millimètres. 

Un observateur, qui ne voit nellemenl que des objets très éloignés, vise la fente du collimateur à travers 
la lunette. 

l" .4 quel endroit de l'appareil doit-on introduire une plaque sensible pour y obtenir une photographie 
de la fente, et quelles sont les dimensions de cette imuge? 



22i ECOLE NORMALE SUPERIEURE ET BOURSES DE LICENCE 

2" Entre le collimateur et la lunette, on place un pi'isme de 60 der/rés. On constitue ainsi un spectro- 
scope que l'on règle au minimum de déviation. 

Si la fente est alors éclairée en lumière monochromatique, quelle est la largeur de son image photo- 
graphique (on se contentera de l'approximntioyi obtenue en considérani la largeur de ta fente comme une 
quantité très petite) ? 

3° 5) la fente est éclairée par de la lumière blanche, quelle est la largeur de l'image photographique du 
spectre, entre deux couleurs pour lesquelles les indices du prisme sont «i = 1,53 et n, = 1,51 [on je 
.contentera encore de l'approximation obtenue en considérant la différence »?, — ». et toutes les variations 
des ongles comme des quantités très petites) ? 

A" Si la lumière était seulement formée de deux couleurs simples très voisines, quelle différence devrait-il 
exister, au moins, entre leurs indices, pour obtenir deux raies distinctes dans le spectre ? 

5° L'appareil étant de nouveau éclairé en lumière monochromatique, la largeur de l'image de la fente 
changera-t-elle si, au lieu de placer le prisme au minimum de déviation, on l'oriente de manière que la 
lumière lui arrive sous l'incidence rasante? 

1° La plaque doit êlre placée au foj-er principal de l'objectif de la lunette. La distance focale de la 
lunette étant double de celle du collimateur, l'image de la fente aura des dimensions doubles de celles 
de la fente, une hauteur de fi'"'" et une largeur 2:, si ; désigne la largeur de la fente. 

2" Au minimum de déviation, une rotation infiniment petite du rayon incident dans le plan d'inci- 
dence produit une rotation égale du rayon émergen( ; l'image aura donc la même largeur que ?ans le 
prisme, c'est-à-dire 2s. 

3° La largeur du spectre sera proportionnelle à la diflférence des angles d'émergence correspondant, 
pour les deux couleurs considérées, à une même incidence. Considérons les relations connues 

sin i = n ?in r, r -i- ?■' = A, sin i' = n sin r', 

et différentions-les, l'angle ? étant supposé constant : 

= n cos rdr 4- sin rdn, dr + dr = 0, cos i'di = n cos r'dr' + sin r'dn. 

On en déduit 

sin /'cosr' 4-cos rsin r' , sin()'-+-7'] sin A 
di = dn = dn = ; dn. 

COS)' cos* cos l cos r cos î COS/' 

Comme on est au niininiuni de déviation, r= ~ et sin i' = «sin ^• 

2 2 

„ . A A 

2 sin-— 2sm — 

2 "^ 

'li' = 7— dn = dn . 

cos î / A 



Remplaçons A par sa valeur et » par sa valeur moyenne 1,;>2: 

2 
= dn = —— dn = 1,3Wh. 
n- 1,6 



1 

(/(' = =:^^ dn = 



En remplaçant dn par la dilTérence des indices 0,02, nous aurons l'angle de dispersion 

di = 0,0308. 
La largeur du spectre sera le produit de cet angle par la distance focale de la hinelte, augmenté, en 
tonte rigueur, de la largeur d'une image monochromatique, soit 

0t°',92'n-2£. 
A" Pour que deux couleurs simples voisines donnent dcu.x raies distinctes, c'ost-à-dire pour (jue les 
deux images correspondantes de la fente ne chevauclient pas, il est nécessaire que l'écart dil à la dis- 
persion soit supérieur à la largeur d'une image monochromatique: 

30 X l,r>idn > 2c, dn > 0,043£, 



ECOLE NORMALE SUPERIEURE ET BOURSES DE IJCEXCE 



i étant exprimé en centimètres. Par exemple, si la fente a un dixième de millinirlre, 

(In > 0,0004.3. 
00 Si la lumière incidenle est rasante, une petite variation de l'angle d"incidence ne produit qu'une 
variation insensible de l'angle de réfraction, qui est alors égal à l'angle limite. Les rayons représentant 
les axes secondaires des deux bords de la fente sortent sensiblement dans la même direction et l'image 
de la fente aura une largeur insensible. 



Groupes I et II. 



1717. — 1° Calculer la vdktir lIp iinii'arale \„ = I , où n désinnc un entier nosilif 

2° Calculer la valeur de iinléqrnle 1 = ( ■ dx. 

J» (' -+- •'•■",'' 

/" dx 
1" En appliquant à l'intégrale J„ = j— — la l'ormiile d'intégration par parties, 

/ }idv = Ml' — / vdu 

et posant u = , v = x, 

(l + X^)" 

X C x^dx 

on a de suite J„ = — -_ -)_ 2,; i ——i — ■ . 

(i^ + l)" J (l-+-x2)'-+' 

La dernière intégrale se transforme aisément de la façon suivante : 

dx = J„ — Jn-|-1> 



et l'on a ainsi la formule de récurrence 



/i 



"Ini,,^, = '2n—l)i„^—- 



(i" + 1 )" 

Intégrons maintenant de à -i- x et remarquons que 1 ^ 1 =0; nous aurons 

^ ' L(-r--H»/'J„ 

2«1„^, = (-2n — l)l„. 
Cette égalité a lieu pour toutes les valeurs entières et positives de n. Donnons alors à ;; les valeurs 
1, 2, 3, . .,n— 1, et remarquons que 

Jo 1 -f- .r^ 2 



nous aurons 



par suite 



2'i L'intégrale 



21. = -, 
2 

2 21 — ."î I 

2.3U = o.l3, 

2(h -l)I„ = (2)1 — 3jl„_, ; 

2"-'(«- 1)!!,. = 1.3.o...(2/i— 3)^, 

, 1.3. 5... (2» — 3) 
'"= 2"(»-l)! "■■■ 
/^°°ax' + bx- -\- ex -^ d , 



se décompose aisément en intégrales plus simples, en ajoutant et retranchant au numérateur ax-h b ; 



2-26 ECOLE NORMALE SUPÉRIEURE ET BOURSES DE LICENCE 

on obtient ainsi 

C"- axdx , r'^ xdx ,, , , 

r xdx l \ r xdx 1 1 
Or / = — ■ et I = 

en intégrant de à -H » , on a 

xdx l 



z""" xdx 1 /"" 



(xM-l]' 4 
D'autre part, nous avons vu an'érieurement que 

donc l'intégrale demandée a pour valeur 

ou enfin 

a-hc M-^b 

G. LACH, à Denain. 

Bonnes solutions : MM. R. Manen, à Albi ; J. MtQOEL; .1. Desbats, lycée de Bordeaux ; L. Montait, à Alger ; A. Wieser, 
lycée Hoche ; Mozzicosacci, à iNemours ; J. Vérots, à Lyon ; G. Fodcry, à Reims ; L. Sibk. 



1718. — 1" Intécp-er ['rquation différentielle 

(1) y" -t- a-ij = sin x, 

où a désigne une constante ijositive, différente de un. 

2° Déterminer une intégrale particuJiire de l'éijuation précédente par la condition que cette intégrale et 
sa dérivée pj-emière s'annulent pour x — 0. 

3° Rechercher ce que devient celte intégrale particulière lorsque a tend vers un et en déduire iititégi-a- 
tion de l'équation. (1) dans te cas particulier où a = i . 

i° On sait que l'intégrale générale de l'équation sans second membre y" -h a'^y = 0, s'obtient en 
posant y = e" et prenant pour j- les deux racines de l'équation caractéristique )•--+- a- = 0; on 
trouve ainsi comme solutions particulières les deux fonctions indépendantes e"" et e~'", 

e"" — e^"" 



et 



L'équation y" -h a' y = admet donc les deux solutions indépendantes 
y = cos ax et J/ = sin ax 
et la solution générale est 

1/ = A cos ax + B sin nx, 
A et B étant deux constantes arbitraires. 

Si a est différent de ±1, nous aurons une solution particulière de l'équation avec second 
membre en posant i/ = X sinx, 1 étant une constante. Nous avons ainsi 

— 1 -+- a- 
el la solution générale de Téquation complète est 

„ . sin X 
1/ = A cos ax -^ B sm ax H — 



a' — 1 



ÉCOLE NORMALE SUPERIEURE ET BOURSES DE LICENCE 



2" Nous avons ' 



l 



pour r = 0, ;/ = A et y' = Ba 

<i- — 1 

Pour la solution indiquée, nous aurons donc 

- _ 1 asiax — sin ax 
A = 0, B = , et v= 

a n^ — 1) a{a- — 1) 

3o Pour a = 0, le numérateur et le dénominateur sont nuls ; nous aurons la limite de y quand 
a tend vers en prenant le quotient des dérivées par rapport à a. Ceci nous donne 

sin X — jc cos ax 

et la limite pour a = 1 est 







3a2- 


-1 


!/ 




sin X- 


- X cos X 


— 




>» 



L'intégrale générale de l'équation îy ' — y = sin x est donc 

./• cos X 
y = A cos X -t- B sm X 

Louis SIRE, à Lyon. 

Bonnes solutions : MM. G. Lacb, ;\ Denain ; R. Mane.\, à Albi : J. Desbats, lycée de Bordeaux ; L. .Montaot, P. Favre, 
à Lyon ; E. Behtbelot, à Cholet ; Léon Michel, à Brive ; Aïblard, à Ruines; J. Vérois ; Mozzico.vacci ; H. Ja.\ois, à Nantes : 
G. FoixRT, à Reims. 



1719. — On donne trois axes rectangulaires oxyz et le parallélépipède rectangle (P) dont les six faces 
ont pour équations .t = dz 6, «/ = ± 11, : = zt 16. 

Une sphère solide (S), de rayon l, se meut à tintérieur de (P;. Le mouvement du centre de (S) est 
rectiligne et uniforme tant que la surface de (S) ne vient pas en contact avec une face de (P) ; lorsqu'un tel 
contact se produit, la vitesse de ce centre conserve la même valeur absolue, mais sa direction se modifie sui- 
vant la loi physique de la réflexion, c'est-à-dire que la normale commune aux surfaces en contact est l'une 
des bissectrices de l'angle formé par les deux vitesses du centre, avant et après le contact. 

A l'époque t = 0, le centre de (S) est à l'origine des coordonnées. Les projections de sa vitesse sur 
les axes sont alors respectivement égales à 1, /ï, y'S. On demande : 

1» Les coordonnées x, y, z de ce centre à l'époque / = 10 ; 

2° La coordonnée z à l'époque t = 1 000. 

On calculera les résultats à un centième près. 

Il est évident que tout se passe comme si la sphère était réduite à un point, mobile d'après les 

mêmes lois, et situé à l'intérieur d'un parallélépipède dont les six faces ont pour équations 

X = ziz o, 1/ = zh 10, ; = zh 15. 

X u z 

Quand le point, qui se meut d'abord sur la droite -- = -7^- = — ^. vient rencontrer une face, 

le mouvement se réfléchit, reste uniforme et s'effectue avec la même vitesse sur une droite symétrique 
de 0.\I par rapport à cette face. 

Considérons alors les divers plans 

X = 0, 15, 23, 3o. . . 

y = 10,30, 50... 

; = 15, 45, 73. . . 
et ceux qui sont symétriques de ceux-ci par rapport an centre ; ils divisent l'espace en parallélépi- 
pèdes égaux au i"' et ayant leurs côtés parallèles. Ces parallélépipèdes peuvent se représenter, sans 
qu'il soit nécessaire d'insister, par les numéros (000), (100) ...{pqr).... 



228 AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 

Le point M se meut d'abord à l'intérieur du premier parallélépipède (000), suivant les lois 
X = I, y = ls^2, z = t/-i. 

Il rencontre le plan x — H au bout du temps t = o : il rencontrerait le plan y = 10 au temps 
/ = Oy/2, et le plan : = lo an tomps t = o^/3. C'est donc la face x = o qui est rencontrée la 
première. Alors le point se rénéchit, et reste symétrique du point idéal M qui conlinue à parcourir la 
droite OM et qui entre, lui, dans le parallélépipède (iOO). Quand ce point idéal rencontre le plan 
1/ = 10, le point réel le rencontre aussi, et ainsi de suite. Soient 

l'i, P2, .. , P„. . . . les plans x = 5, 5+10, ..., 5-i-(*! — 1)10, ...; 
Qi. O2, • ■ .. Q„, ... les plans : = 10, U) h- 20, ..., 10 + (h — 1)20, 
et Ri, Ho, ...,R„, ... les plans : = 15, : = 15 + 30, ..., : = IS +(n - 1)30. 

Si l'on envisage un point idéal qui parcourt la droite 

— = X =-i_ 

1 v2 ,3 

avec la vitesse constante (1, ^'2, ^/3), quand il rencontrera le plan P,„ ou Q„, ou R,>, le point réel se 

réfléchira sur la première ou la seconde face du parallélépipède de même nature, suivant que n est 

impair ou pair. 

Au temps t = 10, le mobile a rencontré déjà les trois faces x = o, y = 10, z — lo du 

parallélépipède et, en tenant compte des réflexions sur ces faces, on a 

X = o — ((— o}, 

,/ = 10— ,2(? -5/2), 

: = 1,T - ^3 t —5/3) : 
si on y fait / = 10, on a 

X = 0, y = 20-10^2, : = 30 — lO/.i 

Au temps / = 1000, il y aura eu autant de chocs sur les faces parallèles au plan des xy, qu'il y 

a d'unités dans le nombre entier n le plus grand pour lequel on ait 

I3_l_(„_ j)30 < 100tV3, 

Or v/3 = 1,732; nous avons donc à prendre la partie entière de 

1732-1.0 

30 ' 

c'est .^7, H — 1 = 57, n = 08. 

Il y a eu 58 chocs; le dernier a eu lieu sur la face inférieure : = — 15, et, après, en appelant ^ 

l'époque où ce choc a eu lieu, on a 

: = — 15-h(<— <i)v/3, 

tant qu'il n'y a pas de nouveau choc sur une face horizontale. Ici t = 1000, ^ est donné par 

1,^/3= la-^30><.'î7 ou ^=375./3. 

On a donc linalement 

: = — 15 + (1000 — 575/3)v/3, 
: = 1000^/3 — 1740 = -7,03. 

.\MBLARD, conducteur des Ponts et Chaussées, à Ruines. 



.\(!I!l'(i.\TIOX DES SCIENCES M.\THÉMATIQUES 



Concours de 1908. 

Mathématiques spécxalcx. 

1720. — Un contour convexe est formé dcî côtés parallèles AB, .\'B', de longueur 2/, d'unrectangle 
ABB'A' et des demi-cercles de rayon r dérrils sur les d'-ux autres côtés \A' et BB' comme diamètres. Il se 
déplace dans son plan d'une façon conlinue en restant tangint extérieurement à un demi-cercle fixe de rayon h 



AGRÉGATION DKS SCIENCES MATHEMATIQUES 



â29 



et à la droite indéfinie D qui limite ce demi-cercle . On suppose que AB était sur D au début du mouoement 
et que A'B' vient sur cette même droite à la fin du mouvement, après avoir touché le demi-cercle fixe. 

1° Construire la trajectoire r du centre M du rectangle et reconnaître si elle est convexe. 

2° Calculer l'aire limitée par r, dans l'hypothèse l\ = c, l — ?-(\/3 — 1). 

3» On suppose que l'angle dont tourne le contour est proportionnel au temps ; on demande de placer le 
contour à un instant donné et de construire le vecteur vitesse du point M à cet instant. 

4" Le côté A'B' étant tangent au demi-cercle fixe, trouver à un instant donné l'enveloppe des tangentes 
aux trajectoires des différents points du contour. Examiner les différents cas qui peuvent se présenter en 
supposant K = r = /. 

Note. — Les constructions (3") devront être eflectuûes avec la règle et le compas. 

1. Soit le centre du demi-cercle lixe, 0, et 0* les centres des cercles qui ont pour diamètres 
AA' et BB'. Nous prendrons comme axe des x la droite D et pour axe des y le rayon perpendiculaire 
du cercle 0. 

Le mouvement du contour comporte trois phases, suivant que le cercle Û est tangent soit an cer- 
cle 0,, soit au côté A'B', soit au cercle 0.. 

Première rii\sE. Le cercle est tangent au cercle 0,. 
Le point Oi reste lixe, à la distance r de Ox et à la distance R + > 
du point 0. Donc le point M décrit un arc de cercle M^M,, décentre 
t», et de raj'on l ; l'angle au centre correspondant M„OiVl, est égal à 

— -H a (fig. 1), a désignant l'angle aigu qui est défini par la relation 

sin a =: 

U + r 

Deuxième puase. Le cercle est langent à A'B'. 

Nous désignerons par w l'angle que fait Ox avec le rayon OC qui passe par le point de contact 

ifig.2). 

Le point M est situé sur la droite OiOo, qui a pour équation 

./■ cos co-t- ?/ sin (0 = R-t-7-, 

et son ordonnée est égale à / cos m + r ; pai- suite les coordonnées du 

point M sont 

H -4- r — r sin tn 

— / sin (o, 1/ = / cos (o + r. 





cos (o 

Comme la droite 0,0^ reste tangente au cercle de centre et de 
'^" '■ rayon H H- )•, et que le point 0, décrituneparalléle à Oa', l'angle co croit de a 

à la valeur jî qui correspond au cas où le point de contact est B' 
{fig. 3). Pour déterminer cet angle ^, considérons le rectangle KOjPQ, 
dans lequel on a O.K = PQ, ce qui nous donne 
(R + r)sinP = 2/ cos ? + r ; 
et cette relation définit un seul angle [3 compris entre U et — • 
Prenons les dérivées de x et ;/ par rapport à (o, nous avons 



dx 



(R -I- r) sin w — r 



— l cos I 



dy 
~d^ 



l sin (.). 




Quand w croit de a à p, i/ décroit ; d'autre pari, -j^ a le signe de la fonction 
ç(u)) = (R 4- J-) sin to — r — / cos^ «y, 
qui est croissante dans l'intervalle ( 0, -jt- ) • Pour w = a, o(a = — / cos' » < ; pour ' 



= â. 



230 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 



o(P) = (R + V) sin p — /• — / cos' 3 =2/ cos ^ ~ / cos' 2. = / cos ^(2 - cos= ^) > 0. 

rf.r . , , 

Donc -7— s annule pour une valeur comprise cuire a et |î; donc x passe par un minimum. Soit 

M' le point correspondant. 

Nous obtenons ainsi l'arc de courbe MiM'Mj (fig .T. 

La courbe ne présente pas d'inflexion. En elfet, soit m le coeflicient angulaire de la tangente en un 
point ; nous avons 

d]i 



et 



dm 
1^ 



l COS (0 



/sin (0 cos^o) 
dx ~ /cos-' to -i- )• — (K -h )■) sin w' 
/ COS-' 00 H- 2R sin' .» + >-(2 sin co -I- 1)(1 — sin u.)- 
/ ces' 0) -+- r — (R -f- ?■) sin m]- 



Par suile, — — est toujours positif, m croît. La courbe est convexe vers Oi/ de M, à M', concave 

de M à Mo. 

Au point M, le coefficient angulaire de la tangente est 

l sin acos- a 

»!| = = Ig » '■ 

fCOS'a-i-î- — (R -(-'■) sin a 

ce qui montre que la courbe se raccorde en M, avec l'arc de cercle MoM,, et cela était à prévoir d'aprèg 
les propriétés du centre instantané de rotation. 
Au point Ml, on a 

l sin p ces' ? sin 3 cos 3 

'~ /cos' p H- r — (R + /-) sin p ~ cos-fl — 2' 

Troisième i'Iiask. Le cercle est tangent au cercle 0.>. 

Désignons toujours par <" l'angle de Ox avec A'A, et soit 6 l'angle de Ox avec la droite OOi qui 

passe par le point de contact [fig. 4). On voit aisément que est 
lié à 10 par la formule 
j^ (1) (R-hr)sin9 — 2/cos(o — )• = 0, 

et que les coordonnées du point M sont 

X = (R + »•) cos e -t- / sin <", y = r + /cos w. 

L'angle tu croit de ? à —• tandis que 6 décroit de ? à x. 

Il cil résulte que y décroit et x croit ; on obtient l'arc M,Mo {fig. 5). 
Le coefficient angulaire de la tangente est 

— / sin '•! 




/ cos (u — (R -+ r) sin 'J 



f/e ' 



et comme de la relation (1) on tire 



j/0 



2/sini 



(R -+-/•) cos 
sin w cos 



Au point M,., = II) = fi, m = 



cos tu cos'J +2 sin 'o sin fi 
sin p cos p 



cos''[i — 2 
.\u point d'arrivée Mj, w = — 1 = a, m — — -^cotg 
On a 



; la courbe se raccorde avec l'arc M'Mj. 
1 



dm ai 



cos' 6 



'/'■> I cos (0 cos 04- 2 sin w sin 0]'- 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 



i!31 



Oy. 



Comme -^ est négatif, ^ est auss. négatif, m décroît. Par suite, l'arc M,M„ est concave vers 

Il ny a aucun point dintlexion, la courbe M„M.M'M,M„ est entièrement convexe. 

2 L'aire cherchée A est donnée par 

A = A,-hA. — A, — A., 

en posant {fig. o) 

A, = aire M„M,u,, A, = aire M.MW,, 

As = aireMV'l-^^M,, A» = aire M,;-<,M„. 

Nous avons 

V- (T. \ l^- 

M„ A, = — - 




A, = — ( |-a)H smaCOS a, 



A.. = r'o/ — r)da-, A^ = ( \y — r)dx. 



a- et y ayant les valeurs de la seconde phase. 
On a donc 

,'M, /^M, Tm' Tm, /m. 

^^-^^=j. -Jm ==1 ^A =^1' 
A.-A,=J^\y-'-Kr, 

ou encore, en remplaçant x et -/ par leurs valeurs en fonction de o., 

L'intégrale indéfinie est égale à 

[/T. lu \ ko /sin2w ~1 
_(R^r)Lcos<..-2Ltg(^y-rYJ ô" 4 J' 

cosS '°V4"^2"/ '(Ji— «) . ,sin2? — sin2a | 

elparsuite A, — A3 = / (R + '■)L^^-+-'•L- 



-f-/- 



Enfin, nous avons A* = | {y — rjdx, 

X et '/ ayant les valeurs de la troisième phase, c'est-à-dire 

At = I °/C05io| /COSiu — (R + »") 

L'élément différentiel peut s'écrire 

[' ces- wc/w — /(R -t- r) sin e cos ojrfO 

ou, en tenant compte de la relation (1), 

/■^COS^wrfw — (R + Î-). 






i sm erfB, 



ou encore J (1 -^ cos^ .)./. — ^^ ,1 _eos20;rf6 n-ii^sinOrfO. 



L'intégrale indéfinie est donc 

r- / s in 2'] 



(R + )'r r, sin 26 "| (K 



(K + r)r 



cos . 



Au point M2, to = fi =^ ?■ ; au point M», oj — 



-, = a. 



232 AGREGATION DES SCIENCES MATHEMATIQUES 



A, = 

sin2?^ (R 



Donc 














r-T. 


(R-t-î- 
4 


''('- 


sin 2a \^ 


(R + r)) 
2 


- COS a — 


:(?-""/') 


4 


-' y* 














, (R + r)^ 



l 



11 est alors facile de calculer A. 

Si l'on fait R = c, /=>(y/3— 1), on a y. — —, ? = -;r et on trouve 

r 1 r 

A 



3. Désignons toujours par w l'angle de la demi-droite Ox avec la demi-droite A'A ; cet angle croit 
de — il -+ — psndant la durée du mouvement. Il s'agit de placer le contour, connaissant w. 

Dans la première phase, ;^ < ^ < «, la construction ne présente aucune difficulté puisque 0, 

est fixe. 

Dans la seconde, « < 'o < ?, (lîg. 2j, l'axe OiO., du rectangle est tangent au cercle de centre 
et de rayon K + '' au point C, tel que l'angle de Ox avec OC soit égal à w. Le centre Oi est à l'inter- 
section de cet axe et de la parallèle à Oj à la distance r. 

Le centre instantané de rotation 1 est le point de rencontre du rayon OC et de la normale à Oj au 
point de contact D avec le cercle 0,. On en déduit la construction du vecteur vitesse. 

D'ailleurs, les projections de ce vecteur sont 

(.(■ r(R -!-)•) sin u — r , '1 d- 

r- = ;— • ~ ' cos w — 

'/ L cos^ co J (/, 



de ['(R-f-î- sin u — r , "l (/.o du , rf-u 

—r- = ;— • — ( cos w — — , — f- = — / sm w — — 

dt cos^ co (// dt dt 



■ ■ . (R H- )') sin 10 — /■ d^^> 

donc le vecteur vitesse est la somme géométrique du vecteur ■ —r- ijarallèle à Ox, 

° ^ cos- w rf/ ' ' 

. . , r/w , . rfco 

et du vecteur qui a pour projections —Icos^—t— et — /sinoo--r— ■ 

Considérons maintenant la troisième phase, ^< w < -3- • Connaissant w, on construit aisément 0. 

Le point Oj est sur le cercle de contre et deraymi R-t-r, et l'angle de O.r avec 00^ est égal à 0. 
De plus, 0| est sur la parallèle à Ox à la distance r, et la longueur 0,0, est égale à 2/. 

On peut encore construire le vecteur vitesse au moyen du centre instantané de rotation, ou remar- 
quer que les projections de ce vecteur sur les axes sont 

dx r, ,„ , . f/0 T rfoi r, 2/ sin e sin «oT f/co 

-r— = / cos w — (R H- r) sin -r— — — • = / cos (0 -I l-r— ' 

dt I ^ ' dto] dl L cos J dt 

dy , . (/.o 

— î^ — — / sm 10 — — 

dt dt 

4. Les normales aux trajectoires des différents points du contour passent par le centre instantané 
de rotation I ; les tangentes enveloppent les aolipodaires des côtés AH, A'B' et des deux demi-cercles 0, 
et 0.,\ ce sont des arcs de conique, et il est aisé de voir que ces arcs se raccordent. 

Considérons en ell'et la tangente en A ; elle est tangente à la parabole qui a pour foyer le point I et 
pour tangente au sommet la droite AR. Si on désigne par N le point de contact, celte tangente est bissec- 
trice de l'angle formé [lar NI et par la perpendiculaire NU à AB. D'autre part, la conique relative au 
cercle 0, a pour foyer I et pour centre 0, ; son second foyer 1' est donc sur Nil, et N est encore point de 
contact pour celle conique. 

Discussion. — Relativement à AB el A.IV on aura toujours des paraboles, à moins que le point I ne 
soit surl'une de ces droites ; les tangentes aux trajectoires des points de celle droite sont alors parallèles. 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 233 

Relativement aux cercles 0, et 0., on aura des hyperboles ou des ellipses suivant que I sera exté- 
rieur ou intérieur aux cercles. 

La distance da centre 0_, à la parallèle à Oi/ menée par 0, est S/sin-o, quantité supérieure à >■, 

puisque nous avons sinw>-— et l — r. Le cercle 0_, donnera donc une hyperbole, puisque le 

point I est extérieur à ce cercle. 

R-^'' — csinio _ Il _l_ ,■_ rsiii w 
Le pomt I a pour abscisse ; — ^ et pour ordonnée lg'j>; il sera a 



l'intérieur du cercle 0, si l'on a 



ou, en faisant R = r. 



(R + r) sin tjj — r sin- oj < 2 r cos^ <o, 
r sin* (o + (R -1- r) sin to — 2r < 0, 

sin- (..-h 2 sin w — 2<0. 



Le premier membre est d'abord négatif, il croit ; sa valeur pour w = a = -^ est négative. Pour 

(u = S, elle est égale à sin- 3 -(-2 sin p— 2; mais comme nous avons 2 cos 3 — 2sin3-i-l = 0, 
sin2 3 -h 2 sin â — 2 est égal à 2cos? — cos-3 qui est positif. 

L'angle on délini par sincj, = — i -t- v'3 est donc compris entre « et i. 

Nous avons donc au départ le cercle 0, qui est sa propre antipodaire; puis un arc d'ellipse, puis 
pour la valeur m,, le centre instantané est sur le cercle, les tangentes aux trajectoires passent parmi 
point fixe. Ensuite, nous avons un arc d'hyperbole. 

Il reste à examiner si le point I peut être sur AB, car il ne peut être sur A'K . 

11 sera sur AB si son ordonnée est égale à cH : 1 c'est-à-dire si l'on a 

sm tu 

/■ (RH-7-)s!nw — î-sin^w 



sm ti) cos- (.) 

ou 3 sin^ <'j — sin tv _ 1 — 0. 

La racine positive est inférieure à 3, elle convient. 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1783. — On donne une sphère S et une droite D; par la ilioite, on fait passer un plan variable et l'on 
considère toutes les qnadi'iques circonscrites à la sphèr« le long de la courbe d'intersection He la sphère et du 
plan. 

1° I.e lieu despotes d'un plan fixe P par rapport aux quadriques considérées est un plan qui tourne 
autour dune droite fixe a, quand la droite D se déplace dans un plan passant par le centre delà sphère. 

2' On fait alors pivoter le plan P autour d'un point A.; trouver le lieu du point de rencontre de ce plan 
avec la droite A. Ce lieu est une quadriqin' ï bitangente à l.i splière S. Etudier la nature de cette quadrique, 
quand le point A varie. 

3^ Trouver l'enveloppe des plans des courties communes à la sphère et à la quadrique Z. quand le point A 
décrit un plan ou une sphère. 

Étude géométrique de la question. 

Bbos. 

1784. — Un point lumineux très brillant, A, est tixé à l'une des branches d'un diapason qui vibre vertica- 
lement en faisant N = 800 vibrations par .«econdc. Vis è-vis, se trouve un miroir plan P, argenté sur ses 
deux faces et mobile autour d'un axe vertical I situé dans son plan. Dans le plan horizontal passant par la 
position moyenne du point A et dans une direction 10 normale à .\l, se trouve l'axe d'une lunette; l'objectif 
est à une distance 10 — lA et la lunette est mise au point pour une distance double de 10 ; son champ angu- 



234 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



laire est alors T,2 et ce champ est plus que rempli par le miroir P quand celui-ci est à 45° de Al . Que verra- 
t-on dans la lunette quand le nombre n de tours accompli par le miroir en une seconde ira en augmentant 
progressivement ? Que verra-t-on en particulier quand le miroir fera par seconde: 1» 8 tours; 2o 8 tours 



1 i 

et . de tour ; 3° 8 tours moms de tour ? 

oOU 500 



DEUXIÈME PARTIE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1722. — Les deux coniques S ^ 2)/- — px-^p^ — pjj, =0, S' ^ 2.cy -+- pij, =0 se coupent aux 
Irais sommets du triangle normal circonsci-it à la parabole y- — 2pa; = 0, qui touche celle-ci aux pieds 
des trois normales abaissées du point (x,, »/,) sur la parabole. 

1° Les sommets du triangle conjugué commun à S et S' sont sur les mêmes diamètres de la parabole que 
ceux du triangle normal circonscrit. 

2° Quand un sommet du second triangle décrit un diamètre de la parabole, l'axe radical du cercle (C) 
qui passe aux pieds des trois normales et du cercle (C) qui passe aux sommets du triangle normal circons- 
cril, tourne autour d'un point fixe a. Trouver le lieu de a, quand le diamètre de la parabole varie. Ce lieu 
est l'enveloppe de l'axe radical quand le point (a;,, j/,) décrit la développée de la parabole. 

3° Mêmes questions pour l'axe radical de (C) el du cercle [C") circonscrit au triangle conjugué commun 
à S et à S'. 

Je considère les deux coniques 

S ^ 2t/2 — px -hp- — pxi — 0, S' ^ 2x1/ -t- /*y 1 = . 

Je dis que ces deux coniques se coupent aux sommets du triangle normal circonscrit relatif au 
point (X|, y,). 

Les pieds des normales abaissées de ce point sur la parabole sont les intersections de la parabole 
et de l'hyperbole d'Apollonius : 

P = y- — '2px = 0, H = xy -i-(p — x,)i/ —py, — 0. 

Soit («, f*) un des sommets du triangle normal circonscrit. La polaire de ce point par rapport à la 
parabole est p^ — ^y -^- px = 0. Or cette polaire constitue, avec le diamètre de la parabole passant 
par le troisième pied de normale, un des couples de sécantes communes à P et 11. On a doiu', pour une 
certaine valeur de >, 

y.{y^ — 2px) -i- xy-i-{p — x, );/ —/)?/, = (pa — iy -+- px){uy -+- v) . 

En identiliant, nous obtenons les cinq relations : 

(i) >. = — u3, 1 = pu, — iX = i', p—x, = piu — ^v, — i/i = av. 

Les trois premières donnent 

_± - - _!. _ IL- 

" ~ p ' '^~ p ' " p ' 

alors les deux dernières deviennent 

p — X, = a cl — '/, = ' 

'^ P P 

ou, en remplaçant i, " par les coordonnées courantes x, y, 

2)/^ — px + p{p — I,) = 0, 2x1/ + pi/, = 0. 

Ce sont précisément les coniques S et S', 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 235 



1° Les ordonnées des trois sommets du triangle normal circonscrit sont données par l'équation aux 
y, que l'on obtient en éliminant c entre les équations S et S' : 

(2) l.V' -¥- 'ipip - x^)rj + p-^v, = . 

Or les sommets du triangle conjugué commun à S et S' sont les points doubles du faisceau S + >.S' = 0; 
on les obtient en annulant les trois dérivées partielles : 

/ _p_(_2/.-/ = 0, ( ^ = 1^' 

) 4v -h 2).r = 0, d'où (2') \ , , 

Portons dans la troisième équation les valeurs de / et x tirées des deux premières, nous aurons 
Mf -H 2p(p —Xt)y + p^y, = 0. 
C'est précisément l'équation (2). Les sommets des deux triangles sont donc bien sur les mêmes 
diamètres. 

2° La parabole P et l'hyperbole H se coupent aux trois pieds de normales et au point à l'inlini 
y = 0, ; — 0. Eliminons celte solution entre P et H : 

P = !/.t/-2/j..-.: =0, H =x.y-ir[{p—Xi)y-pyi].z = 0. 

Les trois autres points sont sur la conique obtenue en annulant le déterminant 

- = 'jiip — a'i).'/ — PVi] -+- "^P-^i = 0. 

Le cercle passant aux pieds des normales est un cercle du faisceau S + )>P = 0. On l'obtient en 
faisant /, = /j ^Xi : 

C = (/j + x,)P -H S = 2(j"2 + if-) — 2{p -+- Xi)x — 7/1/, = . 

De même les deux coniques S et S' se coupent aux trois sommets du triangle normal circonscrit 
et au point à l'infmi y = 0, ; = 0. Eliminons ce point entre 

S ^ 2;/. 1/ — [px — p- -hpx,]: =: 0, S' ^ 2x.y-t pi/,: = 0. 

Les trois sommets sont sur la conique 

1' ^ Spj/j/, -1- 2x(px — //- -+- pxi) = 0. 
Le cercle C passant aux trois sommets est un cercle du faisceau S' -t- ).S = 0. On l'obtient en 

C = pS -f- ï' = 2{x' -H ;/-) - (3p - 2.r, M- -l-2(/y, -+-p(p - .<•,) = 0. 
L'axe radical des deux cercles est 

G — C' = (ix, — p)x -h 3yiî/ -(- p(p — x,) = 0. 

Or soit (a, ^) un des sommets du triangle normal circonscrit. De S et S' l'on tire 

2ï3 2a- — na4-p2 

;/, = —, a-, = ' 



P P 

L'axe radical a donc pour équation .T(3p- — 4pa -+- Si-) — 6ïiy +p(p3t — 2?-) = 0. 
Lorsque le sommet se déplace sur un diamètre de la parabole, ? reste ûxe, et cet axe passe par un 
point lixe donné par x' 3p2 + 83=) — 2pi- =0, — 4px — 6^1/ -h p- = . 

Lorsque ? varie, le point fixe décrit un lieu que l'on obtient en éliminant ^ entre ces deux équa- 
tions: p^-ipx ^ ^ (p^ ~ '*{''"'' + 3p^x = 0, 
ce qui, toutes réductions faites, donne la cubique 

(3) oixi/- -+- (4x — p)' = . 

Ce lieu est d'ailleurs l'enveloppe de l'axe radical lorsque (.r,, y,) décrit la développée de la parabole. 
EnelTetona cette enveloppe en éliminant (x,, j/,) entre les équations de l'a.xe et de la développée et l'équa- 



236 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



lion obtenue en éjralanl les rapports des dérivées de ces deux équations par rapport à ./■, et i/, : 
/ (p — Axt)x— 3y, y — p(p — Xt) = 0, 

j — ix-j-p — 24(ï, — ;j)2 

( —•'.'/ ~ oipij, 

La troisième donne 

iyixi — »)- i 6v"{.r, — pY 

?/i = -;r— ;^ 7-t-> puis la ssconde devient "lIp — 4 — = Sfa:, — m?, 

Ap(p — i:r) ' ' 0/y-(p — Ax)' ^ ^' 

pip — 'tx]- p(p — ixy 

^'i = p -h , — —, par suite -■ — ^^^ ' 



6;/^ * ■" 27y^ 

Portons dans la première équation, nous aurons 

r_ ipjp-ixr "|„ 3py(p-Axy ^ p^p-ixY _^ 

L dy- J 2/!/' 6y- 

u en réduisant olcy^ -h {ix — pf = 0. 

C'est bien l'oquafion (;î), lieu du point fixe a. 

3° Le système d'équations (i') nous montre que les sommets du triangle conjugué commun à S et 
S' sont les points d'intersection à distance finie des deux coniques 

Q = 4;/' + pxz = 0, Q' = px.y — ['2p{p — x,)y -t- p=i/,] : = 0. 

En éliminant le point à l'infini y = (i, z = D, on voit que les trois autres sont sur la conique 

1" = 4y[2p(p— Xi)y + p-y,] h- p^-x- = 0. 
Le cercle circonscrit au Iriangle conjugué commun est un cercle du faisceau )Q -+- S' = 0. 

On l'obtient en faisant ). = ' —', 

-4 

G" = iix^ -h y-) 4- (Se, - '^p)x -+- 16;/;/, = 0. 
L'axe radical des cercles C et G" est 

{p — kx,)x — 12;/,;/ + 'ip{p — x,) = 0. 
Remplaçons x,, ;/, par leurs valeurs en fonction de a et p. L'axe radical devient 

(4joa — 8^2 _ 3p2)a. _,_ 24jpy ^_ <2p[pa — 2^2) == 0. 
11 [)asse par un point fixe a, défini par les équations 

ipx -+- 24py -+- 2/5^ = 0, — (8^-^ + 3/-^).r — Ap'fi- = . 

Lorsque ? varie, ce point 1, décrit un lieu qu'on olttient en éliminant â entre ces deux équations. 
Ce lieu est la cubique 

(0) {p -+- 2x)' + 108,ry- = 0. 

On démontre exactement comme tout à l'iieure que ce lieu est l'enveloppe de l'axe radical lorsque 
{xi, y,) décrit la développée de la parabole. 

11 faut pour cela éliminer x, et y, entre les trois équations 

/ (p — 4x,)x — 12yiV -+- '^p{p — x^) = 0, 

\ 27/3j(? — 8(x, — ?))■ = 0, 

j — ix — 2p _ — 2't(x, — p)- 
[ 12;/ ~ .*)t/j;/, 

w(2x -h p]^ pf^i'' ~t~ p)' 

Nous avons d'abord j/i = — 7^-^ — .., v ' r, = » 4- ^ ' / ' ; puis, en portant dans la 
12 -t- 18;/' 24;/- 

première équation, 

r p{^x + pr- -\ , pHr^pY p^ix + /))■= _ „ 
[-•''' fi^F~J "^~Î8? iV "' 

ou {p-hixY+iOBxy''-0. 

C'est bien l'équation (ri\ lieu du point fixe 3,. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



237 



Remarques géométriques. — 1. 




Il est lacilede montrerqueles sommets du triangle conjugué commun 
aux coniques S et S' sont sur les mêmes diamètres 
de la parabole que ceux du triangle normal cir- 
conscrit. 

En eEFet, les sommets du triangle conjugué 
lommun sont les points diagonaux du qnadrangle 
des points d'intersection des deux coniques. 

Or S et S' ont un point commun k l'inTmi dans 
la direction Ox. Le quadrangle se compose donc 
des trois côtés AB, AC, BG et des trois parallèles à 
Oe menées par les points A, B et G. 

Les sommets du tri:ingle conjugué seront sur 
ces trois diamètres de la parabole. 

2. —Supposons que le sommet G décrit le diamètre C-;. Je dis que l'axe radical des cercles circonscrits à 
ABC et MNP passe par un point lixe. 

Chacun de ces cercles passe en effet par deux points qui restent lixes quand G se déplace sur le diamètre. 

Le cercle circonscrit à M>'P est un cercle de Joactiimsthal. Son quatrième point d'intersection avec la para- 
bole est le symétrique du pied de la quatrième normale abaissée de T(a;,, i/i) sur la parabole par rapport au 
centre de cette conique. Ce quatrième pied de normale ainsi que le centre sont à l'intini ; le symétrique est donc 
le sommet de la parabole, premier point fixe. 

Mais les cordes ON et MP sont également inclinées sur l'axe. Or quand G se déplace sur C;, la direction 
MP, conjuguée du diamètre C-[ reste fixe. Donc la direction ON est lixe et comme est lixe, le point N 
restera fixe. 

Le cercle circonscrit à MNP passe donc par les points fixes et N. Un \oit en même temps que, lorsque 
C décrit C;, le point T(.r,, ^,) décrit la normale NT. 

Le cercle circonscrit au triangle ABC passe au foyer, car la tangente au sommet est une droite de Simson 
du triangle ABC, et c'est le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées de V sur les tangentes à la parabole. 
Ue plus sur la tangente fixe AB les tangentes CM et CP déterminent des points A et B qui se correspondent 
homograpbiquemenl : A et B décriventsur AB une involution dont les points à l'infini se correspondent. Le 
milieu du couple AB est donc fixe. C'est le milieu D de NG. Le cercle circonscrit à ABC passe donc par un 
deuxième point fixe qui est le symétrique de F par rapport k DK, perpendiculaire élevée k AB par D. 

Ce symétrique est d'ailleurs le point H où la parallèle FH menée par F k .\B coupe le diamètre G 



En 



effet 



et 



DNQ — UGH 



Hre mis sous la forme 
iC; = pour le second, 

liés par une relation linéaire, puisque le 



FND = DN'U (propriété de la tangente) 
Donc GHFN est un trapèze isocèle et HL = LF. 
Nous avons donc ici deux faisceaux de cercles qui peu\eut 
C -+- /.G' = pour le premier, Ci -t- > 

), et >.i sont des fonctions linéaires des quantités a-i et i/i. 

Mais ces cercles ne sont pas indépendants, car x< et i/i sotit 
point (xi, i/i] décrit la normale NT. 

On peut donc finalement mettre ces faisceaux sous la l'orme canonique 

C-H^iG' — pour le premier. Ci +.riC; — pour le second. 

Leur axe radical sera /i{C-\-x C) — (Ci -i- xiCi) ^ Co + ariCi ^ 0, 

k étant un coefficient convenablement choisi pour éliminer les termes du second degré. 11 restera une équation 
do droite ne dépendant que d'un unique paramètre xi. Ce paramètre n'y entrant qu'au premier degré, l'enve- 
loppe est de première classe : c'est un point, a. 

Lorsque le diamètre C-( change, le point ï décrit un lieu. Je dis que c'est l'enveloppe de l'axe radical 
quand [x , .i/,) décrit la développée de la parabole. 

En effet lorsque C décrit le diamètre G-,-, le point M décrit la normale 
TN et l'axe radical passe par le point a. 

Lorsque G décrit le diamètre infiniment voisin •;', le point .M décrit la 

normale TN' et l'axe radical passe par le point fixe a'. 

_ Soit T le point de rencontre de deux normales infiniment voisines, l'axe 

C radical correspondant au point M doit passer par at et »'. C'est la droite aa'. 

Lorsque C'y' tend vers Cy, la normale N'T lend vers NT. Leur point de 

rencontre T tend vers le point de contact de la normale avec la développée 

de la parabole et la droite a'a tend vers la tangente en a au lieu du point a. 




238 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



3. — Le cercle circonscrit à SRG passe par l'origine et le point G, qui reste fixe lorsque G se déplace sur G-,'. 

Gomme dans le cas précédent, on montrera que l'axe radical de ce cercle et d'un des cercles précédents 
passe par un point fixe et que le lieu de ce point est l'enveloppe de l'axe radical lorsque (xi, i/,) décrit la déve- 
loppée de la parabole. 

M. DANBOIV. 

Très bonnes solutions de MM. L. Simon, à CliAlons-sur-Marne ; (j. Fol'crv, à Roanne ; Benoit-Gomn, à Dijon. 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



1754. 





Sphère et cône de révolution. — La sphère de rentre 0,0' a oO™"' de rayon. — Le cône a son 
sommet S, S' » 90"" à droite, 100"" au-dessus et 40"" en avant de 0, 0'. 

Les projections de l'axe du cône font des angles de 45° et de 60° avec les lignes de 
rappel. La sphère inscrite dans le cône et dont le centre lo, lo' est à la mêine cote que 0, 
0' a 40m" f/e rayon. 

Représenter le solide forme par l'ensemble du cône indéfini et de la splière. 

{Ecole des Mines de Saint-Etienne, concours de 1908.) 

L'énoncé donne immédiatement les contours apparents des deux surfaces. Pour 
obtenir le solide formé par leur ensemble, il faut chercher la courbe d'interseclion du 
cône et de la sphère. La méthode des sphères auxiliaires ayant leur centre au point de 
rencontre de l'axe du cône et d'un diamètre de la sphère donnée exigerait ici un chan- 
gement de plans de projection conduisant à des constructions compliquées. Nous 
couperons donc simplement les deux surfaces par une série de plans horizontaux: 
chacun d'eux donnera sur la sphèi'e une circonférence et sur le cône une ellipse dont 
les points d'intersection seront des points de la courbe cherchée. Nous pouvons évi- 
ter la construction de toutes ces ellipses en traçant, une fois pour toutes et très exacte- 
ment, la section du cône par un plan horizontal déterminé, par exemple celui du centre de la sphère ; nous 
projetterons ensuite sur ce plan toutes les sections auxiliaires, en prenant le sommet du cône S comme point 
de vue, de manière que toutes les ellipses aient pour projection commune la base du cône ; les sections de la 
sphère se projetteront suivant des cercles dont les centres sont sur la droite d'intersection du plan de base du 
cône avec le plan vertical SO qui contient toutes les projetantes des différents centres de ces sections, et dont 
on aiiratresfacilementlesrayons.il suftira donc de prendre l'intersection de tous ces cercles avec l'ellipse, 
jiuis, par chaque point ainsi obtenu, mener la génératrice du cône, qui rencontrera le parallèle auxiliaire corres- 
pondant au point cherché. 

Base du cône. — Nous avons construit la base elliptiqui' du cône eu déterminant ses deux axes de symétrie : 
le grand axe ab a pour extrémités les traces des génératrices, section du cône par le plan méridien vertical sw 
que nous avons rabattu en s[ab sur le plan de l'ellipse, les deux génératrices étant les tangentes menées par s\ 
au grand cercle de la sphère a qui coïncide avec son contour apparent. Pour obtenir la longueur du petit axe, 
qui est perpendiciilaii-e sur ab en son milieu c, nous avons déterminé l'un des foyers de l'ellipse qui n'est 
autre que la projection conique du foyer de la section horizontale menée par le point le plus haut tp' de la 
sphère inscrite, soit f, f, et du point /' comme centre, avec un rayon égal au demi grand axe cb, nous avons 
décrit un arc de cercle coupant la perpendiculaire cd à ce gi'aïul axe au point d, sommet cherché. 

Point courant de l'intersection. — Soit g'k' un parallèle auxiliaii-e de la sphère donnée. Sa projection coni- 
que est la circonférence de centre ■{ , i et de rayon y'x' ; cette circonférence coupe l'ellipse, base du cône, aux 
points [i et V. Ghacun d'eux définit une génératrice telle (|ue .v;ji, s'(i' qui coupe le parallèle auxiliaire en un 
|)oint m, ni' de l'interseclion. Kn répétant cette construction autant de fois que l'on veut, on obtient chaque 
fois autant de points de l'intei-seclion qu'il y a de points communs au cercle auxiliaire et à l'ellipse. 

l'oints remarijuables. — Dans la pratique il vaut toujours mieux commencer la construction de la courbe 
par la détermination des points remarquables. Ici ce sont les points sur les contours apparents et les points 
doubles de chaque projection. Pour avoir les points sur le contour apparent horizontal du cône, par exemple, 
nous avons considéré le plan de ces deux génératrices et l'avons rabattu sur le plan horizontal du centre de la 
sphère autour de sa trace hh suivant ï/i/j. Nous avons rabattu en mènu> temps la section de la sphère par ce 
plan ; c'est un cercle dont le centre .se projette et se rabat très près du point o, en sorte que nous n'avons pas 



W'^ ù— 



k '" 



-L------1 



1 ~-^ 
\ 




240 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



figuré les constructiùiis qui donnent son rabattement, mais nous avons tracé la cii'conférence rabatliie qui 
coupe en -j et -> les deux génératrices du cône. Ces points se relèvent en pi etpi, qui sont les points cherchés 
sur le contour apparent horizontal du cône. La mémo circonférence donnait sur les mêmes génératrices deux 
autres points ji et j2 dont la construction n'a pas été mise à l'encre pour ne jias compliquer lépure inutile- 
ment. 

Une construction analogue permet d'obtenir les points sur le contour apparent vertical du cône, par le 
rabattement du plan de ces génératrices, sur le plan de front du centre de la sphère et du cercle de section de 
la sphère par ce plan. 

Uiiant aux points situés sur les contours apparents de la sphère, on peut les obtenir en traçant la courbe 
d'intersection du cône parle plan horizontal, puis par le plan de front menés parce centre, mais seulement 
dans le voisinage immédiat des points où les deux courbes coupent chacun des contours apparents. Nous 
avons déjit ici les points r, et r-2 sur le contour apparent horizontal ; il suffit donc d'un seul tracé complémen- 
taire de l'ellipse que donne le plan de front oe sur le cône. On a d'ailleurs facilement les deux axes de cette 
ellipse en appliquant la construction qui a donné ceux de l'ellipse abi. Nous n'avons pas indiqué ces cons- 
tructions dans la mise a l'encre pour la projection verticale. 

Points doubles — La ligne des points doubles de la projection horizontale est la trace du plan des généra- 
trices de contour apparent du cône sur le plan horizontal du centre de la sphère, /i'j ; elle coupe ici la pro- 
jection de la courbe d'intersection en deux points réels. Sur la projection verticale la ligne des points doubles 
est la trace t',('., du plan des génératrices de contour apparent vertical sur le plan de front ne du centre de la 
sphère donnée ; nous l'avons déterminée en prenant simplement les traces de chacune des génératrices n-i et 
.vDo sur ce plan de front. Cette droite ne coupe la projection verticale de la courbe qu'en un point qui est le 
seul point double de celte projection. 

On trace la courbe on ayant soin de joindre les points dans l'oidre oii ils se présentent sur les génératrices 
définies par les positions successives d'un mobile qui parcourrait l'ellipse, base du cône, d'un mouvement con- 
tinu et toujours dans le même sens. On détermine ainsi sans aucune ditficullé les points de la courbe situés en 
avant ou en arrière et au-dessus ou au-dessous de la surface par rapport aux génératrices de contour apparent 
et on en déduit la poncliiaiion telle qu'elle est figurée sur l'épure. 

Si l'un \cut a\oir la tangente en l'im des points courants, il suffit de joindre ce point au point d'intersec- 
tion de deux horizontales de même cote choisies dans cbacun des plans tangents au cùiib et à la sphère en ce 
[)oint. On pourra mener la tangente à l'ellipse au pied de la génératrice qui passe par le point considéré, et on 
prendra la trace de la ligne de front du plan tangent ii la sphère en ce poinlsur le plan de base du cône ; la per- 
pendiculaire menée par celte irace à la projection horizontale durayon de la sphère donnera la seconde hori- 
zontale qui coupe la tangente à l'ellipse an point cherché. 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1785. — (In connail la base IJ(' d'un triangle .\1>C, en grandeur cl en position; on sait en outre que 
l'une des bissectrices de l'angle A, limilée au côlé lîC. .\D. satisfait à l.i i-elation 

Al). m. = Ali.^C. 
Trouver le lieu du sommet A el ren\eloppe de l.i bissectrice AD. 

1786. — fOii considère un point lixe O et un plan fixe P qui ne passe pas au point 0. Etudier le complexe 
des droites U qui rencontrent le plan P en un point A tel que OA soit perpendiculaire à D. 

2° On considère un système de forces 1 appliquées à un corps solide. Etudier le complexe forme par les 
droites pour lesquelles le moment du système est égal à une constante donnée A. 

3° On considère une droite fixe D. Etudier le complexe des droites A iiiii ont un moment donm' par ra 
à D. 



pport 



B*B-LK-t>Dc. — iMP. coMTB-MCQUBT. Le Hédacleur-Gérant : H. VUIBERT. 



49« Année. N" 10. Juillet 1909. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



CORRESPONDANCE. 



A propos de la question 1720. 
Question 1720 (*). — l" Dans la troisième phase du mouvement (p. 231, ligne 1) m décroit quand 

d'-u 
le point M décrit l'arc M^Mo; m varie donc en sens contraire de x, et '^ est négatif. 11 en résulte 

que l'arc M^Mo est convexe vers Oy, et, par suite, le point Î>U esl un point d'inflexion. 
2° La valeur de A (p. 23i!!, lisne 6j doit être rectiûée de la façon suivante : 

Decerf, étudiant à la faculté des sciences de Lille. 



A propos de la question 1741. 

L'énoncé de la question 1741 n'est pas correct. On doit dire qu'une courbe roule sur une surface 
lorsqu'elle reste tangente à la trajectoire du point de contact : dans le cas contraire il y a dérapage ; le 
roulement étant supposé, il y a roulement sans glissement si l'arc de courbe est égal à l'arc de trajec- 
toire qui lui correspond. Ces définitions étant admises, le mouvement de l'ellipse considérée dans 
l'énoncé dont il s'agit est détini en disant que cette ellipse roule sur le plan, son centre étant maintenu 
fixe; il n'y a pas à dire qu'elle roule sans glisser, et ce fait, qui est e.\act, constitue une propriété du 

mouvement de la figure. 

(G. F.) 



Sur le rayon de courbure des polaires réciproques. 

Paris, le 13 Juin 1909. 
Monsieur, 

Me sera-t-il permis de faire remarquer que la relation entre les rayons de courbure de deux 
courbes polaires réciproques par rapport à un cercle, donnée récemment par M. Sire dans la Revue de 
Mathématiques spéciales (n" de Juin, p. 213), se trouve déjà dans une note que j'ai fait paraître en 1887 
dans les Anjiales de VEcole normale supérieure (3'= série, t. IV, p. 314)? 

Dans la même note, je rappelle la relation analogue, antérieurement connue, pour le cas de l'inver- 
sion, que donne aussi M. Sire {loc. cit.), et je généralise la formule applicable aux polaires réciproques 
pour le cas où la conique directrice est quelconque au lieu d'être un cercle. 

Veuillez agréer, Monsieur, l'assurance de ma considération la plus distinguée. 

M. d'Ûc.\gne. 



•) Voir la solution dans le n° de juin 1909, p. 228. 



TRAJECTOIRES DES DIVERS POINTS D'UNE DROITE 



TRAJECTOIRES DES DIVERS POINTS D'UNE DROITE 
par M. A. Sainte-Laguë, professeur «le Matliématiques spéciales au lycée de Douai. 



La plupart des propriétés qui suivent ne font point partie explicite des programmes de Mathéma- 
tiques spéciales. On les trouve éparses dans divers volumes de Géométrie supérieure. Nous avons cru 
bon d'en donner pour les élèves un résumé succinct. 

Prenons d'abord le cas d'une droite mobile dans un plan rapporté à deu.\ axes de coordonnées rec- 
tangulaires lOij. Un point quelconque de cette droite a pour coordonnées 

X = Xo + o/', ]/ = ?/oH-?'', 

en désignant par a"„, i/„ un point quelconque de la droite, a et ^ les cosinus des angles de la droite 

avec les axes et r la distance du point considéré au point x,,, î/o- Toutes ces quantités, quand la droite 

se déplace, sont fonctions d'une naême variable t, par rapport à laquelle seront prises les dérivées. Si 

7- est indépendant de t, cela veut dire que le point considéré est à une distance invariable de j„, y„. 

3 
Remarquons encore que si est l'angle de la droite avec Or, on a 6 = arc tg — et par suite, 

do = a.rfp — ^.rfot. 
1. Enveloppe. — Cherchons le point {x,y) de la droite qui décrit l'enveloppe, c'est-à-dire dont le 
déplacement dx, dy est parallèle à la droite. On doit avoir pour ce point 

dx dy 



dx^-{-r.doi~ha.dr _ dy^~h r.d^ -^ '^.dr 

-— _ ■ - , 

qui donne 

P rfj-„ — ï.rfi/o = (-(a.rflî— p.rfa) = r.dO. 

Celte équation Iburnit r sans intégration, comme on devait s'y attendre. La droite étant tangente 
à son enveloppe, on a pour l'élément d'arc ds de celte enveloppe : 

dx _ dy 

ds ' ds ' 

Si en particulier c'est le point (x-,,, )/o) qui décrit l'enveloppe, on a bien la condition 

àxp _ dy^ 

OL ~~ H ' 

ds 
11. Courbure de renueloppu. — Le rayon de courbure est donné par R = -7— • Les deux termes de 

la fraction sont connus en fonction de dx, dy, x, 3, dx, d^. Il existe une formule importante reliant le 
rayon de courbure aux cosinus directeurs a', ?' de la normale, le sens positif sur la normale étant celui 
(jui va vers le centre de courbure. La condition a^-f-^- = 1 donne par différenciation 

udx -4- (irfp = 0, 
qui montre «lue d% et d} sont [jroporlionnels a x' et p'. On a d'autre pari 

do = i.rfjJ — p.rfa = -ji 
Ajoutons ces deux égalités après élévation au carré : 



TRAJECTOIRES DES DIVERS PÛLMS DL'NE DROITE 243 

qui, comparée à y'-t-^'^ = 1, donne les formules cherchées 

m. Trajectoires orthogonales. — Ecrivons que (x, y) décrit une courbe orthogonale à la droite, 
c'est-à-dire que dt, dij est un déplacement perpendiculaire à la droite : 

a(rfx„ H- r.rfï H- a . dr) ■+■ ^(rft/„ -¥ r.di -+- i.dr) = 
ou 

st.rfxj -+- t'dy„ -h dr = 0. 

Si en particulier le point {x„, y„) décrit l'enveloppe, on trouve aisément, en introduisant l'arc (/»„ 
de l'enveloppe, 

ds„ -+- dr = 

ou, en intégrant après un choix convenable de l'origine et du sens pour les arcs a'„, 

..,,-+-,• = 0, 

ce qui montre comme on devait s'y attendre que les trajectoires orthogonales sont des développantes de 
l'enveloppe de leurs normales. 

IV. .4rc rf'wne <?-a_;ec^oJ7-e. — Cherchons l'élément d'arc ds de la trajectoire que décrit un point 
{x, y) quelconque delà droite. On a 

ds- — [dx\ -+- r.da. + a.dr)i -^ (jiy^ _f. r.rfp -+- ^.dr)- 

= dxl -4- dyl -t- r«(rfa- -f- d^^] -+- dr"- -+- %-{dx„.dii ~h dy^.dfi + 1dr(idx„ -f- prf)/,^) . 
Si l'on suppose que (x,, y„) décrit l'enveloppe, on a, en tenant compte des calculs qui précèdent, de 
nombreuses simplifications et il reste : 

ds,- = dsl ■+- r- -—^ -h dr- H- 2dr.ds^ — {ds„ -^- drf -v- r- — "-■ 
R- R2 

En particulier, cette formule donne pour l'élément d'arc d'une trajectoire orthogonale (en teoant 

compte de rfso + dr = 0) 

ds = r — î- = r.d6 
R 

que l'on peut d'ailleurs vérifier géométriquement. 

V. Variation de longueur d'un segment. — Nous allons établir une formule très importante en intro- 
duisant les angles de la droite mobile avec les trajectoires de deux de ses points, par exemple x„, j/,, 
et X, y. Prenons pour angle V^ l'angle de la direction x„, i/„ ; x, j/ avec la direction des arcs croissants 
s„ sur la trajectoire de x,,, j/„. le sens ainsi considéré sur la droite étant celui qui sert déjà à compter r. 
Prenons pour V l'angle de la direction x, y ; x,„ j/„ inverse de la précédente avec le sens des arcs x 
croissants sur la trajectoire de x. y. Remarquons enfin que l'angle V de deux directions de cosinus 
directeurs a, S; a', i' est donné par cos V = a.a'-f-^.^'. Onadoncici 

dx„ dij,, 

cosV„ = a— JL+p-/^, 
ds„ ds„ 

ou encore, 

dso . cos Vo = a . dx^ -¥- 3 . dy„, 

et de même 

rfs.cosV = - {a.dx-^'fi.dy) — —[ai{dx„-\- )-.rfa n-a.rfr) -f- P(rfi/„ -t- r.rfS -i- ^dr)] 

= — rfs„ . cos V,i — dr. 

On a donc la formule 

dr = — rfs.cosV — rfs„.cosV„. 



TRAJECTOIRES DES DIVERS POINTS DLTNE DROITE 



Ses applications sont très nombreuses. Par exemple si (xq, i/^) décrit l'enveloppe, on a ces V„ = I. 

Si l'on suppose en ou're que (r, y) décrit une trajectoire orthogonale, on a cos V = et la formule 

devient 

dr + ds =0, 

résultat déjà obtenu précédemment. 

Si Ton suppose que {x„, y^) et {x, y) décrivent deux trajectoires orthogonales, on trouve dr = 
ou r = C"^, ce qui est une propriété connue des courbes parallèles, propriété d'ailleurs identique à 
celle qui précède, sur les développantes. 

Cette formule permet encore de construire la tangente en un point d'une courbe définie en coordon- 
nées bipolaires par ses distances à deux courbes fixes : fir, r'i — 0. En désignant par V et V les 
angles avec la tangente au lieu et par ds l'élément d'arc du lieu, on a 

dr = — rfs.cosV, di' = —ds. cos \'. 

D'autre part l'équation du lieu en coordonnées bipolaires donne 

/■;.*• -H /■;.(/r' = 
et, par élimination de dr et dr', on a 

/■;. cos V -h /",! cos V = 0. 

On en déduit aisément la construction classique qui suit : On porte sur le rayon vecteur r, à partir 
du point du lieu, et sur le rayon vecteur /•', à partir du même point, des segments proportionnels aux 
valeurs algébriques de fr et /'/ et l'on cherche leur somme géométrique : elle donne la direction de la 
normale. 

YI. Aire balayée pai^un segment. — Désignons par d.\ la dilTérenlielle de l'aire balayée par le seg- 
ment qui va de {x„, !/„ à (X, y). Si l'on considère le quadrilatère formé par deux positions infiniment voi- 
sines de ce segment, il a pour sommets: Xq' î/o • ^o '^ '^^oy î/o + '^J/o d'une part et x, y ; x-\-dx, 
y -\- dy d'autre part. Décomposons-le en deux triangles en joignant par exemple x,,,)/,, et x-\-dx, 
y -\-dy. On a 

2 . rfA = (/■ -H dr)ds^^ . sin ( V„ — rfO) -+- r . rfs . sin V 

ou, en négligeant les infiniment petits du second ordre, 

2 . t/A = r{ds^, . sin V„ -+- ds . sin V), 
qui est la formule cherchée. 

Appliquons par exemple cette formule à l'évaluation de l'aire comprise entre deux courbes fermées 
parallèles. On a ici : 2d.\ = r(rfs„ -t-rfs). Mais en tenant compte de la formule qui donne l'arc d'une 
trajectoire orthogonale, on trouve 

</A = 4" '■'^^ 

qui, pour une courbe fermée, donne A = -r'. 

Si le point (x„, >/„) décrit l'enveloppe, il est aisé de voir que l'on a aussi la formule 

dk = -^r^dO. 

Si par exemple on cherche le point de contact avec son enveloppe d'une corde détachant sur une 
courbe donnée un segment d'aire constante on trouve en désignant par r et r' les deux segments de 
cette corde de part et d'autre du point de contact : 

1 I 

— r-d') = —r'-d^ 
i 2 

et l'on voit que ce point est au milieu de la corde considérée. 

VU. Extensions à l'espace. — La plupart des propriétés qui précèdent peuvent s'étendre à l'espace. 



ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES 



Par exemple les formules donnant a' et fi' sont encore exactes et donnent ici les trois cosinus direc- 
teurs de la normale principale à une courbe gauche en fonction du rayon de courbure. Les développantes 
de courbes gauches donnent des formules et des résultats de tous points comparables. Ces formules se 
prêtent encore à l'étude d'une surface réglée engendrée par une droite mobile dans l'espace. Signalons, 
pour terminer, la formule qui exprime que la surface a même plan tangent tout le long d'une même 
génératrice, c'est-à-dire que la surface estdéveloppabie : 

dx{;i;>.d^—'l.d'f)-\-dy(-^.d'x — ai.d-i) + dz[iL.d^—fp.d7.) = 0. 



ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES {Cours spéciaux). 

Concours de 1908. 

1723. — On demande de déterminer une courbe plane AG par la condition suivante : 

La courbe étant supposée tracée dans un plan vertical, et un point j)esant, 
partant de la position initiale A, étant astreint à la suivre, on veut que ta 
vitesse MV de ce point ait une projection mv de grandeur constante sur la 

-T F verticale. 

\ ^ On sait que la vitesse r d'un point pesant est liée à sa vitesse initiale Vo 

MNL po-r la relation v- ^ vl-^tgh, 

v^ h désignant la hauteur de chute, c'est-à-dire la distance verticale qui sépare ta 

^ position initiale A du poi)it mobile de sa position M à l'instant considéré . 

Nous supposons que l'axe Ox est horizontal, et l'axe 0: vertical et dirigé vers le haut. Soient 
(Xj, :„) les coordonnées de la position initiale A et Vg la vitesse initiale. Le théorème des forces vives 
nous donne 

v^ — vi = "Igi-.o — z), 
dx' -+- d-J 



dt^ 



ou, en remplaçant v- par 

dx- -+- dz^ 
(1) — = vl -f- 2j„'„ - 2j: . 

Mais, par hypothèse, on a -^ = h, k désignant une constante. Nous en tirons dt — — ^, et si 

nous remplaçons dt par cette valeur dans la relation (1), nous obtenons 

dx- 



I dx- \ 

k'y-^ + ij=vl + 2gz,-^gz, 



kdx = ± ^Jvl -f- tgzt, — k- — tgz dz . 
L'intégration est alors immédiate et nous donne 

ou, en élevant au carré, 

9(/-(Aa; -f- Cy = [vl -+- 2gz, — k- — 'igzf . 

Telle est l'équation de la courbe cherchée. La constante C est déterminée en écrivant que la courbe 
passe au point A, ce qui donne 

V(A-x„+C)*= [vl — k'^f. 



216 



ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES 



Pour construire la courbe, on peut transporter l'origine au point qui a pour coordonnées 



vr,-h^gzo — k- 



l'équation devient 



2.7 



9423.2 = _ ) 



et la courbe est aisée à construire. La nouvelle origine est un point de rebroussement, où la tangente 

est verticale 

Charles GUILLERME, lycée de Bourg. 

Bonnes solutions par MM. Amblard, à Ruines; Bemoit-Gonix : G. Bouligand, lycée de Nantes; J. Desbvts, lycée de Bordeaux; 
Cl. FoocRy, à Reims ; G. Lach. à Denain ; Loms .Montact, lycée d"Alger ; R. Manen, à Albi ; Jea.i Moorket ; Eogéne Silbekmann, à 
Zurich : L. Simon, à Chàlons; Louis SiBf, à Lyon. 



1724. — Mouvement d'une barre homogène pesante kB de masse m et de longueur 21, qui glissesans 
frottement dans le plan arOy sur une droite horizontale fixe Ox et une droite verticale fixe Oy. On pren- 
dra comme inconnue l'angle BAO = 8. 

La position de la barre dépend du seul paramètre 0; par suite, pour étudier le mouvement, une 
seule équation suflTit; elle nous sera fournie par le théorème des forces 
vives. Soit M un point quelconque de la barre ; posons BM = X. Les 
coordonnées du point M sont 

X = l cos 6, y = (2/ — X) sin 9 ; 




Nous aurons donc 



nous en tirons 

dx ... rf6 

— - = — X smO -r-, 
dt dt 

et, en désignant par v la vitesse du point M, 

/ d^ V 
«■^ = [X' + 4?{/-X)cos>0j/ _j . 

- Smi'^ = —J \ j [X2 4- W - X) cos'6]rfX, 



^=(2/-X)coso4!i-, 
dt ' dt 



p désignant la densité linéaire de la barre, ou 

1 



iP 



:5 ■' \ dt ) 

D'autre part, le centre dî gravité tj de la base a pour ordonnée /sinO; la masse de la barre est 
égale à 2/p. Il m résulte que le travail de la pesanteiii- pour un déplacement inliiiiment petit est égal à 
— 'il-?g cos Odd . 

Le théorèmt! dos forces vives nous donne l'équation 



et en intégrant nous avons 



la constante h étant définie par les conditions initiales, 



d. ^-?i-j-) =—'ii'?g cosOd'K 
ions initiales, 

- ^( —Y 

~ lg\ dt A 



•sinO„ 



KCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES 247 



On en déduit 

de 



V^- 



3.9 ^k — sin e 
c'est une intégrale elliptique. 

Prenons comme variable l'angle ABy = ?, nous avons 9=-^-)-'), et l'équation précédente 
devient 



On en conclut que l'angle 9 varie comme l'angle d'écart d'un pendule simple de longueur — ■• 

Le mouvement est oscillatoire si h est compris dans l'intervalle (—1, ^1), et révolutif si h est 
e.'îtérieur à cet intervalle. 

Louis SIRE, à Lyon. 

Bonnes solutions par .MM. .Amblabd, à Ruines; Esteben. à Bordeaux ; G. Foiccit, à Beims. 



1725. — Mouvement sur la droite Ox d'un point P attiré par Foriyine 
p X proportionnellement à la distance et soumis à une résistance proportionnelle à la 

vitesse. 

Soit X l'abscisse du point P: la force attractive qui sollicite ce point est dirigée suivant la droite 
Ox et a pour valeur algébrique X = — mk^x, m désignant la masse du point P. D'autre part, la 

dx 

résistance est proportionnelle à la vitesse —r- et dirigée en sens contraire ; donc sa valeur algébrique 

dx 
peut être mise sous la forme — 2mh -^—< h étant une constante positive. 

dt 

L'équation du mouvement est donc 

d-x ,, ^ dx 

m —;—- = — mk-x — 2mn — ;- » 

dt* dt 

ou 

d-x dx 

dl- dt 

C'est une équation dilTérentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. L'équation carac- 
téristique est 

7-2 + Ur -+- k' = 0, 

et difl'érents cas sont à examiner suivant la nature des racines de cette équation. 
Premier Cas. k- — k- > . 

L'équation caractéristique a deux racines réelles négatives i et ^ i' <i ?)i Gt l'intégrale générale 
de l'équation différentielle est 

X = Ae"-»-Be°'. 
On en déduit 

dx 

—- = Aae-' -+- Bie'-. 

dl 

dx 

Pour déterminer les constantes A et B, écrivons que pour ? = a: est égal à x„ et -7- a l'o ", 

nous avons les équations 

Xo = A-i-B, .»„ = Aa + B3. 



248 



ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES 



Nous en tirons 



A = 






et par suite 



dx 
dt 



— a 
1 



[(«0 — axo)e^' — («0 — ^■iîo)e'"]> 



(Uo - oilo)e^' — a(uo — §Xo)e='' 



On peut toujours supposer .Xo > 0, cela revient à choisir convenablement la direction positive 
de l'axe Ox. 

Cela posé, cherchons si la vitesse peut s'annuler pour une valeur positive de t. On doit avoir 

j3(uo — a.ro) 
pour que cette équation ait une racine positive, il faut que le second membre soit supérieur à 1, ce qui 
donne la condition 



al Vo — iXo ) 



- 1 > 



^(vo — axo) 



>o, 



p.(Do — axj 

ou, comme ^ et a — p sont négatifs, 

ce qui revient à dire que v„ doit être extérieur à l'intervalle (otaro, 0). 

1° — 00 < uo < axo. La vitesse v s'annule pour une valeur positive de t, soit t„ et change de 
signe. On en déduit le tableau suivant : 








ti 




-t-«3 


U|, 


- 





-4- 




x„ 


décroît 


X, 


croit 






Comme pour t = -hx x est nul, on voit que la valeur x, correspondant à ' = <i est néga- 



tive. 

Le point I' part de Po dans le sens négatif, atteint le point F, (x = x,), et se déplace ensuite dans 
le sens positif vers le point où il n'arrive qu'en un temps inlini. 
P ^) (•„ p^ -^ 2° ar„ C vo < 0. La vitesse v est sans cesse négative ; x dé- 

croît de x„ à 0. Le point P se dirige du point Po vers le point G 
où il arrive en un temps infini. 

3° Vo > 0. La vitesse v s'annule pour une valeur positive de t, soit ^. 








'i 




-hoc 


v„ 


-+- 





- 




x„ 


croît 


X, 


décroît 






On (Ml déduit aisément le mouvement du point P. 

Deuxième Cas. h- — k- = 0. 

L'équation caractéristique admet la racine double négative — h, et Tinlégralo générale de l'équa- 
tion dinércnticlle est 

X = (A -h Bt)e~"'. 



On trouve aisément 



B = «0 -H hxo. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 249 



et, par suite, 

et V = = y. — n(u„ + /i.fol' "^ • 

dl - 

Pour que la vitesse s'anaule pour une valeur positive de t, il faut qu'on ait i'.](i'o + /ixo) > 0. 

On aura donc trois hypothèses à faire successivement : v„ < — hxo, — Axo ■< i\ < 0, i-.j > 0, 
et on aura une discussion analogue à la précédente. 

Troisième Cas. h- — k- < 0. 

L'équation caractéristique admet doux racines imaginaires conjuguées — h ± 'û ((x- = k^ — A-), 
et l'intégrale générale de l'équation diflérenlielle peut se mettre sous la forme 

X = e"'''[A cos (i« -h B sin iit] . 

On en déduit 

dx 

— = e-'"[(B.a— AA)cosii«— (A.n-B/i)sinpr. 

Remarquons que la vitesse s'annule périodiquement. Pour simplifier la discussion, nous prendrons 

pour origine des temps le moment où la vitesse s'annule pour la première fois. Soit P« la position du 

point k cet instant, et Xo l'abscisse de ce point. Nous avons alors 

,,/ 't,, . \ 
X = e-'"l x„ cos (ji<H sma(l) 

et 

dx xJh- -t- ;j.^i 

V = —r- = «;" ' sm ut . 

di 'j. 

Le"mobile partant de Po se dirige vers le point et décrit un segment l'oP, ; il arrive en un point 



P R F Pi où la vitesse s'annule, au temps f, = — ; l'abscisse de ce point 
étant X| = — Xoe ^ . Le mobile revient ensuite sur ses pas jusqu'au point P2, au temps t^_ = , 

■2lt- 

Xi = -\- Xoe' ■■' , et ainsi de suite. Les points P,, Po, ... se rapprochent du point 0, et les oscillations 

sont isochrones. 

Louis SIRE, à Lyon. 

Solutions incomplètes par M.M. Jean Bing, élèTe à l'école nationale supérieure des mines ; G. Estebe.n, à Bordeaux : 
G. FoncBY, à Reims ; L. Simon, à Cliâlons. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1721. — On considère une famille de cercles (C) homothétiquespar rapport à l'origine et ayant leurs 
centres sur Oy. 

1° Trouver les trajectoires orthogonales (T) de ces courbes. 

2° Construire les différentes formes que peuvent prendre ces courbes. 

^0 Condition pour que les courbes (T) soient algébriques ; elles sont alors unicursales; trouver leur 
degré. 

A° Construire les développées de ces courbes. Elles sont algébriques et unicursales en même temps que les 
courbes (T). Trouver leur degré. 

5° Si l'on fait tourner chaque trajectoire orthogonale autour de la ligne des centres d'un angle variant 
suivant une loi arbitraire quand on passe d'une trajectoire à une autre, la surface obtenue coupe le plan 
de chaque trajectoire sous un angle constant. 

1° On peut d'abord voir, de deux façons différentes, que la détermination des courbes (T) se ramène 
nécessairement à une quadrature. Cela résulte en effet de ce que les courbes (C) sonthomothétiques ei 



250 GEOMETRIE ANALYTIQUE 



aussi de ce que ce sont des cercles aj'ant leurs centres eu lig^iie droite (voir deux notes insérées dans la 
Kevue, p. 6S, 09). Cette remarque nous donne en même temps deux méthodes pour trouver les courbes 
(T). Nous allons employer celle qui sert à déterminer les trajectoires orthogouales d'une famille quel- 
conque de cercles (voir note citée) et qui n'est autre que celle utilisée par M. Cotly dans sa solution de la 
question 1633. Soit m le rapport constant et positif du rayon d'un cercle (C) à la distance de son centre 
là l'origine. Si a désigne l'ordonnée du point I, les coordonnées d'un point quelconque M du cercle 

considéré peuvent s'écrire 

{ X = ;nïCos ç, 

\ y — 3.{l -+-ï)isino), 

où =i désigne l'angle polaire de la demi-droite IM ou de la demi-droite .\1I, suivant le signe de a. Si 
l'on fait varier a et » en les faisant dépendre d'un seul et uièMie paramètre, le point .M décrira une 
certaine courbe. Pour que celte courbe soit une trajectoire orthogonale des cercles (G), il faut et sufDt 
que l'on ait 

dx dy 

cos o sin o 



(2) 



(3; [m cos s.rfi — m^ sin ç.rfo] sm œ — [t/i(l -H »« sin o) -i-7nacos ï..ti?j cos o = 0, 

ou 

(4) im.d-^ -t- cos i.rfa = 0, 

équation qui s'intègre bien par une quadrature : 

rfa d^ 

u COStp 

D'où 



;(+a) = logC-mlog[±tg(^-|-4-jj], 



(5^ a ■ ^ 



G désignant une constante arbitraire. 

En portant cette valeur de i dans les équations (1), on aura les équations paramétriques d'une 
courbe (T). En faisant varier C, on aura toutes les courbes (T). On voit qu'elles sont toutes homothé- 
liques, comme on le savait a priori. 

2° Nous allons nous borner à construire la courbe (T; obtenue en donnant îi C la valeur un et en 
prenant le signe + devant le second membre de (3), les autres courbes se déduisant de celle-là par 
homothétie. 

Il nous faut faire varier l'angle -f dans un intervalle de Stt, par exemple de — — à + — • Mais 

si l'on change o en - — <?, igfl.^j.\ se change en — tg/|---^) et si l'on convient de 

conserverie double signe qui se trouve devant cette tangente, on peut dire que a ne change pas. En se 
reportant aux équations (1), on voit alors que x se change en — x et que y ne change pas. Ceci indi- 
que une symétrie par rapport à Oy (évidente a priori), et nous permet de réduire rinlervulle de varia- 
tion de <i, de — ^ à t- ^- Quant au double signe de 'g ( |- -+"4 )" "°"* pouvons encore nous en 

2i) -t- 1 

débarrasser. Si m est incommensurable ou de la forme -^ il faut prendre le signe h- pour 

27 

avoir des points réels. Si m est de la forme ^ '' . > nous pouvons ne prendre que le signe -^, car 

Zr/ -t- 1 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



251 



en prenant le signe — on retomberait sur le même arc de courbe ou sur l'arc de courbe symétrique 
par rapport à l'origine, suivant que p est pair ou impair, lin résumé, nous allons construire la courbe 
(T) décrite par le point de coordonnées 

cos ç l -h m sin o 



b(y-i)] 



y = 



Kt-f)T 



(6) 



quand o croît de — à +-^l nous prendrons sa symétrique par rapport à Oy, et nous aurons 

une courbe (T). En faisant ensuite toutes les homothéties de centre 0, nous aurons toutes les courbes 

Arrivons donc à la construction de la courbe (T)'. En nous servant de f3) et (4), nous avons immé- 
diatement 

d.r = ?n(cos -^ . c/a — a sin o . rfa) = — mi(m -+- sin 9) . (h^ (7) 

puis dy = (/a; tg a = — ma(j« -f- sin o) tg 'f -^'f- (S) 

Comme a reste positif dans l'intervalle considéré, il nous suflit d'avoir le signe de (7?; + sin ç). 
D'où deux cas à distinguer : 



1" cas : m > I. — Alors 
dresser le tableau suivant : 



(-m,1) 



sin ç) e<t toujours plus grand que 0. On peut immédiatement 



f 


■4 











X 


H- 00 


décroît 


m 


décroît 





y 


— X 


croît 


1 


décroit 






Si l'on remarque que l'angle polaire de la denii-langente positive au 
point de paramèlre 9 est l'angle ? lui-même, si l'on choisit un sens de parcours 
convenable comme sens positif, on peut de suite construire la courbe (T)', qui a la forme ci-dessus. 



2" cas : 771 < 1 . — .Mors (777 -h sin 9) change de signe pour sin tp 
i qui rem|7lit cette conc 
rebroussement, comme le montre le tableau suivant 



m. Soit 



la valeur 



comprise entre — et qui rem|7lit cette condition. Le point correspondant sera un point de 



? 


2 




°i 









^T 


X 





croît 


•7-1 


décroit 


tu 


décroît 





II 


+ 30 


décroît 


.'/i 


croît 


1 


décroit 






d'où l'on déduit la courbe ci-contre. 

3° Posons Ig i ~ -h -- ) = t . Nous avons alors 




27)7/ ' 



(i — m) - 



y 



(9) 



formules qui permettraient aussi très aisément de construire la courbe. 

Pour que la courbe soit algébrique, il faut évidemment que .i- par exemple soit une fonction algé- 
brique du rapport --, et par suite do /. puisque — est algébri(|ue en I. Ceci exige que 777 soit com- 
mensurable. Cette condition nécessaire est suffisante. En elïet, soit — la fraction irréductible qui est 



232 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



alors égale à m. Posons I = Hi ; les équations (9) deviennent 

2m6"'-'" (1 — m)-i-(l-(-Tnle'« 

y = 



(10) 



1-1-62? ■ ^ (l-,-e2«)e/> 

formules qui montrent que la courbe est non seulement algébrique, mais unicursale. 

Pour avoir son degré, coupons par une droite quelconque ux-hvy-^-w =0. Nous obtenons 

l'équation en 6 suivante : 

u.2m.0«-^y[l— r7H-(i + m/J-'';i-H»'6^;i + e29) = 0, (H) 

équation de degré p -t- 2^ et qui, sauf le cas de m = 1, n'admet que des racines variables avec 
u, V, w et donnant des points distincts sur la courbe (T). Donc, à part le cas de m = \, la courbe est 
de degré p^^'îq. 

Si m = 1, l'équation II), débarrassée de sa racine nulle, se réduit au second degré. Mais les for- 
mules (6) et (9) montrent que la courbe (T) est un cercle tangent en à Uy, ce qui est d'ailleurs évi- 
dent géométriquement. 

t: 

4" La mesure algébrique U du rayon de courbure sur la demi-droite d'angle polaire r -^ ^ ^st 

donnée par e.\emple par la formule dx = Rcosorfo. 

■nn.{m -t- sino > 
En tenant compte de (7), nous avons immédiatement R = ^• 

'^ ^ ' COS o 

Les coordonnées du centre de courbure sont alors 

)?iï(l -t- msinç) my \ 



Rsino = 



(12) 



COSÇ COS ç i 

y^ = y -H R COS ? = (1 — »l-)ï. ) 

Telles sont les équations paramétriques de la développée. 

Pour la construire, il y a lieu de faire d'abord les mêmes remarques préliminaire-; que pour la 
construction de la courbe (T). 

Les variations de iji sont évidentes. Pour celles de x,, nous avons 



rf.T, 



COS ■■^.dy -\-y sin => tï-p 



= mi\- 



cos- 9 



(13) 



Ceci permet de dresser les tableaux de variation suivants 
1" cas. m > 1. 



ç 


2 







-^7 


1- 


— » 


cr. 


m 


déc. 


y 


— X 


cr. 


1 — m- 


cr. 



2« cas 


m 


< 


1. 






2 













-hX 


déc. 




m 


cr. 


H-X 


-t-x 


déc 


i 


— ni" 


déc. 






d'où les deux formes de courbe obtenues en remarquant qu'au point de paramètre ?, la tangente a pour 
angle polaire ?-*- ^ • 



m > 1. 



m < 1. 



GÊOMÉTRIb; ÂNALYTIQUK ^53 



En posant tg (| H-y ) = '• «n verrait, comme pour la courbe (T), que la développée est algé- 
brique dans le cas où J est commensurable et dans ce cas seulement. En supposant m = ^ et 

posant ensuite t = fi'', on obtient 

,„ (1 _ m) + (l + m)9-^5 ^ ([--m-) ^ 

•ï-i = -^ ^^ ■^' e'' 

ce qui montre que la courbe'est alors un.cursale. En coupant par une droite quelconque, oa obtient 

l'équation «-[t -,„,+ (i -^«06-^'] + . 1 -m-^)e'+ "•''- = 0. 

Cette équation nous mon'tre que le degré de la développée est , + ?-.-> 'J 'JUJ ^L 
Si mil, on a .r, - 1, !/, = U ; la développée se réduit a un pomt, ce qui concorde men 

avec ce qui a été déjà vu. 

5« Supposons maintenant trois axes de coordonnées rectangulaires 0>^^-^^- T-^^ ^^^^^^^^^ 
nassantpar OZ et qui a pour angle polaire u, lacou.be (T) pour laquelle la constante G a Pou valeur 
(J M^e^gnan't une'fonctio; quelconque de u. Nous supposons de plus que - ^ P^^ f ^^^ 
loue le rôle de Oy et la trace sur XOY joue le rôle de 0.. Quand . vane. la courbe amsi tracée 
engendre une certaine surface S. dont les équations paramétriques sont 

VI COS V 
X = X.f{u) COS M = J ^ :;^yy. 

Soient («,6,0 les cosinus directeurs de la normale à S au point (u, v). Il faut montrer que la 

quantité A = -asinu + i cosu est indépendante de «. .,., Hps courbes 

Or, en écrivant successivement que la normale est perpendiculaire aux tangentes des courbes 

V = c''= et u = c«e, on obtient ... 

x[Af(u) + Bf'{n)] -^ yf{u) . c = 0, ^i*^ 

dv dv 

en posant B = acos« + 6 sin «. 

Mais, en tenant compte de (2), l'équation (15) devient B = -clgv. 

[y , "1 - '^^'^"^ 

En portant cette valeur dans (14), on a A/-(m) = c./'(î(,)|^- -^-<- tg '-' J - 



m COS V „, , 

• f{u) COS u, 



1 -+- m sin V , 

VI COS V ... .^ „ y _ ,, fi.,.\ = _^^ -— - -/(M). 



?/! COS V 



Tout revient donc à montrer que ^ ne dépend que de u. Or, on a la troisième équation 

_iL_r_£iH.i%i, 

cos^ p L '"^/'^ -I 
ce qui démontre bien la propriété annoncée. 

Bnnarque -Disons pour terminer cette question que toutes les remarques faites par M. Durand 
au sujet de la question 1633, s'appliquent visiblement aux courbes (T) que nous venons d étudier. 

J. HAAG. 



ou 



2&i CONCOURS DE 1909 (Suite) 



CONCOURS DE 1909 (Suite) 



ECOLE POLYTECHNIQUE 



Algèbre et Triiionométrie. 

1787. — Étant donnée la fonction y = yx-\x — b) de la variable réelle x : 
i. Etudier les variations de cette fonction et les représenter par une courbe. 

2. Calculer rinlégrale indéfinie / ijdr. 

3. Soit F(x) lune quelconque des fonctions primitives de »/ : 
Trouver trois constantes P. Q, R, telles que la fonction 

*(a;) = F(a!) — P.)-^-Q<;-Rlog.|x| 

reste finie lorsque x devient infini, et prouver qu'il n"> a quun seul système de valeurs des constantes P, Q. H 
satisfaisant à cette condition. 

Xota. — La notation log|a;l désigne le logarithme népérien de la valeur absolue de x. 

4. Les constantes P, Q, R étant celles qui satisfont à la condition précédente, et F{x) désignant la fonction 

F(->^) = / y^^ déterminer, d'une manière précise, ce que devient la fonction 'P(x), lorsque x devient infini. 

(/"' juin, de 7 h. à II h.) 
Gi'omêtrie analytique et MAcnnique. 

1788. — On considère une hélice (H) tracée sur un cylindre de révolution ayant 0; pour axe. Soit a le 
rayon du cercle de base et h le pas réduit, c'est-à-dire que 2-^ est la longueur interceptée par deux spires 
consécutives sur toute génératrice du cylindre. Sur l'hélice (H) on prend deux points L et N, et l'on considère 
le centre de gravité G de l'arc LN supposé homogène. 

1. On suppose que l'arc LN varie en conservant le niome milieu M. 

Démontrer que, dans ces conditions, le point G décrit une droite rencontrant normalement 0:. 

2. On demande le lieu du point G, quand l'arc L\ varie de telle manière que la corde LN reste parallèle à 
un plan fixe quelconque. 

3. Appelons (S) lasurfac^ lieu du point G lorsque I. et .\ varient arbitrairement sur l'hélice. Montrer que 
le plan tangent en G à la surface (S) n'est autre que le plan - mené par les extrémités L, N de l'arc et par son 
milieu .M. 

Comment varie ce plan langent lorsque l'arc varie en conservant le même milieu ? 

4. On suppose que chaque élément ds de l'arc LN attire un point fixe, P, proportionnellement à la distance 
r de ce point à l'élément et proportionnellement k la longueur ds elle-même, en sorte que l'attraction exercée 
par l'élément ds sur le point P a pour expression ^^rdx, oii ,a désigne une constante positive. 

On demande de démontrer que les attractions exercées sur le point P par l'ensemble des éléments ds ont 
pour résultante une force finie F dirigée vers le point G. 
Dire quelle est l'expression de cette résultante F. 

5. Avec quelle vitesse faudrait-il lancer le point P. à partir du point L pour qu'il décrive, sous l'influence 
delà force F, le cercle û qui a pour centre le point ti et qui passe non seulement au point L, mais encore au 
point N? 

(2 juin, de 7 h. ii 11 h.) 

Ep'iyi'. 

1789. - OxHRFs, .vu FUMBïAU, d'ink demi-spiikiik crkuse. — l'ne sphère de centre n, o' et de rayon 
H, est coupée par son plan méridien de front; on ne laisse subsister que la demi-sphère située du côle 
du plan vertical de projection. 



CONCOURS DE 1909 (Suite) 



^nA. -^-Iv 



"^ it t'*<vtt^- ^^^^'-vti 



fcf^'VoOîia^ 






On creuse cette dernière suivant une autre demi-sphère concentrique à la première et d'un rayon tel que 

l'épaisseur du solide creux ainsi constitué soit s (voir croquis). 
1^ On éclaire ce solide par un flambeau s, s' et on demande : 

10 de déterminer, par ses deux projections, la séparatrice 
extérieure d'ombre propre du soliile; 

2° de tracer les ombres portées par ce solide sur les deux 
jdansde projection dont xy est la ligne de terre; 

3° de déterminer, par ses deux projections, l'ombre portée 
dans la partie creuse du solide par sa méridienne de front. 

Nota. — a) Les lignes existantes (Limites du solide et con- 
tours apparents, ombres propres, ombres portées) seront figurées 
en trait noir plein pour les lignes vues, ponctua pour les lignes 
cachées. 

bj Les parties dans l'ombre seront recouveiles de hachures 
bleues, fines et pas trop serrées, mais seulement si elles sont 
vues. 

c) Les lignes de construction seront tracées en rouge. 

d) Les plans des courbes planes seront mis le mieux pos- 
sible en évidence et on déterminera les éléments caractéris- 
tiques des ellipses (axes, diamètres conjugués, etc.). 

f) On déterminera les tangentes aux points les plus impor- 
tants et, particulièrement, aux points où les lignes d'ombre por- 
tées rencontreront la ligne de terre xy. 

(Pour la facilité des constructions on se servira utilement 

du plan de front et du plan horizontal qui passeraient par le 

centre de la sphère.) 

(3 juin, de 7 h. à 1 1 h.) 

Calcul . 




^,FEx^=^) 



Dans un triangle on donne deux côtés et l'angle compris, savoir : 

b = 548m, 75, c = 315m, 62, a = 66g'ades,646" 



1 . Calculer a,[B, C,' à l'aide des formule.» 



cote 



. . A 
-c)sm — 

B-C 



i. Calculer la surface S en hectares. 
3. Calculer le rayon du cercle inscrit. 



(3 juin, de 5 II. ù 6 II. 



Physique. 



l. Télescope de Foucault. 

IL Mesure du moment magnétique d'un barreau par la méthode des oscillations. 

III. — 1790. — Une bulle est soufflée avec de l'air en prenant un liquide dont la tension superficielle est 
exprimée par le nombre 29,4 dans le système C. (j. S. Le volume de cette bulle est 33'"'^5^0 ; la pression exté- 
rieure est 15,5 centimètres de mercure supposé à zéro ; la température est de 15°. 

On demande : I" le poids en grammes de l'air renfermé dans la bulle ; 2° la difrérence, en dynes par centi- 
mètre carré, des pressions supportées par les faces intérieure et extérieure de la bulle ; 3° l'énergie totale de la 
bulle en ergs et en kilogrammètres ; 4° ce qu'il ai-rivera si l'on vient à chaulfor la bulle de 15° à T''. Ecrire, sans 
chercher k les résoudre, les relations entre le rayon R' de la bulle et la pression de l'air intérieur dans ce nouvel 
état, en supposant (ce qui n'est pas exact) que la tension superficielle ne varie pas avec la température. 

N. B. — Données : poids du litre d'air normal Iï,29 : coefficient de dilatation de l'air, 0,00366 : on supposera 
que l'air est sec et que c'est un gaz parfait. 

[1'^ juin, de 2 h. à 5 h.) 



(*) Le croquis remis au candidat est reproduit ici à l'échelle ~. 
la longueur 9. 



Ce qui a 2 comme longueur ici doit donc être e.Kécuté 



256 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES 



I __ Préparations et propriétés chimiques de l'azote pur. 

II. — 1791. — t" Un échantillon de permanganate de potassium en poudre fine est souillé d'autres sels de potas- 
sium dénués de propriétés oxydantes et sans action sur lui. ie,264 de ce sel, placé dans un ballon, est addi- 
tionné peu à peu, à l'aide d'un entonnoir à robinet, d'un excès d'acide chlorhydrique concentré et pur (20g). 
On termine l'opération en portant le liquide à l'ébullitioii pendant quelques minutes Le chlore, qui se dégage 
dans la réaction ('), mêlé d'acide chlorhydrique, est dirigé dans 150 centimètres cubes d'eau distillée refroidie 
extérieurement. L'opération terminée on étend la solution chlorée à 200 centimètres cubes. 

On dissout d'autre part 9^', 90 d'anhydride arsénieux dans 100 centimètres cubes d'acide chlorhydrique con- 
centré et pur, et l'on étend la solution à 1 litre. On prélève 10 centimètres cubes de cette solution arsénieuse 
qu'on additionne de quelques gouttes dune solution sullurique d'indigo, et l'on y fait tomber peu à peu, à l'aide 
d'une burette graduée, la solution chlorée en agitant constamment. On constate que la coloration bleue dispa- 
raît dès qu'on a ajouté 12,5 centimètres de solmion chlorée. 

On demande le titre du permanganate. 

2° Une solution d'eau oxygénée est telle que 5 centimètres cubes dégagent, au contact du bioxyde de manga- 
nèse en poudre, m, 5 centimètres cubes d'oxygène. (On ne tiendra pas compte des corrections dues à la pré- 
sence d'humidité, à la température et à la pression.) 

On prend 5 centimètres cubes de cette eau oxygénée, on l'additionne d'un excès d'acide sulfurique à 20 "/o 
(5"»^) et l'on y fait tomber, goutte à goutte, ;i l'aide d'une burette graduée, une solution de 6?, 32 du même per- 
manganate que ci-dessus (l") dans un litre d'eau distillée {^). 

On demande quel est le volume de la solution manganique qui sera décoloré. (Les candidats qui n'auront 
pu faire la 1" partie pourront déterminer ce volume en fonction du titre t du permanganate.) 

yota. — On donne les poids atomiques : = 16, S = 32, H = 1, As = 75, K =30, Cl = 35,5 
Mn = 55 ; le poids du litre d'air, 1^,293, la den.sité de l'hydrogène par rapport à l'air 0,0695. 

(1) 2MnO*K-l-16HCl= 2MnCI- -)-2KCl -h SH'^O -^bCl^. 

(2) Réaction: 2MnO*K-H iSO^H-' -HBH^O^ = 2S0*Mn -h2S0*KH -t-SH^O -l-SO^. 

(2 ;'!«(«, de 2 h. à 4 h.) 



DEUXIÈME PARTIE 



ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES [Cours préparatoires). 

Concours de 1908. 

1727. — Soit un trapèze isocèle ABGD, oii l'on a Dk = BC, et où l'on connaît la longueur 
R = UA-l-AB -t- BG et l'inclinaison a du côté BC sur la petite base AB. Déler- 

l> G miner le trapèze de façon que son aire S soit maximum. 

\ / Soit S, le maximum de S : 

\ ^ 1» Calculer S,, les côtés et la hauteur lorsque a. = 4i)* et H = o"',00. 

A B ^0 L'aire S, est une fonction de a: trouver la valeur de a qui rend S, maximum, 

et calculer S, pour celte valeur de x. 

Désignons UA = BC par x et AB par ;/ ; nous aurons y-^-2x = U. 

D'autre part, DC = y -t-^xcos «, et la hauteur h est égale à h=xsm<x; par conséquent, 
l'aire du trapèze est 

S = .^^lL±i^ /,, ou S = h(y+xcos<x), 

ce qui donne linalemenl 

S = X sin a^H -(- x(cos « — 2)], 



ECOLE NATIONALE DES POiNTS ET CHAUSSÉKS 2o7 

S est donc un trinôme en x dont le premier terme est négatif et dont une racine est nulle; ce trinôme 
passe par un maximum pour une valeur de x égale à la demi-somme des racines, c'est-à-dire, pour 

a: = X, = -— -• En outre, des considérations géométriques évidentes nous montrent que x 

2(2 — cos i) 

ne peut varier que de à R : la valeur précédente est acceptable pour x et nous voyons que si x croît 

R-sina . , .. . . R 

4(2 — cos 2) 
R' sin a . , R^ 

-7--^ jusqu a -;- sin a cos I. 

4(2— cos aj •" ^ 4 

/5 



de à X,, S croit de à -^ -' et que, lorsque x croit de x, à —^ S décroit depui 



1° Si l'on suppose 2 = 40° et R = 5, on a sin a = cos a = 



et 



4 



n'-k'-'*^'-- 



puis s, =^(1+2,'J). 

On trouve alors de suite, en remarquant que AB = 5 — 2x et CD = AB -f- 2x, cos a, le tableau 
suivant : 

AD = BC = -;^(4-Hv^5), AB = — (6 — 2v/2). CD = -^(8 + 2^2), 

14 iA 14 



= -^(l + 2,/2), et S, = ^(l + 2v/2). 



Il serait facile de calculer tous ces nombres à près par exemple : mais ce calcul ne me 

1000 ^ ^ ^ 

semble pas utile, ni exigé. 

R^ sin a 



2° On a S, = 



4 2 — cosi ' 

c'est une fonction de a que l'on doit étudier quand i croit de à 

La dérivée de cette fonction est 

rfS, R- 2 cos a — 1 



dx 4 (2 — cos x;^ 

elle est nulle pour % — -r- ou 60» (en degrés) : elle est positive avant et négative après. Donc la fonc- 
tion S, croit d'abord, puis décroit ; elle passe par un maximum pour x = — et l'on a alors 

S = ^-^= ^'»^^ 
4 3 12 ■ 

C'est le maximum demandé. 

A. DARMON. 

Bonnes solution^ : MM. G. I.ach, à Den.iin : E. Silberha.ns, à Zurich : Gdillebsie, à Bourg ; R. Maxex, à Albi : Mo.ntadt, à 
Alger; J. Desb.ats, a Bordeaux; L, Bodillo.n, à Auch ; A. Rocssbao, à Landrecies ; P. .Martin; L. Simon. 



fV^- 



1728. — Trouver f \ / -;— dx. où a > 0. 

, ^ X , ,, 2a!/- , iaudu 

1. Posons — = u-, d ou x = -» dx = 



(1 + uT-' 



258 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES 



l'intégrale devient J = 4a / — — — = 4a | 4a i 

J (1 -+-«-)■- J 1-+-(|2 j 



du 



(1 +-»-)' ' 



inait I = arctgw; pour calculer | — -. partons de 



— du = 



1 + W- (1-|-m2j2 (l-t-u2)2 \-i-u- 

j. ■ u ^ r du 

d°" TTT;r=2J^j-:^^-a,-ctg«, 

+ arc \.su \ = 2a arc te u 

OU, en revenant à la variable x, 

J = 2a arc tg\ / —-^ slxiia—x) -h G . 

V 2a — X 

2. Remarquons que pour que l'élément différentiel soit réel, il faut que 
x{1a - x) > 0, d'où 0< a- < 2a. 

Posons a' = 2asin-o, o<o<-^, 

dx = 4a sin ç cos o rfç, 
X 2a sin- ° 



sa — X za COS'' o 
J= / tgr . 4asin9cosoc(cf = / 4f/ sin^ ç rfç = 2a | (1 — cos2ç)rfo, 
J = 2oo — a sin 2o -f- C = 2a-j — 2a sin v cos o -i- C, 
J = 2a arc siny/^ _ 2«y/^ \/i - ^ - C, 

ouenûn J = 2a arc sin »/^^ v/a:(2a — x) + C. 

3. On peut encore obtenir l'intégrale de la façon suivante. On a 
Ç / _±__dx = f_^^^f__ ^ r__^çdx r {x—a)dx Ç dx 

/(ar — a)dx _ 

— -— — - _ - v/S^^^lF^l^. = - ^^(.a- X), 

/dx 
\la- — [x — a)- 



J = a . arc sin — \lx[ta — x) -f- C. 



Pour comparer ces trois résultats, posons 

V, = 2 arc tg yj ^^' (« < î/. < '^) 

t/, = 2 arc sin y/ ^, (0 < y. < ■^) 

. x — a I - Tt \ 

y, = arcsm— — , (^__<y3<^_j 



ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES i3fl 



d-où ___=tg=|, ■^=sm-^, — _ = sm.v3. 

Eliminant x entre les deux premières relations, il vient 

2a sin^ — - 
t.2ll = ? =tg=Ii, 

2a — 2a sin^ -^ 
2 

Les arcs ^, y sont compris entre et ^> leurs tangentes ayant même valeur absolue sont 

égales et par suite ^ = -^y y, = y,. 

Faisons de même pour les deux dernières ; nous aurons 

2a sin- -^ =0(1-1- sin y,), 

sin j/3 = 2 sin- ^ — l = — cos y,, 

ou cos j/2 = — sin T/3 = cos ( ^3 h- -5- ) • 

Les arcs y, et ^3 + -^ étant compris entre et -, on en déduit y^ = y, -t- — -• 

P. L. 

Bonnes solutions ; MM. Amdlard ; L. Smis ; P. Martin; A. Dabhon ; C. JiCjtET ; L. Siïov ; J. Modrret ; G. Lach ; R. 
Manen : E. SiLBHRMA.NN ; L. Moxtaot ; J. VÉR0T5 ; Ch. Gdillerme; L. Bodillon ; G. Estebbx. 



1729. — Trouver à l'aide des tables de logarithmes la valeur numérique de l'intégrale 
J = I ces' oidw. pour a = 53°27'H". 

Quelle doit être la valeur de 1 pour que J soit égal à —''■ 
Posons sin «j = u, d'où du = cos t"rf'", il vient 

/ cos^ corfoj = / (1 — sin- 1"). cos (orfw = I (1 — u-)du = u — = sin w — — sin' w, 



donc J = sin a — — sin' i. 

Faisant le calcul avec des tables à cinq décimales, on obtient 

sin ï = 0,80337 

sin' » = 0,5185, — sin' a = 0,17283 



J = 0,63034 

2 ' 12 

Pour que J = -^ , il faudrait que sin » — -^ sin' a. — —, 

sin' a — 3sini-t-2 = 0. 
L'équation x' — 3j -h 2 = admet comme racines x = 1 (racine double) et x = — 2 



260 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES 

(racine simplei. Il faut prendre 

sina = l, a = 90°. P.L. 

Bonnes solutions : MM. G. Lach, à Denain : L. Smo.s. à Châlons: C. Jacqdbt : P. Martin; Amblard, à Ruines: Ch. Gdil- 
LERME : E. SiLBKKMA.NN, à Zurich 



1730. — Deux projectiles assimilables à de simples points matériels sont lancés d'un même point et 
dans un même plan vertical ZOX à des époques données f, et f, et avec des vitesses 
initiales de grandeurs et de directions connues. 

On demande à quelles conditions ces données devront satisfaire pour que le 
second projectile rencontre le premier. 

Examiner les cas particuliers qui peuvent se présenter ; déterminer notamment 
le lieu du point de rencontre M lorsque les vitesses initiales étant les mêmes pour 
. les deux projectiles, la différence {t, — to) est constante. 

Soient t„, v», a„ les données initiales relatives au premier projectile : épo- 
que du départ, vitesse et angle de cette vitesse avec OX. Les équations différentielles du mouvement 
sont : 




d'x d-z 

m 

elles donnent de suite 



, . = 0, m —— = —ma : 

dt- dt* ^ 



dx dz . 

—-— = vo COS 3(1, -y- = fo Sin a — g (t — ta) ; 

dt dt 

puis 

X = Vo COS an (t — to), 3 = î>o sin ao (t — 'o) — "5" (' — M'- 

On a de même, pour le second mobile, 

X, = r, COS I, {t — /,), ;, = Vi sin s, {t — t^) — ^ [t — /,)'. 

Pour que les projectiles se rencontrent à l'époque t. il faut que l'on ait a; = x,, : = :, pour une 
même valeur de t. La première équation donne 

t — tî, _ ' — 'l _ t^ — to 

l'i COS II Vo COS ïj l'i COS », — l'O COS ïo ' 

si i'(, ces »o ^^fi COS 01,, ce calcul nous fournit les valeurs de t — to et de t — ti; en portant ces 
valeurs dans l'équation : — :,, on obtient la relation qui doit exister entre les conditions initiales 
pour que les deux mobiles se rencontrent : 

(1) Suoi'i sin (lo — "i) — g'U ~ tti)[vD cos oo 4- «i ces a,). 

Si l'on suppose ''o = "i. 'o = 'n elle est remplie ; les deux mobiles partent alors en même temps 
du point 0, dans la même direction ; ils se rencontrent en un point infiniment voisin du point 0. Si 

a<, =r a, = —, les mobiles se meuvent tous deux sur 0;, ils se rencontrent encore, au moins théori- 
quement. 

Lorsque Vo cos ïo = Vi cos a, et /, =t ^o. la rencontre n'a lieu qu'au bout d'un temps infini; en 
réalité, elle n'a pas lieu. Si u„ cos «(, = i\ cos a, et <, = /(,, on a toujours x = j,, et l'équation 
ï = :, montre que la rencontre n'a lieu qu'au point et à l'infini. 

Posons maintenant i-o — v^ — v et ^ — /» = k, la condition (1) deviendra 
2i» sin (a, — «o) = jA-(cos «o -^- ces a,) 



ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES 261 

et elle montre que ai est une fonction de a»; par conséquent, les coordonnées du point (x, y) ne dépen- 
dent que d'un paramètre, a^. et le point décrit une ligne. Nous obtiendrons cette ligne sans faire usage 
de cette relation : il nous suffira d'écrire que x = Xt, z = ;,. 

.r = COS ao {( — <o)j X = V COS a, [t — <,), 

2 = y sin a„ {t _ g _ I (< _ t,Y, z = « sin a, (< -t,)--^(t- t,)\ 

En éliminant ces a^ et sin «„ entre deux de ces équations et cos ai, sin a, entre les deux 
autres, nous avons 

X= + [--+- |- (< - «o)=]"= l'- (' - to)\ X'- -^ 1^; ^-1 (« - /,,-3l'=3 u'- {t - t,y, 

c'est-à-dire 

Il faut éliminer f entre ces deux équations ; il suffit pour cela de remarquer que l'équation 

— u^ -f- ((/: — «2) M -|- X- 4- :> = 

admet pour racines {t — to)' et {t — /,)=. 
Ceci nous donne 



{t — toYit — i,y = 4 ; — , ou (t—h){t - /,) = — Jx^-hz^ ; 

9~ g 



par conséquent on a de suite 



[{t - Q -{t~ t,)f = 4 ^^1^ - ±. ^xU^\ 



9 9 

En élevant cette relation au carré, on a le lieu demandé 

}^^^.^.j)_(J^-9'k'-'-i9^f 



9' r 

ou 

(2) . \Qg\x^--^z"-) = {'iv^-rfk^-figzf-. 

On voit donc que le lieu est une parabole ayant son foyer au point et ayant pour axe l'axe des :. 
Mais il pourrait se faire que {t — toY fût égal à {t — t^y et l'équation 

-^ u- -+- [gz —v~]u^ x^ -H 3^ — 
4 

n'aurait plus qu'une racine acceptable ; l'élimination ne pourrait pas se faire ainsi. 

Dans ce cas, on a 

et, par suite. 



En portant cette valeur dans la première équation, on trouve pour lieu 
c'est un cercle ayant son centre sur 0:. 



A" ("/"A"" 

x^ + :2 + _ (^: _ „2) + :L_ = ; 



ALGEBRE 



Voyons maintenant si ce lieu est compatible avec les hypothèses ; pour cela écrivons 
, ^ + 'o ^ ^ k . 

t = 1— . ou t—to = —, 

cela nous donne 

kVi cos a, k 

Vi cos «1 — Vf, cos ocj 2 

c'est-à-dire t', cos a, -+- U(, cos ao = 0, et, comme ici u^ = r,, 

cos a„ + cos a, = 0. 

La relation (1) donne en outre sin (a, — ao) = 0. 

Il faut donc prendre tx, = a„ + w. 

Dans ce cas, les deux mobiles décrivent la même parabole avec des sens contraires, et passent 
avec la même vitesse en un même point de cette parabole. 

Si /„ ■< <,, le second mobile arrive à l'origine après le premier et ils se sont rencontrés anlérieure- 

/q -H /, 

ment, à l'époque — - — , en uu point de cette parabole, où ils avaient, comme nous venons de le dire, 
des vitesses égales et opposées. 



ALGEBRE 

1735 . — Montrer que si l'on effectue la division 

x^"' ■+- X-'" -f- X"' 4- 1 



X^ -+- X' -\- X -h l 

elle se fera exactement pour m impair. Si m est pair, il y aura deu.vcas : \° Si m est un multiple de A, le 

reste de la division sera 4, quel que soit x ; 2° si m est un multiple de 4 augmenté de 2, le reste de la division 

sera ^x- -+- 1). 

^ . . ■ x'"' -h X^'" -h X"' -h i (xs"" -(- l)(x"'-f-l) 

On peut écrire ■ ^ -^ -. 

x^ -h x'^ -\- X -h \ (x^ -h 1 )(x + 1 ) 

Si m est impair, x'-'" -\- i est divisible par x^ -(- i et x"" -i- i par x -i- 1 ; la division se 
fait exactement. 

Supposons m pair. Le resie de la division du polynôme f(x) ^ (x="' -i- l){x"' -+- 1) par le produit 
(x- ^-l)(x -t- 1) est un trinôme ax* + fx-t- y prenant les mêmes valeurs que /'(x) pour les valeurs 
— 1 , t et — ( de X. 

On a donc a — ^ -4- v — 4, 

— a + âi-l-v = 2.im + l), 

Si m est divisible par 4, i'" -f- 1 et ( — i)'" + 1 sont égaux à 2, et ces équations ont pour solution 

ï = 0, p = 0, Y = 4. 

Le reste est donc égal à 4. 

Si m est un multiple de 4 plus 2, t'" -+- 1 et ( — »)'"-)- 1 sont nuls; on a « = 2, p — 0, 

7=2; le reste est 2(x--(-l). 

1$. BOUVAIST. 

lionnes solutions pur MM. Ambi.abu, à Ruines (Cantal \ ; A. Delisns. lycée d(> Rouen: J. Desdats, lycée de Rordeaux ; 
Anilrn DoiiY, lycée de Dijon ; E. Uduauki., à Paris: (i. Foucrï, à Reims; G. Lach, à Oenain ; R. LKvï-LAHiiiiBT, col- 
lège Chaplal ; l'aul MonAun, lyci^e Saint louis ; .lean MorunRT. lycée de Marseille; A. C. Pétiudi ; Joseph Plank, lycée de 
Clermont ; A. Rousseau, à i.andrecies; L. Simon, section iioirnale, Oliàlons-sur-Marne ; Louis Sikk, à Lyon ; T. V. et F. L., 
lycée de Poitiers ; Joseph Véhots, école des Anglais, à Lyon. 



CONCOURS DE 1909 263 



CO.NXOURS DE 1909 



ÉCOLE CENTRALE 



Géométrie analytique et niécanique. 

I. — 1792. — Donner sans démonstration : 1" la condition d'équilibre d'un solide invariable assujetti à 
tourner librement autour d'un axe (ixe, mais sans glisser le long de cet axe. On fixe l'axe en fixant deux de ses 
points. 2» Le calcul des réactions de l'axe en ses deux points fixes. 

Application. — On considère trois axes rectangulaires OX, OY, ÛZ, dont l'un OZ, est vertical. Un triangle 
0.\B rectangle et isocèle, de dimensions invariables, homogène et de poids P, peut lourner librement autour 
de son hypoténuse OA qui coïncide avec UY, mais sans glisser le long de OY. Les deux points et \ de l'axe 
sont fixes. Au sommet B est attaché un fil élastique dont l'autre extrémité est fixe en un point G de OX.. On 
néglige le poids de ce fil qui reste rectiligne, et on suppose que sa tension est exprimée en grammes par le 
même nombre que celui qui exprime la longueur BC en centimètres. 

On donne OA = 20 centimètres, OC = 100 centimètres et P = 225 grammes ; on demande : 

1° Dans la position d'équilibre du triangle où le sommet B est au-dessous du plan horizontal XOY, de 
calculer la tangente de l'angle que fait le plan .\0B avec le plan XOY ; 

2° Dans cet état d'équilibre, de calculer les composantes suivant les axes des réactions en et en X de 
l'axe OY, en supposant qu'en A la réaction est normale à cet axe. 

n. — 1793. — On considère un point .\I mobile dans un plan et dont les coordonnées par rapporta deux 
axes rectangulaires fixes dans ce plan sont liées au temps i par les formules 

X = av/3 cos^ t, y = — 2a^2 sm't, 

011 a est une longueur positive donnée : 

i" On demande de tracer la trajectoire de ce point et d'indiquer le sens du mouvement sur cette trajec- 
toire ; 

2° On demande de distinguer sur cette trajectoire les portions qui sont décrites d'un mouvement accéléré 
de celles qui sont décrites d'un mouvement retardé. — Construire les points de séparation ; 

3' La tangente en M à la trajectoire coupe OX en P et OY en Q ; on prend sur cette tangente le point S 
tel que 

segment SP _ 3 
segment SQ ~ 8 ' 

Loi duniouvement de S ; construire sa trajectoire. Construire le vecteur accélération pour une position 
de S; 

4» Démontrer que le vecteur vitesse de S est perpendiculaire à S.\£, et qu'il est moyen proportionnel entre 

SM et la projection orthogonale de SO sur SM. 

[9 juin, de 7 II. il lih.) 

Physique et chimie. 

I. — Oculaire négatif d'Huygens : cas de deux verres plan-convexes de distances focales ? et /" = 3^ et 
dont la distance est a = 2o. 

H. — 1794. — Deux sphères éloignées, de rayons Ri et R.>, sont chargées de quantités d'électricité Qi et Q» ; 
que deviennent leur potentiel V, la charge et la densité superficielle de chaque sphère, après les avoir réunies 
par un fil long et fin. 

Hi = 2'^'", Q, = ^ * Q3 coulombs. 

50 
R-i = 5='°, Qa — ^ ^ ^^, coulombs. 

Exprimer U dans le système électrostatique et dans le système pratique. 
Etablir les formules définitives avant tout calcul numérique. 
IIL — L'acide hydrosulfureux. 



264 



CONCOURS DE 1909 



IV. — 1795. — 1° On brûle dans roxvgènebs d'un livdrocarbure saturé apparlenant à la série l'orménique, 
donl la formule générale est C"H-"^-. On obtient une molicule d'eau. Quelle est la formule de cet hydrocarbure ? 

2° Quel volume d'oxygène faiidra-t-il employer pour brûler complètement l'hydrocarbure? Quel poids de 
bichromate de potassium (Cr-O'K-) devra-t-on traiter par l'acide sult'urique concentré, employé en excès, pour 
l'obtenir? 

3" Quel volume de chlore serait nécessaire pour la décomposition complète de l'hydrocarbure? Quel poids 
de permanganate de potassium (MnO'K) laudrait-il faire réagir sur l'acide chlorhydrique employé en excès, 
pour préparer ce chlore? 

On supposera que les réactions sont complètes et qu'il n'y a pas de pertes. 

On ne fera pas les corrections de température, pression, etc. 

Chaque candidat reçoit un tableau des poids atomiques. 

(9 Juin, de 2 h. i/S a ô h, . 1/2.) 

Epure de Gèomèlrie descriptive. 

CYLINDRE TANGENT .4 VS CONE ET .\U l'LA.N HORIZO.MAL. 

1796. — Cadre 450°"" sur 270°"°. — Placer la ligne de terre xy parallèleinent aux petits côtés du cadre 
et k 240™" du côté inférieur. 

On considère: 

1" Un cône de révolution d'axe vertical ; sa base située dans le plan horizontal est un 
cercle de 88"" de rayon; le centre o de ce cercle est à égale distance des grands côtés 
du cadre et à 130"" au-dessous de xy ; le hauteur du cône est 180"™ ; 

2° Un cylindre de révolution de 60™™ de rayon repose sur le plan horizontal par une 
de ses génératrices rectilignes; il est tangent au cône en un point de la génératrice 
(sa, s'a') ettraverse le cône. 

Après avoir déterminé les projections de la ligne commune aux deux surfaces, coni- 
que et cylindrique, on représentera l'ensemble des deux corps en limitant le cylindre à 
deux plans de section droite sitms k 100™™ de part et d'autre de l'axe du cône. 

Dans la mise k l'encre, on indiquera les constructions d'un point quelconque de 
l'intersection, de la tangente en ce point, ainsi que les constructions des points et droites 
remarquables. 

Titre extérieur : Géométrie descriptive. ~ Titre intérieur : Cylindre tangent k un cône et au plan horizontal. 

(10 juin, de? k. à 11 h.) 

IVigonométrie . 

PllOllLÈME. 

1797. — Soit ABC un triangle rectangle en A, dans leiiuel on désigne par a l'hypoténuse BC, par B 

l'angle ABC, par M le milieu du côté AB et par P le pied de la perpendiculaire abaissée de 
M sur l'hypoténuse BC. 

1° Evaluer les longueurs MP et CP en fonction de l'hypoténuse a et de l'angle B, 
puis étudier la variation de la différence CP — MP de ces deux longueurs quand l'angle B 
varie, a restant constant. 

MP -+■ CP 

2° Déterminer l'angle B de l'aron que le rapport 





BC 



soit égal à un nombre 



donné k. Indiquer dans (juels cas ce problème est possible et combien il a de solutions. 

CM 
3° Trouver la valeur du rapport -tt^t- dans le cas où l'angle BMC est triple de l'angle B. 

Calcul. 
17gg _ Calculer soit on grades, soit en degrés, trois angles aigus positifs, a-, y, :, vérifiant les équations 

\3x 
\Jy' 
[10 juin, de S h. 1 2 a 5 A. US.) 



. 7 42538 45286 . , sin; 

in X — W , cosy— , tg 2; = — -— 

V 86864 63435 sinv 



BAn-LK-DDC. — IMP. CUMTK-JACQUBT. 



Le Hédacleur-Géranl : H. VUIBEUT. 



19« Année. N"!!. Août 1909. 

REVUE DE MATlIÉMATiaUKS SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



SUR LES TRAJECTOIRES ORTHOGONALES DE CERCLES 

pai M. A. Durand, professeur au lycée Saint-Louis. 



Dans un n" précédent de la Revue ^a° l, janvier 1908), M. Haag a montré que les trajectoires ortho- 
gonales de cercles situés dans un plan et passant par un point fixe, s'obtiennent par une quadrature. 

C'est un cas particulier d'un théorème plus général : il suffit d'une quadrature pour former les 
trajectoires orthogonales de cercles relativement auxquels un point fixe a une puissance constante, 
ou, en d'autres termes, de cercles orthogonaux à un cercle fixe r (réel ou imaginaire). 

On peut prévoir cette possibilité, en remarquant que l'équation qu'il faut intégrer est une équation 
de Riccati et que l'on connaît deux de ses solutions : ce sont les lieux des points de contact des tan- 
gentes au cercle variable menées de 0. (Ce-; lieux sont un seul et même cercle, le cercle r, mais les 
deux points de contact étint distincts, les deux solutions sont différenles.) 

Je vais d'ailleurs traiter la question directement et mener le calcul jusqu'au bout. 

Soient Ox, Oj/ deux axes rectangulaire?, l'origine étant le point dont la puissance est constante. 

I. — Supposons d'abord cette puissance positive, soit m-. Appelons I le centre du cercle variable, 

)• son rayon, ? la distance 01, a l'angle que font avec 01 les tangentes menées de au cercle ; ces 

tangentes ont une longueur égale à m ; on aura 

tu 
? = , »■ = '/( is I ; 

COS ot 

faisons dans la suite m = l . 

Les coordonnées d'un point M du cercle sont : 

cosoj sin ï sin oj >in % 




sm 9, 



M COS a COS ï ' ces 2 COS a 

en appelant w l'angle de 01 avec Ox et 9 celui de IM avec Ox. 

Par hypothèse, il existe entre w et a une relation connue. Si 

ç seul varie, M se déplace sur le cercle, les paramètres de ce premier 

déplacement sont : 

,. dx . du ^ 

0) -j- = — tg I sin ç, -r^ =3 + tgaC0S i. 

U':, tto 

Si nous faisons varier a en regardant o comme une fonction [incon- 
nue) de a et tu comme une fonction connue de a, M se déplace sur une courbe quelconque et les para- 
mètres de ce déplacement sont : 

COS (0 sin a -+- COS •■? 



dx 


sin (O 


dtu 

'd; 


— sin ■:. 


sin a 

COS» 


d-. 


rfa 


COS I 


d-x 


du 
dx ~ 


COSo) 
COS a 


du) 
~dl 


H-COSçi 


sini 

COSx 


d'^ 

' dx 



(2) ' "' "" ""•'* "* ^^^' 



sm lu sm ï 



266 SUR LES THAJEGTOIRKS ORTHOGONALES DE CERCLES 



Si Ton demande que les deux déplacements soient rectangulaires, il faut que 

dx dx d\i dy _ 

do rfa ffo (/a 

dx du 

ou — sin o — — h ces o —j^ = 0, 

' uï ai 

ce qui donne l'équation difîérentielle 

rfo COS ((0 — a) di') sin a . , 

tg a — ^ H !^ 1^ — 1 — sm (tû — ç) = 0. 

da COS a fla COS^ a 

Divisons par tg 2, posons u> — 9 = :, d'où 

d^ d^ _ dz 
d% rfi rfï 

enfin posons -;— = h {h est une fonction connue de a), l'équation devient 

«a 

cos ;■ sin z dz 

sin a C0-; I (/a 

On est amené à prendre pour variable [i = -^ -h 7, pour rendre l'équation plus symétrique; 

comme rfp = dx, la valeur de h ne change pîs, mais h est exprimé en fonction de S (au lieu de a). On 
obtient ainsi l'équation 

[cos^n sin 3 dz 

On aperçoit deux solutions évidentes : ;, = -t- ^, z^ = — ^ ; or le point pour lequel 



est le point de contact d'une des tangentes menées de 0, le point pour lequel w — o = — - — a 

est le point de contact de l'autre tangente. Ce soni bien les solutions prévues. En changeant la forme de 

8 
l'équation, on l'intégrera sans peine : prenons comme variable x = tg— et comme fonction incon- 
nue y = tg -^' h> fonction connue de 3, devient une fonction connue de a-, \i{x), et par un calcul 
facile l'équation (3) devient 

(elle admet les solutions ;/i=-i-^t î/j = — ■*")• 
En écrivant l'équation sous la forme 



(5) 2 ^— f- = 4 ll(a;) 



y» — x^ '1 



y 

iiieieiiiiuiie ue li 
variables primitives z et p, 



le premier membre est la dilférenticlle de L ; l'intégrale cherchée est donc, en revenant aux 



(13) 



rtg^-Mg-5--i ^> 2tg^ 

= = / V /HP)</?, 



sin — ; ., 



SUR LES TRAJECTOIRES ORTHOGONALES DK CERCLES 267 

II — Supposons maintenant que la puissance du point G soit négative. On peut faire un calcul tout 
à lait analogue, en employant les fonctions hyperboliques. 

Comme 01" — r- = — ?;î- on pourra prendre 01 =: c = , ,■ _ „, '- ■ 

' sha '" sha °" 

peut encore prendre m pour unité de longueur. 

Les coordonnées d'un point du cercle variable sont 

cos oj ch y. 
x = p cos tu -+- ccos ç = — 1 — cos c, 



sine, chï 
y = p sin to -t- )• sin 9 = — j — — sm o ; 



Sh a si) a 

in f, ch: 

Sha sh; 



il y a entre a. et „> une relation connue, soit - = k (fonction de a): en raisonnant comme on l'n fait 
précédemment, on est amené à l'équation 

do cos ((0 — o) sin ( 0» — o ; 

-^-^k !^;^ ^ ^ = U; 

(la on a s h oc 

posons 

,h dz 
u) — o = :, A' = — , 

ilo: dx 

l'équation devient 

r, cos : 1 dz sin : 

(3') iH -—\k = — + -. ; 

L ch a J di sm I 

elle admet les solutions ;, = 7r + ia, z-2 = - — (a. 

Nous la transformons, comme précédemment, en posant ig-^ =: y, th — = x, 

(1 + J/'-) dz = 2dy, (1 - x') dy. = 2 dx, 

k [n) devient une fonction K(a-j et l'équation prend la forme 

i i \ 
elle admet les solutions ^i = H -■: 'J^ = h en écrivant 

xdy-hydx dx 

— t\\{x) 



1 _|_ xhf "• ' 1 _ a;* 

on voit que l'intégrale est 

C" dx 

(6) arclgix-/) = I 2K(a^)^_— ^, 

en revenant aux variables a et z. 



^ ... ., , — , Kl a) th arfa. 



L'intégration se lait donc dans les deux cas par une quadratuie. 

Propriétés des trajectoires. 

l. — Si l'on porte dans les valeurs de -r^ et — la valeur trouvée pour -^ > on trouve, après 
une réduction facile 

(/.(• coso _, . , ^ , 

—r- = 1 -H sm a cos (10 — o) — Il cos a Sm (w — o) , 

idy. COS^a ^ .' \ ./J. 

rf'/ sin o . , . , , , . , 

—i~ = 7-^— |1 H-sm acos(w — o) — /( cos i sm(uj — ?) . 

t/a cos' '. \ /J 



SUR LES TRAJECTOIRES ORTIlOiiÛNALES DE CERCLES 



Si le crochet peut èlre nul pour une valeur de .;; lo point correspondant est un point de rebrousse- 

ment de la trajectoire à laquelle il appartient. 

Pour que le crochet puisse être nul, il faut que 

sin^a + A" cos- 2 > 1, 

[h\ > ■ . 
On obtient d'ailleurs la même équation, 

/( cos s sin ('-u — o) — sinacos(a) — o) = 1, 

en écrivant —^ : — = -t— : -r-' c'est-à-dire en cherchant les points où le cercle variable louche 
do di. do di 

son enveloppe. Donc : 

Si Us cercles variables ont une enveloppe, celte enveloppe est le lieu des points de rebroussement des 
trajectoires. 

11. — En désignant par :, et z. deux solutions de l'équation (3), on aura 

tsl + ig^ tg^ + tg| ., 

L ^-L— ^ ^= I /i(3)lg»t/p = C'". ■ 

'^ï-'s| tg^-lg^ • ?■ 

Donc, P et P' désignant les points de contact des tangentes menées de à un cercle variable et 
M, M' les points où ce cercle est coupé à angle droit par deux trajectoires différentes, le rapport anhar- 
monique des quatre points P, P', M, M' est constant. (Cette propriété a lieu aussi dans le second ca=, 
l'arc tangente pouvant être mis sous la forme d'un logarithme de nombre imaginaire. 

Il résulte de là que si l'on considère quatre trajectoires orthogonales, les quatre points oit elles coupent 
orlhogonalement un des cercles variables ont vn rapport anharmonique constant. 

Cas PARTICULIER. — Un cas intéressant est le cas limite où les cercles variables sont orthogonaux à 
une ligne droite, c'est-à-dire le cas où le lieu des centres est une ligne 

droite. Le calcul précédent ne s'applique pas à ce cas. 

Prenons la droite pour axe des x, un point de la droite pour ori- 
j- gine ; soit I le centre du cercle variable, 01 = 0, le rayon r est une 
fonction connue de a : 
Coordonnées d'un point M du cercle : x = a-i- r cos o, >j — r sin o ; 

dr dy 

Déplacement sur le cercle : -r- = — '" sm 9, —^ = r cosc; 
' do do ' 



Déplacement quelconque, (-^ fonction de </) 



dx , dr do 

-7— = l + -T— cos o — r sm o -r—, 
aa da da 

du dr do 

-~ = — ;— sin o -+- r cos o -r=- • 
da da ' ' du 



dx dx dy dy 

En écrivant -: :; — > — f ^7- = 0, 

dç. da do du 

n lUS obtenons ri'quatioii — r sin o -)-?•' -7-'- = 

' • d(i 



ou 



Applications de ce cas particulier. 



SUR LES FO.NCTIONi SYMÉTRIQUES 269 



1° Si )■ = ma {m étant une c"), on aura les trajectoires de cercles homolliétiques d'un cercle fixe, 
relativement à un point fixe ; lorsque m < 1 ces cercles sont inscrits dans un angle fixe C). 

2° Si a- — H = ± k^ (k étant une constante), les cercles font partie d"un faisceau (passent par 
deux points réels ou ont deux points limites). On vérifiera aisément que les trajectoires sont des cercles 
formant un faisceau. 

3" a-qre^r' = dz A-, les cercles seront bitangents à une conique à centre, ellipse ou hyperbole, 
les cercles faisant partie, soit du système qui comprend les foyers réels, soit de Tautre. 

Applications du cas général : 

1° Cercles tangents à deux cercles fixes donnés. 

2° Cercles tangents à une quartique bicirculaire, anallagmatique. 



SUR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES 

par M. R. Bérard, jirofesseur au lycée de Besançon. 



Soit /'(,x,, X.,, . . ., x,„) une fonction symétrique entière de? variables j,, as, . . ., x„, ; on sait que 
l'on peut toujours trouver une fonction entière des variables .«i,s., ...,Sm qui devienne identique a. 
f(xi,X2, . . . x„) quand on y fait la substitution : 

s, = Sji, 
\ .«o ^ Sxi.r.i, 

^»M ■ 

I s,„_^ = SxiX» . . . ■r„,_^, 

' S„, = .r,X2 . . . Xm. 

Voici une démonstration directe de cette proposition. Admettons qu'elle soit exacte dans le cas de 
m —1 variables: je vais montrer qu'elle est encore vraie dans le cas de m variables. 

Ordonnons /'(Xi,x,, , . . x,„) par rapport à l'ime quelconque des variables, xm par exemple ; on a 
f(x^.x.2. . . ., Xm") ^ .Aox;,-T-A)ai^,~' J- . -+- Aj. 

Ao, A,, . . . -Ai sont évidemment des fonctions symétriques entières des variables x,, Xj, . . . x„,_, ; 
donc on pourra trouver des fonctions entières des variables ^i,^.- ■ • • '7,„-i- qui deviennent identiques 
à Ao, A,, . . .\i quand on y fait la substitution 



m 



= X,Xn 

= x.r. 



Par suite, il existe une fonction entière de Xm, ■^i,^^,, . . . ^„,_,, qui devient identique à la fonction 
f{xi. Xi, . . .,Xm) par la substitution (2). 

Effectuons le changement de variables défini par les égalités 



s, = Xm-Hai, C7j = s, X„|, 

Sj = Xm31 -H a., d'où -, = .v> — SiXm -h X'I 



etc. 



(•) Voir lievtie : Problème 1595, pages 421 et 437. 

Depuis la rédaction de cette note, une solution de cette question a été publiée (page 249, question l"21) 



270 SUR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES 

Nous obtiendronsainsi une fonction entièrede Jm,.s-i, a,, . . . , s„^_^, f{xm,si s«, ...,«,„_,) qui devien- 
dra identique à f{xi, X.,, . . ..a-m) par la substitution (l). <? est un polynôme entier en Xm; divisons-le 
par le polynôme entier 

x"'. — S|i'|ir' + So.r,'""- — ■■■ -h (— 1 Y'^rn 

el soit '!'(a;,„, «,,Si, • .,«m) = Boa;r'-f-Bia';;-'^H 1- B„,_, le reste de la division; Bo, B,, . . , B,„_, 

sont des fonctions entières de s,, s, ,.«„,. On voit immédiatement que les fonctions 9 et <]/ devien- 
nent identiques quand on y fait la substitution (I) ; donc, par cette substitution, ^x,,,, s,, s,, ... s,„) 
devient identique à f(jf,x,, . .., x,,,). Maisil est clair qu'il en sera de même des fonctions 

^{Xi, Si, . . ., Sm), '!j{T.2, Al S>, ), . . . 'V.r,,,,,. .«-i, ... Sm'l '• 

donc le polynôme entier en x, .n, x.., . . . , xm, obtenu en faisant la substitution (1) dans 

H„.i"'-' -(- Bia;"'-^ ^■■- -h B„,_, — f(Xi , . . x,„) . 
est identiquement nul quand on fait a.' = a'i, x =^x.i, . . ., x = Xm et par suite est divisible par 

(x — a:-i)(.i' — Xi) . . . (X — Xm). 
Ceci exige que les coefficients des puissances de x soient identiquement nuls, car le polynôme est 
de degré 7n — 1 par rapport à x tandis que le diviseur est de degré m. 
En particulier, nous aurons 

/(Xi,Xi, . . . Xm) ^ B,„_,, 

c'est-à-dire qu'il existe une fonction entière de s,, s^, . . .,s,„ qui devient identique à /"(.r,, . . .,:Cm) quand 
on y fait la substitution (I). Gomme la proposition est évidente pour m— 1, il résulte de ce qui pré- 
cède qu'elle est vraie pour une valeur quelconque de m. 

La démonstration précédente met aussi en évidence la propriet'i suivante : 

Si les coefficients des divers termes de la fonction /'(r,, .-tj, . . . a;,,,) sont des nombres entiers, il en 
est de même des coefficients des termes de la fonction correspondante F(si, s.^, . ., s,,,) car, «i la propo- 
sition est vraie pour m = p -\, elle l'est encore pour m=p; or elle est évidente pour m— 1. 

Formules di' Nei»lon. 

Soient m variables a;,, r.., ... .Tm ; h désignant un entier positif quelconque, posons : 

S, — Sr'' 

s,, = Ix,x.2 ... Xn. 
en convenant que s,, est nul si h > m. 

Ceci posé, considérons la fonction symétrique entière 

f(x„x,, ... x„,) = S„-5,S^_, + .>;.,S,,^, H(- ir'.v,_,S.+(-l);vj..-^. 

p di'signanl un entier positif. 

Je vais montrer que celte fonction e>t idcntiqurment nulle. 

Supposons d'abord m Cp ; posons p =: m -+- [x et soit 0(x) le polynôme entier 

x'" — s, a-'""' + s^x'""' -(-(—< )"'Sm. 

On a 

.T';o;xi) = 0, a;.ïe(a:o) £:;; 0, . . . , ■'nï,0(xm) = 0, 

d'où, en additionnant, 

S,-s,S„_, + - .+(-1)"'.„.S,^0. 

Lafonctiiin / e.st donc identiquement nulle si ?» ^/). 

Supposons m =p+ 1 ; si dans f on annule une quelconque des variables x,,xi., .... .i-„.^,, 

ou obtient une fonction symétrique entière de /) variables qui est identiquement nulle d'après ce qui 

pr.5ci"!do ; on on conclut qu'! /" est divisible pu- .r,r. ... x^,+,. Or /' est de degré p par rapport aux 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 271 



variables .r,, x,, ... x^^^ tandis que le diviseur est de degré p -i- 1 ; il faut donc que / soit identi- 
quement nulle. 

En supposant ensuite m = p h- 2, on démontrera de la même façon que la fonction /"est encore 
identiquement nulle, etc. 

De là, on déduit les formules de Newton : 
i S, — 5,^0, 
Si — s,S,-l-2s2 = 0, 



'. S,„_, — «,S„,_5H 1-(— l/"~\'m — Ijs,,.-! — 0, 

1 S,„ — s,S„._,H !-(— !rms,„=0, 

l S„^^ — «iS„,+,^_, H- 1- ( 1 /"SmS^ = 0. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1726. — On considère l'épicycloide S» enveloppe des droites dont l'équation générale est 

X cos 9 + J/ sin o = cos n-^ 
el l'épici/cloïde Sv enveloppe des droites qui coupenl S^ sous un angle donné V. 

Vérifier que Sv passe aux points de rebroussement de S,) et montrer que ces points constituent l'enve- 
loppe de Sv, quand V carie. 

Lieu des points de rebroussement de la courbe Sv, quand V varie. 

1. 1-e point de contact de la tangente (o) à la courbe S„est donné par les équations 
( x„ cos 9 -i- y„ sin 9 = cos n-j, 
I — Xf, sin ? -f-^o *^°s r = — " ^i" "r ' 
l'équation d'une droite passant par ce point et inclinée de l'angle V sur la tangente est 

X cos (9-T- \) -h y sin (=-+- V) = a-,, cos (^'f + V)^-^/^ sin (9 -+- V), 
ou A- coscf -i- V)+ y sin (0-1- V) = cos V cos /!? — n sin V sin «2. (Tv) 

Le point de contact de cette droite avec son enveloppe Sv est donné par les équations 
\ X, cos (-J-I- V) + y, sin (? + Vi = cos V cos ti^ — »i sin V sin «r, 
/ — X| sin (9 + V) -1- y, cos (ç-l- V) — — n cos \ sin n? ^ h- sin \ cos no. '' ■ 

Les points <le rebroussement de So s'obtiennent en écrivant que 

cos n'-f = 0. 

d'où »i= = (2/. -+- ^)-x-' ï=in "r = (— l)*- 

Les équations (x», y») et (i,, y,) deviennent alors 

( Jo cos r+î/o sin r = 0. 

( — i"|) sin o ^ y^ cos 9 = — n( — 1)* 
et 

( r, cos (ç-l- V) -H y, sin (o-f- V) = — n(— 1)* sin V, 
( — X, sin (0-1- V) -\-y, cos (ç-i- V) = — n(— 1/ cos V; 



-^- GÉOMÉTRIE ANALYTlfJUE 



d'où l'on déduit 

( J, = -,(, = (_ I /.„ fin ç, 

I 2/1 = Vo = -{- !)*« C03 ?, 
relations qui vérifient la propriété énoncée. 

2. Posons maintenant 

\ x-hiij = 'ç, e-" = /. 

l'équation de la tangente T„ devient 

1 

;+h, = /"-'H ; 

/"■ 

d-où les coordonnées du point de contact de cette droite avec son enveloppe 

m + 1 

/"■ ' 

( T,o = (m -t- I)/'" 

L'équation de la tangente Tv devient aussi 

f + A?71 = f^+A/Ti„, 

°'^ ^ + A/>i = [(m+<)A-m1r- + "'"^'~'"-\ 

équation qui, mise sous la forme 

j 1 , .. ui-hvrl-^-w = 0, 

donne les relations 



1 A/ |(m -4- 1 )A — »(J/" -H m -(- 1 — mA ' 

La première de ces égalités donne , = £. L'élimination de / entre ces deux équations n oITre 

donc aucune dilTicullé et donne pour équation tangentielle de la courbe Sv : 

(m + 1 _ mA)A-»u"+ '"'^^',h^~ — '"' + ww'V" = 0. (1) 

^'«"^ obliendrons l'enveloppe de cette courbe en éliminant A entre cette équation (1) et celle qu'on 
obtient en dérivant par rapport à A. Cette équation dérivée s'écrit, après un calcul facile, 

l'équation (1), mise sous la forme ^" ^ ' (-) 

(m + 1 — »iA)A"M" + [(m -f- 1)A — m]u" -+- A'"*>uni"'r"' = 0, 
devient alors, en tenant compte de l'équation (2), 

»(A — l)v""' + A'"*'m'"«' =: 0. (3) 

C'est entre l'équation (2) et cotte équation (3) que nous allons éliminer A. 

Posons u =: e-.'i, „ = g.-^ (on peut supposer nv = n, l'équation (2) donne 

°" cos «(4- — V) = 0, 

'''"'"' .}-V = (2/c4-d);;L. (/,■= 1,2,3, ...); ,4) 

l'équalion (3) devient, d'aulre part, 

"V-"— l)e'"'+ii'*H-e'2'"+2"V'"''J'((.' = 0, 



GËOMËTRIE ANALYTIQUE 273 



ou ii[(:''' - e '^le'"- ^ -r :c = U, [ô) 

mais l'équalion (4 donne 

l'équation (o) devient alui » 



ni(e'^ — e ~^ } ces At: -t- «• = 0. 
Posons pour abréger 

(2A-+ 1 - 



(?) 



d'où ^' — ''i' — ? ; 

il vient e'^ = e'»'-^"*' = ue~'', e *" = e"^'"'i = ue'^, 

d'où /f + «((ye~'' — ue'°) cos ^t: = ; (6) 

le résultat de notre élimination est donc une équation linéaire entre !/, v, w. A chacune des valeurs 
possibles de o correspond une pareille équation, et chacune d elles représente un point. Donc Tenve- 
loppe cherchée est constituée par ces points. 

Nous allons vérifier qu'ils coïncident avec les rebroussements de S,^. En tenant compte de l'équa- 
tion (6), l'équation u; -t- vr, -^- w = 
devient m; -f- ut, -i- /a'fue'' — ve"'') cos A— = ; 
le point correspondant a pour coordonnées 

: := — Hie°cos k-, r, = /li'e"'^ cos A-, 

i X = — = /i cos A- : = Il COS kr. smo. 



équations qui. en tenaul compte de la relation (o), détinissent précisément les rebroussements de S„, 
ainsi qu'on Ta vu au ;; 1. 

3. Posons A/ = 0, 

l'équation de Ty devient 

A" O""*' 

;-t- Or, = (m -I- 1 — Ani)— — + [(jH-t- 1)A — m] ^^^ ; (A) 

telle est l'équation générale des droites A qui coupent S, sous l'angle V. 

Les coordonnées du point où A touche son enveloppe Sv s'obtiennent en dérivant l'équation A 
par rapport à 6. On trouve 

A"' - 9""-' 

; = (;n -I- 1 )(m +1 — 7nA) in {m -t- 1 ) \ — m — — — > 

em A." 

T, =: (m-f- l);^(m-H 1)A — m] ^^^ m{m -h 1 — mX) — rj-- 

Ce point sera de rebroussement si la tangente A passe parrorigine, d'où l'équation 
(m^l — mA)A5"'-'-l-;(m-(-ljA — m]e2'"-' = 0, 
ou (ffi-i-i;iA6-"'-'~niA2'"-> := ,„92"-»_(m-t-l)A2''-'. 

Posons 6 = AX, 

il vient A = '»>■'"-' -("'+i\ 

(m-i- 1)À*"'^' — m 



274 GEOMETRIE ANALYTIQUE 



1 f = (m-|-l)(7;i + l — mk)^^ — )n[(?/( -i- 1)A — jjiJX'"-', 

) , (m -+- 1 )A — «1 , m-hi — mA I 
( •'. = "" + !) X ''"'""' Â '}^ 

d'où, toutes réductions faites, en tenant compte de la valeur de A, 

imri 

1 ; = (2m -1-1)2 - 



I Tq = (2m -H 1)- : r^ — r 

d'où, en nous rappelant que "im-y- i — n. 



-p = v?« -H 1 Û" 

• — )»iX'"+'. 



X'"- 
n- m -+- 1 



Considérons l'inverse (;,, t,,, du point (?, r,) par rapport à l'origine, le module d'inversion étant n-. 
Les relations qui lient ;, r, et ?,, f,i sont 

I 



d'où 

= ('"+ *^^ "xlT 

valeurs qui ne sont autres que celles de ?„, t,„ à la condition > = /. 

Mais les points de rcbroussement de la couibe S„ sont tou> situés sur le cercle de rayon n qui a 
l'origine pour centre. Donc enlin : 

Le lieu des points de. rebvoussemenl des courbes Sv est la lra>isfo)-viée par vecteurs réciproques de la 
courbe donnée S„ par rapport à l'origine; le module d'inversion est égal au carré du rayon du cercle qui a 
pour centre l'origine et qui contient les points de rcbroussement de S„. 

A chaque point o de la courbe S, correspond donc un point de rebroussement d'une courbe Sv, 
c'est-à-dire un angle V. On peut trouver la relation qui existe entre 9 el V. Dans l'expression trouvée 
pour A, faisons X = < et rétablissons pour A et t les valeurs 

A = e2'\ t = e-"% 



il vient 



relation qui peut s'écrire 



d'où l'on déduit 



_ j.^. _ mi-""'' — {m -t- 1) me-""f — {m -h l) 



(w + 1)/-'"* ' — m [m ■+- i)e-"'f — m 

,;,f(,""v-^)-f-e-*'"'-^')] = (m -h l)[,."»f+^')-he-'"'*"'''l, 

mcos{ti-s — \) = (m -Hl) CCS (no +V), 
()i— 1) cos (jio— V) = (,i-(- t)cos^>io+ V), 



cotgVcotg/Jï = n ; 
• elle est cette relation : elle détermine une courbe Sv en fonction de l'angle 'i, et elle détermine sur la 
courbe S„, lorsqu'on donne l'anf;le V, autant de points que les courbes S^ ou Sv ont de rebrousse- 
nients. Ces points sont les points de contact avec S„ d'autant de laiigenles, et si par l'origine on mène 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



les parallèles à ces tangentes, on obtient un faisceau qu'une rotation peut amener en coïncidence avec le 
faisceau des tangentes de rebroussement de la courbe So. 

Toutes les tangentes à la courbe S^ aux points considérés sont tangentes à un même cercle ayant 
l'origine pour centre : en effet, soit 

X 00» 'f-h !/ sin ç = cos no 
l'une d'elles. 

1 

La relation tg no = — colg A 

ji 

peut se mettre sous la forme 

Ig nç = tg noo, 
o„ étant une solution particulière. 

D'où no = H=o -i- ^'"^ A- étant un entier, 
d'où cos no = zh cos n oo ; 

or la distance de la droite considérée à l'origine est donnée par 

5* = cos' no, 
d'où 0- = cos- no„ = cans'=. 

Tous les points considérés sont sur un cercle ayant pour centre l'origine. En effet, l'un de ces points 
est donné par les équations 

X cos o -(- y sin o =r cos «o, 

— .r sin r ^ î/ cos o = — n sin no, 
d'où 

.1-^ -i- îy- = cos^ «o -+- H- sin- HO 



cos- V -i- n- sin- V 

Ce cercle coupe la courbe S„ on un nombre pair de points à distance finie. Ce nombre est égal à 2n 
si 7i est entier et impair, et égal à in si n est entier et pair. 

La moitié seulement de ces points correspond à l'angle V^ L'autre moitié correspond à l'angle 
(-V). 

Du reste, jjuisque les rebroussements de la courbe Sv sont tous sur un cercle de centre 0. il était 
évident à priori que les points correspondants étaient également sur un cercle de centre 0. 

L. BlClvART. 



1732. — On considère un triangle ABC, dont les deux sommels X et B sont fixes, et tel que te pied de 
l'une des bissectrices de Vangle A sur le côté BC décrive une droite fixe D. 

1° Trouver le lieu du point C. Ce lieu est une conique r dont on étudiera le genre d'après la position 
de la droite D dans le plan. 

2° Lieux des points I et 1' où les bissectrices de l'angle X rencontrent le côté BC. Ce lieu se compose, 
outre la droite D, d'une conique r' qui passe par deux points fixes, quand D varie arbitrairement . 

3° L'une des coniques r et I" étant construite, en déduire la construction de l'autre. Montrer que si D 
se déplace parallèlement à une direction fixe A, les coniques r' passent par un troisième point fixe, et 
donner le lieu de ce point quand la direction A varie, 

4° Trouver les droites D pour lesquelles la conique r est une parabole. Ecrire l'équation de l'axe, de 
la tangente au sommet, de la directrice, les coordonnées du foyer, du sovvni't, et donner les enveloppes et 
lieux correspondants. 



276 



GEOMÉTRIK ANALYTIQUE 



1° Prenons pour axe des x la droite AB el pour axe des y une perpendiculaire à AB au point A. 
Di'signons par " l'abscisse du point 15, par iic + vij -h ir — 
l'équation de la droite (D) et par y — t.v l'équation de 01; l'équa- 
tion de la droite OP. est alors 

il 

et celle de CB, 

)/ — tx -h l{ux -+- vy -+- w) = 0, 
/. étant déterminé de façon que celte droite passe an point B. Ceci 

donne >. = et l'équation de la droite BC est 

au -h ic 

Uni -H w)[y — Ix) -t- al{nx -t- vy h- « ) = 0. 
Le lieu du point C s'obtient en éliminant l entre cette équation et 
celle de OC ; ce calcul donne successivement 

{nu -t- w)y 




puis 



y = 



irx — aoy — nw 
^xyimi ■+- u'){ivx — avy — nu,') 



(wx — avy — ow')^ — {au ■+- u')hj^ 
Telle est l'équation du lieu. Elle se décompose on deux: y = 0, qui représente l'axe des r, lieu 
exceptionnel impropre, qui correspond au cas où 01 vient se placer sur Or, ainsi que OC et BC ; et 

{wx — avy — aivY — {au -+- «')-</- — 'ix{a\i -\- w iwx — avy — nw], 
qui représente le véritable lieu. 

Ce lieu est une conique dont nous allons étudier la nature. Pour cela écrivons ainsi son équation, 
[{au -t- iv)x — aD]^ — ?/'(aw ■+- "')'' = ^J'f"» + %c){{au -j- w^x — oD] ; 
nous aurons 

(1) {au -h w)-{x^ -t- )/2) — a-D- = 0, 

équation dans laquelle D désigne la fonction linéaire ux -f- yy + w. 

Celte équation représente une conique ayant l'origine pour foyer et pour directrice la droite 

u.r-i-î)i/ -t- «' = 0. L'excentricité est donnée par e- = -— . et suivant que e-<l, > 1, 

■' ^ {au 4- iv)- 

ou =1, nous avons une ellipse, unp hyperbole ou une parabole, e' = 1 donne 

a-{u- -t- V-) — {au + irf = ; 
c'est l'équation tangentielle du cercle de centre B et de rayon BU ; elle exprime donc que la droite est 
tangente à ce cercle ; e- ■< 1 se traduit par 

a-{u^ -+- V-) — {au H- w)- < ; 
cela veut dire que la dioite (l>) est extérieure au cercle, ne rencontre pas le cercle: et c- > 1, que 
la droite (D) est une sécante, rencontre le cercle en deux points réels. 



2" L'équation de la seconde bisseclrirc est ;/ 



Le lieu du point 1' où elle rencontre (D) 



s'obtient iinnif-diatement, en remi)laçaiit / par 

(au -\ w){x^ 



dans l'équatiiin do la droite BC, Ce lieu est la 
-a\)x - 0, 



conique 

(2) 
qui passe à l'origine el au point li. 

3° Il suffit de regarder la figure pour voir comment on peut du point C déduire b' point T et iiiver- 
senienl; chacune des coniques étant construite, l'autre se construit donc immédiatement. La coniciue {±) 
ou r' se construit de suite : elle passe en 0, en B, est tangente en ;\ 0;/, en B à la droilo Bl,, (|ui 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 277 



joint le point B au point de rencontre de la droite (D^ avec 0'/; on en aura en outre autant de points 
que l'on voudra. 

Si la direction de D reste fixe, u et y sont flxes, w varie seul et les coniques r' forment un fais- 
ceau dont les coniques de base sont 

u[x'--\- y'-) — (ui -^ vi/ :i: = 0, 
et .1-2 -i- y'^ — ax = : 

la première se décompose en y = et uy — i-x = 0; la seconde est le cercle décrit sur AB comme 
diamètre. Indépendamment des deux points fixes A et B oii elles se coupent, il y a le point 

X y au 

Il V u- -r [■- 

Le lieu de ce point quand — varie est évidemment le cercle .x^-i- )/'- — ax = 0. 

4" Quand la conique r e'^t une parabole, on a e- = 1, 

n-(u^ -+- V-; — {au -+- ir)- = 0, 
la droite (D» enveloppe le cercle B.\. Si l'on pose « = cos-.p, i' = sin =, on a 

(a cos'f-^ '<•)' = fi-, 
c'est-à-dire //• = — acosç dr a, 

et l'équation de la conique 1' devient 

X- ^- y- = (x ces ç + »/ sin ç — « cos ç ± a)- ; 

peu iniporte le signe que l'on choisit, on trouve toujours le même faisceau de coniques, car on passe 

d'une équation à l'autre en cbangeant 'f en r-^~; nous adopterons l'équation 

j - -i- î/- = {x cos ? + J/ sin r — a cos o -- a -. 

C'est l'équalion d'une parabole dont le foyer est à l'origine et dont la directrice a pour équation 

(.r — a) cos 9 -^ y sin "r ^ « =0. 
Cette droite enveloppe le cercle BA. 
La tangente au sommet a pour équation 

(2.r — a) cos 9 H- 2i/ sin r -I- " = ; 
elle enveloppe le cercle 

(2x — n)- -h\'r = a-. 
L'axe est la droite 

■r ^ _y 

cos 9 sin-f 
et le sommet a pour coordonnées 

.«• )/ a cos r — Cl 

cos? sino 2 
Le lieu du sommet a donc pour équation polaire 



a cos w — (( 

C'est une cardioide. 

Bonnes solutions : MM. A. Duby, à Dijnn : ('.. Foccrv, à Roanne ; i. Plane, lycée de Clermont; R. Chebbieb, à Reims ; 
Ch. Jean, à Nimes; J. Flobip.ar 

Remarques géométriques. — 11 suffit de jeter un coup d'œil sur la figure pour voir que les droites AI, BC se 
correspondent liomograptiiquement, ainsi que AI, AI'. Le lieu du point I' est donc une conique qui passe aux 
points A et B ; quand Bl' vient sur BA, la droite AI' se place sur Oi/, la tangente au point ou A est donc 
l'axe des y. On apercevra tout aussi aisément la tangente en B. Si 01 est parallèle à (D;, BI aussi est parallèle 
à (U) et le point I' est le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur la parallèle à (D) menée par B. Ce point 
est un point de la conique 1" ; il est fixe quand la direction de iDi reste \\y.e ; il décrit le cercle qui a pour dia- 
mètre .\B, quand la direction de (D) varie. 



278 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



Ahaissons (ie C et de 15 des perpendiculaires CC et BC sur hi droite (D), nous aurons évidemment 
CI _ ce .. , , Cl AC 

"bT-lJR': d antre part, rT = ^B ' 

, AC ce AC Ali 

°°"'^ TT)^ =^ PB/ • en valeur absolue, et nous en déduisons .„, = „^. = f" = ''. 

At. BB CC' BB' 

Le lieu de C est donc une conique r qui a pour foyer le point A et pour directrice la droite (D); lexcen- 
AB 
tricité est e— Tous les résultats déjà signalés sont évidents géométriquement. 

Quanta la quatrième partie, elle est évidenle aussi, puisque la droite (D) enveloppe le cercle ayant pour 
centre B et pour rayon BA. 

Ronnes solutions géométriques de MM. Helkns, r\ Rouen, R. Rouvaist. 

♦ 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



1715. — R;prêsentey le solide commnn à un tore et à un hyijerboloide. 

Le tore a son axe vertical. Le centre est sur le (irand are de la feuille. Ses projections sont à 100"'" du 
centre de la feuille. La méridienne a son antre à 60™" de l'axe ; elle n pour rayon 45"™. L'ht/perboloïde de révo- 
lution à une nappe est concentrique au tore. 

Son axe en horizontal à ia" .?'/)■ le plan vertical. Les génératrices font avec l'axe un angle de 4.">". Le 
rayon du cercle de gorge vaut 1.^™"'. 

Oi calculera en degrés ou en grades les angles avec là ligne de terre des tangentes à la projection verticale de 
la courbe aux points situés sur l'axe du tore. 

(Ecole normale supérieure, concours de i9nS! ) 

On a immédiatement les deux contours apparents du tore. 

L'hyperholoïde a pour contour apparent horizontiil l'hyperbole méridienne définie par ses deux asymptotes, 
l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à la ligne de terre, et par ses sommets situés sur la bissectrice de l'angle 
des a.symptoles à 15""" de part et d'autre du centre. 

Il n'a pas de contour apparent vertical proprement dit: le plan de profil passant par le centre de la sur- 
face sépare seulement sur le plan vertical deux régions sur l'une desquelles se projettent tous les points de la 
surface extérieure au solide vus par l'observateur placé à l'infini et en avant, tandis que tous les points de la 
surface intérieure vus par cet observateur, si le solide était creux, se projettent sur l'autre région. 

Pour trouver le solide commun, nous chercherons la ligne d'intersection des den.\ solides en suivant la 
méthode classi(|ue applicable aux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent et nous couperons chacune 
d'elles par des sphères ayant leur centre au point de rencontre des axes, ici centre commun des deux sur- 
faces; chaque sphère coupe le tore suivant im parallèle projeté horizontalement suivant un cercle, et l'hyper- 
holoïde suivant im parallèle projeté horizontalement suivant une perpendiculaire à l'axe cd et dont les points 
d'intersection avec le premier cercle donnent deux points de l'intersection. 

Nous remarquerons immédiatement que la courbe d'intersection est -symélriqiie par rapport à chacun des 
axes de l'hyperbole méridienne en sorte qu'il suffirait de la déterminer dans un des quadrants formés par ces 
axes pour l'avoir en entier. 

l'our obtenir les l'ayous des parallèles situés sur une sphère auxiliaire particulière, nons considérons les 
deux méridiennes situées dans le plan vertical de l'axe de révolution de l'hyperholoïde et nous rabattons ce 
plan sur le plan horizontal du centre. 

Le grand cercle de la sphère auxiliaire coupe l'hyperbole méridienne en deux points tels que »»',, qu'il suffit 
de joindre pour avoir la projection horizontale du parallèle, et la circonférence demi-méridienne du tore en 
deux autres points //j dont la projection commune </ sur (//' donne l'extrémité du rayon og des parallèles du tore. 
On a ainsi deux points de l'intersection tels que »i, placés .symétriquement par rapport à of. La tangente en 
l'un d'eux »<, par exemple, s'obtiendra en menant par ce point la perpendiculaire ml au plan des normales 
meni'es [)ar ce point à chaipu^ surface, ce qui est très simple ici puisque l'on c innait les deux méridiennes. 

l'oints remarquables. — T(uit d'abord nous pouvons nb.server que sur le plan horizontal la courbe d'inter- 
section qui est du huitième degic dans l'espace se projettera suivant une couibi' du quatrième degré puisque 
le plan horizontal du centre commun dos deux surfaces est un plan de symétrie. D'ailleurs la construction des 
deux Miiridiennes nous ayant tnonlré qu'elles se touchenl en 7,, nous en déduirons l'existence d'un point 



280 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVK 



double recl en q sur l'.ixe de l'Iiypcrbole méridienne, el |iur suile d'un autre symétrique par l'apport au centre. 
Celle quarlique se décompose, comme l'indique un calcul ullérieiir, en deux coniques qui sont deux paraboles 
avant pour foyer commun le centre de la figure et leurs axes de symétrie sur l'axe transverse de l'hyperbole 
méridienne. Elles touchent le cercle de gorge aux sommets de cet axe transverse dont chacun est sommet d'une 
parabole et se coupent ortbogonalement aux points doubles réels signalés plus haut, les tangentes en chacun 
de ces points doubles étant parallèles aux asymptotes de l'hyperbole méridienne. 

Les points sur le contour appai'enl horizontal sont donc les sommets de l'axe transveisc et les quatre points 
d'intersection de l'hyperbole méridienne avec le plus grand parallèle du tore. 

Projection verticale. —On déduit la projection verticale de la projection horizontale on lelevant chaque 
point de l'intersection au moyen d'une ligne de rappel sur le parallèle correspondant du tore. Nous obtiendrons 
ainsi une courbe ayant pour a.\e de symétrie l'iiorizonlale du centre des deux surfaces d'après ce qui a été dit, et 
aussi la verticale du centre, puisque c'est un axe de symétrie pour les deux surfaces. Nous trouvons ainsi 
quatre points doubles réels, projections verticales des points doubles de la projection horizontale. La courbe 
touche les deux cercles de la méridienne du tore ainsi que les projections des deux parallèles limites en des 
points déterminés par l'intersection de la projection horizontal£ avec le plan méridien de front. On reconnaît 
sur la projection de l'axe du tore deux points quadruples, et sur celle de l'axe de l'hyperboloïde deux points 
doubles donnés par les projeclions des points de coulact du petit parallèle du tore avec l'hyperbole méri- 
dienne. 

Solide commun. — En projection horizontale, la ponctuation n'ott're aucune difficulté ; on enlèvera seule- 
ment les deux arcs du grand parallèle qui sont intérieurs à chacune des paraboles. 

En projection verticale, on devra enlever sur chacune des- projections des parallèles limites du tore la 
portion qui correspond à l'arc de chaque parallèle qui se trouve sur la surface déjà enlevée en projection hori- 
zonlale, et limitée par les points de contact, par exemple w'u . Il faudra aussi enlever toute la portion de demi- 
circonférence méridienne du tore comprise entre les points de contact r' et v' ainsi que la portion symétrique 
par rapport ason diamètre horizontal. L'arc v'z' au contraire subsiste comme l'indique la projection horizontale. 

On déduit de là maintenant sans difficulté la ponctuation de la courbe d'intersection, en appliquant tou- 
jours le principe invoqué en pareil cas, et qui consiste à imaginer un mobile parcourant cette courbe d'un 
mouvement continu et remarquer, quand on a ponctué les portions de contour apparent qui ont disparu, que ce 
mobile, partant d'une position vue, ne peut devenir cache ([ue s'il traverse une ligne de contour apparent tracée 
en plein dans la direction des arcs croissants de la trajectoire ou bien s'il traverse une ligne d'intersection 
ailleurs qu'en un pointdouble réel de l'espace ('). 

Tangenles aux points inulti/jles de la projection verticale. — Pour calculer les angles de ces tangentes avec 
la li"ne de terre, nous prendrons les équations des deux surfaces rapportées au trièdre formé par la verticale 
du centre, l'axe de l'hyperboloïde et la perpendiculaire au plan de ces deux droites. Les méridiennes des sur- 
faces, sont en désignant pir a le rayon du cercle de gurge de l'hyperboloïde. 

cercle générateur i f ~ ' ., ^ ,_ „.' ■ hyperbole -■•- --x^ = a^. y = 0; 

" ( {» — 4a)- -h :'' = 91- , 

tore (x^ -^-,f^z- + la^f = 6ia^{x^-hi/'); liyperboloïde ,,^ -t ^'^ - x^ = a'. 

Projection sur Ox-i/ : 
(a;2 — 4a-)- — 16a'V- = 0; 2 paraboles ^■- = 4a(a±y). 

L X — -Za, ^ 

Tangcnlc au poiiil ■. _ ^ = 1- 

Projection sur le plan a; -H i = 0. - Uemplaçons le tore par le cylindre qui projette l'intersection sur le 

'•'"" " = "' ■'*°" (2x^ + 8aT=64aH2x-^-.^4-a^), 

ou (x' - ia^ = 1 6«2(a;2 — z'^-i-a'-), 

I a;t _ 2ia^x^ + i6a-:- =0, cylindre, 
f^'oi" I j^2^;2 _a;2 — o- = 0, hyperboloïde. 

Pour projeter sur le plan j: + = = 0, je prends ce plan pour plan des \. cl pour cela je transforme les 

coordonnées 



H-i) 



= vj^,,;^Y), , = -$(X-Y) 



ni (In n tiin'. des Incliures liorizontalis sur la sinlac.^ ilu (ore conservé el visible en projection verticale pour mieux 
r,.nrésen e. l'asi.fct du solide commun - les parties non ouvertes de hachures représentent la surface de 1 hyperboloïde. 
['i portion de gauche de la surface du tore est d'ailleurs Intérieure d l'anneau et celle de droite en est la surface externe. 



CONCOURS UE 1909 (Suite) 



281 





i\ ' 




2X 


2-f-^2- 


-«5 




2.V 




'2X2 


■ + ;2- 


-«V 



d'où , ,. - 

, r . ■ 'J -i- X = \ ^' ■>, ;/-x = _Xv/2. 

Les surfaces deviennent 

a + Y)* ^, ,rX-f-Y/ 

4 -*"- ^-^ -h IGa^i'- = 0, cylindre, 

^,. . ,. -- — •:XV = a-, hyperboloïde. 

t-liminant \ on a la projection demandée 

y = "' 
d-où ^ _^ ^ 

et la conrbe est 

(2X^+.^-a^,i „,,...-^,— „-,- 

ÏJëXi ' -''' 4X^ ~ H- I G„2.-3 = 

°" , . ^■3>^' + ---«-r-3.8V^X^2X^+^^-«2^2 + 4 16VX'.--2 = 

Les points sur Taxe des z sont donnés par (.^_ „^)^ = o, deux points quadruples .=±a. 

Les points sur l'axe des x sont les points doubles ^ = -^. 

— 2 ' 

les points simples ( -. = | (Vd + ^, 2). ., = — 1 (3,:j_i,/3), 

/ ^i = - V'iv/S-hVîX ^; = t(5v/2-4v/.]). 
En remplaçant «par sa valeur 15-, on trouve environ 

Pour avoir les tangente^ aux points quadruples, nous mettrons Téquation de la courbe sous la forme 
gi, '(-*' +p- - 2«^( 1 8^2 ^_ ^2, ^ ^*j, _ 2.64a^x2[2a;^ - =^ + a^-^ = 

„„ „ ■ , , j ^^-*'+-""— «")^ -32a2a;2;2 _2.64a'x'[2a:2 -:2^_a27 = 

ce qui donne les deux quartiques -^ j ". 

Chacune délies admet Oa; pour axe de svméirie. -- t- ", — ". 

Transportons l'origine au point double (x — - _ „, i • , • 

i' •■ "uuuie ^a; _ u. ^ = a) ; la première devient 

d ou les tangentes à l'origine -''.•;_ u, 

leurs coeflicients angulaires sont donc racines de 

III- -h? /'"m — 8 = 
„," j - - + /2 ^ v/iO = _ 2 ^ 2 [2 = v/s]. 
On en peut déduire aisément une construction géométrique de ces tangentes, 
de chacu'dt 'cZle' f'^'V"'"'""'"' ''' f '"' "'"''"'I"*'^ '^^ '* P'-°J«'^'-" ^""'^-"^ «n formant l'équation 



CONCOURS DE 1909 {Suite). 

ÉCOLE .NORMALE SUPÉRIEURE ET BOURSES DE LICENCE 

Groupe I. 

Matlit'matiques. 
1799. - Les axes de coordonnées étant rectangulaires, on considère l'hyperbole (.1) avant pour équation 

r^ — !/"- = r- 
et les coniques (T, représentées par l'équation 

où t est un paramètre variable. 



■iy- + 6rfy —3r' = 



282 



CON'COURS DE 1909 (Suite) 



10 Montrer quen leurs quatre points d-intersection A, B, C, D une courbe (T) et la conique II) sont 

orthogonales. ■ ,t-, 

2» Etudier les cercles passant par A, B, C. D. Lien des foyers des coniques (T). 

3» Trouver lenveloppe des droites AB. Exprimer en fonction rationnelle d'un paramètre les coetficienls 
de l'équation générale dune de ces droites (non parallèle à ox). 

4» I ieu du point de contact d'une conique (T) et dune conique ayant mêmes loyers que (H). 

0» Un champ de forces, dont les forces sont parallèles au plan xoy, est tel que les traces des surfaces de 
niveau sur ce plan soient les coniques (T). Trouver les lignes de forces situées dans le plan ^oy. Indiquer la 
forme et la disposition de ces lignes, les unes par rapport aux autres. 

6» On considère un point E de coordonnées a- = 0. ;/ = / et celles des lignes de force qui coupent ox 
en trois points réels M,, M?. M3. Calculer la somme 

em; em.; em; 

Peut-on trouver une valeur réelle l. telle que cette somme reste constante lorsque la ligne de force varie ? 

{11 juin, de 8 h. à S h.) 

Physique. 
1 - 1800 Un disque lumineux A est placé, perpendiculairement à l'axe, dans le plan focal d'une lentille 
conver^-ente mince L, (distance focales 1 mètre; diamètre = 3 centimètres). A un mètre au delà de cette 
convei^eiue n i\ lentille se trouve uu miroir plan normal a 1 axo, 

■^1 M (diamètre = '2 centimètres). La lumière est 
renvoyée par M sur une grande glace transpa- 
rente G inclinée à 45° et qui la réfléchit à son 
tour sur une lentille convergente L^ (distance 
focale = 1 mètre ; diamètre = 3 centimètres) 
symétrique de Li par rapport à G. 

On demande où l'on doit placer une plaque 
photographique B pour y obtenir une image du 
disque A; de combien se déplace l'image d'une 

très petite région entourant le centre C du disque A. si le miroir M tourne d'un angle de -^ de radian autour 
d'un axe perpendiculaire au plan de la figure ; et de quel anglemaximumX le miroir M P;"^/"^';",^/ ^mè^^^ 
l'on cesse d'obtenir une photographie de C (on pourra admettre tg X _ sin \ _ ) . ue es 
maximum du disque A qui pourra être photographié dans la première position de M; quel est le d.a.netre cor- 
respondant de la photographie, et quel est, danslimage B, le diamètre de la région de pleine lumière . 

Si l'on éloignait proç;ressivement le miroir M. pour quelle distance le diamètre de la région de p einc 
lumière de B serait-il réduit k 1 millimètre ; l'impression photographique an centre de la plaque reslerait-elie 
constante ou changerait-elle pendant le déplacement du miroir? h- nno a 

Le miroir M étant supposé replacé à 1 mètre, on examinera ce qui se passerait si 1 on ramenait k ^-^"e A 
jusque contre la lentille L, . Dans cette nouvelle position, où se ferait l'image de la petite région L ; serau-eiie 
plus grande que tout a l'heure, et impressionnerait-elle plus ou moins la plaque photographique . Aura.t-on, 
enfm.gagnéquelque chose soit au poini de vue du déplacement de l'image de C pour larotation de -j^^ de radian 




e maximum \ dont M peut tourner sans que l'image de C sorte 



du miroir M, soit au point de vue de 
tout à fait du champ '? 

n. - Lois de la chute des corps. - ^On rappellera très brièvement les expériences qui permeltent de les 
énoncer; et l'on montrera l'importance que présentent ces expériences et ces lois pour 1 établissement des 
notions fondamentales de la dynamique.] iio- de f h n '> h ) 

Epreuve pratique: Epure de géométrie descriptive. 
1801. - Soude de riS.volition engf.ndré i-ar i-n cube. - On considère un cube qui a deux diagonales 
situées dans un plan de front dont l'éloignement est 12-. L'une de ces diagonales est verticale ; ->; ;^«"-^°" 
s'élève de gauche à droite. La diagonale verticale se projette à 3<- à gauche du grand axe de la femlle , son 
extrémité inférieure est sur le plan horizontal, sa longueur vaut 14"». 



CONCOURS DE 1909 (Suite) 283 



Cela étant, on t'ait tourner le cube autour de sa diagonale de front non verticale. Les arêtes du cube engen- 
drent des surfaces recouvrant un solide S. 

t° Construire les deux projections du solide S. 

20 On éclaire ce solide par la lumière à 45°. Construire l'ombre propre du solide et son ombre portée sur 
les plans de projection. 

On déterminera les points remarquables des lignes qui limitent les surfaces recouvrant le solide S, des 
lignes de contour apparent et d'ombre, et les tangentes en ces points. 

yota. — Dessiner en noir les lignes de contour apparent, les lignes qui limitent les surfaces recouvrant le 
solide S, ainsi que les contours des ombres: en trait plein pour les parties visibles, en ponctué pour les parties 
cachées. 

Faire en trait î-ouge, continu et (in, les lignes de construction et les lignes de rappel. 

Mettre sur les ombres visibles des hachures tines, espacées d'environ 1 1 /2 millimètre, bleues ou noires. Diri- 
ger ces hachures parallèlement à la ligne de terre pour l'ombre portée, et perpendiculairement aux projections 
du rayon lumineux pour l'ombre propre. 

Expliquer très sommairement les constructions effectuées; indiquer la nature et les éléments des courbes 
dessinées. On pourra utiliser la sphère tangente a toutes les arêtes du cube. 

Renfermer l'épure dans un cadre de 28x44'", et placer la ligne de terre suivant le petit axe du cadre. 

(Jeudi 22 juillet, de SU. à midi.) 

Groupe II. 

Physique. 

I. — 1802. Un condensateur A est chargé à 10 000 volts. On met ses armatures en communication avec 
celles d'un condensateur B de t microfarad, qui n'était pas chargé; et la dilîérence de potentiel tombe a 
9 500 volts. On demande quelle est la capacité du condensateur A, et l'on demande dévaluer l'énergie électri- 
que qui était primitivemeni disponible dans le condensateur A, puis celle qui est actuellement disponible dans 
le condensateur A + B. 

On réunit les armatures du condensateur double A + B par une colonne d'eau très légèrement salée, dont 
la résistance est de 1 mégohm (iO« ohms). Quelle est, à l'instant initial, l'intensité du courant qui passe ; et 
peut-on considérer cette intensité comme constante (àd pour tOO près) pendant le premier vingtième de seconde 
de la décharge ? 

La masse de la colonne d'eau étant de l gramme, et sa température initiale étant de 15 degrés centigrades, 
quelle serait sa température finale si l'on arrêtait la décharge au bout d'un vingtième de seconde ? 

n. — Expliquer sommairement en quoi consiste le phénomène de la polarisation, et ce qu'est la polarisation 

rotatoire. , , 

[17 juin, de 8h.a 2 h.) 

Chimie. 

Cyanogène. Acide cyanhydrique. 

Cyanures. — Ferro et ferri-cvanures. Bleu de Prusse. 

tl9 juin, de 8 h. (i nudt.) 

Sciences naturelles. 

De l'évolution dans le monde organique. 

Notions sommaires sur les divers ordres de faits (morphologiques, paléonlologiques et embryogéniques) sur 
lesquels est fondée l'idée d'évolution el qui permettent la recherche des origines des êtres vivants. 

Indiquer avec quelque précision, d'après l'un ou l'autre de ces ordres de faits, comment s'est faite l'appari- 
tion des Vertébrés terrestres, pour le monde animal, et comment s'est constitué le type Phanérogame, pour le 

monde végétal. 

(18 juin, de 8 h. à midi.) 

Groupes I et II. 

Mathématiijii'-s. 

I. — 1803. On laisse tomber, sans vitesse initiale, un point matériel pesant dont la masse est 1 gramme 
dans un milieu qui oppose à son mouvement une résistance proportionnelle a la vitesse ; soit k le coefficient de 
proportionnalité ; on compte le temps à partir du moment où le mouvement commence. 

1. Quels sont, au bout du temps t. la vitesse de ce mobile et le chemin j qu'il a parcouru ? Vérifier, sur les 
formules trouvées, que lorsque k est très petit, le mouvement est, pendant quelque temps, ,'i peu près le même 
que si le mobile tombait dans le vide. 



284 ALGÈBRE 

2. On laisse tomber au même instant plusieurs points matériels pesants, ayant chacun une masse égale à 1 
gramme, dans des milieux divers qui opposent tous une résistance proportionnelle à la vitesse, mais avec des 
coefficients k différents ; on compare les mouvements do ces points au bout du temps (. Il est aisé de prévoir, 
d'après la nature même de la question, dans quoi sens varient la vitesse et le chemin parcouru lorque A aug- 
mente. Vérifier analytiquement ces prévisions. 

3. Calculer le coefficient k par la condition suivante : Le point matériel, pour tomber sans vitesse initiale 
d'une hauteur égale à 2g, met un dixième de seconde de plus que s"ll tombait dans le vide. 

On prendra g = 981 centimètres et on se bornera à calculer le premier chiffre significatif de h. 

II. — 1804. On considère l'équation différentielle 

(1) 'j'-hVi/ + Q = 0, 

où y est la fontion inconnue et où P, Q sont des fonctions de la variable x. 
i. Montrer que toute solution de cette équation vérifie l'équation différentielle 

(2) y" + tP' — P^i y -^ Q' - PQ = 

iy' et y' désignent les dérivées première et seconde de ;/. P' et Q' les dérivées de P et de Q). 

2. Déterminer P et Q de façon que l'on ait, en désignant par a et f, des constantes données, 

P' _ p2 _ j-2 ^ (V _ PQ — 

3. En adoptant pour P, Q les fonctions ainsi trouvées, on intégrera les deux équations (!) et (2) et l'on calcu- 
lera ce que devient le premier membre de l'équation M) ([uand on y remplacerai/ par la solution générale de 
l'équation (2). 



(14 juin, de 8 h. à midi.) 



-♦- 



QUESTION PROPOSÉE 



1805. — On considère la quadrique (II; définie par l'équation 

(H) 2x- — a-i/' — 3!'''---t-2a*(/:-(-10a':;a:-l-2axi/ — 12a-x-t-6a'i/-|-6a-^z-l-18a' = 0. 

où a désigne un paramètre vaiiable. 

1° L'enveloppe de cette quadrique se compose de quatre surfaces réglées du quatrième ordre, dont on cher- 
chera les équations et les contours apparents sur le plan des coordonnées. 

2» Chaque quadrique (H) touche son enveloppe suivant un quadrilatère gauche ABCD. Montrer que chaque 
côté de ce quadrilatère a un contact du second ordre avec les surfaces réglées engendrées par les deux côtés 
qui lui sont consécutifs. 

."^0 Soient Aa la tangente au lieu de A et Aa' la droite suivant laquelle le plan DAB touche son enveloppe. 
Montrer que ces deux droites divisent harmoniquement l'angle BAD. On a les mêmes propriétés pour les trois 
autres sommets B, G. D. 

4» Si l'on considère le tétraèdre ABCD, les lieux de ses sommets, les arêtes de rebroussement des enveloppes 

de ses faces, les intersections des six surfaces réglées engi^ndrées par ses arêtes et combinées deux à deux de 

toutes les manières possibles, se composent uniquement de cubiques gauches, qui admettent foutes une même 

définition géométrique très simple. 

J. Haag. 



DEUXIEME PARTIE 



ALGEBRE 



1736 CnlcuUr à près la partie réelle ft le. coefficient de i pour chacune des racines imagi- 

naires de l'équalion 

L'équalion proposée s'écrit 
ou (■J-\)i-J-z+l) = 0; 



ALGÈBRE 285 

elle admet les deux racines réelles h- I et — I, puis les racines de l'équation 
(!) r— :.-h1:=0 

Or, il est facile de voir que cette équation n'a aucune racine réelle. D'abord, elle n'a pas de racine 
négative ; ensuite, en mettant le premier membre sous la forme ;(:' — 1) + 1, on voit que tout nom- 
bre positif supérieur à 1 ne peut être racine de l'équation, et en l'écrivant ;^+l — :, on voit que 
tout nombre positif plus petit que 1 ne peut pas non plus être racine. 

Il en résulte que l'équation (1) admet quatre racines imaginaires. Posons z ^ x -hyi, x et y 
étnnlréels. l'équation devient 

(x -+- yY — (x -+- iji) +1=0 
ou 

X' — 6j-y^ + y' — X-+- l + i[ix^y — iri/^ — y' = 0. 
On doit donc avoir 

jt* — 6x^y- H- î/* — r +1 =0, 
y(W — ixy^—l) = 
et il faut chercher les valeurs réelles de x et de y vérifiant ces équations. 

La seconde donne d'abord v = 0, solution inacceptable, puisque l'équation (1) n'a pas de racine 
réelles. En écartant cette solution, on tire 

ix'— 1 

ot en remplaçant »/' par cette valeur dans la première équation, on obtient, toutes réductions faites, 

(3) f[x) = 64x6 _ 16x2 — 1 =0, 

et nous sommes conduits à chercher les valeurs réelles de x et y vérifiant les équations (2) et (3). 

Le théorème de Descartes moiîlre que l'équation (3) admet une racine positive et une négative, qui 

sont d'ailleurs égales et de signes contraires ; soit a la positive, — n la négative. Remplaçons x par 

ces valeurs dans l'équation (i\ nous avons 

ia^ — ) ia-' -|- 1 
y- = 1 1/ = 

/ 4a^ + I 
La seconde admet deux racines réelles ± 1 / — ; la première également, car il est facile de 

vérifier que a est supérieur à ^^ • En effet 

/(^)=--— -l=3-i,.^ = 3-4V4<0, 

et comme f{^ x) est positif, a est supérieur à -j-^- 

\Ji 

/ 4a' — 1 / 4a' + 1 
Posons = \/ ; , c = \/ ! nous aurons les quatre racines imaginaires de 

V 4a y 4a 

l'équation (1 j a rh Oi et — a dz ci. 

Tout revient à calculer a ; nous nous servirons des tables de logarithmes. 

Si on considère x' comme l'inconnue, l'équation (3) a ses trois racines réelles, nous pourrons donc 

o 
ramener sa résolution à celle de l'équation qui donne cos -r- en fonction de cos ç. 

Posons x^ = '/t, l'équation (3) devient 

64X^<' 

Or l'équation qui donne cos — — t en fonction de cos o est 

(4; 4«'— 3(— cosr = 0. 



2gg ALGÈBRE 

Identilions ces deux équations, nous avons 

16;. i 

16À' = = , 

3 ces ç 

ou 13 

1 3^/3 

Prenons '=71' "'''■= ^ • 

_ 3/3 

Il existe un angle 9 compris entre et ^> ayant pour cosinus — — • Les trois racines de l'équa- 
tion (4) seront cos-^r cos ■ " "^ etcos '^ "^ " ■ la racine positive est cos-^- Donc les racines 

réelles de l'équation (,4) seront données par r^ = /. cos -|- - ou r' = — ces -^ ; par suite 

a- i~ ~ 

Pour calculer h et c, nous pouvons écrire 

Calculons un angle aigu 6 tel que tg' 1 = -— ; nous avons^ 

/, = v/aHi-tg*ej, c = M» + tg'e). 

_ g y' cos iî'l ^ _ " 

ou — cose cos 6* 

Les calculs se feront dans l'ordre suivant: 

log cos o = ^ log 3 — log 16, 

'r 1 , -, 

2 log (( = log cos -^ ^ log i, 

aiogtgO = — 3 loga — log ^, 
log c == log a — log cos 6, 

logé = iogC + ylOgCOS-20. 

On trouve successivement 

log cos o = Ï,5U5C. et o = 78f-',9i35; 

on en déduit | = 26^,3143, log cos -J = 1 ,96180, 

loga = i,86l6i, et a = 0,7^713. 

Puis log tg 'i = 1,90654, o = 43î=',2021, 

log cos e = 1 ,89123, log cos 20 =z 1 ,32622, 

log c = 1,97039, log i = 1,63330, 

c = 0,9341, 6 = 0,43003. 

Les racines imaginairestde l'équalion proposée sont donc 

0,72715 ± ! 0,43003, — 0,72715 ± 1 0,9341. 

Jean B1N(Î, élève à l'Ecole nationale supérieure des .Mines. 
Solution par .M. <".. LAoïr, A Denaln. 

♦ 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 287 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1743. — La courbe lieu du point du plan d'une parabole à égale distance de la parabole et de son 
sommet est une développée de parabole. 

Celte courbe est aussi le lieu du point dont les trois noi'males issues de ce point à la parabole et la 
parallèle à l'axe menée par ce point forment un faisceau harmoniqup. 

Tout point M équidistant d'une parabole et de son sommet est le centre d'un cercle tangent à la 
parabole et passant par le sommet. 

Soit y- — 2p.r = l'équation de la parabole, et ;/ — mx — - — = l'équation d'une tangente 

en un point quelconque A. Le cercle tangent en A à la parabole et passant par le sommet rencontre 
la parabole en un autre point B, et la droite OB fait avec Ox le même angle que la tangente en A, 
mais en sens contraire. Par suite, le coefficient angulaire de OB est égal à — m, et l'équation du cercle 
est de la forme 



) ()/- — 2px) -t- ( y — mx — -^ \ {y ~ mx'j = 0. 



Dans cette équalion le coefficient de xij est nul ; écrivons que le coefficient de x- est égal à celui 
de y-, nous avons À = — (m- -i- 1), et l'équation du cercle devient 

„,.,^. ^ y2^ -JH — -~y = o. 



Son centre a pour coordonnées 



(i»i-H-3)/j p 



4m- ^ 4m' 

pour avoir le lieu de ce point, il suffit d'éliminer m entre ces deux équations. Nous pouvons les écrire 

3P 3 P . 

m- =^ ) J)r = ) 

'i(x — p) iy 

élevons la première au cube, la deuxième au carré, et égalons les valeurs de »!•*. Nous obtenons 

(1) 4(x — pV — 27pj/- = 0, 
c'est l'équation du lieu. 

11 est facile de voir que ce lieu est une développée de parabole. En effet, on sait que la parabole 

y- — 'ia.r = Q a pour développée la courbe 8(x — a)' — 27aj/* = 0. Si on transporte l'origine au 

'21a 
point (a, 0), on voit quelacourbe x' — y^ = est la développée de la parabole y- — 2flr — 2a- = 0. 

27» 
Remplaçons a par ^p, nous pouvons dire que la courbe t^ ; — y" = est ladéveloppée delà 

parabole y- — ipx — 8/3^=0, ou encore, en transportant l'origine au point (— p,0), que la 
courbe (1) est la développée de la parabole y- — ipx — ip^ — 0. 

Cherchons maintenant le lieu du point dont les trois normales issues de ce point à la parabole et la 
parallèle à l'axe menée parce point forment un faisceau harmonique. 

La condition pour que quatre droites concourantes ayant pour coefficients angulaires m,, m^, mj, 
nu forment un faisceau harmonique est 

2(i/i,m2 -h J?i3m4) = (m, + ni,)()/i3 -+- nu). 

Si l'une des droites est parallèle à Ox, on a par exemple »ij = 0, et la relation devient 

(2) 2n?,7ji2 = wij(mi -t- m^). 



288 UUESTIOiN PROPOSÉE 



Or, on sail que les coefficients angulaires des normales issues du point (x, y) à la parabole 
y^ ~ 2p.T = sont racines de l'équation 

y = m(x—p] ^^, 

ou 

i'A) pm' — 2m(.c— ;;) + i!i/ = 0. 

Il suffira d'écrire que les racines de cette équation satisfont à la relation (2) . 

Mais on a 

2(.B — ;j) ^ 5(.e — h) 

j/i,wJo + 7/!3(wii -t-m.)) = » on m ( m, + 7n2) = — —num.,: 

^ -' p ■' ' p - 

et la relation {i) devient 

niim, = — 
D'autre part, 

ou, en divisant membre à membre, 





¥ 


m,m.,:iij 




i"i = - 


3.-/ 



■ — p 



Donc, si on a la relation ( -2), la quantité — — ^ — est racine de 1 équation (3)^ Inversement, si 



x~ p x—p 

est racine de (3), et si l'on a î/=z=0, les racines de l'équation (3) vérifient la relation (2). 

On aura donc l'équation du lieu en écrivant que — est racine de l'équation (3), ce ([ui donne, 

X p 

cil supprimant le facteur y, 

4(.T — pf — Tipy- = ; 

c'est la même équation que précédemment. 

A. DÂUMOX, à Paris. 

Bonnes solutions par MM. Amblaru, à Kuines (CiUitiil) ; R. Bouvaist ; J. CouLA^GE ; Pierre Hki.iot ; Joseph Vérots, école 
des Anglais, il Lyon ; (1. I.acb, à Denain ; E. Leiioox^ lycée de Douai ; Camille .U*ssixg ; Jacques Paiiaf; P. Salleron, à Albi ; 
Louis Sire, à Ljoii. 



QUESTION PROPOSEE 

1806. — i° Ucterniiner le polynôme 

de façon que /"(l) = 2 et f(ij = 1 . Trouver, sans faire l'opération, le resle de la division de ce polynôme 
par le trinôme a;- — 'ix -t- 2. 

2° Trouver tous les couples de nombres différents x et p, tels que /"(») = ^ cl /'(jil =a. 

3" Trouver la série entière qui représente 

x' — 3a; -H 2 

et dire pour quelle valeur de x elle est convergente. 

E. H. 



BA«-Ll>l)OC. — IMP. COMTB-JACQUBT. 



Le Hédacteur-Géranl : H. VUIUEUT. 



19« Année. N» 12. Septembre 1909. 

REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



SUR LES COMPOSANTES DE L'ACCELERATION 
Par M. G. Fontené. 



Les composantes de l'accélération suivant les axes étant -r— , — r^' — -' on en déduit les 

dl- dl- dt- 

expressions de Taccélération tangentielle et de l'accélération normale ; le calcul peut être dirigé comme 

il suit. 

On a 

rf-'x d / dx 

dl- ~ ~dî 

on a à prendre la dérivée d'un produit, dérivée qui est une somme de deux termes, et c'est ainsi que 

l'on arrive au résultat cherché. On a donc 

d'i de d cos 3. 

X cos a -h f 



/ dx \ d / dx ds \ d 



dl- dl ' dt 

dt ^ ^ ds dl 



1 j r ■ • • , 1 ,. . . d ,, . . d ds 

on remplace une seconde fois, mais a ce moment seulemenl, 1 opération -j- par 1 opération -7— X -j- 



ou V ——■, et 1 on a 






d'x do 

dv- = dt x-^'^ + ^- 


d cos a dv f- 


d cos 1 dv V- 


ds dl ^"^'^•'' ' s 


d- dt 



l'angle -: étant fourni par le développement du cône directeur des tangentes. 

La démonstration ainsi présentée, avec cos a au début, a un caractère plus géométrique que si 

l'on écrit simplement avec — — jusqu'à la tin, 

d*j- _ d / dx \ d / dx \ dv dx d / dx \ 

IF ~ H \~dtj "^Ht y ir) "" TT "rf7 "^ '' ÏT [IT) 

dv dx cPjr dv v^ 

= — ; h V- —nr = — r- cos a -i cos /. 

dt ds ds- dt ? 



NOTE SUR LES EORMULES DE RECURRENCE 

par M. J. Haag. 



U arrive souvent aux élèves de Mathématiques spéciales d'avoir à calculer une quantité u„, dépen- 
dant du nombre entier et positif n, sachant que cette quantité est liée à u,_, par une relation de la 
forme 

u„ = /■(«„_„ ,1), ih 



290 NUTE SLFH LES FORMULES DE RÉCURKE.NCE 



et connaissant en oulre la valeur de w„ par exemple. Une relation de la forme précédente s'appelle 
comme on sait, une formule de récurrence. Il est évident qu'elle permettrait de calculer de proche en 
proche la valeur numérique de u„ correspondant à une valeur 7utmérique donnée de n aussi élevée qu'on 
le voudrait. C'est généralement tout ce que l'on peut tirer d'une telle relation, quand elle est de forme 
quelconque. Mais î7 «4/ rfcA-ca«sm/j/M, qui se présentent assez fréquemment dans les applications, où 
l'on peut trouver la valeur de u„ sous forme d'une expression explicite en fonction de n. 

Ces cas ont été rencontrés par la plupart des élèves; mais ils hésitent cependant quelquefois à les 
reconnaître et à retrouver la méthode permettant le calcul de u„. C'est pourquoi j'ai cru bon de les 
rassembler ici en une courte note . 

/" cas. — La relation est homogène en ii„ et »„.i. — C'est le cas le plus simple. On tire en effet de 
la relation de récurrence la valeur du rapport — ~ en fonction de n. Soit donc 

puis !(„_, =/■(»( — 1) . !(„_2, 



?(1 = /'l i) . U^. 

Multiplions membre à membre, il vient 

ii„ = u„ . f\\) . /(2) A"). 

Cette méthode est fort connue. 

2^ cas. — La relation est linéaire, 7nais pas homoghie. — Soit 

a„u„ -+- b„u„_, -+- c„ = 0, (2) 

a,„ b„ et (■„ étant trois fonctions données de n. 

Rappelons la méthode, également classique, employée dans ce cas. 
On tire de (2; : 

Un = fn) .„„._, 4- ^(^„), 
puis u„ , = f{n — \.)u„__,, ■- g(n — I ), 



W) = Al I .«„-(-(/( I). 
On obtient ainsi un système de n équations linéaires a. n inconnues u,, u.,, .... u„. Pour obtenir u„, 
il suffit donc d'éliminer k,,^,, u„^.,. ..., ui entre ces n équations. Pour cela, on multiplie la seconde 
équation par f(n), la troisième par f(n) . f{n —1), la quatrième par /(m) . f{n - 1) . f{n — 2), etc.; 
enfin la n° par /"(»). /(o — 1). . ./"(â). Puis l'on ajoute membre à membre les équations ainsi modifiées, 
et l'on obtient w,, en fonction de «„ et de n. 

On voit que les calculs et le résultat sont en général beaucoup plus compli(iués dans ce cas que 
dans le premier. 

Oa peut obtenir de grandes simplifications dans certaines circonstances et se ramener immédiatement au 
premier cas étudié. Supposons d'une façon générale qu'entre les coeflicients de la relation (2) il existe 
une relation de la forme 

A(a„-(- b„)~\-c„ — 0, 
A désignantune constante. 
Posons 

W,i — t'n-f- A. 
La lelation (2) devient alors 

a„i-\i -t- b„v„^ I = 0. 
Elle est homogène et donnora immédiatement u„ ; d'oii m„. Cette petite transformation sera appli- 
cable en ])articulier toutes les fois que la relulion (-2) sera ù coe/ficienls constants, ce qui est assez fréquent. 



ALGÈBRE 29J 

Nous venons de signaler les deux cas fondamentaux où Ion peut obtenir l'expression explicite de u„ 
en fonction de n. Il y en a d'autres qui s'y ramènent facilement. D'une façon générale, si la relation 
peut se mettre sous la forme 

a4,u„j -+- b„f(u„_,) -i- c„ = 0, 

on posera v„ = f(u„], et l'on sera ramené au deuxième cas pour le calcul de v„. Ayant r,,, on aura u„ 
par l'inversion de la fonction v„ = f(u„). Voici par exemple un cas simple qui se présente dans cer- 
tains problèmes. Soit à calculer «„ en fonction de u„ et de «, sachant que l'on a 

(«„"".(«„_./"= c„. 

Prenons les logarithme- dans un système de base quelconque : notre relation devient 

u„v„-i- 6„t'„_, = d„. 
en posant v„ = log «„, rf„ = log c„ 

Si en particulier a„, bn, c„ sont des constantes, le calcul de v„ sera, nous l'avons vu, très simple. 

On arrive par exemple à une relation de la forme précédente dans la question suivante posée déjà 
plusieurs fois aux examens oraux de l'Ecole polytechnique. » Etant donnée une strophoïde S et un point 
Mo sur cette courbe, on mène la tangente en M,; elle coupe S en M,: la tangente M, coupe S en M,; 
et ainsi de suite. Calculer les coordonnées de M„ en fonction de n et des coordonnées de .M, ». Si l'on 
rapporte la courbe à ses tangentes au point double, et si l'on pose y = tx. on obtient entre les l des 
points M„ et M„_i la relation récurrente 

/,,'L, = k, (k = c'"). 

Remarque. — Disons un mot d'une mHhode qui réussit quelquefois et qui est aussi très connue. 

Cest celle que l'on pourrait appeler la méthode des tritunnements. Elle consiste, comme on sait, à 
calculer directement les valeurs de u„ pour les premières valeurs de n. Puis on essaie de deviner, 
d'après les résultats obtenus, la forme générale de i/„. 

Ayant trouvé cette forme, on vérifie que si elle est e.xacte pour n. elle l'est aussi pour n —i. 

Celte méthode peut évidemment être plus simple dans certains cas que les méthodes régulières 
précédentes. On perçoit même qu'elle puisse convenir alors que celles-ci ne s'appliquent pas. Mais elle 
n'a évidemment aucune généralité et en outre elle exige souvent beaucoup de flair de la part du cher- 
cheur. 



ALGËBHE 



1739. — 1° Etudier les variations des fonctions 

e' — 1 C — 1 — jr 



e-' — 1 — X 



= 1 X = 



p'.^) = — 



p 



2" Trouver la somme de la série entière dont le terme général est L^ x" v étant 

■,., t , P(P+l)---{i3-Hn — 1; ' ^ 

un entier positif, f un polynôme. 



,'!'-' 







p 


-i)\ 


rie entière 

X X- 


XP 

- -i- — 1- - 




at" 



1° La fonction 



dont le rayon de convergence est infloi. 



292 ALGÈBRE 

Sous l'une ou l'autre de ces formes, il est en évidence que la fonction °p{x) tend vers zéro quand a- 
croît indéfiniment par valeurs négatives, qu'elle tend vers l quand x tend vers zéro, qu'elle croît quand 
X positif croit et qu'elle croît indéfiniment quand x positif croît indéfiniment. 

Il reste à étudier celte fonction quand x est négatif. Prenons sa dérivée qui s'écrit, tous calculs faits, 

(p — l)x (»-2).r- x'-' 

-p-T ?^(^) = :;f-^ ■ ■ 

Nous nous trouvons ramenés à étudier le signe de la fonction 



(p-1): 



Pour cela, étudions ses variations 

P - 2 1 

J-;(x) = e-^ar — p-h1]-h(p— 1)H — -f + ■■■ + ^^ _ ^^ , J'^'. 

On peut donc écrire -^^(x) = '^'p-iix). 

Considérons les fonctions 

J,,(x) = 'VJx) = e^(x — 1) -+- 1, 
J/j(x) ^ -l/^x) = e^(x — 2) -f- 2 + X, 



•l^Jx) = ■y/x) = e'(x — p-hl)-^'p — {)■ 



(p-2)! 

Elles s'annulent pour j = 0. 

La première "VoIj^) ^st du signe de x ; la fonction >i'i(x; qui s'annule pour .i = est donc 
positive ; par suite 'i2(x) qui s'annule pour t = est du signe de .( . 

Ce résultatestgénéral. La fonction •l'j,(.rj est négative pour x négatif si p est pair; elle est positive 
pour X négatif si p est impair. 

Il en résulte, en se reportant à l'expression de ç^(x) que cette fonction est toujours positive 
quand x est négatif. 

Par suite, la fonction fpCv) est une fonction croissante de à + oc quand x varie de — oc à n- ». 

2° Soit la série entière, dont le rayon de convergence est infini, 

"i + «2 + 1/3 -)- ■■■+«,■ + ■ • 

fi») 

avec U„ — ; ; -x', 

p{p^l)...{p-hn — i) 

/■(n) étant un polynôme de degré /.-. On sait qu'un polynôme f{y) de degré k peut se mettre sous la 

forme 

/■(>/) = Ao + A,(i/-+-p — l)-f-Ao(y-f-p - i)']/ + p — 2)-r---i-Ai(i/ + p - i). . .(y -h p - b . 

On pourra donc écrire, en posant 

S„ — 1/, + h !/„, 



^"" \P '^Pip^ii'*' ' '^p{p+i)...(p + n-\)] 

I PX {p + 1)X^ (p+„-l)j'. -I 

1 /' pip + i) ^p{p + l)...{p + n-\)} 



Dans le coefQcienl de A,., il y a au début h termes irréguliers formant un polynôme de degré A, 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



293 



puis dans les termes suivants, en mettant en facteur, on voit apparaître comme coefficient 



p+i (;:,+l)...(yj + „ _/(_!) 

qui tend vers o^(.t) lorsque u croit indéfiniment. 
La série entière considérée est donc de la forme 

.f[P(x) + Qix)o,ix)], 
P{x) et Q(x) étant des polynômes dont nous pourrions écrire l'expression. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1733. — On considère une conique fixe 1" et une parabole P de foyer fixe 0, et on désigne par M el 
M' deux ombilics conjugués de P et de r. En supposant que M décrive une courbe donnée, trouver le lieu 
du point M'. 

Du point on peut mener à r deux tangentes. Prenons pour axes les bissectrices de ces deux tan- 
gentes, et soient 

r = Au- -^ Cv^ ^Wuw -^ '■2EVU' -hVir- = 0, 
P = u^ + v^ -{-puw-^qvii' = 
les équations tangentielles de r et de P. 

Soient (x, y), (x', y') les coordonnées de M, M'. On devra pouvoir iden- 
tifier l'équation de P avec 

C -h '^(ux-\-vy -+- ir][ux' -i-vy'-^ir) = 0, 




d'où 



A -+- ).a;x' = 0-4- Ài/y', 
De là on déduit 



F -I- ). = 0, 



xy' -+- yx' — 0. 



xy'-hyx' = 0, 
A - C 



0. 



cosw sin tu cos w' sin^' ' ' F 

Donc les droites OM,OM' sont symétriques par rapport aux axes, et 

OMXOM' = et--. 
Le lieu de M' se déduit donc de celui de M par une symétrie par rapport à Ox, suivie d'une inver- 



\ Q 

Soient F, F' les foyers de r. Le module — - — ne change pas si on remplace r par 

F 

r -t- A'u" -+- i'-i, 
c'est-à-dire par une conique horaofocale quelconque, en particulier par l'ensemble des deux points F, F'. 
Mais alors on peut faire coïncider M avec F, M' avec F'. Donc 

OMxOM'= OFxOF'. 

L. BICKART. 

Autre solution. — Soit 

r = au--\- 26uu -+- eu* -t- Muw -+- 'ievw -+■ fn-- — 
une conique fixe et soit r' = auu -(- ^nv -i-yuw = 

ime conique variable inscrite dans le triangle ABC pris comme triangle de référence ; soient 

U)0 = WXo -h 1)1/0 -t- IVZa = 0, 'û, = HTi H- l'J/i + «•:, = 



294 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



deux ombilics opposés de r et r', nous avons 

).r -H r' = k{uxo -+- vyo -+■ wzo){uxi -+- i-i/, + !'■:,), 
d'où Xa = kxoXi, Ib = kyo'jl, ">c = kzoz,, 

,, . XoX, '/0!/l iu3i 

doù = -^ — = 

a I) c 

uo et u)i se correspondent dans une transformation du second ordre ayant A, B, C comme points sin- 
guliers. Ce théorème est dailleurs connu, M. Duporcq l'a démontré géométriquement dans le numéro 
de Mai 1901 de la Revue. Dans le cas particulier où r' est une parabole de foyer donné, la transfor- 
mation du second ordre devient une inversion. 

R. BOUVAlST. 
Bonne solution de M. L. Sire, à Lyon. 



1734. — Soit la surface gauche x--i-tj- — z- — i = 0. 

l" On suppose qu'un point M se meuve d'un mouvement vibratoire simple sur ttne génératrice G de 
cette surface. Le centre de la vibration est le point de la génératrice qui est sur le cercle de gorge ; l'ampli- 
tude est y/2 ; la période est 2-. 

La génératrice G tourne autour de 0: d'un mouvement uniforme de vitesse angulaire 1. Trouver, au 
temps t, les coordonnées de M. 

2" Lieu de la trace, sur le plan des arj/, de la droite qui porte le vecteur accélération du point M . 
3" Construire les projections de la trajectoire du point M sur un plan quelconque passant par 0: et 
sur le plan des xy. Définir géométriquement celte dernière . 

k" Trouver et discuter l'intersection de la trajectoire du point M avec les génératrices de chaque système 
de la surface gauche. 

i" Supposons qu'au temps / = la génératrice G coupe le cercle de gorge au point A situé sur 
Or. Supposons encore qu'à ce temps initial, le point qui décrit la géné- 
ratrice G d'un mouvement vibratoire défini dans le texte, soit en .K. Au 
bout du temps t, la génératrice G coupe le cercle de gorge en P tel 
que AOP — t et le point est venu sur cette génératrice en M tel que 
P.\l = y/2 sin (. Projetons M en m surleplan des xy, sur la tangente 

/2 
en P au cercle de gorge. On a Pm — mM = v^ sin / . -^ = sin / 

puisque la génératrice de la surface fait un angle de — avec le plan 
des xy. 
De sorte que les coordonnées du point M sont 

X = cos / -t-sin (cos ( / -(- -^ ), t/ = sin / + sin / cos r, :• = sin / ; 




X s'écrit encore x = cos / — sin' /• 

2° La droite qui porte le vecteur accélération a pour équations 
x — cos t -+- sin' t y — sin < — sin < cos t 
— cos< — 2cos2< ~ ~sin < — 2 sin 2/ 
La trace de cette droite sur le plan des xy a pour coordonnées 

X = — 2 cos 2/ 



— sin / 



3 ^ 1 

• sin- t = — cos zt — —. 



y = sin / cos / - 2 sin 2f = — - sin "It. 



le lieu de ce point est le cercle de rayon —• dont le centre a pour coordonnées — — et 0. 

3° Occupons-nous d'abord de la projection de la trajectoire du point M sur le plan des xi/. Cette 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



S9o 



projection est définie par les deux relations 

X = ces t — sin^ / y = sin / -h sin < cos l, 

qui définissent une courbe symétrique par rapport à l'axe des x, comme on le voit en changeant 
< en — /. 

On peut écrire — -— = — sin ^(1 + 2 cos 0, 

—^ = cos l -h cos 2/ = 2 ces- ^ + cos ^ — 1 = (cos / 4- l)f2 cos ( — 1). 
al 

f^e tableau suivant nous permettra de construire aisément cette courbe : 








3 




2r 




r 







- 


- 







+ 







1 


\ 


1 
i 


\ 





'/ 


— 1 






-+- 





- 


- 









u 


' 




\ 


v'3 
4 


\ 







00 


















dt 



dy 
dx 
Le cercle qui est tangent en A à la courbe, dans cette figure, est le cercle de gorge de l'hyper- 
boloïde. 

Donnons une définition géométrique du la courbe ainsi trouvée. 
La première figure que nous avions tracée nous la fournit. Un point 
?7i est obtenu en partant d'un point P du cercle de gorge et en 
portant sur la tangente, dans le sens de Ox vers Oy, une longueur 
Pm égale à l'ordonnée QP. 

Nous allons transformer cette définition. Pour cela décrivons 
sur OA' comme diamètre un cercle, A' étant le rebroussement de la 
courbe à définir et menons Ojjt parallèle à Pw. La figure OPm;! est 
un rectangle. Donc A', [i, m sont en ligne droite et ;im = OP = I . 
Donc le lieu de m est une conchoïde du cercle de diamètre OA', 
le point fixe étant le point .V, la longueur constante étant le diamètre 
du cercle. 

On reconnaît là la définition d'une cardioïde. 

Nous avons aussi à construire la projection de la courbe sur un plan passant par 0:. Soit OX la 
trace de ce plan sur le plan des xy. Soit a l'angle de Ox avec OX. Prenons O.V et 0: pour axes dans 
le plan :0X. 

Les coordonnées d'un point qui est projection sur ce plan d'un point (x, y, z) de la trajectoire sont 
X = X cos a -H y sin a = (cos t — sin= t) cos a + (sin « -+- sin ^ cos sin a, 
: = sin /. 
L'équation, en coordonnées cartésiennes, de la courbe ainsi obtenue peut s'écrire 
J. = z sin a — :- cos x 3= ICOS ï + ; sin oijv'l — î'- 




296 



geomKtiîu-: .walytioue 



Il faudrait faire varier « de à -. Supposons, pour fixer les idées, a compris entre et -^• 
On peut construire cette courbe en construisant d'abord la parabole 

Xi = : sin a — ;- cos i, 
puis en ajoutant et retranchant à Xi (cos a + : sin a)v^l — z^. Ceci montre qu'il est nécessaire que 
:- •< 1. Les deux cas à distinguer, a variant, sont les suivants : 

1° L'équation cos x + : sin i = donne un nombre : compris entre -1-1 et — 1 ; c'est-à-dire 

a est compris entre — et — • Dans ce cas, la courbe présente un point double sur la parabole diamé- 
trale relative aux cordes parallèles à 0.r. 

2° a est compris entre et — • La courbe est une sorte d'ovale. 

Dans les deux cas, les courbes obtenues sont tangentes aux droites : = ± 1 aux points situés 
sur la parabole diamétrale. Nous n'insisterons pas davantage sur le cas général et nous construirons la 
courbe dans les trois cas particuliers suivants : 

1=0. La courbe devient X = — z-± v'i — :■■ 

Elle admet Oj- comme axe de symétrie, ce qu'on pouvait prévoir parce que la trajectoire elle- 
même du point M admet 0.r comme axe de symétrie : il sufRt pour le voir de changer t en — t. 

La dérivée de X par rapport à : est 

dz "^ H—z' 

ce qui montre que les tangentes aux points situés sur O.c sont paral- 
lèles à O2, que la branche obtenue en prenant le signe -+- devant le 
radical correspond à une valeur décroissante de X, : variant de à 
o(. Au contraire, pour l'autre branche, il y a un minimum pour x 

donné par i(l — i-) = 1, : = -^ • D'où on tire x = 

- 4 

a = — • La courbe a alors pour équation 

\^y = z±z,'r^^^. 
Celte courbe admet l'origine pour centre, ce qu'on pouvait prévoir en se servant encore de ce que 

la trajectoire du point M admet O.r pour axe de symétrie. 
La courbe diamétrale relative aux cordes parallèles à 
Oî/ se réduit ici à une portion de la première bissectrice. 

Pour : = 0, les deux valeurs de y sont nulles. De 
plus 

Pour l'une des branches, la tangente à l'origine est 0:, 
pour l'autre, c'est la droite 



z 


1 


1 


\ 


l.y 


/ "'' 








y 



Pour abréger, ne nous occupons pas du maximum de 
l'une des valeurs de y quand : varie de à 1. 

Enfin, signalons le cas particulier :i = — . L'équation de la courbe est alors 

v'ÎX = : — ;'±(l-(-s) ^r=l^ ou encore (;> — : -h Xy/Î)» = (1 -t-î)'(l — :). 

Ce cas particulier est intéressant parce que le [loint double situé sur la parabole diamétrale dont 
nous avons parlé dans le cas général est ici le point (: = — 1, X = — > î). En transportant l'origine 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 297 



en ce point, le second membre de l'équation prise sous la dernière forme est au moins du troisième 
degré en :. Le point double considéré est donc de rebroussement, la tangente étant la tangente à la 
parabole. Grâce à cette remarque, il serait facile d'achever la construction de la courbe. Nous ne le 
ferons pas. 

4° Les deux systèmes de génératrices de la surface gauche ont des équations de la forme 
1 X = z sin X + cos l, I. x = — : sin |ji + cos jji, 

) y = — z cos X -t- sin X ; | y = : cos (j. -+- sin [i. 

C'est une génératrice du système [t. que nous avons fait tourner autour de 0; d'un mouvement 
uniforme car le point M est le point de cote sin t sur la droite 

X = — : sin ^ -t- cos l, ?/ = - cos / + sin /. 

Sur une génératrice du système ,a, il y a un point et un seul, car le point M ne peut se trouver 
sur cette génératrice qu'aux temps [x + 2ÂTr et chaque fois il reprend la même position. 

Cherchons l'intersection de la trajectoire du point M avec une génératrice du système X. 

Un premier moyen consiste à considérer la projection de cette génératrice sur le plan des xy. Cette 
projection D est tangente au cercle de gorge. 

Cherchons son intersection avec la cardioïde. Qu'obtiendrons-nous? Les projections sur le plan des 
xy des points d'intersection de la trajectoire du point M avec le plan parallèle à l'axe 0; et passant par 
la droite D. 

Ce dernier plan coupe la surface gauche suivant la génératrice X et une autre du système i^. D'autre 
part, la droite D coupe la cardioïde en quatre points ; donc chaque génératrice X coupe la courbe gauche 
tracée sur la surface gauche en trois points. On pourrait même obtenir ainsi la discussion de la réalité 
de ces trois points, mais un peu vague, en s'appuyant sur la ligure qui représente le corde de gorge et la 
cardioïde. Suivant qu'une tangente au cercle de gorge coupe la cardioïde en trois ou en quatre points 
réels, la génératrice X coupe la courbe gauche en un ou trois points réels. 

Nous allons maintenant opérer analytiquement d'une manière plus précise. 

On est ramené à résoudre les cinq équations 

X = z sin X + cos X, x = — z sin t -+- cos l, 

!/ = — ; cos X -f- sin X, ?/ = : cos I -+- sin /, 

: = sin i, 

qui se ramènent aux doux suivantes, eu t, dont il faut cherclier les solutions communes : 

sin t (sin X + sin () + cos X — cos t = 0, 

sin / (cos X -t- cos () -+- sin / — sin X = 0. 

En transformant les sommes de lignes trigonométriques en produits et divisant la première par 

' -l-X <-h X . ■ , 

isin — - — . la seconde par 2 cos — ^ — , on obtient deux équations équivalentes : 

/ _ X ( — 1 

sm t cos — 1- sin — - — = 0, ou encore — sin t 

„ ' X 2i( .. - , ,, . 

Posons ta — = u. tg — = a, nous aurons = ou hnalenient l équation 

-2 "i 1 -i- u- 1 -t- au 

du troisième degré 

(I) u^ -haii--\-3u — = 0. 

A chaque valeur de ii correspondent des valeurs de / définies à 2A-:t près, donc un point de la 
courbe. Nous retrouvons donc ce résultat qu'il y a trois points sur chaque génératrice X. 

Il reste à faire la discussion de leur réalité quand a varie. Pour ne pas allonger la solution déjà 
longue d'un problème facile, nous nous bornerons à indiquer la méthode : elle consiste à construire la 



(t-l) 


t X 
18 T - tg Y 


2 
u — a 


1 + tg-tg^ 
ou tinalenient 



298 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



courbe (I) en y considérant u et a comme les coordonnées courantes. Cette construction est simple en 
résolvant par rapport à a et en remarquant que la courbe admet l'origine des coordonnées pour centre. 
Une fois cette construction opérée, on n'a plus qu'à couper la courbe par des parallèles variables à l'axe 
des w. C'est là un procédé familier aux lecteurs de la Bévue. 

Bonnes solutions : MM. J. Plans, lycée de Clerraont; Cli. JgiV, lycée Je Nimes; G. Foucot, à Roanne; G. Dinay, lycée 
de Poitiers; J. Bing; A. Dobv, lycée de Dijon. 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



1807. — Vil paraboloïde de récolulion a pour axe la verticale d't-loignement 12'^™ projetée suivant le grand 
axe de la feuille. Son so'nmet a pour cote lo*^" et son foyer a pour cote 13'™, 5. 

Un cône de révolution a pour sommet le point de la parabole principale de front du paraboloïde situé à 
gauche de l'axe du paraboloïde et dont la cote est 9'", le demi-angle au sommet de ce cône est égal à 60» et son 
axe est une droite l'e bout. 

Refrrésenter la partie solide du paraboloïde extérieure au cône illimité dans les deux sens ; on supposera que 
le paraboloïde est limité au plan horizontal de projection. 

On éclaire le solide obtenu par des rayons parallèles à la ligne de terre et dirigés de gauche ù droite, et l'on 
demande de tracer les lignes d'ombre relatives à ce solide. 

C.igrégation des sciences matliémiliques, concours de 1908.) 

Le paraboloïde limité au plan horizontal de projection a pour contour apparent vertical la parabole méri- 
dienne limitée à la ligne de terre. On en connaît l'axe, le sommet et le foyer, et Ton peut par conséquent la 
construire immédiatement par points. Nous rappellerons une construction assez rapide fondée sur l'équation 

de la courbe. Cette équation étant ici a--f-2^; = 0, on donne à z les valeurs successives i^ «- en 

prenant pour n les nombres entiers consécutifs de manière que — 2p; devienne un carré parfait »- = p-n-. 

On utilise aussi deux points de la courbe pour construire un point intermédiaire en menant par le point ( 

de rencontre des tangentes en ces points une parallèle à l'axe et prenant sur cette droite le milieu de la 

distance du point ( au milieu de la corde. On obtient d'ailleurs la tangente en un point qui correspond à une 

valeur de n en calculant son abscisse à l'origine -—-■ 

Le contour apparent horizontal du paraboloïde se réduit au parallèle section du solide parle plan horizontal. 

Le cône ayant son axe de bout n'a pas de contour apparent vertical ; son contour apparent horizontal se 
compose des deux génératrices 171 et try^ qui consliluent sa méridienne horizontale, et qui font chacune un 
angle de 60° avec l'axe. Ces deux surfaces étant du second degré se coupent suivant une quartiqne dont la pro- 
jection verticale sera une conique puisque le plan méridien de front du paraboloïde est un plan de sjmélrie 
pour les deux surfaces. Commençons par déterminer cette conique, et pour cela rapportons les deux surfaces 
à trois axes rectangulaires ayant leur origine au sommet du paraboloïde, l'axe des z étant son axe dirigé vers 
le haut, ox la tangente au sommet de la méridienne de front. 

L'équation du paraboloïde est, en désignant p:ir p son paramètre, 

(1) a:»-t-i/--t-2p; = 0. 

Le cône ayant son sommet au point (x = — 2p, y = 0, ; = — 'Ip) et pour demi-angie au sommet 60° 
a pour équation 

(2) (X + 2pF H- (.- -I- -Ipf — ■ig- — . 

La projection verticale de l'intersection s'obtiendra en éliminant y entre ces équations, ce qui donne 
[x -+- 2p)2 -4- (y -H 2/))2 -(- 3(x2 -H 2pî ) = 



('-^)' 



18p- 



C'est une ellipse dont le centre a pour coordonnées x = — — . j = — 5p, où p = S""", 

^^pJï ,_ 

dont les demi-axes sont — 5 — et ip^-i. . 




Echelle : —•■ 



300 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



On reconnaît aisément que son petit axe est situé sur la ligne de terre ; cette ellipse est tangente à la para- 
bole méridienne au sommet dn cône comme on pouvait le prévoir. 

Pour obtenir l'intersection des deux surfacesonpeutemployer des plans auxiliaires passant par l'axe du cône ; 
ils coupent sa surface suivant deux génératrices, et coupent celle du paraboloïde suivant des ellipses, qui se pro- 
jettent horizontalement suivant des cerclespuisqueleplan horizontal est parallèle au plan tangent au sommet. On a 
d'ailleurs immédiatement les génératrices du cône en prenant les points d'intersection d'un parallèle de front 
choisi pour base du cône avec la trace, sur son plan, du plan auxiliaire de front mené par le sommet du cône. 
On a aussi chacun des cercles auxiliaires projection horizontale de la section plane du paraboloïde en remar- 
quant que son centre est sur la ligne de front du sommet, au milieu de la projection horizontale de la corde 
déterminée dans la parabole méridienne par la trace du plan auxiliaire. 

On peut aussi, et le tracé est un peu plus simple, couper le paraboloïde par une série de plans horizontaux, 
prendre les points oi!i chaque parallèle coupe rellip>;e que nous venons de déterminer sur la projection verticale, 
et rappeler ces points sur la projection horizontale de chaque parallèle. Ces constructions pouvant être faites 
rigoureusement à la règle et au compas donnent très exactement la courbe demandée. Nous donnons la 
construction pour le point (»/, m). On peut obtenir la tangente en un point soit en projetant horizontalement 
la tangente à l'ellipse au point correspondant, cette droite étant située dans le plan tangent à la surface du 
cône en ce point, soit en appliquant la méthode ordinaire du plan des normales en ce point à chaque surface. 
Nous avons indiqué cette dernière construction qui nous a donné mt, m't'. 

Les points remarquables sont : d'abord le point double au sommet du cône ; les tangentes en ce point sont 
les génératrices du cône situées dans le plan tangent au paraboloïde en ce point et qu'on obtient facilement en 
donnant au cône une base parallèle au plan vertical et prenant sur ce plan la trace a' 6' du plan tangent qui est 
ici de bout. Les points sur les génératrices de contour apparent du cône sont donnés par le parallèle du parabo- 
loïde qui passe au sommet du cône et qui coupe l'ellipse aux points a' et i', d'où les deux points i. l.a courbe 
touche en a le parallèle mené par le sommet de l'ellipse projection verticale. 

Enfin la quartique passe parles points b où le parallèle limite du paraboloïde coupe les lignes de rappel 
menées par les extrémités de l'axe de l'ellipse projection verticale, et en ces points la tangente est de bout en 
projection horizontale. 

On peut d'ailleurs retrouver ces résultats analytiquemcnt en prenant l'équation de la quartique, obtenue 
par l'élimination de 3 entre les équations (1) et (2;, ce qui donne 

r:,+ Op)-2 _ 3y= -f- ( ap - ^^2^ )' = . 

Portons l'origine au point double, on obtient 

ipHx^ — 3;/^ ) 4- (4px — 1/2)2 = 0. 
T 

Les points sur les génératrices de contour apparent x'—3y'' = ont pour abscisses x= 0, x = ^2p. 
Les points sur le cercle de base du paraboloïde ont pour abscisses 



Les tangentes k l'origine sont y = ±xk/-', 



L'étude de cette courbe et de ses tangentes est très simple et peut servir de vérification. 

Représentation du solide. — Pour obtenir ce qui reste du paraboloïde limité au plan horizontal quand on a 
enlevé la portion intérieure au cône, il faut prendre l'intersection du cône avec le plan horizontal. 

C'est une hyperbole dont les asymptotes sont les génératrices de <-ontour apparent horizontal, et dont les 
sommets réels sont les traces des génériitrices situées dans le plan de profil du sommet. On a immédialenaent 
ces points en projetant verticalement le cône sur ce plan de profil. 

Il ne reste plus qu'à tracer une hyperbole dont un connaît les asymptotes et les sommets. Elle passe d'ail- 
leurs par les points où la quartique coupe le parallèle base du paraboloïde. 

On devra donc supprimer en projection horizontale les deux arcs de ce parallèle b'^b intérieurs à la sur- 
face conique et les portions de génératrices illimitées au delà des points i où elles touchent la quartique. Tout 
ce qui reste est vu sauf les génératrices de contour apparent du cône, qui sont cachées par la surface du para- 
boloïde. 

En projection verticale tout est vu, la parabole méridienne étant conservée. 

Ombre propre. — L'ombre propre du solide se compose d'abord de la ligne d'ombre sur la surface du para- 
boloïde et qui n'est autre que la parilxile méridienne de profil ; on ne doii en conserver que l'arc projeté en 
»'«', su sur la droite de 'profil du sommet. Elle comprend ensuite l'ombre portée sur la surface conique 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 301 

intérieure an paraboloïde par la partie solide de ce paraboloïde qu'on a conservée. Cette ombre n'est autre que 
le lieu des seconds points d'intersection de cette surface conique avec les parallèles à xy menées par les pointi 
de la courbe commune aux deux surfaces par où ces rayons pénétreraient à l'intérieur du solide. Or le cône 
admettant pour plan de symétrie le plan de profil de son sommet, auquel tous les rayons lumineux sont per- 
pendiculaires, on voit immédiatement que la courbe d'ombre sera symétrique de la partie de la courbe d'inter- 
section située à gauche de ce plan de profil, soit jV, ir. 

On peut donc immédiatement tracer celte courbe d'ombre sur les deux projections sans autre construction 
spéciale, les parties couvertes de hachures indiquant les régions dans l'ombre et visibles sur chacune des pro- 
jections. 



CONCOURS DE 1!)09 !Siiite). 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQLES 



M'ithèmaiiqucs élimentaires ('). 

On donne deux cercles, décentres et 0', de rayons R et H'; ces deux cercles sont extérieurs l'un à 
l'autre, et l'on mène les tangentes communes extérieures dont les points de contact sont A et A', B et B', 
ainsi que les tangentes communes intérieures dont les points de contact sont C et C, D et D', les points A et 
C étant de part et d'autre de la ligne des centres, tandis que le contraire a lieu pour les points A' et (.', si l'on 
a, comme on le suppose. R < R'. Les tangentes AA' et CC se coupent en E. les tangentes BB' et DD' se cou- 
pent en F, et la droite EF rencontre la droite 00' au point G ; les tangentes AA' et DD' se coupent en I, les tan- 
gentes BB' et ce se coupent en .1, et la droite IJ rencontre l;i droite 00' au point K. On considère les droites 
AC, BD et A'C, B'D', qui se croisent nu point K. 

1" Pour que les droites AC et B'D' se confondent en une même droite r, auquel cas les droites BD et A'(.' 
se confondent en une même droite 5. il faut et il suffit que les cercles orthoptiques des deux cercles donnés 
soient orthogonaux, ce qui équivaut k la relation métrique 

(On appelle cercle orthoptique d'un cercle le cercle qui est le lieu des points d'où l'on voit le cercle donné 
sous un angle droit.) 

I.e point G est alors le milieu du segment 00'. 

La condition précédente est supposée remplie dans tout ce qui suit. 

2° Si R est un point delà droite r, les polaires de ce point par rapport aux deux cercles et 0' se cou- 
pent en un point S situé sur la droite s. 

3° L'enveloppe de la droite RS est une conique, que l'on déterminera par des éléments métriques, et dont 
on indiquera quelques tangentes remarquables. Le lieu de l'orthocentre P du triangle ORS est une conique, 
dont on indiquera quelques points remarquables ; même question pour le triangle OR?. 

4° Soient RM, RN, et RM', RM' les tangentes menées d'im point R de la droite /aux deux cercles et 0'; 
le p'an étant orienté dans le sens ABCD, soient a, 3 et f, i les angles que font avec un axe porté par la droite 
r des demi-droites portées par ces tangentes et situées d'un même côlé de la droite r pour chacun des cercles 
et 0' (ces angles se retrouvent en et 0') ; on po.se : 

a-l-3 i - a 



Établir les relations suivantes : 

cos^ u— (1-1- r^r) '^^^^ ^- '■'^"^ *■ = ( * """ R'J ' '^"^^ ^' 

1 -H tgj- _ R'2 

l-l-lg'/ ~ R2 ■ 

Vérifier, au moyen de ces relations, que les tangentes RM. RN et RM', RN' forment un faisceau harmo- 
nique. 

Le point R de la droite r peut d'ailleurs être remplacé par un point S de la droite .f. 

l'I Des solutions étudiées de la question de mathématiques élémentaires sont publiées dans le Journal de Mathématiques 
élémentaires. 



302 AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 

Malhcmatique'i spéciales. 

1808. — On donne une parabole (V) el une droite (D) dont les équations, relatives à un système d'axes 
de coordonnées rectangulaires, sont 

et Ton considère la surface (S) engendrée par une droite variable (ii assujettie à rencontrer (P) en un point A 
et (D) en un point B, de façon que la distance AB soit une constante /. 

1° Construire la projection sur le plan xoy d'une section de la surface par un plan parallèle au plan .roy ; 
construire la tangente en un point de cette projection et montrer que la courbe obtenue peut être regardée 
comme le lieu des milieux de cordes parallèles à ox et limitées, d'une part à une parabole de sommet o et 
d'axe ox, d'autre part à une ellipse dont les axes sont dirigés suivant ox el oy . 

2« On peut distinguer deux sortes de droites a suivant que l'abscisse de A est supérieure ou inférieure à 
celle de B ; séparer surles sections précédentes les arcs qui correspondent aux génératrices de l'un ou de l'autre 
système et trouver le lieu des points qui limitent ces arcs. 

3° On considère le solide limité par la surface (S) et par les plans : + a = 0, : — ia = ; trouver son 
volume et construire son contour apparent sur le plan :ox. 

4° Déterminer les trajectoires orthogonales des droites (a). Par un point A, on peut mener deux droites 
(A), qui rencontrent une trajectoire orthogonale en deux points C et C; montrer que l'on peut choisir cette 
trajectoire de façon que la somme AC + AC soit proportionnelle à l'abscisse de A. 

Peut-on choisir les constantes données de façon qu'une seule trajectoire orthogonale rencontre toutes les 
droites (A) entre leurs points situés sur la parabole (P) et sur la droite (D)? 

Calcul différentiel et inlégrni. 

Ox, Oij, Oj étant trois axes rectangulaires donnés, on considère une surface S, d'un seul tenant. Soit s 
une portion quelconque de S, sans point commun avec 0:; et n'ayant pas de plan tangent parallèle à Oz. 

I. — Soient A l'aire de la projection de .s sur le plan des ry ; B, le volume limité par l'aire s, sa projection 
A et le cylindre projetant ; C, le volume limité par l'aire s et le cône ayant pour base cette aire el pour sommet 
l'origine; D, le volume limité par l'aire « el parle conoïde qui a le contour de s pour directrice, Oj pour axe 
et xOy pour plan directeur. 

Les notations B, C, D représentant les volumes en question aiïeclésde signes convenables, montrer qu'on a 

(1) 3C = B — 2D 

tant que l'aire i n'est pas coupée par certaines lignes situées sur S. Montrer également que la formule subsiste 
môme sans cette dernière restriction si l'on prend les éléments de B en grandeur et signe, de manière à avoir 
toujours 

B = M ^dxdu 

(l'intégrale double étant étendue à l'aire A), et qu'en même temps les éléments des volumes C, D soient aussi 

affectés de signes convenables, dépendant de x, ij, :,/>, q (p = -',-. ç = - — |. On énoncera, autant 

que possible, géométriquement les conventions de signes auxquelles on sera ainsi conduit. 

II. — Le cône (supposé réduit à une seule de ses nappes) qui limite le volume C détermine, sur le cylindre 
de révolution de rayon I qui a 0; pour axe, une aire algébrique dont les éléments seront affectés des mêmes 
signes que les éléments correspondants de C, conformément aux conventions précédentes : soit E cette aire. 

D'autre part, on fait tourner s autour de 0-: et on désigne par F le volume de révolution ainsi engendré, 
par G, l'aire de la section méridienne de ce volume, un élément de F ou de G étant également affecté d'un 
signe (le même dans les deux cas) d'après une convention convenable. 

Déterminer la surface S de manière que, pour toute portion « (sans point commun avec Oc ni plan tangent 
parallèle à Oz) prise sur cette surface, on ait lu relation 

(2) aA-)-6B-(-3cC-HeE-H -^ F-l-.7t; = 0, 

oii a, b, c, e, f, g sont des constantes. Montrer que S doit vérifier une certaine équation aux dérivées partielles 
du premier ordre dont les coefficients sont des fonctions rationnelles do x, y, :, p, où ? = \/x' ■+■ y' (le radi- 
cal étant pris positivement). Indiquer (en l'énonçant encore géométriiiuement) la détermination du signe com- 
mun à donner à un élément quelconque de F et à l'élément correspondant de G de manière que cette équation 
soit la même pour toute la surface considérée. 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 303 

Trouver les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles ainsi obtenue, en employant les coordon- 
nées semi-polaires o, lo (coordonnées polaires de la projection du point sur le plan xOy), z (cote du point). 

Etudier les projections de ces caractéristiques sur le plan xOi/. Faire voir qu'il peut exister des caractéris- 
tiques qui soient situées sur un cylindre de révolution d'axe Oz, et discuter leui- forme. 

m. — On suppose les constantes b, c liées par la relation 

(3) b + Zc = 0. 
On considère l'intégrale curviligne 

prise d'un point M à un point M' de la surface S, le long d'un chemin 1. situé tout entier sur cette surface. 
Montrer que si S satisfait à la condition qui lui a été imposée dans la II- partie, et si, sous le signe /", le si"ne 
du terme en dz a été convenablement choisi, l'intégrale I ne change pas de valeur lorsque M et M' restant fixes 
on déforme d'une manière continue, sur la surface, la ligne I, tracée entre ces deux points. 
Si, au lieu de la relation (3), les constantes b, c ont entre elles la relation 

(4) 6 -(- 6c = U, 
une propriété analogue à la précédente appartient k l'intégrale 

/ (cp' + e)- , , , cp^ + e , , 
J = I = ^, (xdy -ydx) — ujz -^— K-odx ^- ijdij) + 'Ç\z{fdz — a[xdy — ydx)] 

oii P est un polynôme entier en p convenablement choisi et s est l'une des deux quantités -h 1 , — I . 

IV. — On suppose en outre que la surface S contient une circonférence dont le plan passe par 0; et qui 
n'a aucun point commun avec 0;, ni avec le cylindre de révolution précédemment considéré (tin delà II' pailie). 
Sur chacune des caractéristiques issues des dilférents points de cette circonférence, on prend un arc limité, et 
cela de manière que la portion S de S ainsi délimitée ne contienne aucune singularité. 

En supposant donnée la valeur de l'intégrale I [dans le cas de la relation (3)] ou J [dans le cas de la relation 
(i)j le long d'un certain chemin L joignant M et M' et situé sur i:, quelles sont les autres valeurs que peut 
acquérir celle intégrale lorsqu'on remplace L successivement par tous les autres chemins qu'on peut tracer 
entre les mêmes points sur S ? 

Indiquer la relation qui doit exister entre le rayon de la circonférence, la distance de son centre à 0- et les 
coefficients de I équation (i) pour que la valeur de l'intégrale considérée soit unique dans ces conditions. 

MJcaniquc. 

Un cerf-volant de poids P est soumis à l'action normale du vent, représentée par une force * ^- P Dans 

a 
sa position d'équilibre, il est incliné à 30° sur l'horizon ; il admet un axe de symétrie sur lequel se trouvent 
son centre de gravité G et le centre de poussée du vent; est au-dessus de G et OG égale 4 centimètres. 

En un point A de l'axe, placé au-des.sous deG, à 4() centimètres de G, est attaché un fil de longueur / ; deux 
aulies lils, de longueur l', sont attachés en deux points B et G symétriques par rapport à l'axe; la droite BC 
égale à 2rf, est au-dessus de G à 29 centimètres de G. Dans la position d'équilibre, ces trois fils, flexibles, inex- 
tensibles et sans masse, sont tendus et réunis en un point M, auquel est attachée la ficelle qui relient le cerf- volant. 

\o Trouver la relation qui lie /, t' el d ; supposant ces longueurs connues, calculer les tensions des trois fils. 

2" Le point .M étant à 30 mètres au-dessus du sol, quelle est la tension k l'autre extrémité E de la ficelle 
supposée fixée au sol, tlexible, inextensible et de poids p par unité de longueur; déterminer p de façon que la 
tangente en E soit horizontale. (On ne tiendra pas compte de l'action du vent sur la liLello.) 

3° Dans ces conditions, on suppose que la ficelle, prolongée à partir de E, s'enroule immédiatement, avec 
frottement de coefficient /"suivant une hélice tracée sur un cylindre de révolution lixe, dont l'axe est perpen- 
diculaire au plan de la ficelle, le rayon du cylindre étant r et le pas de l'hélice '• : quelle sera la force néces- 
saire pour maintenir l'équilibre, cette force étant appliquée à la nouvelle extrémité libre de la ficelle supposée 
enroulée suivant une spire complète. (On ne tiendra pas compte du poids de la partie enroulée.) 

4° La ficelle qui retient le cerf-volant ayant la forme trouvée précédemment (2°) et étant supposée indéfor- 
mable, on place à l'extrémité située sur le sol un postillon soumis â une force, résultante du poids du postillon 
et de l'action du vent; cette force est constante et est dans le plan de la ficelle ; quelle condition doit-elle rem- 
plir pour que le postillon se mette en mouvement, en supposant qu'il y ait frottement de coefiicient un ? 

Étudier le mouvement du postillon dans le cas où la force est horizontale. (On assimilera ce postillon à un 
point matériel mobile avec frottement de coefficient un sur la courbe matérielle représentée par la ficelle suppo- 
sée indéformable.) 

♦ 



304 



ÉCOLE iNATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES 



ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES {Cours spéciaux.) 




Analyse (*). 

1809. — Déterminer les trajectoires orltiogonales d'une série de cercles qui passent 
par deux points fixes A et B dans un plan. 

On donnera d'abord une solution analytique basée sur le calcul différentiel et inté- 
gral. On cherchera ensuite une solution purement géométrique. 

(Durée : 4 heures.) 
Mécanique. 

I. — 1810. Un plan P tourne avec une vitesse angulaire constante u autour de la 
verticale ascendante Oz. Etudier le mouvement d'un point A pesant qui glisse sans frottement dans le plan P. 

II. — 1811. Deux petites sphères pesantes parfaitement élastiques, de poids P et p, sont suspendues cha- 
cune par leur centre à l'extrémité d'un fil de masse négligeable, et de même longueur / pour 
les deux sphères. Les deux fils sont fixés à l'autre extrémité en un même point 0. 

La sphère p étant dans sa position d'équilibre {Op vertical], on abandonne sans vitesse la 
sphère P dans la position UP, où le fil est tendu et fait avec Op un angle '!„ ; P venant choquer 
p, on demande de dire : i" de quel angle vu s'écarter Op ; 2" de donner des indications sur le 
inoiivi'uient de p et P après le choc. 




Un envisagera particulièrement le cas oîi Oo est assez petit, et où 
On réduira les sphères à de simples points matériels. 



P 



est voisin de l'unité. 



[Durée : 4 heures.) 
Calcul nu„ié> iqiie. 
Même composition que pour les cours préparatoires. 

Epure de Su'-rcolouiie. 
Descente biaise dans un mur droit. I Echelle de Vn )• — La courbe de tète est 

un plein cintre de 0"',00 de rayon. 

L'axe de la voûte fait, en projection horizontale, un angle de 60» avec le plan de 
1 




tète. Il est incliné à 



sur l'horizon. 



On appareillera entièrement la tète de la voûte et on construira tous les panneaux 
nécessaires à la taille de l'un des voiissoirs. 

[Durée : 4 heures.) 



DEUXIEME PARTIE 



ALGEBRE 



1742. — intégrer l'équation di/férenlielle 
et montrer que les fonctions 



d'il I 

7^ -^'^ = 7 



e-'-' dt 



I eu 
G = / 

.tatisfo))! à cette cquatiim cl sont les mêmes 



J'" sin / 
Ic^t 



dt 



{') Voir noie de M \. Dur.uul, ii° J'aoïlt l'Jûîl, p. 268. 



ÉCOLIi; NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES 303 

Pour intégrer l'équation 

nous emploierons la méthode dite de la variation des constantes. L'intégrale générale de l'équation sans 
second membre étant Acosi + Bsinx, A et B désignant des constantes, nous supposerons que 
l'intégrale générale de Téqualion (1) est mise sous la forme 

1/ = A cos X H- B sin x, 

k et B désignant des fonctions de x, entre lesquelles nous pourrons nous donner une relation arbitraire. 

Nous avons 

d'I . . „ dX dB . 

—f- = - A sm X -r- B cos /■ h — t cos x h — r— sm x. 
dx dx ai 

Assujettissons A et B à la condition 

dk rfB . 

(2) -r— cos X + -T- sm X = : 

dx dx 

il reste 

dii _ 

— ^ = — .\ sin X -i- B cos X, 

dx 

d'y . o • ''-^ ■ dB 

puis -~- = — A cos X — B sm X sm r ~ — -- cos .r. 

«x- dx dx 

Si nous écrivons maintenant que y vérifie l'équation différenlielle (1), nous obtenons 

.„, rfA . rfB 1 

(3) -— sin X ->. — ;— cos X = — 1 

dx dx X 



et des équations (2) et (3) nous lirons 






rf.\ sin X 


dB 

dx 


cos X 


dx X 


X 


ou 






/"sinx , 




/""cosx , 



/ smx / cosx 
A = — I ax-+-G, B = I (/xH-D, 

C et D désignant des constantes. 

Il en résulte que l'intégrale générale de l'équation (1) est 

/sin X /^ cos X 
(/x -h sin .ri rfr -T-f cosx -1- D sin X. 

Je dis maintenant que la fonction 

r=^ e •■• 
G(x) = / -dt 

vérifie l'équation dillerentielle. 

En différentiant sous le signe I on a 

rfG r^ te-'-' ^ d-G /•=" l-e" , 
•T-=—i rdt, -r-r = -. irdt; 

dx ^i„ i -h t- dx- Jo I-h'- 



on en tire 



d-G ^ C {\.-^l-^e- 



rfx2 J, \-^t 

Considérons ensuite la fonction 

r'^ uni 



.. '.1 — X (, X 



dt: 



^^ GEOMETRIE ANALYTIQUE 



nous avons 






hn intégrant par parties, nous obtenons 

r -^'"' ^,_| si"' r^ /^" cos tdt i-- cos tdt 

Jo i^-^ty I (.r + ONo \K {x^iY'-J^ 17TW 



De même, en intégrant de nouveau par parties, 

r°° cos tdt _ I — cos/ l" /'=' sin /c// | 

On a donc ^^^ _ ^ 



dx- X 



ce qui montre que la fonction H vérifie l'équation (1). 

Je di> maintenant que les fonctions G et H sont les mêmes. 



d-u 



Posons ,/ = G-H, nous avons alors -^4-„ = o, et par suite « = „ cos x + A sin x, 
a et b étant des constantes; donc 



sin j. 



/ ^~'" /, /"" sin / j 
j Y'^TJi — / — — ■ rf' = " cos X + é sit 

Donnons à x la valeur SAtt, A- désignant un nombre entier positif : nous obtenons 



, , „ dl — — dt = a 

i + t- J„ 'ik--ht 

Si A- augmente indétîniment, les quantités sous le signe / tendent vers zéro, et les intégrales 
également, donc a = 0. 



j: 



De même si l'on donne à x la valeur iA::+ ^ , et si l'on fait augmenter A, on voit que b = 0. On 
en conclut G — H = 0. 

René LAFOSSE, étudiant à Paris. 
Bonnes solutions par MM. Aublarii ; fiARUON ; Louis Sike. 

• ♦ • 



GKOMÉTKIE ANALYTIQUE 



1738. — J'rouver feuveloppe des plans qui coupent deux sphères données suivant deux cercles ortho- 
gonaux. 

Discussion. 

Trouver aussi le lieu des centres des cercles sections de l'une des sphères. 

Soient C et G' les centres des sphères données, R et R' leurs rayons. Nous prendrons pour ori- 
gine le milieu de CC, pour axe des x la droite CC et pour plan des yz le pian mené parle point 
perpendiculairement à CC Les équations des sphères sont alors 

''r—'"- -!-?/■-+-:*— R==^ 0, (x + fl:--Hî/"--T-:-— R" = 0. 

Soit maintenant 

{^') ux -h- vy ^ wz -i- h = 

l'équation d'un plan coupant les sphères suivant deux cercles orthogonaux. Désignons par <" et -' les 
centres de ces cercles, par p et p leurs rayons, nous devons avoir 

p -f- p- = (OU)' • 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 307 



Or, on a o- = R- — Ciu'» et Cw est la distance du point C auplan P. Parsuite 

{ua -4- h)- 



Cuû =: — 

1 

et ?' = R^ - 

De même 



■ -1- u^ -h «•■' 
(ua + h)- 



D/. {—ua^hr 
; - := n ■ — 



l'- -+- II- 

D'autre part, le point "> est le point de rencoQtre du plan P et de la perpendiculaire à ce plan menée 
par le point C Les coordonnées du point w sont donc les solutions du système 

UT -h KIJ -+- V'Z -t- /( = 0, 



on en tire aisément 

x — a y z u{x — a) -\- vy -^ irz — (tia-^ II) 



u r ir u- -^-v- —w- u-^v'--\-w- 

et par suite les coordonnées du point tu sont 

u(ua -+- h) v{ua H- A) _ _ ic{ua -+- h) 



u- -h V- -{- w- M- -4- y- -I- »/■- u--\-v--+-w- 

Celles du point '"' s'en déduisent en y remplaçant a par — a, et un calcul facile nous donne 

,2 / 2rtu^ \'^ Aa'''u-v'- ia'-uhc- 

wui' = ia ■ ^ ) + -—, ; ;-; — I T, ; jT^r 

V u--i-v'- -i-u- / {u- -h v--h w-)- iu- -^v-~i-w-)- 

8a-u- Aa^u-{u- ^ «^ + w-) 



u*-\-v- -+- w- («' -I- V- -!- /«-)- 

ou enlin 

,^ f s ^"''"' 



u- — ('- - w 



Ecrivons maintenant que p- - p'- est égal à axu'' ; nous obtenons 



U'^ -\- V- ->r- il''- U--\-V-^lV'- U--(- U'^ H- !i'- 

ou 

(R5-f-R'- — 2a2)u5-l-(R2 4-R'2 - 4a»)(«2 + w^) — 2/i' = 0. 

Telle est Téquation tangentielle de l'enveloppe du plan P ; elle représente une quadrique à centre 
unique rapportée à ses axes. Son équation ponctuelle est 

^ . y"-^^ - -1 = 0. 



R- -^ W- — '2a- [V -h R'- — Aa^ 
Cette quadrique est de révolution autour de l'axe Ox ; la méridienne du plan des xy a pour équa- 
tion 

'''' -1=0. 



K^-t-R- — âa- R' + R^ — 4a- 2 
elle a pour foyers les points C et C. 

La quadrique n'est réelle que si a- est inférieur à ~ • 

r>2 _, D'2 

Si a^ < , l'enveloppe est un ellipsoïde de révolution. 

4 

R' -t- R - 

Si a^ > . c'est un hyperboloïde de révolution a deux, uappos. 



308 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Enfin si a- = 



R=-i-R^' 



^ . l'équation tangenlielle se réduit à a-u- - h- — ; elle exprime que 

le plan P passe par l'un des points C et G. Donc dans ce cas lenveloppe se réduit à ces deux points. 
Les deux sphères sont alors orthogonales. 

Pour avoir le lieu du point w, ceii(re du cercle section de la sphère C parle plan P, il faut élimi- 
ner u, V, u\ h entre les équations 



'•;/ ■ 



// = 0, 



y 



i:K--I-R'= — 2a-)«- 
Les deux premières nous donnent 



(Rî + R'2 _ 4a2)(l.2 ^ „,,2) _ 2/,- 

w —h 



-2a^){x _ a)2 + f n- — R'^ — in-,(y--hz^) - 



i'x(x — a) + 1/3 + ;-J^ = 
af H- 1/2 _|_ ;2 + a(a. _ a)]2 ^ q 



■c — a y z .!■' x — a)-Jr y- -t- :- 

et nous n'avons plus qu'à remplacer dans la troisième u, v, wji par des quantités proportionnelles. 
Nous obtenons ainsi 

(R--hR'2- 
ou encore 

(R2 + R'- — 2a2,{(x - ay-hy' ■ 
ou, en divisant par [x — af + y^ -\- z- 

Il' + R'- — 2rt2 
^ 2 

Cette équation représente une sphère qui est le lieu des points lo et w'. Cette sphère n'est réelle que 

SI a^ est mferieur a ■ 

2 

t",. FÛUGRY, à Reims. 

Solution géométrique. — Prenons pour plan de la figure le plan perpendiculaire au plan P passant 
par la ligne des centres CC,'. Ce plan coupe les sphères suivant deux grands cercles et le plan P suivant une 
droite AA'Bfî' sur laquelle se trouvent les centres w, u.' des cercles de diamètres AB, A'B' déterminés par le 
plan P dans les sphères. 

Les cercles ai et lo' étant orttiogonaux, les segments AB et A'B' se divisent harmoniquement, et l'on est 
ramené à trouver lenveloppe des droites coupant deux cercles donnés suivant une division harmonique. C'est 
un problème bien connu dont voici d'ailleurs une solution. 
Cherchons d'abord le lien des points o) et w' . Nous avons 

ô^^ = R2 — ^^ = coA'.ioB' = 1^'' — R'^ 
on IHc' + ^'^ = R2 -I- R'-. 

On en conclut que le lieu du point " est un cercle (r) qui a pour 

R2 + R'î _ 2a2 

centre le milieu de CC, et dont le carré du rayon est j; 




(CC = 2a). Le point (1)' décrit le même lieu. 

L'enveloppe de la droite AB est alors la podaire négative du cercle 

(r) par rapport à C ou C, c'est une ellipse ou une hyperbole ayant pour 

foyers C et C, et le cercle (r) pour cercle principal. 

Ce sera une ellipse si les points C et C sont à l'intérieur du cercle, c'est-à-dire si l'on a R2 + R'2 > *a°; 

une hyperbole si C et C sont extérieurs au cercle, c'est-à-dire si R2 ^ p-a < 4aS. F.nfin l'enveloppe se réduit 

aux points C et C, si ces points sont sur le cercle, c'est-a-dire si R2-+- R'-' = 4a*. 

En faisant tourner la figure autour de CC on est conduit aux mêmes résultate que par la méthode analytique. 

Louis SIRE, à Lvon. 



Bonnes solutions par MM. Joseph I'la.nk, Ijcée de Clcmoul ; Jiseph Vkbots, école des Anglais, k Lyon ; Audré Dabhos, ti Paris ; 
A. Bous'KAU, école supérieure de Landrccies. 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 309 



1744. — On considère deux sphères fixes, S el S', de centres et 0', et les sphères variables ï passant 
par le centre de S et coupant les sphères S et S' suivant deux cercles orthogonaux. 

1° Trouver le lieu des centres des sphères S. 

2° Trouver l'enveloppe des sphères S el construire la section de cette enveloppe par un plan passant par 
la droite 00'. 

Examiner le cas un S et S' sont orthogonales^ 

Solution géométrique. 

Ce problème se ramène évidemment au problème n° 1738, trailé antérieuiement. La solution géo- 
métrique que M. Sire nous a envoyée et que nous publions à la suite de celle-ci va nous le montrer. La 
solution analytique présente donc seule un intérêt nouveau. 

1° Prenons pour origine le centre de S et pour axe des x la ligne dos centres de S et S' et «oient 
S = j:^ H- T/2 + :2 — R" = 0, S' = x"- -+- xf- -+- î^ — 2aa; + 6 = 0, 

les équations des deux sphères S et S'. La sphère S, passant au centre de S, aura pour équation 
a-- -i- y- -H :2 — 2aa; — 2^?/ — ^y: = 0. 

Pour exprimer qu'elle coupe les sphères S et S' suivant deux cercles orthogonaux, il suffit d'expri- 
mer que les plans de ces cercles, c'est-k-dire les plans radicaux de S et S, de S et S', sont conjugués par 
rapport à la sphère S qui porte les deux cercles. Ces deux plans ont pour équations 
2ax + apy -f- 2^: — R- = 0, 2(a — a)x -v- 2fii/ -|- 2y: -t- i = 

et, pour qu'ils soient conjugués par rapport à S, il faut qu'ils vérilient l'équation 

w'S'„ -h uT,, + io"Z'„ -H r's', — 0, 
s(u, V, w, r) = étant l'équation tangentielle de la sphère i 



'fiv- 



Or 


sù/, 


V 


. W, 


'■) 


= (ï2 + |Î2 -H .^2)(-,<2 _^_ „■> _^_ j^.i-^ _ (^y + Pu -i- Y"' + rf = 0, 




1 


- 


'u = 


(a- 


' + P^-y'ju - aP, ^ v; = ^2 ^ f-^Y^)v _fiP, 




1 

2 


V 


'n.= 


(a^ 


■■ + 'p' + f-) ic - yp, i- s; = - P, P = a« + ^ 


donc la condition 


est 








(a^ + f;- -h f]{uu' -+- vv' -+- ww') — PP' == 0, 


avec 










P' ^ au' -+- p«' + Y"'' -+- ;•'. 


D'autre part, 










w = 2a, c = 2?, w = ly, ;• = — R2, 
u'=2(a-a), v' = rp, «•■ = 2y, /■'=*; 


par conséquent 










MU' -t- vv' -f- ww' = 4(a' -f- p- -t- Y" — "a)' 








P = 


= 2( 


a- + r- + f) — R=, P' = 2(a2 -+- P' -1- y') - :2aa h- 6. 



La relation se simplifie considérablement et devient 

(1) 2(:R'- — 6)(a^4-p2-t-Y-) — 2flR=a-l-éR2 = 0. 

Elle montre que le lieu du centre de la sphère s est une sphère qui a son centre sur Ox. 
Si R" = b, c'est-à-dire si les sphères S et S' sont orthogonales, ce lieu se réduit à un plan, le 
plan _ It- 

' "" ~2^' 
qui est parallèle au plan des y: et à égale distance du centre de S et du plan radical de S et S'. 

2° La sphère ^ passe par un point fixe 0, son centre décrit la sphère (i), elle enveloppe donc une 
surface homolhétique à la podaire de (1) par rapport au point 0, et dans le rapport 2. Nous aurons direc- 
tement celte enveloppe, en écrivant que les dérivées partielles des et de (1) par rapport à a, p, v, S, sont 
proportionnelles, et ajoutant ces équations à l'équation z — 0. Ceci nous donne le système : 

a\i- 
2a — — = Ax, 2i = Al/, 2y = AI, 



3iO 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



— aR2 



bW' 



l 



R2 



X = - T (■^■' + ;/" + 



R^ — b 

X- -!- y'^ 

Les trois premières donnent a, ^, y : il n'y a qu'à les porter dans les deux dernières et éliminer X 
entre ces deux équations; on trouve ainsi, d'abord 

aR2 



M x^-t- IJ--+- z- — 
l{x' -t- .V' + z^-) 



puis 

(2) 



y' 



aR»./ 



R2 — 6 



J- = J,.2-)_,y2_l_ ;j; 



2iR2 



:-) 



0. 



R*-6/ \(Ri — 6f ,R^-6, 
C'est une surface du quatrième degré, de révolution autour de O.;-, et dont une méridienne s'obtient 
en faisant y = ou ; = 0. 
Pour : = 0, on trouve 

' - , oR^ , 

-t- y - ^. — r ) - /■''■'■ -+- '/') = 0, 



R=-/. 



26R2 



(R2— 6)- R2 — 6 
En transformant cette équation en coordonnées polaires, on voit de suite qu'elle représente un 
limaçon de Pascal, ce qui était évident, d'après ce qui a été dit plus haut. 

Pour que ce limaçon soit réel, il faut que la constante k soit positive, c'est-à-dire que a'-R- soit 
plus grand que 1b{]\'- — h). Ur, en appelant R'= le carré du rayon de la deuxième sphère, on a 
'j- — b = R'-, b = a'— R'-, et rinég:alité devient 

anV- > 2^a2 - R'2)R2 _ 2(a^ _ n'y, 
n'R^ > 2R2R'2 + 2(a2 — R'^)'- 

C'est évidemment celle que l'on trouve en exprimant que la sphère {l), lieu des centres des sphères 
i;, est réelle. 

Quand les deux sphères S et S' sont orthogonales, quand R^ = b, les calculs précédents ne 
peuvent pas se faire. Le lieu des centres des sphères ï; est alors un plan et ces sphères passent par 
deux points fixes, le point et le pied sur Ox du plan radical commun aux deux sphères S et S'. 



Solution 



géométrique. — Prenons pour plan de tigure le pian passant par S, S' et le centre C d'une 

sphère î;. 

,'' ~"~-^.^ Effectuons ensuite une transformation par inversion 

' ^N de pôle S et de module H^. R étant le rayon rie la 

\ sphère S. Le cercle C se transforme en la droite AB, 

\ trace d'un plan P perpendiculaire au plan du tableau et 

\ coupant S et la transformée S' de S' suivant deux 

cercles orthogonaux. 

Or, nous savons (problème n» 1738) que le centre H 
du cercle section de la sphère S par le plan P. décrit 
dans le plan du tableau un ceccle de centre w, milieu 
de SS"; que la droite AB enveloppe une conique de 
foyers S, S" dont w est le cercle principal; cette conique 
se réduit aux deux points S, S' lorsque les deux 
sphères S, S" sont orthogonales. 

laver-;onient, comme SU. SC = — -. 




CONCOURS DE IWà {Suile) 3H 



on voit que le lieu de C est un cercle ayant son centre en c sur SS' tel que 

S,, se =11. 

I étant le pied delà polaire du point S par rapport au cercle '■>. 

D'autre part, l'enveloppe du cercle G est un limaçon de Pascal, de point double S et ayant pour axe de 
symétrie SS'. Ce limaçon peut être considéré soit comme in\erse de la conique enveloppe de AB, par rapport 
à S; soit comme podaire par rapport k S du cercle e lieu de C. 

En faisant tourner la ligure autour de SS', on voit que le lieu de C est une sphère de centre c. 

L'enveloppe des sphères 1 est une surface de révolution du quatrième degré engendrée par la rotation 
d'un limaçon de Pascal autour de son axe de symétrie. 

Enfin lorsque les sphères S, S' sont orthogonales, il en est de même des sphères S, S'. Dans ce cas, 
l'enveloppe des plans P se compose de l'un des deux points S, S". 

Or, les plans qui passent par S se correspondent à eux-mêmes dans l'inversion; on peut les envisa"-er 
comme des sphères de rayon infini. 

Aux plans qui passent par S" correspondent les sphères passant par S et le point K intersection du plan 
polaire de S par rapport à S' et de SS'. Le lieu du centre de ces sphères se réduit donc au plan perpendicu. 
laire au milieu de SK. 

Louis SIRE. 
^ 



CONCOURS DE 1909 {Suite.) 



KCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES {Cours préparatoires.) 

Algèbre et Analyse. 
\. — 1812. Soient les équations 

i dx v/iKi — ■<• + a-i^^ i — X + aj^Xi — x — ajx — ï;^ = 0, 
' ai ^x\ ^ a; -H Osy/ar-j — x — Oa/ac — x^ — a^^/^; — x^ =. 0, 
l fliv'a'i -X — a^ijx — Xi — Ojy/a; — 0:3 — ('■■,\'x — Xj =: 0, 
OÙ ai, aj, «3, flj, xi. Xi, Xj, x^ sont des constantes supérieures k 0, et /i > x,> x^^x^. 

{' Démontrer que, parmi ces trois équations, il y en a toujours une et une seule ayant une racine réelle, 
d'ailleurs unique. 

20 Indiquer la condition pour que cette racine appartienne à l'une de ces équations choisie a priori. 

;i» Calculer cette racine k un centimètre près quand m = <?, = a, = — . .r = lO"», x-, = y» ^ —-<^ 

P. S. — Si le temps le permet, on pourra essayer d'indiquer une généralisation de la question 1. 

IL — 1813. On considère la partie de la cycloide 

x = a.(t — iui l), y = aH — cos t) 

pour laquelle < t -^ i-r. Calculer l'aire et le volume de révolution engendrés par celte courbe tournant 
autour de Ox. Peut-on déduire de ce calcul le centre de gravité du périmètre et de l'aire de la courbe'' 

.Même problème pour la partie de cette courbe comprise entre les parallèle.^ à Oy menées par les points 

{Durée : J Iteures.) 
Géoinétrie analytique. 

1814. - 10 Lieu des points P dun plan d'où l'on voit une parabole don- 
née dans ce plan sous un angle constant a. 

20 Enveloppe des cordes AB de contact des tangentes issues de chacun de 
ces points P. 

{Durée : 4 tieures.) 
Calcul numérique. 
1. - On donne les côtés a, 6, c, d d'un quadrilatère inscriptible. Calculer 
les angles, la surface et les diagonales. 
-Application numérique : <; = 31", 0=16°, c = 24" d = 11» 




312 



BIBLIOGRAPHIE 



1815. Calculer appinxiinativement, k un centième près, autant que possible la valeur de la série 
sin (; / sin o \2 / sin 9 

- 29 degrés. 



(Dui'ée : 4 heures. 



Mécanique. 

1816. — Deux points mobiles m et m' se déplacent sur deux droites D et D' données dans l'espace sous 
l'action de forces accélératrices constantes. Ils partent de deux points A et B donnés 
surD et D' oii ils se trouvaient primitivement au repos ou animés de vitesses initiales 
connues dirigées suivant les droites D et D'. 

On demande à quelle époque la distance qui les sépare sera minimum et quelle 
sera la grandeur de cette plus courte distance. 

Examiner le cas où les vitesses initiales différant de zéro, les forces accélératrices 
seraient supposées nulles et celui oii les deux droites D et D' étant dans un même plan, 
les deux points mobiles peuvent se rencontrer. 

(Durée : 4 heures.) 



Epure de Gcométrie descriptive. 



1817. 



les points 




Par rapport aux axes Ox et Oy de la leuille (qui n'auront pas à être passés k l'encre) 
(a, a') et {b, b') sont définis p;ir le croquis ci-joint. 

On considère : 

1° le tétraèdre régulier dont {ab, a'h'] est une arête, dont l'arête {ac, a'c') est hori- 
zontale, le point c étant en avant de ab, et dont le sommet (s, s') est au-dessous du plan 
[abc, a'b'c') ; 

2» le cône de sommet (s, s') qui passe par la hauteur abaissée de {s, »') sur le plan 
{abc, a'b'c') et qui est coupe par ce plan suivant un cercle de centre (a, a'). 

On demande de représenter la partie du tétraèdre extérieure au cône supposé 
enlevé, en figurant, sur les parties vues, les ombres produites par des rayons lumi- 
neux parallèles à (R, R') du croquis ci-joint. 

Les arêtes du solide seront dessinées en noir (trait plein pour celles qui sont vues, 



interrompu pour celles qui sont cachées), les lignes de construction en rouge. 



[Durée : 4 heures.] 



BIBLIOGRAPHIE 



J'ai re(;u dans ces derniers temiis divers livres intéress^uils que j'ai parcourus hâtivement, trop superficiellement pour en 
faire le compte rendu, mais que je veux cependant signaler à nos lecteurs. 

Ces ouvrages ont tous été éditi5s à Leipzig : G. J. Ciischensche t'erlagshandlung, Leipzig (Samm(a)if/ Schubert). 

\'^ Spezielle Ehene Curven, von Dr. Heinrich Wieleh.nbh , 

2* Thtorie des l'olentieh und der Kwjetjunktionen, von l'rof. Dr. A. Wangerin. 1 Band ; 

3" AtlQemeine Formen und luvariantentheorie . 1 Band. Binare Formen, von W. Franz Meter. 

li. II. 



■AR-LS-DDC. — UtP. COMTI-JACQVET. 



Le Rédacteur-Gérant : H. VUIBEKT. 



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